А) ОБЩАЯ ТЕОРИЯ § 32. Обычные предрассудки.

Приступая к анализу основных аксиом числа, нельзя не упомянуть о главнейших предрассудках, до последнего времени господствующих в этой области. Их очень много, и мало–мальски обстоятельная критика их заняла бы слишком много места. Но наше сочинение не преследует ни исторических, ни полемических целей, и потому соответствующие указания могут быть только самыми краткими. Главным образом бросаются в глаза два обстоятельства, характерные почти для всех систем математической аксиоматики.

Во–первых, аксиоматика чаще всего преследует цели не чисто математические и даже не чисто логические. С аксиоматикой часто связывают, напр., гносеологические, если не прямо метафизические, цели и точки зрения. Одни стараются доказать, что наши аксиомы чисто опытного происхождения; другие уверяют, что их наличие, наоборот, указывает на априорное происхождение. Одни говорят, что аксиомам соответствует какая–то реальная предметность; другие, наоборот, — что это чистейшие фикции, о реальности которых нечего и ставить вопрос и которые функционируют как словесные знаки, совершенно условные и субъективные. Ясно, что все подобные суждения направлены к целям совсем не математическим и совсем не к чисто логическим. Эти рассуждения хотят протащить то или иное определенное (а часто и совсем неопределенное) мировоззрение и меньше всего стараются изъяснить смысл самих аксиом. Аксиоматику с такой точки зрения рассматривают, в сущности, только как пример для подтверждения и иллюстрации более общих, уже чисто мировоззрительных убеждений. Так можно рассматривать не только математическую аксиоматику, но все, что угодно, любую науку и.любое знание, любое представление или идею человеческого ума.

Наша точка зрения в области математической аксиоматики должна быть совершенно иная. Нас интересует сама аксиоматика, аксиомы сами по себе. Философию здесь мы понимаем как смысловое уяснение и разъяснение самого же исследуемого предмета. Сначала нужно ведь понять, что такое математические аксиомы, и уяснить себе, как мы к ним приходим, а уже потом заниматься вопросами об их функционировании в той или другой области (напр., в психике развивающегося человека). С этой точки зрения Кант, как сказано было выше, напр., в своем учении о времени и пространстве занимается вопросами не принципиальными и не теми, которые составляли бы существо вопроса. Кант не задается вопросом о том, что такое время или что такое пространство. Он, уже обладая определенным взглядом на то и другое, ставит вопрос о том, откуда происходит то и другое, из чувственного опыта или из априорных форм субъекта. А между тем, то понимание пространства и времени, которым оперирует Кант, отнюдь не является так уже безупречным и разносторонним. Это очень узкое и очень бедное ньютонианское понимание, которое отсутствовало раньше в течение целых тысячелетий и которое весьма условно и сомнительно и с нашей современной точки зрения.

Такое положение дела оказывается возможным потому, что вначале не подвергается никакому анализу самое–το пространство и время, а ставятся вопросы, уже предполагающие определенное их понимание и указывающие на их судьбу уже в какой–нибудь инобытийной, в сравнении с ними самими, сфере. Можно иметь какие угодно интуиции времени и пространства, и можно как угодно решать вопрос об их реальности: это два совершенно разные вопроса. Решивши один из них, мы еще ничего не сказали для решения другого вопроса. А гносеологи и метафизики думают, что эмпиризм или априоризм уже сами по себе способны решить вопрос о существе [дела ].

Мы не будем решать и даже ставить вопроса о том, опытного или априорного происхождения математические аксиомы, условны ли они и произвольны или безусловны и абсолютно необходимы, суть ли они реальности или только явления нашей психики, нашей физиологии, нашего словесного аппарата. Таких вопросов очень много; и разрешать их здесь — это значит писать большой том и уклониться от существа вопроса. Нас интересуют сами аксиомы, сама аксиоматика, ее логическое и вообще смысловое содержание. Нам нужно знать, каковы эти аксиомы и сколько их и почему их столько, а не больше и не меньше. И, только зная, что они такое по существу, мы могли бы ставить вопросы гносеологические или метафизические. В противном случае мы уподобились бы инженеру, который, не зная, что такое логарифмы, приступил бы к своим расчетам с таблицей логарифмов в руках. Сначала нужно знать, что такое предмет сам по себе, а потом уже говорить о его функционировании (в субъекте, в объекте или где угодно).

Во–вторых, общей особенностью современной математической аксиоматики является ее формалистический и антидиалектический характер. Выставляется ряд аксиом; и — неизвестно, почему, собственно, взяты эти аксиомы, а не другие и откуда можно почерпнуть гарантию полноты этого списка аксиом. Такая беспомощность вполне характерна, напр., для знаменитого Гильберта, которого математики почему–то особенно превозносят именно в этом отношении. Мы читаем его перечисление аксиом и — совершенно не знаем, откуда он их получил, как он к ним логически пришел и действительно ли все аксиомы тут перечислены. Ведь система аксиом должна быть такова, чтобы была действительно ясна ее полнота и логическая завершенность. У Гильберта же мы можем в крайнем случае сказать только то, что каждая из данных аксиом имеет в математике действительное значение, но совсем не можем сказать, что тут исчерпана вся аксиоматика, и не знаем, где гарантия ее логической законченности.

Аксиоматика, стало быть, должна ясно показать логическое, смысловое происхождение всех аксиом, чтобы мы были уверены в ее полноте и обоснованности. Тут не может быть простого и наивного описания аксиом, какое мы находим у Гильберта. Должна быть четкая их диалектическая дедукция, обоснованная как на общенаучной диалектике, так и на смысловом содержании самого понятия числа. Тут не может быть никакой случайности, никакого наивного описательства. Существо математической аксиоматики должно быть выявлено со всей логической последовательностью и строгой систематикой.

Такой диалектической систематики общих аксиом числа невозможно найти в современной философии числа. И построение ее—очередная задача современной науки.

§ 33. Сущность математической аксиоматики.

Важно прежде всего точно знать положение самой аксиоматики в системе математического знания вообще, а потом уже выяснится и содержание аксиом.

До сих пор мы занимались анализом всех тех конститутивных категорий, из которых складывается самое понятие числа. Конститутивны для понятия те его моменты, без которых оно не может существовать. Если наш анализ был правилен, то, собственно говоря, никакой другой отдел философии числа, включая и аксиоматику, ничего уже не скажет нам нового о понятии числа. Другие отделы философии числа раскроют логику отдельных типов числа, диалектику числовых операций и т. п. детали. Но самое понятие–то числа уже достаточно вскрыто предыдущим анализом конститутивных моментов понятия, и аксиоматика в этом смысле не вносит никакого принципиально нового учения в общую философию числа.

Тем не менее аксиоматика сама по себе имеет существенное значение, и ей должно принадлежать одно из фундаментальных мест в общей теории числа. От чего это зависит и как это происходит?

Число в своих числовых судьбах может мыслиться по–разному. До сих пор мы рассматривали число, собственно говоря, только как понятие, как категорию мысли. Над этим понятием возвышался у нас над–поня–тийный, над–категориальный перво–принцип числа. Перво–принцип числа уже достаточно разъяснен нами, и сейчас важно установить только одно: числовой перво–принцип есть сверх–полагание, абсолютно неразличимое полагание, сама же категория числа есть положенное (в смысловом отношении, конечно, положенное) число. Эта антитеза осталась у нас неразрешенной, и как раз она–то и интересует нас сейчас. Вдумаемся в ее диалектическое значение.

Число есть нерасчлененное полагание. Полагание есть противопоставление, проведение границы между полагаемым и не–полагаемым. Полагаемое и не–полагаемое, равно как и полагание и отрицание вообще, коренятся в неразличимом единстве, — вернее, единичности, — пер–во–принципа. Перво–принцип сам из себя путем самосокращения порождает свое собственное инобытие, свое отрицание, ибо потому он и перво–принцип, что всякое возможное его инобытие содержится не где–нибудь, но в нем же самом (ничего ведь иного, никакого «где–нибудь» в сущности для него и не существует). Другими словами, перво–принцип, супра–акт, полагает сам себя и свое инобытие внутри себя же самого, полагает себя самого внутри себя же самого. Еще иначе: перво–принцип сам же для себя является субъектом и объектом, превращаясь из простого полагания, т. е. из простого понятия, в положенное понятие, или в суждение. Супра–акт, переходя в акт, полагает себя в себе, но, полагая себя не сразу, а постепенно, он выделяет на фоне собственной неразличимости один за другим различные моменты. Перво–принцип есть числовая неразличимость. Но, переходя в самополагание, он начинает то или иное предицировать в себе, то или иное высказывать о собственной неразличимости и тем самым постепенно себя выявлять и различать.

