Стремление исключить из сферы науки всякий разговор о нумерическом тождестве, как и должно было ждать, наиболее ярко выступает там, где научный метод вообще наиболее строг и точен, а именно в современнойматематической логикеили, так называемой,логистике. Тут, в «исчислении классов»,тождество индивидовопределяется вполне строго, и определяется именно каксовместная принадлежность их ко всякому классу, к какому каждый из них вообще только может принадлежать, т. е., другими словами, каквозможность для любой комбинации признаков одного индивида подыскать соответственную ей и равную ей комбинацию признаков другого. Ясное дело, что здесь тождествонумерическоеподменено тождествомспецифическим. Рельефность этой подмены — тем определеннее, что в математической логике строго различаетсяиндивид от единичного или особого класса, ему соответствующего (класс с объемом в «один») и что, в «исчислении отношений», полагается важная аксиома, согласно которой у каждой пары данных индивидов существуетособоеотношение, несуществующее между двумя другими какими–нибудь индивидами т. е. отношение,этойпаре исключительно свойственное. И все же, вот, несмотря {стр. 520} на эти тонкие различения, тождество индивидов целиком разлагается в современной науке на совокупность общихпризнаков, так чтореальныйхарактер индивида, как носителя своих признаков, в отличие от егоформальногохарактера, опять таки только утверждается, но нисколько не выражается. Это–то и доказывает еще лишний раз, что нумерическое тождество может лишьсимволическиполагаться или утверждаться, но не определяется, не формулируется и не выражается логически.

После этих общих замечаний напомним себе вкратце, как указанные определения выражаются в символических знаках логистики.

Как известно, здесь прежде всего бросается в глаза решительное различение отношений «импликации» и «инклюзии», т. е. включения суждения или класса в другое суждение или класс, отоперации подчинения индивида классуили, соответственно, суждению, Ɔ — знак, какимпликации, так иинклюзии; ε — относительнокласса— знак операции установления соответствия (сокращение έστί), и ϶ — знак той же операции относительносуждения. Это различение, закрепленное различием знаков, чрезвычайно важно. Однако, обычная речь смешивает оба вида отношений, — т. е. импликащю с инклюзией и операцию соответствия, — под общим обозначением связки «есть», «суть»; логики их отождествляли долгое время, и только Пеано впервые фиксировал их, да и то благодаря придуманной им символике.

Чтобы сделать более наглядною разницу операции Ɔ и операции соответствия, возьмем, для примера, обычный силлогизм:

major: Всякий человек смертен.

minor: Сократ — человек.

----------------------------------

conclusio: Следовательно, Сократ смертен.

Связка большей посылки тут будет Ɔ, как это и думают обычно, но связка меньшей посылки — вовсе не Ɔ, как это вообще склонно думать чуть ли ни по{стр. 521}головное большинство логиков, но — ϵ. В самом деле, в большей посылке устанавливается отношение классов «человечность» и «смертность», а во втором — уже не отношение классов, а индивида «Сократ» к классу «человечность», к которому «Сократ» принадлежит. Итак бо́льшая посылка есть несомненнаяимпликация, как это и принято говорить, но меньшая посылка уже не импликация, а подчинение индивида классу, и именно первого типа. Значит, формула разбираемого силлогизма будет на самом деле:

aƆb.ᴖ.xϵa:Ɔ:xϵb — (I),

а вовсе не формулою обычного, типического силлогизма, устанавливающая соотношение между классами:

аƆb.ᴖ.сƆа:Ɔ:сƆb — (II)

Едва ли нужно отмечать существенную разницу формул (I) и (II).

Не следует думать, что символы Ɔ и ε, имея весьма разное логическое и онтологическое значение, могли бы быть безнаказанно смешиваемы с точки зренияформальной, в целях счислительной логистической механики, и что эта «тонкость» Пеановского различения понятий не имеет никакого «прагматического» значения для техники счисления. Далеко нет, ибо самые свойства того и другого отношения, т. е. Ɔ и ϵ, существенно различны: отношение Ɔ, как устанавливающее связьоднородныхсущностей или терминов (классов, суждений) —транзитивно, тогда как отношение ϵ, как устанавливающее связь сущностейнеоднородных(класс и индивид) — заведомоинтранзитивно: если аƆb и bƆс, то ясно, что, по формуле

аƆb.ᴖ.bƆс:Ɔ:аƆс — (ΙII),

b аƆс; но из того, что х ϵ у и у ϵ z, — вовсе не следует, что х ϵ z, ибо если х,как индивид, подводится под класс у, а класс у,как индивид, подводится под класс z, то z уже будет в отношении к хклассом{стр. 522}классов, а не просто классом, и следовательно не может считать х в числе своих элементов, в составе своего объема; для z объем состоит из индивидов–классов, и сами они, для z, уже неделимы, нераздробимы, неразложимы.

