§ 75. |Суждение и определение].

В предыдущем мы рассмотрели число как перво–прин–цип (отграничивши его от всего, что не есть число), число как принцип, или как понятие (раскрывши его диалектическую структуру), и число как суждение (установивши все основоположения, вытекающие из его структуры как категориальной). Из общей логики, да также из элементарного рассуждения мы знаем, однако, что суждение — отнюдь не последняя логическая форма, что дальше, в порядке усложнения, следует т. н. умозаключение, а после этого умозаключения еще по крайней мере одна структура, это доказательство — индуктивное, дедуктивное и синтетическое. Так как мы преследуем цели логической системы, то невозможно обойти молчанием число как умозаключение и число [как] доказательство.

[1 ]. Здесь, однако, полезно вспомнить первые общедиалектические категории, которые являлись и еще много раз будут являться для нас руководящей нитью для нашей системы. Именно, припомним, что бытие, истекающее из перво–бытия и противостоящее инобытию, синтезируется с ним в становление, а становление, противополагаясь и синтезируясь со своим собственным инобытием, порождает ставшее или наличное бытие, факт и в дальнейшем — выражение, энергийно–смысловое выражение. Эта элементарная диалектическая структура должна быть проведена и в отношении всего понятия числа еще до перехода к конкретно–математическим наукам. До сих пор, как сказано, мы разбирали только три первых момента этой структуры— перво–принцип, понятие, и суждение. Что же такое тут будет умозаключение, если его понимать как переход от смыслового становления к смысловому ставшему? Здесь нужны, однако, предварительные разъяснения и условия.

Чем, в сущности, занималась аксиоматика и что такое аксиома? До сих пор мы попросту говорили, что числу, как суждению, соответствует аксиома. Сейчас же этот вопрос необходимо расчленить, так как иначе не будет понятен переход к умозаключению.

Именно, суждение есть, как мы знаем, положенное понятие. Положить, или утвердить, — это значит обвести границей, определить. Строго говоря, в том, что мы до сих пор называли суждением, самым важным был именно этот момент определения. Аксиома, строго говоря, и есть не столько суждение вообще, сколько именно определение. Ведь бытие и инобытие, синтезируясь в становление, дают еще более ранний синтез, т. е. предшествующий становлению и являющийся его предусловием, это сама граница, определенность, определенное бытие. Мы знаем, что тот и другой синтез могут выдвигаться по мере надобности. Так вот, говоря о суждении, дедуцируя аксиоматику, мы еще не имели нужды в том расчленении и могли говорить о суждении, не обращая особенного внимания на то, есть ли это действительно суждение вообще или это специально определение.

Суждение отличается от определения так, как становление отличается от определенного бытия. В определении суждение есть положенное понятие плюс его исчерпывающее раскрытие; т. е. иоложенность не вообще понятия, но понятия во всем его смысловом содержании. Определить что–нибудь — это и значит исчерпать все его «признаки». Для суждения же этого вовсе не требуется. Суждение дает только голую положенность понятия — независимо от раскрытия и исчерпания всего его содержания. Содержание остается нераскрытым; содержание мыслится — каким угодно становящимся, и акт нолагания нонятия[108] скользит но этому полю инобытия — как угодно далеко. Если говорится: «Иван спит», то ведь таких предицирова–ний может быть сколько угодно, и тут не ставится никаких целей исчерпания того смыслового содержания, которое зафиксировано в слове «Иван».

Итак, если иметь в виду определенность положенного понятия, то мы получаем не суждение вообще, но определение. А если иметь в виду главным образом чистую положенность понятия, то мы получаем суждение.

