I

С началом текущего века научное миропонимание претерпело сдвиг, равного которому не найти, кажется, на всем протяжении человеческой мысли; даже скачок от Средневековья к Возрождению теряет в своей значительности, будучи сопоставлен с мыслительной стремниной нашего времени. Слово революция кажется слабым, чтобы охарактеризовать это событие культуры: мы не знаем, еще не знаем, как назвать его. Увлекаемые вырвавшимся вихрем, мы не имеем и способов достаточно оценить скорость происходящего процесса, как не выработали еще в себе категорий сознания, которыми можно было бы выразить общий смысл совершающегося. Сознательно вглядывавшиеся в научную мысль как целостный процесс культуры, конечно, и ранее, с последней четверти ХІХ–го века, предвидели надвигающийся переворот сознания: имени Николая Васильевича Бугаева[1971] (1837 г., † 1903 г.) принадлежит тут едва ли не первое место, во всяком случае одно из первых. Но ни он, ни кто‑либо другой не могли предусмотреть даже приблизительно ширину и глубину духовного предчувствуемого и подготовляемого ими взрыва. Впрочем, и мы, младшее поколение, скорее чувствуем внутреннюю связность отдельных потрясений и откровений в различных областях знания, нежели можем ответчиво объединить их в одно целое. Только некоторые из характерных признаков сдвига уже установились в нашем понимании. Среди таковых отметим здесь два характернейшие, к тому же нужные нам в этой работе. Эти два признака суть прерывность и форма.

Миропонимание прошлых веков, от Возрождения и до наших дней, вело во всех своих концепциях две линии, по духовной своей значительности весьма родственных между собою. Первая из них есть принцип непрерывности (lex continuitatis)[1972] \ а вторая — изгнание понятия формы. Non posse transire ab uni extremo ad alterum extremum sine medio — невозможно от одного крайнего перейти к другому без промежуточного — таков принцип непрерывности. Нет раскрывающегося в явлении общего его плана, объединяющего собою его части и отдельные элементы, — таков смысл отрицания формы. Родственность и взаимная связность обоих возрожден- ских стремлений понятна: если явление изменяется непрерывно, то это значит — у него нет внутренней меры, схемы его, как целого, в силу соотношения и взаимной связи его частей и элементов полагающей границы его изменениям. Иначе говоря, непрерывность изменений имеет предпосылкою отсутствие формы: такое явление, не будучи стягиваемо в единую сущность изнутри, не выделено из окружающей среды, а потому и способно неопределенно, без меры, растекаться в этой среде и принимать всевозможные промежуточные значения. Эволюционизм, как учение о непрерывности, существенно подразумевает и отрицание формы, а следовательно — индивидуальности явлений; и эта взаимосвязанность обеих склонностей мысли равно относится ко всем видам эволюционного учения, будь то идеология, психология, биология, социология или политика.

ХІХ–й век, век эволюционизма по преимуществу, потому‑то и формулировал окончательно этот, эволюционный, строй мысли, которым дышала вся возрожденская культура, что сам был заключительным: эволюционизм, как известно проникший во все области культуры, был суммирующим панегириком над свежею могилою Возрождения. А скромные на вид, но угрожающие по смыслу ростки нового мировоззрения уже подымались из этой могилы. Попросту говоря, в отраслях знания самых разных неожиданно обнаруживаются к началу ХХ–го века явления, обладающие заведомо прерывным характером; а с другой стороны, добросовестному работнику мысли с несомненностью приходится тут удостоверить, опять‑таки в разных областях знания, наличие формы.

Достойно внимания, что в одних случаях формально- математическое исследование понятий предварило опытное их применение; в других же, напротив, именно конкретный материал дал повод к разработке соответственных орудий мысли. Так, теория функций действительного переменного тонко разработала превосходный подбор понятий и терминов, еще и ныне далеко не использованный, и тем, кто недостаточно вдумывается в историю мысли, с ее неравенствами и несоответствиями роста, — тем могущей казаться праздными хитросплетениями; но можно быть уверенным, что в свое время, вовсе недалекое, и эти тонкости окажутся не тонкостями, а различениями совершенно необходимыми даже в практической жизни. Да и сейчас, не имеем ли мы в метеорологических кривых, в траекториях броуновских движений, может быть — в некоторых случаях волновых колебаний, затем в поверхностях, ограничивающих коллоидальные зерна некоторых эмульсий, в поверхностях некоторых кристаллов и т. д., и т. д., — не имеем ли мы здесь непрерывных кривых линий и поверхностей без касательных, т. е. непрерывных функций без производной?