При невнимании к интранзитивности отношения ϵ, в свою очередь основывающемся на смешении ϵ с Ɔ, нередко строятся софизмы, формальное и ответчивое изобличение которых далеко не всегда легко. Таковы, например, некоторые софизмы в «философской комедии» Платона «Евтидем»[868], ну хотя бы рассуждения вроде следующих: «Золото есть золото и не может быть не золотом; человек есть человек и не может быть не человеком. Следовательно, и твой отец Хередэм, — приблизительно так говорит Сократ Евтидему, — есть отец и не может он быть не–отцом. Значит, он —всемотец, и не только людям, а и лошадям и прочим животным. Точно так же и мать твоя —всехмать, — мать и ежей. Значит ты — брат телятам, и щенятам, и поросятам.

«Затем, у тебя есть пес, а у него — щенятки и, следовательно, пес им — отец. Но пес — твой. А твой он, будучи отцом, так что твой отец — пес, и ты — брат щенятам.

«Далее: ты бьешь своего пса, — значит, — бьешь своего отца и т. д.»

Или, вот еще пример из «Иппия бо́льшего»[869]: «Каждый из нас, двоих собеседников, — один и, следовательно, каждому свойственно быть нечетом. Следовательно, мы оба вместе будем тоже нечетом, когда нас двое. Но, если это — не так, если оба вместе мы — чёт, то и каждый порознь — тоже чёт, и т. п.» рассуждения ведутся здесь по следующей схеме:

Хередэм (индивид) ϵ твой родитель (класс);

твой родитель (индивид) ϵ родитель (класс);

родитель (класс) = рождающее существо (класс);

{стр. 523}

производящие на свет ежей, поросят и т. д. (класс) Ɔ

Ɔ рождающие существа (класс).

Но ясно, что, вследствие интранзитивности операции «ϵ», из данных посылок никак нельзя сделать заключения, что:

Хередэм ϵ производящий на свет ежей и т. д.

Точно также, из того, что Петр (индивид) ϵ апостол (класс апостольства),

апостолыиндивид; исторически известная группа апостолов.ϵ«12»класс всех предметов, коих бывает по двенадцати.

вовсе не следует, что

Петр ϵ «12»,

т. е., что Петр — тоже «двенадцать», а не «один»[870].

Итак, из сказанного делается окончательно несомненным, что даже с чисто–формальной точки зрения индивид принципиально отличен от класса, даже от класса единичного, — вопреки мнению логиков–номиналистов, стремившихся истолковать класс не как единый и в себе замкнутый объем мысли, а как совокупность индивидов, и вопреки же стремлениям логиков–позитивистов, желавших уничтожить самобытную природу индивида и свести его к сумме признаков, т. е. к единичному классу. «Особый» или «единичный» — singuliere — класс должен быть строжайшим образом разграничен от единственного индивида, входящего в его объеме: иначе можно было бы написать для такого класса х формулу:

х ϵ х — (IV)

что, как мы уже видели, — бессмысленно, ибо «ϵ» есть знак отношения междуразнымии дажеразнороднымитерминами, а не одним и тем же. Единичный класс, образованный из единственного элемента «х», {стр 524} принято обозначать поэтому особым знаком, а именно ɩx, читаемыме: «равно х», «egal а х»; тут символ «ɩ» есть сокращение слова ίσος. Равный. Этот символ «ɩ» формально определяется равенством:

ɩх = у϶ (у = ⌐х) — (V),

т. е. «ɩх есть символ такого класса у, который (϶) оправдывает пропозициональную (предложительную) функцию (с переменным у) «у = х». Отсюда, применяя к обеим частям написанного равенства операцию «уϵ», подводящую элемент–индивид «у» равным между собою классам «ɩх» и «у϶ (у=х)», и памятуя, что операции «уϵ» и «у϶» взаимно разрушают друг друга, мы находим:

у ϵ ɩх. =. y = х — (VI),

т. е. равенство двух символов «ϵι» и «=», так что

ϵɩ. =. = — (VII).