2. Однако и тут вполне позволительна и даже совершенно необходима еще одна дистинкция. Кроме поло–женности, адекватно исчерпывающей полагаемое, и положенное как простого факта полагания, как пустой и голой положенности, возможна еще та или другая степень наполнения[109] положенности. Положенность может давать и не голый факт полагания, и [не] все полагаемое содержание целиком, а только некоторое содержание, частичное содержание. В таком случае необходимо расчленить и соответствующие математические понятия. Голая положенность понятия (т. е. в нашем случае числа) даст, очевидно, некую модификацию числа, а так как полагание в данном диалектическом месте есть полагание становления, становящееся полагание, то голая положенность числа приведет к становлению из прежнего, полагаемого числа в новое, модифицированное число. Такой непосредственный переход от одного непосредственно значимого числа к другому непосредственно значимому числу есть действие, операция (напр., сложение, умножение, дифференцирование и пр.). Та или другая степень наполнения этих операций и новое осмысление их через операционно выставленное понятие даст уже не просто самые операции, но их предназначенность для какой–нибудь специальной числовой установки. Это и будет теорема. Таким образом, математическая операх\ия есть число, данное в своем чистом становлении из одного числа другим, или просто чистое становление одного числа другим; другими словами — это числовое понятие (число), данное как чистое становление. Математическая же теорема есть число, данное в своем заполненном становлении из одного другим, или, проще, заполненное становление одного числа другим; это числовое понятие (число), данное как заполненное[110] становление. Тогда аксиома—это число, данное [кшс] самоадекватная определенность; это числовое понятие (число), данное как определенность числа.

Ясно, что выставленные в предыдущем исследовании аксиомы суть именно определения, а не суждения вообще. Суждение более ослабленно, чем определение; оно — час–тичнее и неопределеннее. Суждению в математике соответствуют не аксиомы, а более частные положения, менее общие. Сюда относятся все математические операции со всеми соответствующими теоремами — все то, что выводится из аксиом как их более частный случай.

Но здесь возможно еще одно членение, так как ставшее становление можно взять и со всем тем, что именно участвует в этом ставшем становлении, можно взять и как голый факт ставшести. И вот тогда–то мы переходим к умозаключению и к новому математическому понятию, к функции.

§ 76. Понятие функции[111].

1. Как суждение относится к определению, так умозаключение относится к суждению. Все же это есть повторение того, как суждение относится к понятию и как, наконец, понятие — к своему перво–принципу. Везде тут главным условием появления новой категории является акт полагания предыдущей категории. Перво–принцип полагает себя — образуется понятие, поскольку последнее есть совокупность признаков (т. е. некая определенность, т. е. ограниченность, т. е. положенность) и исчерпание, различение того, что само по себе неразличимо. Понятие полагает себя — образуется определение, в котором подчеркнута эта его исчерпанность. Определение полагает себя — образуется переход к становящемуся перечислению признаков, или суждение. Суждение образует себя — образуется умозаключение.

2. Когда высказывается: «Все идеалисты — контрреволюционеры», то это значит, что на общем фоне контрреволюции полагается понятие идеализма; отсюда это суждение об идеалистах. Сначала было положено понятие контрреволюции, и из этого получилось отграничение· контрреволюции ото всего другого, и тем самым в проведенных границах образовалась возможность появления отдельных видов контрреволюции. Тут могли быть архиереи, проститутки, кантианцы, фабриканты, содержатели притонов и пр. и пр. Мы совершаем некий определенный акт полагания в этой общей, но строго отграниченной области и получаем специальный вид контрреволюции — идеализм. Но пусть теперь мы положим не понятие, а некое содержание, — напр. суждение «все идеалисты — контрреволюционеры». Это значит, что мы очертили, отграничили новую область* которая благодаря именно своей огграни–ченности оказывается склонной к дроблению, к дальнейшему выявлению деталей. Среди идеалистов могут оказаться Деборины, Лупполы, Лосевы и т. д. Если мы совершим какой–нибудь акт полагания уже в этой только что отграниченной области, то это сейчас же приведет нас не к суждению (которое мы уже имели), но к совершенно иному логическому построению, к умозаключению. И мы получим:

Все идеалисты — контрреволюционеры.

[Лосев ] — идеалист.