С другой стороны, явления жизни, душевные процессы, произведения творчества и прочее заставили признать формообразующее начало, а далее оказалось, что и физика не может отстранить от себя понятия о целом; даже механика, злейший враг этого понятия, оказалась опирающейся на него, коль скоро заговорила о движениях с наследственностью, об устойчивости динамических систем и т. п. Электрические и магнитные силовые поля, гистерезис[1973] *, даже явления механической упругости и т. д. нуждаются в принципиально новых методах, систематически применяющих понятие о целом, — «которое прежде своих частей»[1974] * — и которым, следовательно, определяется сложение его элементов. А это есть форма. И методы такого рода были вызваны самою практикой жизни, потребностями не только философскими, но и техническими. Теория интегральных и ин- тегродифференциальных уравнений, функции линий, поверхностей и многомерных гипер–образований, ли- ниевые, поверхностные и прочие тому подобные уравнения, функциональное исчисление, топология и прочие тому подобные дисциплины — это все методы будущего, существенно становящиеся именно на тех основах, которые принципиально отрицались наукой еще недавнего прошлого.

II

Где обнаруживается прерывность, там мы ищем целого; а где есть целое — там действует форма и, следовательно, есть индивидуальная отграниченность действительности от окружающей среды. Иначе говоря, там действительность имеет дискретный характер, есть некоторая монада, т. е. в себе замкнутая (конечно, относительно) неделимая единица[1975] *. Значит, там возможен и счет.

И наоборот: без формы нет прерывности, нет, следовательно, образов обособления, значит, нет расчлененности, а потому невозможен и счет.

Эта индивидуальная расчлененность мира, его счет- ность занимает все более места в рождающемся ныне миропонимании. Не скажем «только счетность» и не станем здесь углубляться в более точное пояснение этого слова; но что бы мы ни думали о проблеме континуума, ближайшее содержание сказанного бесспорно. Молекулы, атомы, ионы, электроны, магнетоны, эфирные корпускулы (например, в зернистом эфире Осборна Рейнольда), эфирные шприцы лорда Клиффорда, кванты энергии, спектральные излучения, силовые линии электрического и магнитного полей, состоящих из отдельных волокон, по Дж. Дж. Томсону[1976] кристаллы, растительные, животные и человеческие особи, клетки, ядра, хромосомы и т. д. и т. д. — все это имеет атомистический или монадный характер, следовательно, подлежит счету. Даже время и пространство признаются конечно- зернистыми, атомистическими (Серапион Машкин, Pec- сель, отчасти Больцманн и Клиффорд): современная мысль возвращается к кшанам, моментам, чертам, мгновениям и т. п. древней и средневековой философии[1977] *

Всякая определенность численных отношений, установленная опытом, побуждает искать некоторые естественные единицы, не подлежащие непрерывности изменений и делений. «Всякий раз, как рациональное число действительно связано с каким‑либо явлением, это необходимо является заслуживающим внимания обстоятельством в нем и указывает на нечто вполне определенное и могущее быть выяснено. Всякая прерывность, которая может быть открыта и сосчитана, есть расширение нашего знания. Оно не только обозначает открытие естественных единиц и прекращает нашу зависимость от искусственных, но проливает свет также и на природу самых явлений» (Оливер Дж. Лодж)[1978] *

Совершенно незаметно для себя наука возвращается к пифагорейскому представлению о выразимости всего целым числом и, следовательно, — о существенной характерности для всего — свойственного ему числа. «Все есть число» — от этого древнего изречения недалеко современное миропонимание, и пророчески звучат стихи математика Якоби:

То, что ты в Космосе видишь, есть только

божественный отблеск, А над богами царит сущее вечно Число[1979] *

Однако и пифагореизм возрождается хотя и непредвиденно, но не без подготовки: арифметизация всей математики, в каковом направлении шла работа весь XIX- ый век, вырыла идейные русла, конкретное значение которых начинает выясняться только в наше время.