В этом процессе постепенного самовыявления для нас важно сейчас то, что число функционирует не просто как перво–принцип и не просто как категория, или понятие, но уже как суждение, как положенное понятие. Супра–акт полагает себя как предикат для себя же самого как для субъекта. И с каждым новым числом, с каждым последующим полаганием количество высказанных предикатов все увеличивается, и перво–нринцип становится все более и более богатым субъектом, все более и более раскрывает и выявляет себя, все более и более расцветает его смысловое содержание. Таким образом, если не оставлять без внимания все полученные в прошлом диалектические моменты развивающегося понятия, а локализовать на фоне этого растущего и расцветающего понятия, объединяя в каждый раз точно фиксируемое конкретное единство, то это нарастание смыслового богатства понятия и эта его конкретизация происходят уже при помощи суждения, при помощи ряда суждений, соответствующих получаемым категориям. Ту г же, конечно, возникает вопрос и о функционировании числа как умозаключения, ибо понятие, суждение и умозаключение, как известно, суть основные формы логической мысли. Об этом, однако, после. Сейчас речь идет о числе как суждении.

Итак, суждение, несомненно, есть диалектический синтез смыслового перво–акта и самого акта, синтез перво–принципа и самого принципа, над–категориальной смысловой неразличимости и самой категории, самого понятия. Суждение есть положение перво–акта как предиката (или одного из предикатов) в себе же самом как субъекте, т. е. синтез перво–акта с самим же собою, но, разумеется, уже развитой синтез (а не тот неразличимый, которым является сам перво–акт). Числовые суждения потому тоже суть та сфера, которая диалектически синтезирует числовой перво–принцип с самим числом как принципом или как понятием.

Необходимо, впрочем, заметить, что во всем этом рассуждении можно было бы употреблять и более точный термин. Именно, аксиома есть не просто суждение, но такое суждение, которое выставляет только существенные признаки своего субъекта, а конститутивные моменты понятия и есть, вообще говоря, его существенные признаки. Мало того, аксиома есть такое суждение, которое хочет исчерпать все существенные признаки своего субъекта. Правда, в порядке диалектической системы это делается здесь не сразу, но последовательно, поскольку отдельные категории, конституирующие число, проходят перед нами в своем последовательном отождествлении со всем числом как с цельной категорией. Такое суждение, которое дает существенные признаки своего субъекта, и притом дает их все полностью, лучше именовать не суждением, а определением. И аксиомы в связи с этим надо трактовать как определение числа, как число на диалектической стадии своего определения, число как определение. Конечно, можно покамест на этом и не настаивать. Но в дальнейшем, когда придется переходить от аксиоматической области к дальнейшим конструкциям, это различение нам весьма пригодится.

Еще необходимо обратить внимание на обычное определение аксиомы как очевидного положения, принимаемого без доказательств. Если из этого определения исключить аффективный тон, его можно считать достаточно точным. Аффектация же обычно слышится то в желании все свести на аксиомы и принизить логический аппарат математики, то в эмоциях, положительных или отрицательных, по поводу недоказуемости аксиом, то в ажиотаже относительно мнимой произвольности аксиом и пр. Вся эта чувствительная лирика мало приносит пользы как математике, так и диалектике. Поэтому исключить ее только полезно. Но тогда указанное популярное «определение» аксиомы неожиданно оказывается весьма пригодным и более точным, чем многие другие определения.

А именно, будем брать это определение в буквальном смысле. Будем понимать аксиому как суждение, очевидность которого не нуждается в доказательствах, но возникает из самого же суждения. Мы ведь так и определяли аксиому. Аксиома есть число как суждение, т. е. она не есть ни число как понятие, ни число как умозаключение. Если бы она в своей очевидности нуждалась в умозаключениито уже нельзя было бы сказать, что она «не требует доказательств». Однако аксиома есть именно числовое суждение. С другой стороны, для аксиомы мало и одной категориальной очевидности. Категория сама по себе ничего не утверждает; аксиома же есть прежде всего некоторое утверждение. Поэтому очевидность ее есть именно очевидность категориального утверждения. Это–то и подчеркивается тем, что мы находим на первых страницах учебников, где аксиома понимается как «истина, не требующая доказательства».

§ 34. Разделение всей общей теории числа и место аксиоматики в ней.

Все наши категории, которые мы вывели раньше в общей теории числа, есть категории конститутивные для этого числа, т. е. те самые, без которых оно не может логически существовать. Все эти категории необходимы для смысловой конструкции числа и достаточны для нее. Значит, и суждения, возникающие на их основе, будут также для числа конститутивны, т. е. они будут необходимы и их будет достаточно для того, чтобы описать и диалектически построить число как суждение. Но тогда становится ясным, что эти–то суждения и есть числовые основоположения, основные аксиомы, те первичные и принципиальнейшие суждения, с которых начинается (логически начинается) математика как наука. Следовательно, если мы выделим из общесмыслового перво–принципа перво–принцип числовой и сосредоточимся вообще только на одной числовой сфере, то возникнут такие три области общей теории числа, связанные между собою как обычная диалектическая триада, как тезис, антитезис и синтез:

I. Числовой перво–принцип.

II. Число как принцип (как категория, как понятие).

III. Основные аксиомы числа (число как суждение).

Нами обследованы две первые области. Теперь, найдя диалектическое место для третьей области и исследовавши сущность самой аксиоматики, мы можем перейти и к детальному рассмотрению всей этой математически–аксиоматической области.

§ 35. Общая основа всех аксиом.

Аксиоматика вытекает из единого принципа, и принцип этот есть функционирование числа как суждения. Каждая из диалектических категорий, из которых конструируется число, трактуется в этой плоскости как предикат общего числового субъекта. Отсюда и возникают эти основоположения о числе, которые обычно называют аксиомами. Относительно так получаемой аксиоматики необходимо заметить следующее.

Во–первых, доказательность и очевидность этих аксиом ничуть не больше, чем в тех положениях, которые вырастают на их основе. Вся математика, если ее строить так, как она строится в этом сочинении, т. е. чисто диалектически, одинаково состоит из суждений, возникших благодаря реализации соответствующих категорий. Иного ничего и не знает диалектика в этом своем состоянии, как только дедукцию категорий. Дедукция же потому и есть дедукция, что она дает положения, с логической необходимостью вытекающие из более общих положений. Поэтому какие бы математические суждения мы ни взяли, доказательность их с точки зрения диалектики совершенно одинаковая. Это все есть только реализация данной категории в суждении.

Во–вторых, разница между аксиомами и теоремами заключается только в том, что аксиомы суть первые логические построения, они предшествуют теоремам. Аксиомы есть реализация именно самых первых категорий, из которых вырастает число. И отсюда ясно, что граница между аксиомами и теоремами довольно зыбкая. Можно по–разному понимать, где кончаются первичные категории и начинаются вторичные. Мы — довольно–таки условно, хотя и не без обоснования, — остановились в предыдущем исследовании на категории энергии, считая го, что должно было бы быть выводимо дальше, уже вторичным и уже детализацией. Эта граница, конечно, могла бы быть отодвинута и дальше, и мы получили бы гораздо больше аксиом, чем в теперешнем случае.

В–третьих, не мешает знать, почему все–таки целесообразно ради конструирования числа как понятия остановиться именно на энергийно–выразительной стороне числа. Первые три диалектические момента числа, конечно, суть только весьма общая смысловая сфера. Тут сказано только то, что число есть некий раздельный в себе смысл, непрерывно становящийся. Этого мало и для всякой диалектики. Каждая вещь есть ведь не только смысл, хотя бы и становящийся, а первая диалектическая триада в нашем понимании есть нечто чисто смысловое. Каждая вещь есть еще именно вещь, факт, тело. Разумеется, число не может быть вещью в обычном смысле слова; оно строго отграничено от всего вещественно–качественного. Но это нисколько не мешает тому, чтобы эта категория вещи или факта осуществилась бы в недрах самого числа. При всей его чисто смысловой природе можно и необходимо различать в нем самом смысл и факт, идею и носитель этой идеи. Так вот, становящаяся едино–раздельная совокупность должна еще осуществиться как таковая, т. е. ее становление должно где–то иметь предел, оно должно остановиться и тем самым превратиться из неопределенно растекающегося смысла в устойчивый и данный в определенных границах факт. Поэтому ставшее в числе так же важно и конститутивно, как и становление. Без становления мы не имели бы в числе подвижной непрерывности, а без ставшего мы не имели бы в числе устойчивой прерывности. Можно ли мыслить число без моментов непрерывности и прерывности? Конечно, нет.