[Лосев ] — контрреволюционер.

В умозаключении (так же, как и относительно суждения) возможна большая расчлененность. Суждение может быть взято как исчерпанность всего смыслового содержания полагаемого понятия; тогда это не суждение, а определение. В первоначальной диалектической конструкции этому соответствует не становление вместе с тем, что именно участвует в становлении, но чистое становление, чистые акты полагания (независимо от полноты или неполноты полагаемого содержания). Точно так же и умозаключение. Оно может быть взято вместе со всем своим конкретным содержанием и может быть взято чисто инобытийно, просто как формальная объединен–ность двух или ряда суждений, просто как вообще положенность суждения. Этому будет соответствовать в первом случае ставшее вместе с тем, что именно тут «стало»; и во втором — чисто ставшее, чистый факт перехода от одного суждения к другому (независимо от того, каково именно смысловое содержание фиксируемой ставшести).

Если перво–принципу соответствует числовой перво–принцип, неразличимое перво–число, принципу (или понятию)— категориальная структура числа, определению — аксиоматика, суждению — отдельная математическая операция, определенному умозаключению — теорема вместе со своим доказательством, то чистому, голому умозаключению, из которого исключено все смысловое содержание и в котором оставлена только формальная последовательность суждений или актов полагания, этому умозаключению соответствует в математике понятие функции.

3. Когда мы пишем в математике

[y = f (x)] —

что мы имеем в виду? Мы просто имеем в виду, что с χ производится ряд действий. Пусть у = 3х² + 5. Это значит, что мы возводим χ в квадрат, умножаем его на 3 и к этому прибавляем еще 5. Совокупность всех этих действий с χ и есть функция х. Но нужно ли для этого знать количественное значение χΊ Это совершенно не необходимо. Когда мы говорим, что у есть функция χ, то этим мы как раз хотим сказать, что независимо от количественного значения χ [величина] у именно вот таким, а не иным образом зависит от х. Функция и есть эта зависимость между у их, рассматриваемая совершенно без всякого учета их количественного содержания.

Ясно, что это та же картина, что и в чистом умозаключении. Беря чистое умозаключение, мы оперируем только с формальной последовательностью суждений; и так как в диалектическом смысле суждение есть становящееся полагание, то умозаключение как объединенность разных становлений есть, очевидно, не само становление, но его результат, т. е. не становление, а ставшее или, как еще иначе называют в диалектике эту категорию, наличное бытие. Это акт полагания как ставшее. Если бы мы имели в виду все смысловое содержание данного акта полагания, то нам пришлось бы выставить много разных суждений и, точно соблюдая их последовательность, дать такой вывод, который в точности бы соответствовал исходному акту полагания. Тогда это было бы доказательством исходного положения. Таково доказательство любой математической теоремы. Но мы тут отвлекаемся от смыслового содержания данного положения, и его законченное доказательство рассыпается на ряд отдельных умозаключений.' Это и суть не [что] иное, как отдельные функции.

В функции д> = Зх² + 5 мы задачей имеем такие умозаключения:

1) у зависит от χ,

но χ тут взят как х². След., у зависит от х²,

2) у зависит от л:²,

но х² взят тут как Зл:². След., у зависит от Зл:²;

3) у зависит от Зл:²,

но Зл:² взято здесь как Зх² + 5. След., у зависит от Зл:² + 5.