Современная научная мысль обнаруживает потребность в хорошо выработанном механизме числовых функций и вообще числовых изучений — в том, что называют арифмологиеӓ[1980] * Можно предвидеть, недостаточная развитость арифмологических дисциплин будет камнем преткновения новой натур–философии и потребует в скором времени концентрации математических сил именно в этом направлении.

III

Между тем, сравнительно малая успешность арифмологических изысканий объясняется не только отсутствием жизненного и, в частности, практического спроса на таковые, но и неясностью в сознании основного понятия — о числе, даже ложностью его. 'Αριθμός число‚ это, согласно М. Бреалю[1981], — то же слово, что άρθμός — сочленение, член, сустав, и означает, следовательно, упорядоченную связь, расчлененное единство. Вот этот‑то характер единства, живо чувствовавшийся пифагорейцами, основательно позабыт поколениями, нам непосредственно предшествовавшими. Обычное определение числа, как «суммы единиц», уничтожает число в качестве индивидуальной формы и тем самым разрушает его, как universale. Правда, это понимание числа опирается на Ньютона и, далее, на Евклида, сказавшего, что «число есть множество, составленное из единиц — αριθμός δέ τό έκ μοναδως συν- κειμένον πλήθος (Евклңц — Начала, книгаУІІ)[1982] *Но, по словам Ямвлиха, уже Фалес определил число как «систему единиц»; а Евдокс в IV веке до P. X. говорил, что «число есть заключенное в границы, т. е. оформленное, множество — «άριθμός έστι πλήθος ώρισμένον[1983]. На органически простом характере числа настаивает также Никомах. Дальнейшая мысль все время колеблется между пониманием числа, как суммы, совокупности, вообще некоторого внешнего накопления, и — как некоторого единства не количественно, а качественно отличающегося от прочих подобных единств. Иначе сказать, это есть колебание между числом как агрегатом и числом, как формою.

Достойно внимания, что даже такие глубокие мыслители, как Лейбниц, путались между этими двумя мысленными подходами к понятию числа. Так, в 1666 г. в предисловии к «Dissertatio de arte combinataria», Лейбниц весьма настаивает на целостности числа, как абстракта от объекта, мыслимого единым интеллектуальным актом: коль скоро этот акт един, единым будет и число, хотя бы содержанием единого акта были бы «лета Мафусаила»; «abstractum autem ab uno est unitas, ipsumque totum abstractum ex unitatibus, seu totalitas, dicitur numerus — абстракт же от единого — есть единство, сам же целостный абстракт от единиц, или целокупность, называется числом»[1984] * Кажется, яснее быть не может! Но через три года, в письме к Томазию, тот же философ объявляет, что «определение числа есть: один да один, да один и т. д., или единицы» — полнее уничтожение всего предыдущего[1985] *

Этого рода сбивчивость так обычна, что нет надобности пояснять ее дальнейшими примерами. Но по существу, понятие о числе, упускающее из виду его индивидуальную форму, в силу которой оно есть некоторое в себя замкнутое единство, безусловно ложно и коренным образом извращает природу числа. Тут число хотят образовать последовательным накоплением единиц, или, в порядковой теории Кронеккера и Гельмгольца, последовательными переходами по ступеням основного ряда числовых символов; тогда неизбежно возникает вопрос: сколько же именно раз должно последовательно прибавиться по единице или — сколько именно раз нужно переходить в основном ряду со ступени на ступень. Пока на вопрос «сколько раз?» ответа не дано, мы не имеем права считать понятие о числе установленным, ибо до тех пор одно число ничем не отличено от другого, и все они безразлично — суть символы накопления единиц или же символы перехода по ступеням вдоль ряда, но ни в коем случае не числовые индивидуумы. Без индивидуальности их ряда не построить, а между тем не ряд образует числа, а числа — ряд. Когда же ответ на вопрос «сколько раз?» дан, то тогда уже нечего производить последовательное сложение или последовательное восхождение: своим ответом мы обнаружили уже, что имеем понятие данного числа и, следовательно, строить его нет надобности[1986] *