Отсюда следует, что, хотя формула (IV) несправедлива, однако

х ϵɩ х — (VIII)

(ибо х = х), т. е. что индивид «х» всегда принадлежит к своему единичному классу «ɩх».

Если, наоборот, «а» есть единичный класс, то его единственный элемент уже нельзя обозначить чрез «а», но должно — особым символам, в состав которого входит обращенный символ «ɿ», — а именно чрез «ɿа», который читается: «оный а», «lе а», «der а», «о а». Вообще, символ «ɩ» преобразует индивид в его единичный класс, и обратно, символ «ɿ» преобразует единичный класс в индивид, так что имеем два равенства.

а = ɩх и х = ɿа — (IX)»

эквивалентных между собою; в знаках:

а = ɩх. =. х = ɿа — (Х)[871].

Все то, что сказано доселе — совершенно справедливо, ибо тут полагается в основу существенное различие единичного класса и индивида. Но индивид здесь вводится одним толькосимволом, —безопределения. Поэто{стр. 525}му, для рационализма тут явный камень преткновения. Его пытаются обойти следующим путем:

Единичный класс определен, как класс образованный одним единственным индивидом. Но что́ же такое число «один»? и что́ такое «индивид»? Математическая логика, «по обычаю математических наук — selon l’habitude des Mathematiques»[872]не определяет индивида, но — лишьтождествоиндивидов. Конечно, дело тут вовсе не в мнимом «обычае математических наук», а — в невозможности определить индивид, как реальность сверх–рассудочную. Попытка же определения тождества индивидов дает возможностьподменитьвопрос о реальном нумерическом тождестве вопросомо признаковом, формальном подобии, т. е. рассуждения, — невозможные!, — над индивидами — рассуждениями над понятиями о них, т. е. надклассами. Эта подмена делается сознательно, и она глубоко знаменательна, особенно после решительного различения индивидов и классов.

Итак, «говорят, что два индивида k и l тождественны, если второй принадлежит ко всякому классу, в котором участвует первый — on dira que les deux individusketlsont identiques, si le second appartient a toute classe dont le premier fait partie»[873]. Символически это определение выражается формулою:

k ≡ l : ≡ : к ϵ а. Ɔа. l ϵ а — (ХI).

Тут «≡» есть знактождества, указатель же «а» при Ɔ означает, что написанная импликация справедлива привсякома, которое удовлетворяеn инклюзии «k ϵ a»[874]. При этом, обращает на себя внимание то обстоятельство, что «тождество индивидов логически отлично от равенства классов, точно также как индивиды k и l отличны от единичных классов ɩk и ɩl»[875].

Как же разуметь эту формулу? — Не более, как определение знака «≡». Формула (XI) говорит, что когда у нас встретится доселе невиданная графическая комбинация черточек и букв, «картинка»

«k ≡ l»,

{стр. 526}

не имеющая, по сему самому, никакого смысла, то, отныне раз на всегда, мы хотим, мы полагаем, мы требуем разуметь под нею не иное что, как сокращенное, условное обозначение уже понятной нам импликации

kϵa.Ɔa.lϵa — (XII)

Или, точнее говоря, совокупности множества импликаций, со всевозможными значениями переменного «а», поле изменения которого определяется функцией «k ϵ а», т. е., — повторяем еще раз, — под «kϵl» мы хотим разу меть сокращенное обозначение выражения

Пa(кϵа Ɔ lϵа) — (XIII)

kϵa

где П есть знак логического умножения всех множителей, полученных для всевозможных значений а. Вот эту–то систему импликаций, говорящуютолькоо соотношении принадлежностей, — ϵ, — индивидов «k» и «l» к классам «а» мы уславливаемся называтьтождеством индивидов. Но что такое индивид, мы все же не знаем логически,понятияиндивида не имеем и, следовательно, толькополагаемтермин его чисто–символически, как знак чего–то (— чего угодно, но только не класса и не суждения и не отношения —), что может находиться в отношении «тождества»; под тождеством же мы разумеем некоторую сложную формулу в отношении этого «что–то» к классам.