Это наглядно показывает нам, что логическая сущность функции есть умозаключение. Функция есть строгое инобытие числа, и, вернее, не числа, а числовой операции. Само число — непосредственно; числовое, т. е. арифметически–числовое, бытие есть непосредственная числовая значимость. Числовая операция есть также бытие непосредственное. Таков натуральный ряд чисел и все арифметические числа вообще, таковы и все арифметические операции. Когда мы говорим «2» или «10» или «3 + 5» или <ά> и пр., мы оперируем с непосредственным бытием, с непосредственной числовой значимостью. Когда же мы переходим к функции, то как раз эта непосредственная числовая значимость и пропадает. Число превращается в то, о чем ровно никакого суждения не высказывается в смысле непосредственной значимости, превращается в то, что может иметь такое <…> непосредственное значение, в х; и все действия, которые над этим χ производятся, суть действия опосредствованные, т. е. без всякого числового результата. Потому и действия эти, будучи сами по себе тоже бытием непосредственным (если их брать самостоятельно), становятся здесь характеристикой опосредствованной значимости бытия, чем–то в глубочайшем смысле инобытийным в отношении числа и числовых операций. Это судьба чисел в инобытии, взятая без всяких чисел; голая фактическая (потому здесь — «ставшее») положенность числа и его операций — без непосредственной данности самих чисел.

Итак, совершенно точно нужно сказать, что функция есть число, взятое как чистое умозаключение вне всякой непосредственной значимости того, что участвует в дан–ном умозаключении. Непосредственная же значимость числа, данная как заполненное определенным содержанием умозаключение, есть уже не функция, а доказанная теорема.

§ 77. Функционал и алгоритм (уравнение).

1. С диалектической необходимостью мы приходим наконец и к выразительному числу, к выражению, вернее, к числу как выражению. Если понятию соответствует натуральная структура числа[112], определению—аксиома, суждению—действие и теорема, умозаключению — функция и доказательство^ то что же соответствует последней категории из принятых нами основных — выражению?

Выражение отличается от абстрактного смыслового содержания тем, что оно есть не мыслимое только, но еще и понимаемое. Понимать — значит отождествлять свое сознание с предметом настолько, что и он целиком реализуется в сознании со всеми своими логическими и алогическими связями. Это, однако, совсем не значит только мыслить. Предмет понимаемый как бы заново перекрывается смысловым слоем, которого не было в нем, когда он брался на стадии только мыслимого, т. е. абстрактного. Понимаемый предмет несет на себе печать того, кто его понимает, хотя это не есть что–нибудь ему чуждое; это только нечто такое, что выделено в нем, новая группировка его элементов. А это все одинаково реально, как и общий отвлеченный смысл. Выражение и есть предметный коррелят понимания. Выражение есть соотнесенность чистого смысла с его инобытием, но смысла не специального, не того или иного (ибо иначе возможно получение какой–нибудь еще до–выразительной категории, напр. становления или ставшего), но инобытие окончательно сформированного и осуществленного смысла, т. е. смысла, прошедшего и через становление, и через ставшее. Тогда, беря этот «ставший» факт смысла и соотнося заново с его инобытием, т. е. производя в нем новые членения, но уже не логические и hq алогические, но и те и другие сразу, тогда, и только тогда, мы получаем выражение смысла вместо самого смысла.

Выражение потому всегда предполагает категорию внешнего, категорию внутреннего и категорию отождествления того и другого, что, собственно говоря, и есть само выражение. О чистом смысле нельзя сказать, есть ли он что–нибудь внутреннее или внешнее. Сам по себе взятый, он не есть ни то, ни другое. Таково арифметическое число. О тройке или пятерке ничего нельзя сказать на тему о внутреннем или внешнем (внутричисловых категориальных моментов, где, как мы знаем, есть и свое внутреннее, и свое внешнее, мы здесь не касаемся, а берем полностью сформированное число как нечто цельное и самостоятельное). О становлении также нельзя ничего сказать в этом смысле. В области категории наличного бытия уже начинается антитеза внешнего и внутреннего, потому что само по себе наличное бытие, или ставшее, трактуется как факт, т. е. как нечто внешнее, и притом как факт осмысленный, т. е. несущий на себе некое внутреннее смысловое содержание. Но сама категория ставшего, осуществляя чистый смысл, переходит в категорию именно факта, и потому здесь нет полноты смыслового самонроявления. Здесь внутреннее есть смысл, а внешнее есть не смысл, но факт. А полнота диалектики требует, чтобы была такая категория, где и внутренний абстрактный смысл, и внешнее конкретное его воплощение были бы одинаково смысловым [и ], т. е. чтобы внутреннее было смыслом и внешнее тоже было смыслом. Такая категория есть категория выражения. Тут сразу дан и весь внутренний смысл, и отождествление того и другого до полной неразличимости.