Число есть, следовательно, некоторый прототип, идеальная схема, первичная категория мышления и бытия. Оно есть некоторый умный первоорганизм, качественно отличный от других таких же организмов — чисел. И не без основания Платон почти отождествил свои идеи с пифагорейскими числами, а неоплатоники слили те и другие с богами:

То, что ты в Космосе видишь, есть только

божественный отблеск,

А над богами царит сущее вечно Число[1987] *

Светом правильного понимания числа обязана новая наука Георгу Кантору[1988] * Он рассматривает «целые числа» и порядковые типы как универсалии, которые относятся ко множествам и получаются из них, когда делается абстракция от состава элементов. Каждое множество вполне отличных друг от друга вещей можно рассматривать, как некоторую единую вещь для себя, в которой рассматриваемые вещи представляют составные части или конститутивные элементы. Если делают абстракцию как от состава элементов, так и от порядка, в котором они даны, то мы получаем количественное число‚ или мощность множества; здесь мы имеем общее понятие, в котором элементы, как так называемые единицы (Einsen), срастаются известным образом в такое органическое, единое целое, что ни один из них не представляет какого‑нибудь иерархического преимущества перед другими элементами. Если вышеуказанный акт абстракции совершается над некоторым данным, упорядоченным в одном или нескольких отношениях (измерениях) множеством, — лишь в отношении состава элементов, так что их взаимный порядок сохраняется и в том общем понятии, которое образует таким образом некоторое единое органическое целое, состоящее из различных единиц, сохраняющих между собой — в одном или нескольких отношениях — определенный взаимный порядок, то мы получаем благодаря этому такое universale, которое я называю вообще типом порядка‚ или идеальным числом‚ а в частном случае вполне упорядоченных множеств — «порядковым числомТаким образом, «количественные числа, как и типы порядка, представляют простые абстрактные образования; каждое из них есть истинное единство (μονάς), потому что в нем воедино связано множество и многообразие единиц (Einsen). Если нам дано множество М, то элементы его следует представлять себе раздельными. В умственном же отображении его, которое я называю его типом порядка, единицы соединены в один организм. В известном смысле можно рассматривать каждый тип порядка, как некоторый compositium[1989] * из материи и формы. Заключающиеся в нем абстрактно отличные единицы дают материю, между тем как существующий между ними порядок соответствует форме».

Евклид «рассматривает единицы в числе столь же раздельными, как и элементы в том дискретном множестве, к которому он его относит. По крайней мере в евк- лидовском определении не хватает прямого указания на единый характер числа, между тем как это безусловно существенно для него». «Мы должны поэтому представлять себе под л–кратным типом порядка идеальный образец (paradigma) я–кратно упорядоченного множества, как бы /2–мерное целое действительное число, т. е. некоторое логически, органически–единое соединение единиц, упорядоченных в η различных и независимых друг от друга отношениях, которые здесь нужно называть направлением»[1990] *.

Если бы теория кратко–протяженных типов порядка была достаточно разработана, то одним числом выражалось бы сложнейшее строение объектов природы, и познанию действительности, как царству форм, было бы выковано могущественное орудие. Но однако, не этот круг вопросов служит сейчас предметом нашего внимания.

IV

Тип порядка и мощность множества логически различны; но не следует думать, будто этим логическим различием можно пренебречь хотя бы в практическом пользовании; так обстояло бы лишь при взаимооднозначном соответствии мощности и типов порядка. Но этого соответствия нет, и данная мощность принадлежит не одному, а многим типам порядка.

В соотношении типов кратных это очевидно; бесспорно это также и в отношении типов простых, но трансфинитных; даже типы множеств благоустроенных, — порядковые числа, — от их мощностей, — чисел количественных, — должны быть различаемы вовсе не только в порядке отвлеченно–логическом. Дело в том, что лишь в отдельных случаях парными перестановками элементов два множества различного строения, но одинаковой мощности могут быть сделаны подобными друг другу, т. е. приведены в конформное соответствие; следовательно, вообще говоря, они не подводятся под порядковое число.

Таковы множества трансфинитные. Им резко противополагаются множества конечные, относительно которых различение порядковых и количественных чисел признается имеющим значимость только принципиально логическую: каждому количественному числу соответствует, согласно общему убеждению, одно, и только одно, порядковое.

