Знаки:

· : знаки, заменяющие скобки (в алгебре).

р, q, r,… знаки суждения (предложения).

а, b, с,… знаки понятия (классы).

х, у, z,… знаки индивидуума.

Ɔ знак включения (импликации при предложениях и инклюзии при классах).

= знак эквивалентности.

ᴖ знак логического умножения или совместности.

ᴗ знак логического сложения или альтернативности.

V знак истины.

Ʌ знак лжи.

⌐ — знак отрицания, «не».

϶ знак оператора, который устанавливаете соответствие класса некоторому предложению.

ϵ знак оператора, устанавливающего принадлежность индивида к классу (έστι).

ɩ знак единичного класса.

ɿ знак индивида, принадлежащего к единичному классу.

≡ знак нумерического тождества.

Ǝ знак реального существования.

R знак двоичного отношения (между двумя членами).

'R знак отношения R обращенного.

* знак относительного умножения отношений.

ᴖ знак логического умножения отношений.

φχ, ψχ,… знаки логической функции.

{стр. 601}

Формулы:

pƆq

aƆb, — все равно, что:

⌐qƆ⌐p

⌐аƆ⌐b,

Или

Ʌ.ᴖ.pᴖ⌐q

Ʌ.ᴖ.аᴖ⌐b,

Или

⌐pᴗq (I')

⌐aᴗq (I'')·

(закон упрощения или симплификации):

pᴖq.Ɔ.p (II)

aᴖb.Ɔ.a (II")

(закон составления или композиции):

pƆq.ᴖ.pƆr : Ɔ : p.Ɔ qᴖr (III)

aƆb.ᴖ.aƆc : Ɔ : a.Ɔ.bᴖc (III')

(закон силлогизма):

pƆq.ᴖ.qƆr : Ɔ : pƆr (IV')

аƆb.ᴖ.bƆс : Ɔ : aƆc (IV'')

(определение эквивалентности):

p=q : Ɔ : pƆq.ᴖ.qƆp (V')

а=b : Ɔ : aƆb.ᴖ.bƆa (V")

(переместительность логического умножения):

pᴖq.=.qᴖp (VI')

aᴖb.=.bᴖa (VI'')

(переместительность логического сложения):

pᴗq.=.qᴗp (VII')

aᴗb.=.bᴗa (VII")

«Если верно включение pƆq и если верна гипотеза р, то верно также положение q, и его можно утверждать в отдельности» (VIII). (Принцип дедукции).

«В общей формуле всегда можно, вместо общего или неопределенного члена, подставить член частный или индивидуальный» (IX). (Принцип подстановки).

(сочетательность логического умножения):

pᴖ(qᴖr).=.(pᴖq)ᴖr (X)

аᴖ(bᴖc).=.(aᴖb)ᴖc (X')

(сочетательность логического сложения).

pᴗ(qᴗr).=.(pᴗq)ᴗr (XI)

aᴗ(bᴗc).=.(aᴗb)ᴗc (ХI')

ɅƆх	при всяком х	(XII)	(определение ложного: «ложное включает все»), (определение истинного: «истинное включается всем»).
xƆV		(ΧΙΠ)

(принцип противоречия).
рᴖ⌐р=Ʌ (XIV)
аᴖ⌐а=Ʌ (XIV')

{стр. 602}

(принцип исключенного третьего):

pᴗ⌐p=V (XV)

aᴗ⌐a=V (XV')

Формулы (XIV) и (XV) вместе определяют «негатив, т. е. ⌐р, ⌐а, так что можно написать (определение негатива):

pᴖx=Ʌ.pᴗx=V.Ɔ.x=⌐p (XVI)

аᴖх=Ʌ.аᴗх=V.Ɔ.х=⌐а (XVI')

(принцип контрапозиции):

pƆq.Ɔ.⌐qƆ⌐p (XVII),

aƆb.Ɔ.⌐bƆ⌐а (XVII')

(закон двойного отрицания):

⌐(⌐р)=р (XVIII)

⌐(⌐а)=а (XVIII')

(принцип утверждения):

p=(p=V) ⌐p=(⌐p=Ʌ) (XIX)

a=(a=V) ⌐а=(⌐а=Ʌ) (XIX')

(принцип внесения; если же переставить правую и левую стороны этих равенств, то получается принцип вынесения):

p.Ɔ.qƆr : =.рᴖqƆr (XX)

а.Ɔ.bƆс : =.аᴖbƆс (XX)

(приведение включения к альтернативе):

pƆq.=.⌐pᴖq (XXI)

аƆb.=.⌐аᴖb (ХХI')

(класс индивидов х удовлетворяющих логической функции φχ, т. е. обращающих ее в предложение):

х϶φх (XXII)

[аксиома: «если две логические функции φх и ψх эквивалентны, т. е. соответственные классы равны (тождественны)»]:

φх=ψх.Ɔ : х϶φх.=.х϶ψх (ХХIII)

(индивид k принадлежит к классу а, «есть а»):

kϵa (XXIV)

кϵ(х϶φх)=φк (XXV).

х϶(хϵа)=а (XXVI).

{стр. 603}

(«сказать, что класс а содержится в классе b, это, по определению, значит сказать, что "х есть а" включает "х есть b"»):

aƆb.= : xϵa.Ɔ.xϵb (XXVII)

а=b.= : хϵа.=.хϵb (XXVIII)

а=b.=.аƆb.bƆа (XXIX)