2. Категория эта сложная, и тут возможны многочисленные подразделения. Однако для нас достаточно будет только двух видов математического выражения.

Во–первых, в выражении мы можем, напр., выделить выражение чистого смысла, отбрасывая выражение становления или ставшего. Выражение ведь несет на себе все внутреннее, т. е. все наши предыдущие диалектические категории, которые раньше не были ни внутренними, ни внешними, а здесь, в связи со своеобразием данной диалектической сферы, стали все внутренними. Мы можем, следовательно, выдвинуть во всей структуре выражения момент выраженности той или иной [из] предыдущих категорий. Ограничимся выделением выраженности последних двух категорий — ставшего чистого и ставшего заполненного. Конкретнее говоря, поставим вопрос: что даст в своем выражении — умозаключение и доказательство. Или еще конкретнее и ближе к математике: что даст в своем выражении функция и доказываемая теорема. Решим первую часть вопроса.

Надо найти выражение функции. Надо, значит, найти такую категорию, которая бы зависела в своем выражении от функции. Очевидно, такой категорией не может быть величина [>> ], если мы напишем как обычно:

<y = f (x)>

Это будет не выражение функции, а сама функция, т. е. категория, уже выведенная нами. Надо найти такой [у], в котором функция участвовала бы именно как функция со всем своим конкретным содержанием. Подставляя разные величины в х, мы получим разные у, но[113] отношения между χ и у останутся в любых значениях χ теми же самыми, сама–то функция останется совершенно без всякого изменения. Она в диалектическом смысле не будет положена, т. е. будет жить именно не как функция, но только лишь как мертвое вместилище того, что действительно тут живо, т. е. изменяющихся количественных значений х. Следовательно, чтобы была выражена сама функция, нужна величина, которая бы зависела не только от изменения своего аргумента, но и от изменения самого своего вида.

Другими словами, здесь мы получаем то, что в математике называется функционалом, т. е. величину, зависящую в своих изменениях не только от количественных значений х, но и от вида функции этого аргумента. Самое обычное оперирование с таким понятием (если не с термином) мы имеем в вариационном исчислении, где изучается, напр., интеграл типа[114]

Здесь мы имеем функцию от двух аргументов (л: и у), и она же, кроме того, является функцией производной от у {у'). И требуется узнать, какой вид надо придать функции </(>>)>, чтобы интеграл имел максимум или минимум. Величина <J{y)), таким образом, определяется здесь выбором самой функции, а не только количественными подстановками. Она есть уже не просто функция, но функция в гораздо более узком смысле слова, функционал.

3. Во–вторых, мы можем задаться вопросом: как выражается наполненное умозаключение, или доказанная теорема? Чистое ставшее раньше дало функцию, потом функционал. А что даст наполненное ставшее, если оно раньше дало доказанную теорему? В выражении есть внутреннее, есть внешнее и есть отношение между тем и другим. По внешнему, если это есть действительно выражение, мы должны узнать внутреннее. В предыдущем случае роль внутреннего лучше всего поручить функции, которая меняет свой вид; величина [J ] будет иметь значение (количественное) в зависимости от вида подынтегральной функции. Здесь же внутренним должна быть не функция, но доказанная теорема, т. е. прежде всего непосредственно данная значимость числа. Ее–то мы и должны найти по некоему внешнему виду выражения. Мы должны иметь такое выражение, чтобы путем разного рода манипуляций добраться до некоей непосредственной числовой значимости и чтобы этот процесс получения оказался вместе с тем и процессом доказательства. Это не есть просто доказательство, потому что тогда мы имели бы здесь ту или иную теорему. Но это есть доказательство наличия некоей определенной числовой значимости, построяемое всецело на внешнем ее выражении, на выражении ее внешних судеб. Внешние судьбы ее известны, а сама она—неизвестна; и вот, изучая это известное, мы идем к [не Известному, ибо это — выражение диалектический синтез известного внешнего и неизвестного внутреннего.