Это убеждение предполагает всегдашнюю возможность перевести всякое конечное множество последовательными парными транспозициями из одного порядка во всякий другой. Если у трансфинитных множеств данное строение может быть трансцендентным процессу парных перестановок, то в отношении конечных множеств такая возможность загодя исключается, хотя никогда и никем такое исключение не было обосновано, однозначность соответствия количественных и порядковых чисел в области конечной, впрочем, не только не доказана, но и существенно недоказуема, как всякая вера в природу будущего или вообще не дошедшего до сознания опыта над действительностью. Ведь дело здесь идет не о связи между собою понятий, уже установленных, а о свойствах действительности, a priori неустановимых: множество есть конкретное содержание различных отвлекаемых от него универсалий, точка приложения умственных операций, и потому мы не можем заранее из всякого возможного будущего опыта исключить свойства, логическая немыслимость которых отнюдь не доказана.

В нашем случае, логически нет оснований утверждать, будто всякое строение конечного множества может быть преобразовано во всякое другое парными перестановками элементов. Натур–философски же естественно думать о формах конечных множеств, как о неприводимых друг к другу, качественно различных между собою, хотя бы они и подводились под одно и то же количественное число.

Может быть, с этой точки зрения следовало бы пересмотреть вопросы молекулярной, атомной и, вероятно, электронной дисимметрии, т. е. в плоскости числа, а не пространства; биология, в частности вопросы наследственности, где существенным признается число хромосом, теория мутаций и т. д., в будущем признает необходимостью воспользоваться обсуждаемым кругом понятий.

Но как бы то ни было, а естествоиспытателю никак не может представляться самоочевидным, будто два конечные множества одной мощности тем самым и подобны между собой. Счет есть последовательная установка соответствия между единичными элементами множества и последовательными числами натурального ряда. Следовательно, в результате счета получается число порядковое, но отнюдь не количественное. Но ни из чего не видно, что, сосчитывая два равные по количеству множества, мы непременно получим в обоих случаях одно и то же порядковое (не количественное — повторим) число; о возможности же всегда, при равных мощностях, получать один и тот же кратный тип порядка — говорить тем более не приходится.

V

Между тем, с различением типов и мощностей, и в частности — порядковых и количественных чисел, мы вынуждены считаться, как только теоретические калькуляции алгебры или теории чисел мы соотносим со счетом в действительности: повидимому, редко задумываются, что результат алгоритмических калькуляций может быть переотносим на множества, как предмет счета, лишь синтетическим суждением, и возможность такого переноса вовсе не подразумевается сама собою. В алгебре и в теории чисел в большинстве случаев мы производим действия над числами количественными и потому не имеющими типа, лишенными строения, а следовательно — и неизобразимыми. Это — вообще числа. Покуда они остаются «вообще», изображать их в частности — нет нужды; но за то они и неприменимы ни к какому конкретному множеству. Да мы и не знаем, как можно перейти от этих чисел «вообще» к числам «в частности», оставляя при этом числа безструктурными.

А между тем, мы не обладаем непосредственной интуицией мощности и, следовательно, не способны обозначить и назвать мощность (количественное число), как таковую. Чтобы быть узнано, познано, названо и обозначено, число должно быть расчленено; а без расчленения есть не более как хаотическое множество, неопределенность. Но это расчленение, по следам естественного расчленения множества (как объект природы, множество непременно имеет свою форму, значит — и соответственное членение), утверждает порядок множества. А потому, отвлеченная схема такого множества, по самому приему образования ее, обязательно есть тип порядка, идеальное число, в частности — число порядковое, но никак не количественное. Считая, — мы никогда не получим количественного числа — непременно порядковое или тип порядка. Всякая система счисления расчленяет множество, на том или другом основании, причем возможны и даже отчасти применяются системы счисления с основанием переменным (таковы все системы мер, разве что за исключением метрической).

