Бесконечный, бесконечностьприходится слышать очень часто в обыкновенном разговоре; но стоит только попросить объяснения этих слов, чтобы встретить недоумевающий взгляд. Однако, если в широкой публике — тольконепонимание, то среди людей, занимающихся умственной работой, на этот счет часто бываетизвращенностьв понимании и даже полная путаница. Очень сильные и тонкие умы часто не бывали свободны от неясностей и недоговорок в вопросе o понятиибесконечности. Недостаток места не позволяет, к сожалению, привести ряд поучительных примеров, но читатель из дальнейшего изложения и сам сообразит, на кого тут можно было бы сослаться.

Впрочем, затруднения лишь отчасти и даже в очень незначительной части зависят от отвлеченности вопроса; главная причина тут — в тенденциозности мышления, в нежелании или неумении смотреть на объект наследования прямо. Приступается к изучаемому с уверенностью, что оно уже известно; и мнимое знание, — по слову Г. Кантора, «horror infiniti», царящий в обществе, — дает себя знать.

Главные ошибки, которые делаются сплошь и рядом {стр. 494} в рассуждениях о бесконечном, появляются вследствие пренебрежения основной и совершенно–элементарной дистинкциейактуальной и потенциальной бесконечности. Поэтому, мне придется подробнее, чем хотелось бы, остановиться на этом подразделении. Пока, впрочем, будет дано лишь предварительное определение бесконечности; на нем мы основываться не станем, так как оно не упирается на достаточно простые понятия, хотя само по себе и верно.

Всякийquantum, или, — как предлагает говорить Н. И. Лобачевский, — всякое «коликое», по самому своему определению, может бытьдвояким. Оно может быть данным и неизменно и твердо установленным, вполне определенным, и тогда представит из себя то, что носит названиепостоянногоиликонстанты. Оно может также не быть определенным, может меняться, становясь больше или меньше. В этом последнем случае quantum носит названиепеременного. Так вот, актуальная бесконечность есть частный случай постоянного, а потенциальная — переменного «коликого», и в этом — их глубочайшее принципиальное различие, — если угодно, их существенная противоположность. Разъясним это частнее.

Пусть у нас есть переменное, и пусть оно меняется не каким–нибудь, а определенным способом, — так именно, чтобы оно становилосьбольшевсякого постоянного конечного «коликого» того же рода, илименьше. В каждом состоянии это переменноеконечно; но внашемпонимании совокупность этих состояний отличается от совокупности каких–либо произвольно подобранных состояний. В этом смысле мы говорим, что наш quantum естьпотенциальная бесконечность, потенциальная — в виду того, что он может стать более всякого другого quantum’a. Таким образом, потенциальная бесконечность не обозначает какого–либо quantum’a, в себе взятого, а только особый способ рассмотрения quantum’a, именно, в связи с характером его {стр. 495} специального изменения. Потенциальная бесконечность, по словам Г. Кантора,не есть идея, а — только вспомогательное понятие; оно —ens rationis, по счастливому выражению Штёкля. Одним словом, потенциальная бесконечность есть то́ самое, что древние называли άπειρον, схоластики —syncategorematice infinitum, илиindefinitum, новые философы — дурной или точнее,простой бесконечностью, schlechte Unendlichkeit.

Итак, это, никогда не заканчиваемое, потенциальное, бесконечное естьпеременное конечноеколичество, quantum, возрастающий над всеми границами, или, наоборот, падающий ниже всякой конечной границы. Таковы, например, дифференциалы, охарактеризованные уже Лейбницем, именно за это свойство, какчистые фикции. В виду этого ясно, что говорить о законченной потенциальной бесконечности, — что, по словам Кантора, делал Фонтенелль, — есть contradictio in terminis.

К несчастию, бесчисленное множество, — легион, — авторитетов всех специальностей усвоило себе эту простую истину чересчур крепко и, забыв о словепотенциальная, начало разными голосами заявлять, что «законченная бесконечность есть нечто нелепое». Отсюда вытекает старинный афоризм: «Numerus infinitus repugnat»; отсюда же утверждение Тонджиорджи: «Multitudo actu infinita repugnat» и другие подобные. Этот, — вполне невинный, по–видимому, — пропуск породил не одну грубую ошибку, и на ней, между прочим, держатся и первые «антиномии чистого разума» у Канта. На этом же пропуске, как увидим, основаны так называемые аргументы против законченной бесконечности и многие соображения позитивизма.

Рассмотрим теперь другой род бесконечности, —бесконечность актуальную. С этой целью мы возвращаемся к нашему исходному пункту, к понятию quantum'a, именно, quantum’aпостоянного, и содержание этого понятияконстантыобогатим новым призна{496}ком. Некоторая константа может быть такова, что она стоит в ряду других констант того же рода, т. е. больше одних конечных констант и меньше других. Тогда она и сама будет конечной. Но может случиться, что она не стоит в ряду других постоянных, потому что она большевсякойконечной константы, как бы великой мы ее ни взяли. Тогда мы скажем, что наш quantum есть актуальная бесконечность, бесконечность in actu, actualiter, а не только in potentia.

