Можно пояснить на одном примере, что сверх–рассудочный синтез, — каковым является догмат, — не есть нечто вовсе невиданное и неожиданное в науке. Он осуществляется очень часто, например в построении, так называемых,иррациональных чисел.

По первоначальному определению, «число» есть числоцелое, а затем — ирациональное, т. е. ,дробь. Однако, решение некоторых геометрических задач часто приводит к такому отношению величин, — например, отрезков, — котороене выражается числом. Арифметические же операции соответствующие этим действиям, — невозможны, потому что данное сочетание арифметических символов лишено какого ни на есть смысла. Что значит. например, √2? — Это значит то́ и только то́, что в ходе решения мы наткнулись на стену. Мы искали некоторое число, а оказалось, чтонетчисла, которое удовлетворило бы условиям задачи: √2 есть символ арифметической невозможности. Почему? — А потому, что вообще √a означает такое число х, которое, будучи возведено в квадрат, дает а, т. е. число удовлетворяющее уравнению: х2=а. Но легко доказать, что нет и не может быть такого числа х, квадрат которого был бы равен 2. Подобным же образом — и в геометрии. Мы можем, например, стараться узнать, {стр. 507} во сколько раз один отрезок длиннее другого. В одних случаях мы определим это «во сколько?»,т. е. найдем число, его характеризирующее; а в других — такого числа вовсе не окажется, и тогда самый вопрос «во сколько» не имеет смысла. Так, диагональ квадрата ни во сколько раз не длиннее и не короче стороны того же квадрата. Диагональ и сторона несравнимы между собою в направлении «во сколько», — как говорят, — «несоизмеримы». Какое бы число мы ни взяли для охарактеризования этого отношения, оно окажется негодным. Если у стороны есть свое число, то егонету диагонали, и наоборот. Между тою и другою — какая–то бездна, непроходимая для чисел. Длина диагоналитрансцендентна(— употребляю это слово в общем значении, а не как математический terminus technicus —) в отношении длины стороны. Этот факт впервые открыт еще Пифагором; как известно, сам геометр ужаснулся глубине открытого им факта и последствий, которые из него проистекают. Ведь одним этим фактом раз на всегда нанесены непоправимые бреши всякому рационализму.

Такие комбинации символов, как √2, еще в Средние Века именовались «numeri ficti, выдуманные числа» или, — в Liber abaciЛеонарда Пизанского, относящейся к 1202 г., — «numeri surdi, глухие числа» и вовсе не рассматривались за числа. Впервые только в Arithmetica integra Михаила Штифеля, изданой в Нюренберге в 1544 г., им придано условное значениечисели соответственное имя «numeri irrationales», причем Штифель заявляет, что «irrationalis numerus non est verus numerus», т. e. что «иррациональное число не есть истинное число». А и сейчас во множестве учебников алгебры важно заявляется, что хотя де извлечь корня квадратного из 2 нельзя, но все–таки и т. д.

В круге тех операций, которые знает арифметика,нетвыхода из этого затруднения. Эти операции ведут к такому результату, который уже не имеет {стр. 508} смысла, если не порвать их круга; а если его не порвать, то данная комбинация нарушает цельность самого крута, производя внутреннее разрушение и опустошение. Так — и вообще: рассудочные операции ведут к таким комбинациям, которым нет уже места в среде своих производителей и которые требуют разрыва рассудочной области чтобы родиться в новый, дотоле невиданный и немыслимый мир. Выход, в алгебре, достигается лишь созданием по–ту–сторонних, трансцендентных для круга данных операций арифметических сущностей, которые невыразимы уже в конечных символах, но ими постулируются, их обосновывают и им придают новый, высший смысл. Однако, лишь только эти новые арифметические сущности мы хотим мыслить в терминахстарых, лишь только хотим влить вино новое в мехи ветхие, — так получается разложение символа новой сущности на составные элементы, несовместные друг с другом в области старых понятий, а самая сущность — испаряется.

Скажу определеннее, в чем тут дело. — Иррациональные «числа» долгое время были туманною нелепостью, которою все бессознательно пользовались ради практической необходимости, и в которой, однако, никто не давал себе отчета. Но к 70–м годам XIX–го века выйти из этого положения сделалось настоятельною необходимостью. Вопрос назрел, и ответ на него дан был почти одновременно несколькими исследователями, среди которых, как крупнейшия, могут быть указаны имена Г. Кантора, К. Вейерштрасса, Ш. дю–Мерэ, Э. Гейне, Р. Дедекинда, Г. Коссака, С. Пинчерле, О. Бирманна, Ж. Таннери, М. Паша, В. Рёсселя и др. Построения, предложенные различными исследователями, были независимы друг от друга и потому, — что весьма понятно, — значительно разнятся по своему внешнему облику. Но, в существе дела, все они говорят одно и тоже. Поэтому я останавливаюсь несколько наодномиз них, — на методе Г. Кантора, — того самого Кантора, о котором столько {стр. 509} раз доводилось толковать нам с тобою на раздолье медленно волнующихся хлебов, около опушки березовой рощи и дома, пред пылающею печью. А помнишь ли? иногда, проснувшись ночью, мы втягивались в тихую беседу, и незаметно скользило время, пока часы на колокольне не напоминали о близящемся утре…

Чтобы понять тебе канторовское построение, попрошу тебя об одном: забудь все, что ты слыхивал доселе об иррациональных числах, и держи в уме, что надо создать объект мыслисовершенно новый.