В алгебре и в теории чисел вопроса об изображении числа по системе того или другого основания просто не существует, и лишь по старой памяти где‑то мимоходом делается заметка о системах счисления. Но это так потому, что в названных дисциплинах обсуждаются числа количественные, и применимость найденного к действительным множествам никогда не становится предметом внимания. Но теоретико–познавательно и психологически невозможен числовой ряд без системы счисления. Счет в его отношении к действительному множеству подразумевает числовой ряд, а в числовом ряде — и принцип его установки — систему счисления.

Сосчитать — значит изобразить число: множество не изображенное — в числовом смысле и не познано, не сосчитано. Изображенность числа не есть, следовательно, только психологический костыль арифметики, без которого она обошлась бы, хотя и менее удобно, — не есть внешняя одежда арифметического понятия, одеваемая на число ради удобства и благопристойности, но существенно входит в самый акт числового познания: она необходима.

Мы привыкли к мысли об изобразимости одного и того же числа (т. е. количественного) по разным системам. Слишком привыкли, считаем выбор системы почти безразличным. Может быть, в каких‑либо отношениях она и в самом деле не имеет решающего значения, но тем не менее не должно быть забываемо, что конкретный счет имеет дело с числами порядковыми, а два числа, хотя бы и одной мощности, но изображенные в разных системах, отличаются друг от друга своим членением — имеют разную форму и далеко не отожде- ствимы между собой. Раз дело идет о порядковых числах, то написание их по разным системам — дает не одно и то же число.

Указывались неоднократно преимущества той или другой системы для счета тех или иных множеств; так, исторически известны системы с основаниями: 60 — у вавилонян, 20 — у ацтеков и кельтов, 6 и 12 — у различных народов, и т. д. Предлагались также фактори- альная нумерация, нумерация двоичная, четверичная, восьмиричная, двенадцатиричная и т. д.

Но по–видимому, еще никем не подчеркнута для системы счисления возможность:

либо следовать естественному расчленению сосчитываемых множеств данного ряда,

либо, напротив, насильственно перестраивать множества, уничтожая их собственное строение и вводя иное, им чуждое.

Соответственно избранная система счисления, — может быть, с переменным по тому или другому закону основанием, — позволяет самыми числами выразить внутренний ритм и строй обсуждаемого явления; напротив, затемненность структуры изучаемого — во многих случаях должна быть вменена в вину непродуманно применяемой системе счисления.

Так, многие вопросы теории функций легко разрешаются при пользовании двоичной системой, равно как и вопросы символической логики, например у Буля[1991] *; системы с основанием 2^п указывались как естественно наиболее пригодные в теоретико–музыкальных исследованиях, а с основанием 60 — в работах астрономических; седьмиричная система была бы пригодна во многих случаях календарного и историко–хронологического подсчета ит. д.

Если бы счет действительности производился правильно, т. е. без искажения структуры считаемого, а значит — по свойственной данному явлению системе счисления, то тогда числом действительно выражалась бы суть явления, — прямо по Пифагору. Отсюда понятна глубочайшая необходимость изучать числа, — конкретные, изображенные числа, — как индивидуальности, как первоорганизмы, схемы и первообразы всего устроенного и организованного. Эта задача расширяется также и на числа трансфинитные, на трансфинитные типы порядка, где самое основание системы счисления может быть трансфинитно; но острота вопроса — именно в этой изображенности числа, в его познавательной во- площенности, хотя бы оно и было сверх — конечным.

VI

Число изображенное, т. е. единственно возможное при счете число, почти не сделано темой исследования. Это звучит странно, но это так. Правда, в элементарноматематических журналах и развлекательно–математических книгах предлагаются и решаются задачки такого содержания. Но кажется, за ними никогда не было признаваемо значение большего, нежели — интеллектуальных игрушек. Решаются же эти задачи не методически, случайными уловками из других дисциплин.

Изображенное число не стало до сих пор предметом своей науки; первые же всходы таковой зачахли уже в древней Греции. Даже такая первоначальная потребность, как преобразование числа из системы в систему, не может быть удовлетворена непосредственно, путем подставки данного числа в некую формулу. Между тем, такое преобразование, помимо своего высокого теоретического интереса, было бы весьма полезно и практически, коль скоро мысль о надлежащем, сообразном случаю исследовании, выборе системы счисления утвердится в науке. Кстати сказать, ввиду этой именно потребности автором настоящей работы намечена схема счетного механизма, преобразователя чисел из системы одного основания — в систему другого; не составило бы затруднения придумать подобные механизмы, преображающие числа в системы оснований переменных.