Так, например, в диалоге «Бруно» Шеллинг[848]блестяще вскрывает, что каждое понятие есть бесконечность, потому что оно объединяет собою множество представлений, которое не является конечным; но так как объем понятия, по существу дела, вполне определен и дан, то эта бесконечность не может быть ничем иным, кроме актуальной бесконечности. Всякое суждение, всякая теорема носят в себе актуальную бесконечность, и в этом — вся сила логического мышления, как указывал еще Сoкpат.

Возьмем примеры более конкретные. Например, обращаясь к пространству, мы можем утверждать, что все точки внутри некоторой замкнутой поверхности образуют множество актуально–бесконечное. В самом деле, каждая из них вполне определена, значит и все — тоже вполне определены; но однако число их превосходит всякое из чисел ряда: 1, 2, 3,… n,… И больше каждого из этих чисел. — В этом же смысле мы можем сказать, что могущество Божие актуально–бесконечно, потому что оно, будучи определенным (— в Боге нет изменения —), в то же время больше всякого конечного могущества.[849]

Очень ярко выражает мысль об актуальной бесконечности автор книги: «О небесной иерархии», книги, приписываемой св. Дионисию Ареопагиту: «и то, по моему мнению, — говорит он, — достойно тщательного размышления, что говорит писание об Ангелах, то есть, что их тысячи тысяч и тьмы тем, умножая на самих себя числа, у {стр. 497} нас самые высшие. Через сие оно ясно показывает, что типы небесных существдля нас неисчислимы; потому что бесчисленно блаженное воинство премирных умов.Оно превосходит малый и недостаточный счет употребляемых нами чисел, и точно определяется одним премирным их разумением»[850].

В здесь рассмотренном понятии актуальной бесконечности не трудно узнать то, что у древних было известно под именем αφωρισμένον, у схоластиков — под именем kategorematice infinitum, у новых философов —положительной, собственнойбесконечности. Как выражается Гёте[851], «это —замкнутая бесконечность, более соответствующая человеку, чем звездное небо», причем последнее, конечно, разумеется именно как некоторая возможность устремляться все далее и далее, никогда не будучи в состоянии произвести синтез и успокоиться на целом.

Тут мы сталкиваемся с новым соображением. Чтобы была возможна потенциальная бесконечность, должно быть возможно беспредельное изменение. Но, ведь, для последнего необходима «область» изменения, которая сама уже не может меняться, т. к. в противном случае пришлось бы потребоватьобластьизменения для области и т. д. Она, однако, не является конечной и, следовательно, должна быть признана актуально–бесконечной. Следовательно,всякая потенциальная бесконечность уже предполагает существование актуальной бесконечности, как своего сверх–конечного предела[852]; всякий бесконечный прогресс уже предполагает существование бесконечной цели прогресса; всякое совершенствование бесконечное требует признания бесконечного совершенства. Отрицающий актуально–бесконечное в каком бы то ни было отношении тем самым отрицает и потенциальную бесконечность в том же отношении, ипозитивизм несет в себе элементы собственного разложения, — так сказать, с позитивизмом происходит само{стр. 498}отравление продуктами его же деятельности.

По раскрытому выше определению актуальной бесконечности можно заключить, что такая бесконечность может быть мыслима в двух модификациях.Во–первых, будучи более всякого конечного quantum’a, она сама может оказаться не имеющей другого quantum’a, тоже бесконечного, который был бы больше её; другими словами, тут она оказываетсянеспособнойбытьменьшечего–либо другого. Это — актуальная бесконечность, неспособная к увеличению,абсолютный максимум; как вообще, так и у Г. Кантора, он называетсяАbsоlutum.Во–вторых, — и этого не замечали говорившие о бесконечности, — из определения актуальной бесконечности вытекает возможность второго её видоизменения. Актуальная бесконечность, именно, может тут иметь над собою дpyгие quanta, большие её самое; тогда она будет способна к увеличению, будетувеличиваемоюактуальною бесконечностью. Чтобы избегнуть раз навсегда путаницы слов и длиннот, Кантор дает ей названиесверх–конечности,Ueberendlichkeit.

От этих формальных соображений перейдем к реальным. С актуальной бесконечностью мы сталкиваемся или, по крайней мере, можем надеяться на столкновение втрехразличных областях. Во–первых, поскольку это актуально–бесконечное реализовано в высшем совершенстве, во вполне независимом, вне–мировом бытии, одним словом —in Deosive natura naturante, при чем последнее выражение Кантор понимает не в смысле пантеизма, а в том первоначальном смысле, который придали ему Фома Аквинский и другие Богословы. Здесь бесконечное является абсолютным максимумом и есть то самое, что ранее было названо Absolutum или абсолютной бесконечностью. Во–вторых, актуально–бесконечное может быть предположеноin concreto, в зависимом мире, в твари, in natura naturata. Тут Кан{стр. 499}тор называет ее Transfinitum. Наконец, в–третьих, актуально–бесконечное может бытьin abstracto, в духе, поскольку он имеет возможность познавать Transfinitum в природе и, до известной степени, Absolutum в Боге. В этом последнем случае бесконечность получает названиесимволов бесконечного. В частности, если дело идет именно о познании Transfinitum, эти символы получают названиетрансфинитных чиселитрансфикитных типов. Два последних вида бесконечности являются бесконечностями увеличиваемыми[853].

{стр. 500}