Следовательно, «ставшее», «факт», «вещь», или, как сказал бы Гегель, Dasein (наряду с Sein), является, несомненно, первичной категорией числа. Она первична в той же мере, в какой необходима категория факта для того, чтобы при обсуждении вещей мы не остались только с чисто смысловыми и отвлеченно–идеальными операциями.

Чего еще не хватает таким способом построенному числу? В нем есть смысл, идея, и в нем есть свой числовой факт, вещь. Сама собой напрашивается мысль, что всякая вещь не есть ведь просто нечто насквозь вещественное и совершенно никак не осмысленное. Если бы вещество было чистым веществом и не содержало бы в себе ровно никакой идеи и никакого смысла, такое вещество было бы совершенно немыслимо; это была бы абсолютно немыслимая, абсолютно неразличимая гьма иррациональности. Если бы мы высказали о нем хотя бы один только звук, то это уже было бы каким–то осмыслением вещества и это уже значило бы, что вещество не есть просто вещество, но что ему свойственно нечто идеальное. И так как реальные вещи именно таковы, что они суть нечто оформленное и осмысленное, а вовсе не сплошная иррациональность, то ясно, что реальная вещь есть соединение смысла, или идеи, и факта, или вещи. Если мы в числе увидим определенный числовой смысл и определенный числовой факт, то этим самым мы постулируем в числе и объединение того и другого, постулируем не просто смысл и не просто факт, но осмысленный факт, или осуществленный смысл. Вводя категорию энергии, мы как раз и имеем в виду всю эту область осмысленного факта числа, или осуществленного смысла числа. Едва ли есть возможность считать эту категорию не–первичной.

В сущности говоря, на этом мы и остановились в дедукции первичных категорий числа. Есть все основания думать, что это есть нечто действительно самое первичное и самое примитивное в числе и что тут самая естественная граница для определения основного и центрального от второстепенного и периферического.

В этой общей энергийно–выразительной области числа мы реально не останавливаемся на осуществлении какой–нибудь из трех основных категорий первой триады, но мыслим ее осуществленной целиком. Наша выразительная энергия числа энергийно выражает не только самый перво–принцип числа вообще, но и его раздельность и его становление. Числовое «ставшее» «выражает» всю смысловую триаду, включая и становление. А это больше всего и дает право называть всю эту выразительную область именно энергийной. Энергийно–выра–зительная сторона числа особенно важна включением этого момента становления. Становление (в данном случае пока чисто смысловое, без перехода в распадение) включает в себя неподвижную едино–раздельную структуру числа вместе с ее инобытием. Становление в диалектике ведь и есть синтез бытия и инобытия. Будучи перенесено в сферу выражения, оно в самом выражении дает синтез бытия и инобытия, т. е. выражение тем самым включает в себя свою соотнесенность со своим инобытием, не переходя, однако, фактически в это инобытие, а оставаясь все время чистым смыслом. Если бы тут был реальный переход в инобытие, это привело бы к распаду того, что тут выражено. Тут, однако, нет ни инобытия как факта, ни распадения смысла, а есть только смысловое же его распадение и различение, т. е. новый смысловой рисунок, новый — по сравнению с отвлеченно данной первой триадой.

Вот это–то обстоятельство и определяет собой то, что тут естественнее всего остановиться в последовательной дедукции диалектических категорий числа. Здесь число оказывается не только смыслом, не только фактом и не только осмысленным фактом, но этот осмысленный факт дан для иного, открыт для восприятия всем иным, в собственном смысле выражен. Осмысленный факт может ведь и быть дан просто, сам по себе, сам для себя. Это — начальная и наименее полная форма выражения. Когда же осмысленный факт оказывается данным и для иного, он в собственном смысле есть выражение. Он еще не распался на множество отдельных фактов, но покамест пребывает единым, цельным и нераздельным фактом. Однако это[т] факт расписан извне, разрисован и различен по своему смыслу, он — картина для всего иного. И вот поэтому–то естественно остановиться именно здесь, полагая в этом месте границу между основными, первичными категориями (аксиомами) и дальнейшими, вторичными категориями (теоремами).

В–четвертых, установивши эту наиболее естественную границу для аксиоматической области, мы можем установить и общую базу для дедукции всех основных аксиом. Эта общая база, сформулированная нами в предыдущем параграфе, должна быть сейчас дана в развитом виде. Заключается она в том, что аксиомы суть осуществленные категории, где каждая категория мыслится осуществленной на фоне общей сущности числа. Аксиома есть суждение, где данная категория, трактуемая как основная (границы основных категорий только что указаны нами), является предикатом для общего субъекта—числа. Поэтому шесть диалектических этапов числа, рассмотренных нами в § 21, должны превратиться в суждения (аксиомы) следующего типа: I. Число есть чистый акт полагания.

II. Число есть едино–раздельный акт полагания.

III. Число есть становящийся акт полагания.

IV. Число есть ставший акт полагания.

V. Число есть выразительный акт полагания.

Сюда необходимо присоединить, что II суждение соответствует в § 21 II и III категориям, потому что установленные там утверждение (II) и отрицание (III) оба вместе определяют собой именно едино–раздельный акт (или акт как координированную раздельность). Соответственно III аксиома из указанных только что соответствует IV тамошней категории, IV аксиома — V категории, V аксиома — VI категории. Эта схема аксиом, с другой стороны, [есть ] точное воспроизведение категориальной схемы в § 31, 1е.

Наконец, в–пятых, эта общая основа всех основных аксиом, получая таким способом более развитой вид, звучит все еще весьма отвлеченно, пока мы не примем во внимание чисто числовых свойств числа. Ведь «число», как оно фигурирует в установленных нами пяти основоположениях, взято все еще как отвлеченная, общедиалектическая категория. Число есть определенное понятие, а именно — понятие числа, и в этом виде мы его получили[16] в нашей общей системе диалектики. Чтобы его конкретизировать, мы не оставили все категории, предшествующие числу, в их чистом, изолированном и общедиалектическом виде. Мы их локализовали на фоне общего и единого изучаемого нами в данном случае субъекта — числа и получили упомянутые пять основоположений числа. После этого пора, однако, для дальнейшей конкретизации перейти от числа как одной из общедиалектических категорий к числу как числовой, как математической, в данном случае — как общематематической категории. Число в виде общедиалектической категории интересно до тех пор, пока мы ищем ориентировать[17] ее на фоне общей диалектики, т.е. когда пытаемся существенно отличить категорию числа от всякой иной категории. Но когда эта общедиалектическая категория числа найдена, изучена и формулирована, уже нет нужды останавливаться на ее общедиалектических свойствах; тут полезно перейти к числу в его уже чисто числовых, а не вообще в его категориальных свойствах. В этой плоскости определениями числа будет уже не та или иная диалектическая модификация актов полагания, но тот или иной числовой момент числа. Этот общедиалектический язык, где главное место принадлежит термину «акт полагания», должен быть заменен другим, уже чисто математическим языком; эта общая диалектика должна быть переведена на язык чисел. Мы должны поставить и решить вопрос: какие математические термины в точности соответствуют формулированным нами модификациям акта полагания и, следовательно, какие числовые конструкции возникают при воплощении указанных пяти основоположений, если всю нашу диалектику мы станем переводить с языка понятий на язык чисел?

Только теперь мы можем ставить и решать этот вопрос. Покамест мы не знали общедиалектического места числа и покамест мы не знали тайны общедиалектического сопряжения его категориально–конститутивных моментов, нечего было и думать философствовать в числовой области. В числовой области мы могли бы заниматься только чисто числовыми же операциями, т. е. строить не философию, а саму математику, поскольку числовая область, взятая сама по себе, есть чистая формальность и лишенность всякого понятийного содержания, и, оставаясь только в ней одной, мы ничего и не можем получить, кроме самих чисел, т.е. кроме самой математики. Теперь же, зная диалектический смысл числа вообще и диалектический смысл его конститутивных моментов, мы можем с твердой верой приступить к числовому содержанию числа и убежденно искать в нем соответствия тому, что мы получили относительно общей категории числа. Ведь общие законы логики везде одни и те же; и, твердо оперируя с ними в общелогической области, мы можем надеяться на твердое и уверенное оперирование с ними и в чисто числовой области. И это будет уже не просто построение самой числовой области, т. е. не сама математика, но именно логика числа, или философия математики, диалектические основы математики.

Так, из общей отвлеченной основы математической аксиоматики возникает сама математическая аксиоматика, и притом не просто в диалектической выведенное™ (чем необходимо было заниматься предварительно и что мы сейчас и выполняли), но и в своей чисто математической значимости.

В) СИСТЕМА а) АКСИОМА ЧИСЛОВОГО ПЕРВО–ПРИНЦИПА § 36. Неразличимость.