Другими словами, тут перед нами уравнение в самом широком и общем значении этого слова, когда какая–нибудь функция неизвестного аргумента дана как известная, т. е. приравнена той или иной числовой значимости, и, из этого приравнения исходя, мы должны определить сам неизвестный аргумент х. Пожалуй, выводимая здесь категория даже шире «решаемого уравнения», почему, может быть, целесообразнее было бы говорить вообще об алгоритме как методе исчисления чего бы то ни было с целью нахождения того или другого неизвестного.

Таким образом: функционал есть число, данное как выражение чистой ставшести числа, или число как выраженность чистого умозаключения; алгоритм (уравнение) есть число, данное как выражение наполненной ставшести числа, или число как выраженность наполненного умозаключения.

§ 78. Общность полученных категорий.

Для удобства обзора всех категорий общей теории числа см. таблицу.

Необходимо отметить, что, поскольку мы в данном месте нашего исследования занимаемся именно общей теорией числа, постольку все выводимые здесь категории оказываются весьма общими, максимально общими, какие только могут быть в математике. Ни одна математическая наука не может их избежать, как бы ни старались многие разверстать их между отдельными науками.

Что чистые арифметические числа действуют решительно в каждой математической науке, напр. в анализе, это ясно. Так же ясна универсальность таких категорий, как действие или теорема. Но пожалуй, не всем ясно, что точно такой же универсальностью обладает и категория функции. А это действительно так.

Прежде всего самые арифметические действия могут рассматриваться как некоторого особого рода функции, а именно функции, так сказать, инобытийно–нулевые, т. е. функции, в которых инобытийности, аргументной неизвестности — нуль. Однако если такая мысль покажется уродливой, то можно уже прямо указать на наличие в арифметике функций, носящих название числовых функций. В т. н. теории чисел (которая есть, конечно, не что иное, как арифметика, и притом арифметика целых чисел) мы определяем, напр., количество первоначальных [простых ] чисел [An], меньших данного числа [п ]. И оказывается, что это есть функция от [п]. Имеется, как известно, приближенное выражение этой функции[115] через [отношение]

Число делителей данного числа также, оказывается, есть функция этого числа; сумма делителей — то же самое

и т. д. Это самые настоящие функции. Не нужно только обязательно связывать понятие функции с идеей бесконечно–малых, как это само собой навязывается благодаря неискоренимой ассоциации. Математики даже скомбинировали особую науку «теория функций», где есть все, что угодно, но только не числовые функции. А числовые функции — обычная реальность того, что в математическом обиходе именуется теорией чисел.

Алгебра тоже есть, конечно, наука о функциях. Что такое уравнения как не функции?

Таким образом, функции в разных науках различаются между собою не по принципу функции (который везде один и тот же), но по специфическим свойствам каждой науки. В арифметике главную роль играют числа в их непосредственном значении; след., функции тут числовые. В алгебре главную роль играют функции с постоянными величинами, в анализе — с переменными величинами. Это и накладывает своеобразный отпечаток на употребление функций в разных областях.

Стоит обратить Особое внимание на значение категории «функция» в теории множеств и в теории вероятностей. В первой из названных наук эта категория связана с процессом отображения одного множества на другом и на установлении того или иного соответствия отображенного с отображающим. Во второй из названных наук функция приобретает значение т. н. корреляции, которая, в связи с тем что в данном случае происходит исчисление бытия фактически случайного, как раз и есть функция, но без чисто функционального содержания, а только с фактически опосредствованным. Подробности в этих категориях изучаются нами в своем месте.