Г. Кантор берет бесконечное множество чисел a1, а2, а3, а4,… , аn,… аn+m,… , расположенных в порядке написания, так что послекаждогочисла следует ближайшее к нему и передкаждым, кроме первого, есть ближайшее, ему предшествующее. Этот ряд чисел рассматривается Кантором как единый объект α. Символически обозначим это, заключив всю группу в скобки, так, что явится возможность написать равенство, служащее определением а, а именно:

а=(а1, a2, а3,… аn,… an+m, …)

Оно означает, что α есть ничто иное, как бесконечная группа, мыслимая в единстве.

В известных случаях числа а1, a2,… аn,… могут оказаться таковыми, что ряд а, как говорят, «будет сходиться», т. е. будет обладать следующим свойством: какое бы малое число σ мы ни взяли, всегда найдется n настолько великое, т. е. член, или элемент, аnстоль далекий, что разница между ним илюбымпоследующим членом аn+m, — как бы ни было велико это m, — по абсолютной величине (т. е. не принимая во внимание знака разности) будет менее σ; символически:

|аn+m— аn| <σ, где σ сколь угодно мало.

Другими словами, чем дальше мы берем какой–нибудь член аn, тем менее делается разница между ним ивсемипоследующими за ним, и, при том, может быть как угодно близко подведена к нулю, хотя ну{стр. 510}лем, вообще говоря, никогда не сделается. Такова, например, будет группа чисел.

В самом деле, для неё абсолютная величина разности между (n+m) — м и n–м членом будет:

Чем более m, тем менее величина, и потому тем больше числител. Но он всегда < 1, почему и вся разность будет < |1/2n. Ясное дело, что как бы ни было мало некоторое заданное нам число σ, всегда можно подобрать n столь великим, чтобы было |1/2n| <σ и потому, — тем более, — чтобы разность между (n+m) — м и

n–м членом, т. е.

Была < σ. — Но возвратимся от частного примера к общей теории. Итак, если вообще группа а удовлетворяет условиюсходимости, «сходится», то ряд а1, а2, а3,·… получает названиеосновного ряда, Fundamentalreihe, а вся группа, в качестве единого объекта α, — названиеиррационального числа.

Таким образом, иррациональность, в области конечной, на рассудок опирающейся арифметики, является бессмыслицею с точки зрения «чисел», т. е. чисел в собственном, конечном смысле, получаемых как сочетаниеконечногочисла символов основных (1, 2, 3, 4, 5,… n, …). Никакою комбинациеюэтихсимволов, конечных, имманентных рассудку, нельзя дать образа для иррациональности или даже чего–либо «подобного» ей. Иррациональность безусловнотрансцендентна, безусловно непостижима для области рациональной. И раз навсегда, окончательно и бесповоротно нужно отказаться {стр. 511} от намерения представить иррациональность в виде конечной комбинации рациональностей.

Но, пользуясь рациональными символами как безвидным веществом, мы можем, помощью совершенно нoвых конструктивных определений, внести в бескачественный, как целое, агрегат рациональных чисел новую устрояющую его сущность. Тогда в этом «веществе» будет запечатлено и воплощено число иррациональное. Каждое рациональное число в отдельности, каждый элемент, каждыйатомэтого агрегата сам по себе, по своему первоначальному смыслу, не имеет ничего общего с воплощенным в нем целым, — как эстетическая идея статуи не имеет ничего общего с кристалликами мрамора, статую составляющими, или смысл поэмы — со звуками отдельных слов. Но бесконечная, — точнее: сверх–конечная, — совокупность их всецело отображает этоцелое, эту идею. В канторовском основном ряде, который изображает, воплощает, представляет иесть, согласно определению, иррациональное число α, каждый из элементов а1, а2,… аn,… покуда, — пока мы тольковходимв область иррациональностей, — не имеет ничего общего с α и даже нелепо спрашивать, в каком взаимо–отношении находятся эти существенно–несравнимые символы, из которых α трансцендентно для всякого аi(где i=1, 2, 3,… n, …). Но совокупность чисел аi, связанная признаком сходимости и определением «действий» над α, как единым объектом, в точности изображает эту трансцендентную сущность α. Впоследствии, когда α вполне обследовано, оказывается возможным транспонировать все аiв виде α, хотя нельзя, обратно, транспонировать α в виде аi; тогда устанавливается понятие «сходства» между aiи α, хотя это «сходство» есть только сходство намека, — не тавтегории. Это значит, что хотя α трансцендентно для всех аi«непостижимо» с точки зрения аi, но все аiимманентны для α, насквозь для него прозрачны. Можно, даже сказать, что с точки зрения аiнельзя видеть {стр. 512} тех трансцендентныхкорнейаi, того трансцендентного освещения аi, которое, однако, явно и очевидно с точки зрения α. Имманентность и трансцендентность в области сущностей разума подобна таковым же в области сущностей онтологии: Бог трансцендентен для мира, с точки зрения мира, но мир не трансцендентен Богу, а всецело пронизывается Божественными энергиями. — α и аiразличны, но если α рассматривать в ряду всех аi, то можно усмотреть, что разница или сходство аiи α с изменением i сами меняются. С точки зрения формально законнической, рассудочной, по закону тождества, аiне похоже на α; но, для непосредственного сознания, аiможетнамекатьна α, и, притом, прозрачнее или мутнее, в зависимости от величины i. Впрочем, прошу обратить внимание, что здесь я только излагаюобщие результаты, но не самую теорию.