Не будем, однако, удивляться, что аксиоматика начнется у нас с того, что как раз имеет меньше всего математический смысл. Поскольку сейчас нам предстоит формулировать аксиому именно принципа, постольку эта аксиома должна иметь максимально обобщенный вид и постольку нам тут еще не придется употреблять терминов конкретной математики. Больше того. В этой аксиоме перво–принципа должно быть повторено— но уже в виде последнего резюме — то, что мы могли сказать о числе вообще наиболее существенного. Что это число относится к сфере актов чистого полагания, это есть самое последнее и самое общее резюме всего учения о числе. Это и должно быть в данном случае математическим перво–принципом. Из общесмыслового перво–принципа, который является перво–принципом и всякого содержания, мы выделяем чисто числовой, математический перво–принцип, гласящий о функционировании только актов полагания, а не самого полагаемого. И кроме того, этот перво–принцип, много раз формулированный нами выше, берется в своей тоже специфической функции. А именно, в математической аксиоматике мы рассматриваем его не как чистое действие, не как самый перво–принцип в его самостоятельной определяемости всех других числовых построений, но — перво–принцип как суждение, как первое и основное суждение в математике, лежащее в последней глубине всех прочих математических суждений. Поэтому мы здесь не просто фиксируем самый акт перво–полагания, но высказываем суждение: число есть чистый акт перво–полагания. Этим отличается аксиоматическое утверждение перво–принципа от того категориального, которое исследовалось выше.

Выставляемая нами аксиома числового перво–прин–ципа обладает многими интересными свойствами, категориальный аналог которых мы встречали в предыдущем анализе. Остановимся вкратце на самом главном.

Число есть прежде всего некая совокупность. В совокупности для простоты пусть находится три или четыре полагания, хотя «единица» и «нуль» тоже есть некоторые специфические совокупности. Спрашивается, только ли эти три акта полагания различны или они еще и тождественны? То, что они различны и раздельны, это известно всем. Но мысль требует, чтобы они были и тождественны. Когда я ставлю на листе бумаги точку и потом рядом с нею другую точку, то они, конечно, различны, различны по местоположению, по жирности чернил и пр. Но возьмем две математические точки. Чем они отличаются друг от друга? Ничем. Они, конечно, мыслятся как бы в двух разных положениях, напр. на прямой при определенном отстоянии одна от другой. Но ясно, что это отстояние, или расстояние, не имеет ровно никакого отношения к самим точкам и каждая из них может обсуждаться независимо от своего абсолютного положения на линии, на плоскости и т.д. Итак, все точки суть некое абсолютное тождество, самотождество, и в последней своей смысловой глубине они абсолютно неразличимы. Это же самое касается и актов мысленного полагания, т. е. всякого числа вообще. Но если в числе «три» эти три отдельные акта неразличимы, то тогда и само «число», взятое как таковое, тоже внутри себя неразличимо, оно есть некое абсолютное тождество. Более того. Если мы возьмем все возможные числа, то поскольку каждое из них есть абсолютная неразличимость, то и все числа, взятые вместе, — все возможные, действительные и необходимые числа суть тоже некая общая и абсолютная неразличимость и самотождество. И вот это–то и есть числовой перво–принцип. Это и значит, что число есть чистый, т.е. в себе неразличимый, абсолютно простой, акт смыслового полагания.

Скажут: но ведь это же не есть число; число есть раздельность, а вы утверждаете полную неразличимость. На это надо сказать, что мы нисколько не утверждаем, что число есть эта абсолютная неразличимость. Абсолютная неразличимость и самотождество есть не самое чиСло, но перво–принцип числа, и аксиома об абсолютном числовом аш0–тождестве не есть суждение о самих математических числах, но лишь то первое и исходное положение, на котором будут базироваться и конкретно–математические суждения. Естественно, что база чем–то специфически отличается от того, что на этой базе построено. Мало того. Мысль требует, чтобы эта неразличимость как раз и была принципом различимости, и это мы сейчас разъясним.

§ 37. Неразличимость как принцип различимости.

Каждая вещь есть данная вещь именно потому, что она не есть что–нибудь иное. Это утверждение на первый взгляд кажется шуткой и тавтологией. Однако тут высказывается фундаментальное положение философии, без признания которого невозможно и прикоснуться ни к какой теории определения. Если вещь есть нечто отличное от иного и, следовательно, есть она сама, то это возможно только тогда, когда мы внутри нее не фиксируем ровно никаких различий. Вещь есть именно она сама: в этом простейшем и очевиднейшим утверждении с абсолютной необходимостью требуется, чтобы она мыслилась вне всяких своих частей. Это делается до полной осязательности ясным, если мы начнем рассуждать со стороны этих самых «частей».

Пусть данная вещь состоит из пяти частей. Если мы будем фиксировать каждую часть отдельно, целой вещи мы никак не получим. В этом дереве, которое я сейчас вижу в своем окне, отдельный лист не есть дерево, потому что тогда был бы деревом и всякий отдельный лист, который валяется на земле, и вместо видимого мною в окне одного, и единственного, дерева было бы столько же деревьев, сколько я вижу на нем листьев. Ствол дерева гоже не есть дерево, потому [что ] тогда бревна, лежащие тут же на дворе, тоже были бы деревьями. Корень дерева тоже не есть дерево, ветки дерева тоже не есть дерево. И т.д. и т.д. Спрашивается: где же само–то дерево? Совершенно очевидно, что из отдельных частей дерева нельзя получить самого дерева. Но отдельные части дерева есть то, что в нем различимо. Значит, из различимой стороны дерева нельзя получить самого дерева. Само дерево есть неразличимость, абсолютно самотождество. Только это и дает возможность выделить дерево именно как дерево на фоне всего двора, которое я вижу в своем окне. Не будь этой неразличимости внутри дерева, я не мог бы фиксировать дерево как дерево, оно распалось бы на тысячи частей, которые сами не суть дерево, и я совсем не отличил бы дерева от всего прочего. Ясно, что неразличимость дерева оказалась необходимым принципом для его различения на фоне прочих предметов и, следовательно, необходимым принципом и для всяких различений внутри него самого. Внутренняя неразличимость вещи есть условие для ее внутренней различимости и раздельности.

Все это относится и к числу. Одна единица не есть число «одиннадцать»; другая единица тоже не есть число «одиннадцать»; третья единица — то же самое. Спрашивается: откуда же получилось само–то число «одиннадцать»? Конечно, всякому известно, что практически «одиннадцать» получилось из одиннадцати единиц. И если что смешно и тавтологично, если что действительно глупо, так это именно утверждение, что вещь состоит из своих частей, а число «одиннадцать» состоит из одиннадцати единиц. Эта беспомощная и бессильная тавтология ровно ничего нам не говорит. «Одиннадцать» есть совершенно отдельная, самостоятельная индивидуальность, не делящаяся на одиннадцать частей. Единицы, «входящие» в число «одиннадцать», даже не суть и части числа «одиннадцать». «Одиннадцать» ровно никаких частей в себе не содержит и ни на что не делимо, ни из чего не составляемо. Оно внутри неразличимо, нерасчленимо. Неразличимость есть принцип его различимости. Конечно, не забудем: «одиннадцать» не есть просто неразличимость, а нужно только сказать, что неразличимость есть его перво–принцип, не оно само в его реальной структуре и не его принцип, но именно его яерво–принцип. И потому либо есть такой перво–принцип и внутренняя сверх–раз–личимость, неразличимость числа «одиннадцать», супра–акт «одиннадцати», — тогда есть и «одиннадцать» как именно одиннадцатисложная структура; либо нет никакого перво–принципа, — тогда нет и числа «одиннадцать», а есть только отдельные единицы. Впрочем, и отдельных единиц тоже не получится, потому что каждая единица тоже должна быть некоторой самостоятельной неразличимостью; и если неразличимости нет в «одиннадцати», то ее не будет и в «единице»; «единица» тоже распадается еще на более мелкие части, как распалось «одиннадцать» на отдельные части, а эти части будут распадаться еще дальше. И так до бесконечности мы все будем гнаться за числом и нигде его не найдем, а получим вместо ясной и прозрачной едино–раздельной и разумной структуры числа полную иррациональную тьму и хаос, абсолютное безумие и пустоту, в которой уже действительно не найдешь ничего различного и в которой потонет все ясное, все стройное, все разумное и исчезнет все человеческое.

Так, по неизбежной диалектической необходимости абсолютная неразличимость есть принцип и основание различимости, а внутри–раздельное и различимое число требует абсолютной неразличимости как своего перво–принципа.

§ 38. Неразличимость как принцип конкретной числовой индивидуальности.