Другой существенный вопрос, — о числовых инвариантах и прочих инвариантных образованиях, — кажется, даже не ставился. Переписывая число по новой системе, мы получаем собственно новое число: число, как таковое, не инвариантно в процессе преобразования системы счисления. Но однако, мы непосредственно чувствуем, что и новое — оно сохраняет какую‑то связь со старым; другими словами, мы не можем не думать о пребывании чего‑то в числе, когда основание системы подвергается группе преобразований. Возможно и необходимо поэтому задать себе вопрос:

что именно пребывает инвариантным у такой‑то совокупности чисел при преобразованиях основания таких‑то и таких‑то, включая сюда и введение оснований переменных.

С другой стороны, возникает и вопрос о том, у какой совокупности чисел или в отношении каких преобразований пребывают инвариантными заданные свойства. А далее, требуют ответа вопросы: о некотором закономерном изменении тех или иных свойств при тех или других преобразованиях основания и обратно;

о тех преобразованиях, или тех совокупностях чисел, при которых заданная закономерность изменения осуществится.

Наконец, аналогичные вопросы должны быть поставлены относительно:

тех или иных соотношений меҗцу собою пар или некоторых более сложных комбинаций чисел, ибо и эти соотношения могут быть инвариантными или изменяемыми закономерно при тех или иных преобразованиях и у той или иной совокупности чисел.

Этот круг вопросов, несколько напоминающих теорию алгебраических форм[1992] *, еще даже не ставился, хотя нетрудно предвидеть существенную необходимость этих и подобных вопросов в наступающем миропонимании, где числовая прерывность формы выступает характернейшею категориею мысли.

VII

В только что изложенном слегка намечены темы предлежащих изысканий, которых не обойти будущей науке и без которых не обойтись ей, уже пережившей глубочайший переворот. Но конечно, не эти большие задачи составляют предмет издаваемых набросков, хотя и они обращены к будущему. Их задача — сделать один из первых шагов к изучению числа, как формы, — указать хотя бы какие‑нибудь приемы, улавливающие внутренний ритм числа, его пифагорейскую музыку.

Электронное строение атома Бора и Резерфорда, конфигарции плавающих магнитов в опьггах А. М. Майе- ра, Р. В. Вуда, Деларива и Гюйи, в связи с явлением Бархгаузена, связь мутаций с числом хромосом — своего рода полимеризация вида — в исследованиях Моргана[1993] * и т. д. и т. д., все подобные вопросы перекликаются с результатами настоящей арифмологической работы, хотя сейчас и преждевременно устанавливать имеющиеся здесь соотношения более точно.

Два основных арифмологических алгоритма, разработанные здесь, — приведение чисел и повышение их, по- видимому, достаточно просты и чреваты последствиями, чтобы дать надежду на дальнейшие их успехи. Во всяком случае, будучи общими приемами исследования, они не идут мимо индивидуальности числа; и следовательно, в обсуждении числа, как формы, должны занять какое- то свое место. Кроме того, эти алгоритмы могут быть полезны и технике: например, в теории зубчатых механизмов вроде часов, астрономических и числительных приборов и других механизмов, передающих и преобразующих не большие количества энергии, а некоторые смысловые соотношения, знаки, сигналы.

Историки мысли не упустят, вероятно, отметить себе, что в числовой символике, широко распространенной в древних культурах и оттуда просочившейся в мышление нового времени, поскольку мышление это не подвергалось рационалистической обработке, — что в символике оба разрабатываемые алгоритма уже были применяемы, хотя и догматически. Историкам мысли настоящая работа может быть, следовательно, полезна, как обоснование и математическая установка действий над числами, издавна применявшихся, но так, что было не видно, в чем математический смысл их и есть ли он.

Впрочем, неправильно спрашивать пользы с только что родившегося младенца: «Дайте ему вырасти, — скажем словами В. Франклина и М. Фарадея, — дайте ему вырасти и тогда спрашивайте с него пользы»[1994] *.

1922. Х.28–29.