Из понятия о равенстве двух иррациональностей, — α и другой, аналогичной ей, β, — полученных разными процессами, — устанавливается, что конечную часть символов аiможно выкинуть из α, что можно из группы (а1, a2,… аn) выбрать и удалить бесконечную группу, что можно, наконец, произвести по–парно перестановку, — «транспозицию», — бесконечного множества элементов а!, — лишь бы не изменялась структура ряда, лишь бы элементы не перемещались так, чтобы быть не в состоянии вернуться к старому расположению определенными парными перестановками, — и все–таки а не изменится. Мало того, даже совсем разные совокупности (а1, а2, а3,… аn,…) и (b1, b2, b3,… bn, …) могут выразитьодно и то жечисло а; совершенноразныезнаки могут выражатьодну и ту жеразумную сущность.

Итак: встретив невозможную комбинацию символов, мы были абсолютно не в силах решить задачу. Мы наткнулись на стену, — на ограниченность самых арифметических сущностей, воплощаемых в данных знаках. Оставалось одно: либоотказатьсяот самой задачи,либо поднятьсянад тою плоскостью мышления, кото{стр. 513}рая оперирует с «конечными» символами, — привнести новую идею, идею актуальной, — т. е. синтезированной, — бесконечности и, при помощи неё, создать особым творческим актом духа совершенно новую мысленную сущность, — иррациональность.

Была ли тут последовательность выведений? Конечнонет! Мы совершилискачок, — перерыв в развитии; мы внесли нечтосущественно новое. Мы могли и не вносить его, ограничившись теми сущностями, которые даны, — т. е. сущностями «конечными», — предавшись позитивистическому обеспложению разума и успокоившись на невозможности выйтизаграницы данных символов. Мы могли также подняться в высь; но для этого требовалось напряжение воли и подвиг разума, — совершенно специфическое усилие и смирение пред объектом исследования потребовалось для создания символов иррациональности. Создание новой сущности требуетсвободногоподвига. Свобода его выражается в том, что нам дана возможность либо оставаться при «хорошем» старом, либо подняться к «лучшему» новому.Подвигже — в том, что «естественные силы», — присущие уму инертность и само–довольство, — толкают его к коснению в старом, в конечном, в «известном». Нужно преодолеть самодовольство рассудка, порвать магический круг его конечных понятий и выступить в новую среду, — в среду сверх–конечного, рассудку недоступного и для него нелепого. Таков разумный подвиг в арифметике.

Однако, было бы величайшей ошибкой видеть в этом подвиге нечто исключительное и особняком стоящее. Современная математика, вся целиком, построена на понятиипределаипредельного процесса, с которыми приходится иметь делоявновсякий раз, как явно проступает идея бесконечности ибезмолчаливого участия которых в построении науки нельзя ступить ни шагу.Иррациональности, некоторые намеки на теорию которых были сделаны здесь, — это лишь простейший и обще–известныйслучайпредельного процесса; но, {стр. 514} кроме того, имеется еще множество других подобных сему применений основного понятия о преодолении конечности. Так, трансцендентная аналитическая функция не может быть выражена никаким конечным числом элементов, тогда как относительно алгебраической Вейерштрасс нашел, что она всегда может быть выражена таковым. Но тогда выступает начало преодоления конечности и оказывается, по теореме Пуанкарэ, что «всякую аналитическую функцию можно определить посредством счетового множества элементов (х–а)»[858]. Таким образом, функция аналитическая стоит в таком же отношении к функции алгебраической, как число иррациональное к числу рациональному.

К этой же области преодоления конечности относятся чрезвычайно интересные, с теоретико–познавательной и онтологической точки зрения, исследоваиия признаков сходимости и расходимости бесконечных рядов, в связи с вопросом о возрастании и убывании функций и теорией определенных интегралов. Тут «идеальные функции» П. дю Буа–Реймона опять могут быть, в известном смысле, приравнены к иррациональностям, но уже не среди чисел и не среди функций, а среди интегралов. Исследоваиия Н. Абеля, Н. В. Бугаева, П. дю Буа–Реймона, Э. Бореля, Ж. Адамара, А. Пуанкарэ и др.[859], несмотря на специальность задач ставимых там и методов там применяемых, имеют величайшее значение для философии, и нужно только удивляться, что до сих пор из них не сделано здесь почти никаких применений[860].

{стр. 515}