Стоит всячески подчеркивать момент, который мы уже затронули бегло в предыдущем параграфе. Именно, аксиома перво–принципа обеспечивает нам понимание числа как своеобразной и ни на что другое не сводимой индивидуальности. Мы все время говорим, что неразличимость числа есть условие его различимости. Но сейчас эту мысль необходимо заострить в том направлении, что всякое различение есть ведь порождение одного в отличие от другого, что возможно только тогда, когда это «одно» имеет какое–то свое собственное свойство, которого нет ни в чем ином, ибо иначе одно и не отличалось бы ни от чего прочего. Следовательно, неразличимость есть принцип живой индивидуальности числа, принцип числа как существа, как живого организма, имеющего свой лик, свою физиономию, свою личность. Неразличимость есть диалектический принцип числа как самостоятельной личности. Число есть личность. И эта числовая личность, числовое существо и индивидуальность возможны только потому, что числу, этой абсолютной разделенности и расчлененности, всегда свойственно и абсолютное самотождество его составных моментов. Это, во–первых, касается всей числовой сферы вообще, ибо она в отличие от всего не–числового, от вещей, мыслей и пр., тоже имеет определенную живую индивидуальность. Это касается, во–вторых, и каждого числа в отдельности — в его отличии от прочих чисел, поскольку оно есть своя особенная личность, индивидуальность и как бы живое существо.

§ 39. Самосозидание.

Аксиома перво–принципа рисует неразличимое лоно всякого числа и его действий. Тут, однако, не просто неразличимость. Мало того, что в глубине числа мы находим этот первоисток всей его смысловой значимости, первоисток в пассивном, так сказать, смысле. Уже наше обыденное и наивное сознание ставит этот наивный, но весьма назойливый вопрос: откуда число, кто его автор, кто его сделал, чье это создание? Вопрос этот затрудняется тем, что всякий субъективистический ответ исключен для нас раз навсегда. Да и объективизм, как мы его видели раньше, не может быть в этом случае применим без всяких оговорок. Вдумываясь в природу любого числа, мы прекрасно видим, что к его собственному смысловому содержанию совершенно не относится то, что какой–нибудь Иван или Петр мыслительно его создал или осязал или что оно количественно определяет собою всю эту кучу орехов. Мы уже знаем (§ [23]), что число в этом смысле является само своим собственным автором, оно само себя и полагает, и утверждает, и определяет, и осмысленно продвигает вперед. К сущности числа, к его смысловому содержанию относится то, что оно не нуждается ни в чьих других актах мысли и бытия, но определяет само себя. Оно есть определенное числовое самосозидание.

Стихия этого самосозидания, однако, не определена ни одним из частичных моментов, входящих в его смысловой состав. Даже и целое, чем является число, не есть подлинный субъект числового самосозидания, ибо целость есть нечто сконструированное, нечто сложенное и потому сложное, т. е. она никак не есть нечто в подлинном смысле первоначальное. Первоначальным и единственным подлинным субъектом числа в смысле его самосозидания является именно формулируемый нами неразличимый числовой первоисток, без которого всякое число распалось бы так же, как и без своей раздельной структуры. Сама раздельная, координированно–раздель–ная структура в числе никак не может мыслиться в качестве актмв«0–смысловой. Всякая структура есть нечто уже полученное, изведенное, исшедшее, нечто в смысловом отношении пассивное. А число есть сила, акт, напряжение; оно властно и неумолимо врывается в небытие и определяет его, не терпя никакого сопротивления или исключения. Оно и внутри себя есть как бы самозамкнуто вращающаяся энергия, напряженная и бурлящая в своих собственных пределах. Число содержит в глубине своего организма некий тайный и внутренний пульс, извещающий нас при внимательном вслушивании о скрытом центре его смыслового кровообращения, удостоверяющий наличие в нем живого и вечного первоистока, манифестирующий таинственную числовую субъектность (и потому и субъективность) как вечно юное и без всякого изнурения и убыли радостно ликующее самосозидание. Структура числа и его счетное, количественное оформление были бы мертвы, если бы они не оживлялись этим неустанным потоком, льющимся из числовых первоглубин. Числовая структура есть скелет числа. Это то, на чем оно держится. Но скелет сам по себе мертв, сух, безобразен. В нем нет живого тела, живого пульса, нет животворной теплоты и дыхания, нет крови, нет сердца. В числе тоже есть свой скелет, эта вот счетная, всему свету известная количественная, раздельно–структурная форма, без которой нет числа, нет и счисления. Но это — внешнее число, мертвое число, вульгарное число. За ним и в его глубине бьется и трепещет неразличимая тайна числового перво–зачатия, теплое и нервное, беспокойное и вечно творящее лоно числа, самосозидающийся субъект числа, клокочущая и хаотическая туманность числовых солнечных систем, тайная и утробная всесильная мгла, рождающая бесконечные числовые оформления.

Это [т ] перво–принцип и есть носитель всех числовых судеб. Он порождает из себя всякую числовую мысль, всякое числовое бытие. Только тот, кто обладает этим перво–принципом, у кого в душе и в уме бьется этот внутренне–числовой импульс и первоисток, — только тот и есть подлинный математик, только тот и творит математическую науку, только тот и знает математические страсти ума, эти тайны математических зачатий, когда из глубин темных и бурлящих интуиций рождается светлый и солнечный мир математических оформлений. Только так и творили Лейбниц и Ньютон, Эйлер и Гаусс, только это и привело к божественной числовой симфонии Лагранжа, Лежандра, Коши, Римана, Вейерштрасса и Минковского. Число же как простую структуру и чистую схему знают только ремесленники и вычислители. А настоящие математики, как известно, весьма плохие вычислители.

§ 40. Везде и нигде.

Аксиома числового перво–принципа утверждает повсеместную значимость числа как числа во всех судьбах числа вообще, во всех мельчайших деталях математической науки. Что бы ни делалось с числом, какие бы формы оно ни принимало, оно всегда и везде есть прежде всего число. Число есть число — вот удивительная истина, без которой ни в каком виде невозможна математика как наука. Но если это так, то число необходимым образом самотождественно присутствует целиком во всех своих мельчайших проявлениях. Число как число — везде, и оно же — нигде. Везде оно потому, что всякая форма и тип числа есть всегда прежде всего число вообще; если нет числа вообще, то нет и никакого его специального типа или вида. Но оно и нигде, ибо никакая числовая форма, никакое математическое утверждение не было бы возможно, если бы все числовое слилось в абсолютно неразличимое самотождество. Число как перво–принцип поэтому в самом подлинном и в самом буквальном смысле слова находится и везде, и нигде в отдельных числах и числовых операциях; и оно целиком и присутствует, и отсутствует в каждом математическом суждении, в каждой числовой структуре.

Тут та же самая диалектика, что и в вопросе о различимости и неразличимости. Если отвергнуть абсолютно неразличимое самотождество актов и признать в числе только одну раздельность, мы, как доказано выше, приходим к абсолютной тьме, к алогической пыли измельчания и расслоения, рассыпания раздельной структуры тела. Но если бы мы стали утверждать только одну неразличимость числа, то уже малейшее прикосновение диалектики к этому вопросу привело бы нас с абсолютной очевидной необходимостью к признанию в числе именно раздельной структуры, так как всякая неразличимость есть нечто и внутренно неразличимое число есть нечто, т. е. оно отличается от всего прочего чем–нибудь, т. е. чем–то отграничено от прочего, т. е. имеет границу, очертание, т. е. оно есть некая величина, т. е. делимость, т. е. внутренняя различимость, — что и требовалось доказать. Нельзя поэтому пренебрегать в числе ни абсолютной неразличимостью, ни абсолютной различимостью. Одно совершенно предполагает другое, и даже больше того: одно и есть это другое, хотя в то же время не есть. Так же судим мы и о вездепри–сутствии перво–числа. И это в одном и том же смысле и одновременно, сразу.

§ 41. Число и время.

Рисуя эту основную аксиому числового перво–принципа, невозможно обойти молчанием большую проблему об отношении числа и времени. Что обе эти категории находятся в очень близкой связи между собою, это никто отрицать не станет. Описать же подлинное сходство их и расхождение — дело весьма большой трудности.

Число как перво–принцип есть вечно творящая сила расчленения и сочленения. Врываясь в бытие, эта сила разрывает его на раздельные, изолированные моменты и заново объединяет их в новую, уже не возможную только, но вполне действительную координированную раздельность. Первопринцип есть эта мощь числовых становлений. Можно ли го же самое сказать о времени? Тут ясно только одно: время есть некое становление, некое неразличимое и сплошное, хотя и подвижное, становление. Но это не то становление, не чисто числовое становление. Временное становление гораздо «реальнее» числового, гораздо тяжелее, гораздо ближе к физической материи, к органической жизни, гораздо в этом смысле «конкретнее». Это есть перенос числового становления в какую–то новую сферу, потенцированное становление — становление, возведенное в степень.