Еще раз повторяем, что тут, самым наглядным образом, встает бессилие логической мысли пред конкретным, т. е. индивидуальным бытием, и жалкость (— необходимая жалкость! —) попытки рассудка подменить индивидуальное бытие рассудочно–образными, — но не рассудочными!, — терминами.—

Далее, как сказано, остается открытым и вопрос об определенииединичности класса. Как, в самом деле, определить, в рассудочных терминах, что класс ɩа единичен, т. е. что он содержитодинтолько элемент, — что есть толькоодноа? — Это до{стр. 527}стигается чрез указаниедвухпризнаков класса ɩа: во–первых, что в нем вообщеимеютсяэлементы, т. е. что он — классне нулевой; во–вторых, что если бы таких элементов было два, а именно х и у, то они были бы тождественны между собою. Что класс ɩа — не нулевой, это выражается отрицательною формулою:

а ⌐= Ʌ — (XIV),

т. е.

а «не есть» (⌐=) — Ʌ, —(XIV')

где Ʌ — знакнулевогокласса, или еще, в более удобной, положительной форме:

Ǝa — (XV),

т. е.

«существуют а»[876],

так что

а ⌐= Ʌ. =. Ǝа — (XVI).

Итак, единичность класса ɩа выразится посредством формул:

а ⌐= Ʌ:хϵа.уϵа.Ɔх, у. х ≡ у (XVII),

Или

Ǝа. хϵа.уϵа.Ɔх,у. х ≡ у (XVIII)[877],

т. е., при каких угодно х и у, принадлежащих к классу ɩа, написанная импликация остается истинною.

Едва ли нужно указывать, что все сказанное по поводу логического определения тождества, относится и к этому определению единичности, ибо единичность есть лишь частный случай тождества, а именно тождество с собою, самотождество.

Обращаясь, наконец, к логикеотношений— re1аtions, — мы тут естественно должны решить вопрос оботношениимежду индивидами. В этом отделе математической логики принимается за аксиому, что всегда существует отношение между индивидами, само индивидуальное, само представляющееся своеобразным индивидом. «Между двумя данными индивидами, — гласит аксиома, — существуешьособое— singuliere — отношение, которое не существует между любыми двумя другими индивидами». Одна{стр. 528}ко, и это, особое, отношение объясняется, — что и следовало ждать, — в смысле формальном, а не в смысле реальном. Это делается явным из разъяснений, которые следуют за этой аксиомой. «С точки зренияобъема— ехtension, — гласят они, — эта аксиома очевидна, ибо рассматриваемой пары достаточно, чтобы определить отношение, отличное от всех прочих. С точки же зрениясодержанияможно сказать, что если рассматривают совокупность — l'ensemble — всех отношений, которые существу ют между двумя данными индивидами то той же самой совокупности не существует между какою–либо другою парою индивидов; иначе говоря, если некоторая пара имеетвсеотношения другой пары, то эти две пары тождественны, — что пишется так:

х1Ry1. ƆR. x2Ry2:Ɔ: х1≡х2y1≡у2— (XIX)[878].

Тут знак ƆRпоказывает, чтокомпликациялевой части справедлива привсякомотношении R, которое. может связывать х1и y1.

Итак, индивидуальное, т. е. конкретное, отношение опять таки разлагается на ряд общих, т. е. абстрактных, —всехабстрактных отношений, входящих в состав данного конкретного. Но, и помимо онтологической бессмысленности такого приравнивания конкретного сумме абстрактностей, возникает вопрос о законности такого определения даже в области чисто–формальной. Оно, ведь, всецело опирается на понятие «всех» отношений между данною парою элементов. Не говоря о том, что самое понятие «все» не определено еще в математической логике, в особенности же когда оно относится к группе сверх–конечной, — под сомнением находится, может ли, вообще, быть определенное понятие о группевсехотношений не между классами, амежду индивидами. Но это–то и требует доказательства, ибо вовсе не ясно (— да и едва ли допустимо вообще —), что трансфинитная группа абстракций может исчерпывать конкретность. Если конкретность и может быть рассматриваема под формальнорассудочным углом зрения, то она, несомненно, может {стр. 529} быть введена в формальные спекуляции не иначе, как под видомпpедела, т. е. какабсолютный максимум. Но понятие такового еще не разработано, — если не считать совершенно неизвестной попытки архим. Серапиона, — а кроме того неясно, вообще может ли применительно к индивидам быть таковое. Ведь конкретные особи владеюттворчеством, способны созидать абсолютные, непредвиденные отношения, не вошедшие в состав сколь угодно объемистой группы из отношений уже готовых, — одним словом превышают всякое заранее составленное о них понятие: по выражению А. Бергсона, «la vie deborde l’intelligence — жизнь выступает из берегов рассудка», и так бываетвсегда.

{стр. 530}