Далее, в самом числе перво–принцип не есть единственная форма становления. Собственно говоря, это совсем не есть становление. Становление, как мы помним из нашей диалектики, есть категория, возникающая уже после того, когда получено то именно, что становится.

Если нет ничего до становления, невозможно будет и само становление. Становление всегда есть становление становящегося, чего–то. А это «что–то» само позже пер–во–принципа. «Что–то», «нечто», «бытие» — все это выводится уже при наличии первополагаемого бытия, при наличии неразличимого сверх–бытия. Спрашивается: может быть, это становление и есть время? Не есть ли становление, как синтез бытия и небытия, время, реально текучее в физических телах и организмах, в природе и истории? И на этот вопрос надо ответить отрицательно. Это тоже слишком отвлеченное становление, и временное становление опять–таки есть некое возведение в степень этого отвлеченно данного становления. Позже мы увидим, что существует огромная научная область, изучающая как раз такое отвлеченное становление, и она нисколько не есть наука о времени. Это анализ бесконечно–малых. Тут тоже имеются в виду исключительно становящиеся величины, тут это чистое становление как раз и изучается. Однако дифференциальное и интегральное исчисление есть наука о совершенно отвлеченных величинах и функциях, о чисто мысленных величинах и функциях, и можно ни слова не говорить здесь о времени. Конечно, возможны всякие временные аналогии, возможно применение чисел и функций к временным процессам, приложение анализа к механике. Но это нисколько не значит, что бесконечно–малое есть временной процесс. Это не временной, а чисто числовой, т. е. вне–временной процесс, такой же вне–временной, как и неподвижная таблица умножения. В смысле времени анализу и арифметике присуща одна и та же степень подвижности, вернее, одна и та же неподвижность, как бы текучее бесконечно–малое ни отличалось от стабильного арифметического числа. Это различия внутри самого же числа. А число — вполне смысловая и умная структура, не требующая для себя времени и потому вне–временная. Ин–финитезимальная текучесть, взятая сама по себе, вне своих приложений, есть вне–временная [текучесть].

Числовое, вне–временное становление должно еще раз перейти в свое инобытие, как уже однажды перво–принцип перешел в принцип, в бытие, в смысл и как принцип тоже перешел в свое инобытие, в становление. Но ведь за становлением, если его понимать как диалектический синтез бытия и небытия, следует ставшее, или наличное, бытие, факт. Нужно, следовательно, чтобы отвлеченное, чисто смысловое, идеальное становление перешло в сферу факта, стало фактическим, реальным, действительным становлением. И вот только тогда–то и может подняться вопрос о времени. Время не есть вещи, но время есть некий смысл вещей, а именно форма протекания вещей. Однако это уже не прежний идеальный смысл, это смысл, который сам овеществился. Поэтому время и неотделимо от вещей, как и вещи — от времени. Время есть, следовательно, по крайней мере трехплановая структура: оно есть инобытийное воплощение творящей силы перво–принципа (чистый смысл, арифметически неподвижное число); оно есть инобытийное воплощение чистого смысла, арифметически неподвижного и отвлеченного числа (инфинитезимальное становление); и оно есть инобытийное воплощение этого инфинитезимального становления в форму физически текучего и материально становящегося смысла вещей — и эти три плана есть только еще примитивный и весьма общий анализ категории времени, так как самостоятельному анализу времени тут, конечно, не может быть места.

Зато во всем прочем время — максимально близкий, максимально интимный аналог числа. Время так же «пусто», как и число, так же имеет свое собственное содержание, независимое от грубой качественности внешнего мира. Оно так же первично для фактического бытия, как число для смыслового бытия, будучи точно таким же «актом полагания», но только уже совсем в другой области, не в области чистого смысла, но в области физической материи. Оно так же рождает из себя вещи, несет на себе вещи, так же есть перво–принцип их жизни и движения, саморазличия и самообъединения, как число рождает все различия в смысловой сфере, несет на себе всякую идеальную координацию и определяет живую текучесть смысла. Число и время — оба суть животрепещущий пульс бытия; и обе стихии — раньше и первичнее самого бытия, ибо это и есть то, что порождает саму сферу бытия и творит ее индивидуацию. Число и время — мощь и напряженность бытия, лишенная всего внешнего и случайного; это обнаженное сердце бытия, откуда вечно льются животворные и одушевляющие потоки мировой жизни, откуда творится и сама судьба бытия и мира. Число есть смысл времени, а время есть жизнь чисел.

Время ведь тоже есть, в конце концов, счетность или, вернее, некая определенная модификация счетности. И то и другое, число и время, — это реальная, до последней и интимнейшей степени явленная судьба бытия, т. е. само бытие в своих живых и нервных сплетениях и сочленениях.

§ 42. Число и музыка.

Вот почему существует глубочайшая, интимнейшая связь между математикой и музыкой. Музыка ведь есть в обычном понимании искусство времени. Подчеркнем, что музыка в своем специфически музыкальном виде есть искусство именно чистого времени, т. е. необязательны в музыке изобразительные моменты, достаточно только самого времени, только этой взрывной и бурлящей процессуальное. Музыка живописует именно жизнь чисел вне всякой внешней случайности вещей, повествуя судьбу и жизненное становление бытия и мира. Однако об отношении математики и музыки говорить надо слишком много, чтобы мы могли отвлекаться этим предметом в настоящем месте. Желающих углубиться в этот вопрос могу отослать к моей книге «Музыка как предмет логики».

§ 43. Формула перво–принципа.

Наконец, возникает вопрос, как же формулировать в кратчайшей, но в то же время и полнейшей форме эту первую основную математическую аксиому, аксиому числового перво–принципа. Можно' предложить несколько формулировок, из которых мы остановимся только на двух, хотя вторая из них, несомненно, заслуживает предпочтения.

А именно, 1) можно просто сказать, что содержание аксиомы перво–принципа сводится к утверждению «число есть число». Предыдущие рассуждения должны показать, что это не есть тавтология, но это есть определенного рода логический принцип, а именно перво–принцип. Когда мы утверждаем, что число есть число, мы этим фиксируем как раз повсеместную числовую значимость, фиксируем, что число всегда является самим собою, всегда самотождественно, неразличимо с самим собою, всегда есть цельный и оригинальный принцип.

Однако эта формулировка не столь специфична, насколько уполномочивает нас наш общий анализ понятия числа. Число ведь мы трактовали в отличие от всего прочего как то, что связано только с актами полагания смысла и никак не с содержанием полагаемого. Число у нас есть сфера актов полагания. Если отвлечься от всех частичных и специфических модификаций акта полагания, от всех отдельных числовых построений, а взять только их голый принцип, только действительно их голый перво–принцип, то ничего другого сказать не придется, как то, что число есть просто–напросто акт полагания. Тут только нужно кое–что подчеркнуть, чтобы аксиома вышла вполне определенной. Из предыдущего мы знаем прежде всего, что числовые акты в отличие ото всех прочих (напр., временных, пространственных, физических, психических и пр.) суть акты только смысловые. Кроме того, мы все время говорили о том, что в числовом перво–принципе акт полагания мыслится как недифференцированный, безраздельный, неразличимый акт, как супра–акт. Назовем этот акт чистым или абсолютным актом полагания. Тогда, кажется, будет достаточно выпукло представлено смысловое содержание этой исследуемой нами аксиомы перво–принципа и она совместит простоту и предметность своей формулировки с ясностью и достаточной полнотой.

Аксиома числового перво–принципа: число есть чистый акт смыслового полагания.

В заключение заметим только (хотя для внимательного читателя это замечание и вполне излишне): в этой формуле (как и во всех последующих) каждое слово есть строгий и специфический термин и его нельзя понимать «вообще», «как обычно». «Чистый» — это значит недифференцированный, неразличимый, данный как абсолютное самотождество не только сам в себе, но и как обнимающий всю бесконечную сферу чисел в одной неделимой и ни от чего не отличающейся точке. «Акт полагания» — это значит, что в числе имеется в виду не содержание полагаемого, не полагаемое, но положен–ностъ, самый акт полагания, процесс полагания вне всякой предметной или вещественной качественности. Наконец, указание на «смысловое» полагание самым резким образом отличает число от всякого реально существующего бытия, от всего объективного и субъективного и видит в нем только мысленно и осмысленно зримую и понимаемую значимость.

b) АКСИОМЫ ЕДИНО–РАЗДЕЛbНОСТИ ЧИСЛА (ИЛИ ЕГО ИДЕАЛbНОЙ СТРУКТУРЫ) § 44. Необходимые предварительные установки.

Покидая сферу перво–принципа и переходя к аксиоматике раздельных числовых структур, мы сталкиваемся с целым рядом обстоятельств, без выяснения которых сама аксиоматика осталась бы неясной и необоснованной.

1. Прежде всего, до сих пор в общей теории числа мы оперировали, в сущности говоря, исключительно только с одной общей категорией — с актом полагания. Переходя к математике как самостоятельной науке, мы должны специализировать этот общий термин, подыскавши, как уже говорилось выше, соответствующий математический эквивалент. Логика должна специализироваться, и мы обязаны теперь видеть, где и в чем происходит соответствие этих двух больших областей мысли, математики и логики. Однако у нас будут здесь очень большие затруднения, если мы с самого начала не станем на путь спецификации самого математического предмета. Дело в том, что к этому общему понятию, на почве которого строилось все наше здание, т. е. к понятию акта полагания, и ко всем его изученным нами модификациям можно найти в математике не одно, а целый ряд соответствий. С самого же начала возникает поэтому необходимость говорить не о математике вообще, но о конкретных формах математического предмета, т. е. прежде всего о числе интенсивном, экстенсивном, эйдетическом и историческом, первое понятие о чем дано выше, в § 9. Аксиомы будут совершенно разные — в зависимости от того, о каком числе будет идти речь. Конечно, можно установить и совершенно общие аксиомы, но они едва ли будут чем–нибудь существенно отличаться от пяти основоположений числа, формулированных нами в § 35 при помощи только одного понятия акта полагания и его диалектических модификаций.

Прежде чем приступить к дедукции аксиом, необходимо, следовательно, произвести эту предварительную спецификацию, чтобы аксиомы наши были достаточно конкретны и обоснованны.

Необходимо, стало быть, иметь в виду наше общее разделение математического предмета в § 9. Вспомним его. Число вообще, число как перво–принцип, число как супра–акт и в себе неразличимый, неутвержденный принцип полагается, утверждается. Полагается и утверждается оно сначала в полной своей чистоте, в абсолютной своей различенности и отличенности от всего прочего, т. е. в своей абсолютной раздельности и несвязанности ни с чем прочим, в своей чистой понятийности и категориальное. Никакое инобытие в нем не участвует. Судьба такого акта полагания всецело зависит только от смыслового содержания его самого, и всякое инобытие может играть тут только пассивную роль, роль той арены, тех подмостков, на которых развертывается бесконечная числовая драма. Сюда мы отнесли арифметику, алгебру и анализ, что еще не может быть достаточно ясным из наших кратких предварительных замечаний и что должно стать ясной системой только в результате изложения соответствующих отделов философии числа. Это одна область и одна группа аксиом. Это аксиомы интенсивного числа.

Вторая область, отмеченная нами в § 9, есть инобытие, отрицание первой, т. е. отрицание едино–раздельных и изолированных актов полагания. Единораздельности может противостоять только нераздельность, неразличимость, слитость актов полагания. Но это не та неразличимость, которая есть перво–принцип. Там была неположенная неразличимость, неразличимость «как такая», «вообще». Здесь же мы находимся в сфере реальных актов полагания, и потому здесь неразличимость положенная, утвержденная, распростертая. Там она была перво–прин–цип, рождающий всякое число и всякую числовую операцию; здесь же это геометрический континуум и геометрическая величина вообще. Таково это экстенсивное число и экстенсивная аксиоматика.

Интенсивное и экстенсивное число мы синтезировали в § 9 в эйдетическое число, которым занимается т. н. теория множеств. В определении множеству совсем не повезло в математике. Его определяют настолько общо и тавтологично («совокупность, объединенная в целое», «многое, мыслимое как одно» и т. д.), что такое определение подошло бы решительно ко всякому предмету — реальному, нереальному, возможному, невозможному и т. д. Откладывая детальное развитие понятия множества до соответствующего отдела нашего сочинения, мы должны будем коснуться все же самого существенного, раз вопрос поднят о систематической аксиоматике. И это существенное укажет нам, что множество вбирает в себя континуум, который в геометрическом пространстве дан как овеществленная и самостоятельно гипостазированная инаковость едино–раздельного числа. Эта совмещенность арифметического числа с его инобытием сказывается в том, что отдельные единицы, «входящие» в число, не мыслятся здесь абсолютно самостоятельно, т. е. в зависимости только от своей категориальной значимости, [ч]то они мыслятся так или [иначе] расставленными. Вообще говоря, им свойственна здесь идея порядка. Разумеется, натуральный ряд чисел тоже есть упорядоченность. Но это та упорядоченность, которая зависит только от смыслового содержания самих «единиц», т. е. самих актов полагания, но не от той «плоскости», не от той арены, где происходит их расстановка. Во множестве же, если оно только вообще чем–нибудь отличается от обычного арифметического числа, мы находим взаимоотношение элементов, продиктованное также и формой их взаиморасположения, т. е. формой участия в числе того инобытия, в котором произведены акты полагания, характерные для данного числа. Это будет эйдетическая аксиоматика.

Наконец, существенно новую отрасль аксиоматики представляют собой аксиомы теории вероятностей. Эта теория символизирует собой переход от идеального числа в сферу биолого–социологической действительности, и тут должен фигурировать учет той «случайности» и самопроизвольности, которая так отличает жизнь и организм от всякой механической области.

Эти четыре ряда аксиом вполне специфичны. Вырастая на общем логическом скелете и внутренно определяясь общесмысловой логической последовательностью и системой, они тем не менее совершенно специфичны, ибо специфичны те области, для которых они призваны быть первыми основоположениями. Эту специфичность мы и должны сберечь во что бы то ни стало.

2. Стоит также предпослать конкретной аксиоматике раздельного числа и еще одну установку. Так как задачей аксиоматики является подыскание математического эквивалента для общедиалектических схем, то, разумеется, с первого же шага[18] мы должны будем расстаться с нашим постоянным термином «акт полагания» и вместо него употреблять то, что ближе к конкретной математике, хотя и соблюдая все еще необходимую для аксиоматики общность.

Что делалось у нас с актом полагания? Покинув сферу неразличимого перво–акта, он стал раздельным в себе и раздельным в сравнении со всем прочим. Пусть он со всей своей раздельностью перешел в «становление» и через «ставшее» стал некоторой «выразительной» формой. Всем этим диалектическим моментам должна соответствовать чисто математическая терминология. Если остановиться на самом общем, что тут происходит с актом полагания, то можно сказать, что акт полагания, разделяясь и дробясь в себе, отделяется и от других актов, хотя и вступает с ними в ту или другую связь. Иначе говоря, акт полагания начинает входить во взаимоотношение с самим собою и во взаимоотношение с другими актами. Но что значит быть во взаимоотношении с самим собою? Это значит быть целым и иметь части. И такое представление во многих отношениях и достаточно. Нам же невозможно сейчас остановиться на этом, так как тут фиксируются только весьма частные факты и не соблюдается общность, необходимая для аксиоматики. Наиболее общими терминами, рисующими взаимоотношение едино–раздельного акта с самим собою, будут термины «совокупность», «элемент» и «отношение». Позже мы увидим, что «совокупность» и «целое», равно как и «элемент» и «часть», — пары терминов, самым резким образом отличающихся между собой; также полезно на нашей ступени общности оставить термин «отношения», вводя спецификацию уже при анализе только отдельных областей.

Итак, самое общее положение вещей, с которыми имеет дело математическая аксиоматика, — взаимоотношение совокупностей со своими элементами, к чему, само собой разумеется, прибавляется и взаимоотношение самих совокупностей. Отныне мы можем уже не употреблять общелогический термин «акт полагания», а можем заменить его рассуждением о взаимоотношении совокупностей с их элементами и о взаимоотношении самих совокупностей. Правда, там, где ясность изложения будет требовать, мы не станем брезговать и этой общедиалектической терминологией.

Необходимо всячески подчеркивать, что эти три термина — «совокупность», «элемент» и «отношение» — суть только самые общие термины аксиоматики. Мы сейчас же увидим, как они специфицируются и по отдельным числовым областям, и в порядке собственного диалектического развития понятия «совокупность».

1. САМОТОЖДЕСТВЕННОЕ РАЗЛИЧИЕ § 45. Аксиома самотождественного различия в арифметике.

Перво–акт полагает себя и переходит из неразличимости в едино–раздельность, в бытие, если понимать этот термин в самом общем смысле. Кроме того, имея в виду, что дальше будет реализация этого едино–раздельного бытия в становление и ставшее, можно с достаточной выразительностью назвать его идеальным и соответствующие аксиомы — аксиомами идеальной структуры числа. Ибо перво–принцип уже не идеален; идея есть разумная раздельность, а он выше этого, т. е. выше, общее и самой идеи.

1. В этой области, однако, где утвержден акт в своей едино–раздельности, мы произвели в § 26 весьма важное членение, которое послужит нам путеводной нитью в установке аксиом. Именно, в § 26 мы видели, что «акт полагания» более конкретно может быть охарактеризован при помощи категорий различия, тождества, движения и покоя. Акт полагания не только есть или не есть он сам и свое иное («бытие» и «инобытие»); акт полагания, если он действительно есть едино–раздельность, или координированная раздельность, также различен с собою самим и со своим инобытием и тождествен с самим собою и со своим инобытием; он, кроме того, покоится сам в себе и в ином и движется сам в себе и в своем ином. Это разъяснено в § 26. Удобнее всего, как мы приняли в § 27, эти чисто смысловые (в отличие от алогизма становления) категории распределять так: бытие с инобытием, или определенное бытие; самотождественное различие и подвижный покой. Это подразделение чисто смысловой (или идеальной) сферы акта полагания мы и применим к нашей аксиоматике.

2. Начнем с категории самотождественного различия. Мы уже знаем, что отныне число у нас есть не что иное, как определенно оформленная совокупность элементов. Что получится для интенсивного числа, если в этом общем понятии совокупности элементов выставить на первый план категорию самотождественного различия? Заметим, что проведение аксиоматики решительно по всем детальным областям сейчас было бы нецелесообразно, так как то, что можно было бы считать аксиомой, т. е. основоположением, во многих отделах математики излагается в виде настоящих теорем; часто нам пришлось бы в этой главе об аксиоматике предвосхищать значительную долю содержания самых этих отделов. Поэтому в интенсивном числе мы ограничимся пока аксиомами арифметики (минуя алгебру и анализ), в экстенсивном числе — обыкновенной геометрией (минуя разные другие виды геометрии) и в эйдетическом числе — теорией множеств (минуя развитую теорию теоретико–множественного континуума и топологию).

Самотождественное различие арифметической совокупности с самой собой и с другими совокупностями указывает на то, что в самой совокупности 1) все элементы различны между собою и с самой совокупностью и 2) в то же время, все вместе взятые, тождественны с нею. Тут важна специфическая особенность интенсивного числа — быть зависимым только от своего самостоятельного, чисто смыслового, т. е. в данном случае количественного, содержания и не зависеть от своего инобытия. Если бы тут была зависимость от инобытия и элементы не только бы значили каждый согласно своему смысловому содержанию (количеству), а еще зависели бы от взаимной расстановки, тогда и сама совокупность была бы не просто количественной совокупностью, но содержала бы в себе еще специфическую, т. е. чисто эйдетическую, цельность. И тогда отдельный элемент, даже взятый сам по себе, уже содержал бы в себе энергию целости, а вся совокупность была бы не арифметическим числом, но «множеством». В арифметическом, т. е. чисто интенсивном, числе совокупность равняется своим элементам только в том случае, если их взять все полностью. Взятые вместе, они и есть эта совокупность; и ничего в совокупности нет иного, кроме суммы этих элементов.

3. Строго говоря, целое никогда и нигде не равняется сумме частей, и в арифметике число тоже не есть сумма всех своих единиц. Но мы помним: интенсивная совокупность есть нулевая в смысле своей инобытийности, в смысле участия инобытия (поскольку тут играет роль только само понятие элементов, т. е. их количественная значимость). Примышлять нулевую инобытийность не значит продолжать рассматривать целое как простую сумму его частей. Как только мы, взявши простую сумму всех частей, примыслим тут, что это взятие есть нулевое в смысле инобытийности, так мы тем самым уже перестали иметь дело с голой суммой всех частей. Мы уже тем самым отличили ее как таковую от всего прочего, т. е. превратили в целость. Целость эта, разумеется, инобы–тийно–нулевая, а не инобытийно–содержательная, которая во «множестве» является уже источником для специфического упорядочивания множеств.

4. Итак, самотождественное различие элементов в арифметической совокупности определяет собой абсолютную изолированность этих элементов друг от друга, так что арифметическое число есть сосгавленность из таких элементов, которые но смыслу своему совершенно чужды один другому. Этот же результат можно выразить и иначе. Именно, каждые два (или несколько) взаимно изолированных элемента могут быть объединены в самостоятельную совокупность, смысловое (т. е. чисто количественное) содержание которой ничем не будет отличаться от их простой суммы. Однако, строго говоря, мы еще не имеем права употреблять такую категорию, как «сумма»; анализ ее—дело нашего дальнейшего исследования. Потому покамест и не стоил вводить этот термин в нашу формулу. Тогда получаем такую формулу.

Аксиома самотождественного различия в арифметике: арифметическое число есть совокупность абсолютно изолированных элементов.

К этому необходимо прибавить, что, может быть, точнее и яснее было бы говорить здесь о самотождественной совокупности; элементы совокупности различны и взаимно изолированы, а в самой совокупности они отождествляются, так что, хотя она дана сама по себе как единый и нераздельный акт, она все же по смыслу своему равна всем тем элементам, из которых она состоит. Это и есть самотождественное различие. Однако мы не станем соблюдать здесь педантизм в абсолютной мере. Термин «совокупность» уже достаточно говорит о том, что элементы как–то тождественны на лоне чего–то общего и цельного; и, пожалуй, не стоит загромождать и без того тяжелую терминологию разными тонкостями там, где более или менее можно без них обойтись.

5. Если есть а и есть Ъ, то по этой аксиоме должно быть и некое с, состоящее из этих а и b. Или, выражаясь конкретнее, но при помощи не вполне ясных пока терминов, будем иметь

а + b = с.

Тут мы говорим о «сложении». Но разумеется, раз есть сложение, то возможны и все другие действия. Поэтому лучше не прибегать к этой буквенной формуле, а считать ее только примером. На точность может рассчитывать только приведенная общая аксиома.

6. Аксиома не должна вскрывать полностью содержание науки. Она есть только, как мы знаем, предустановка этого содержания и его максимально обобщенная форма. В свете аксиомы науки должна рассматриваться и вся наука. Поэтому не все, что дается в самой науке, очевидно уже на степени аксиомы. Аксиома — только предустановка, а применение ее в конкретном содержании науки может быть весьма сложным и даже неожиданным. Такая сложность заметна, напр., в применении анализируемой аксиомы к трем принципиальным категориям — к «нулю», «единице» и «бесконечности». Разумеется, полное понимание этого вопроса может быть только после существенного и достаточно обстоятельного анализа этих проблем, что и будет дано нами в своем месте. Сейчас же мы ограничимся только самыми общими установками, соответственно общности аксиоматики.

Именно, приложима ли данная аксиома к нулю или нет? Другими словами, можно ли рассматривать нуль как некое числовое самотождественное различие, как самотождественную совокупность абсолютно изолированных моментов? На первый взгляд это, конечно, невозможно. Однако нуль не есть уж такая абсолютная пустота, о которой и сказать ничего нельзя. «Пустота» — это понятие относительное. Если мыслится что–нибудь пустое, это значит, что возможно где–то и как–то не–пустое и даже прямо наполненное, но что оно в данном случае отсутствует. А так как нас интересует именно мыслимость, то ясно, что момент наполненности как–то должен примышляться и в нуле. Но что такое наполненность? Это ведь и есть совокупность. Нуль мыслится только тогда, когда мыслится и некая совокупность. А так как нуль есть величина, стоящая в ряду натуральных чисел, то отсюда необходимо делать вывод, что это именно арифметическая совокупность, т. е. тождество абсолютно изолированных элементов в условиях их чистой и самостоятельной, а не инобытийной значимости. Итак, идея нуля оформляется только при помощи понятия арифметической совокупности. Правда, понятие это участвует в нуле оригинально, и эта оригинальность определяется всецело своеобразием категории самого нуля. Тут дело не в арифметической совокупности, которая — как принцип — та же самая, что и вообще во всяком арифметическом числе, но дело в своеобразии той сферы, где этот принцип совокупности осуществлен. Заметим, что в теории множеств нуль вообще и нуль–множество тоже отличаются между собой. И это различие совершенно правильное, хотя и проведено в теории множеств (как и большинство [других ее] проблем) вполне слепо и наивно.

То же самое нужно сказать и о «единице». Было бы очень грубо понимать совокупность изолированных элементов только как совокупность многих элементов. Единство тоже предполагает множество. Мыслить что–нибудь единым — значит предполагать, что тут возможна и множественность. Единство и множество немыслимы друг без друга; они друг друга определяют. Конечно, определяют они друг друга мысленно, смысловым образом, так как по факту единый предмет не обязан быть в то же время и множественным. Но ведь мы тут занимаемся как раз смысловыми определениями. Потому и «единица» необходимым образом содержит в себе понятие множественности, т. е. совокупности.

Наконец, своеобразно применение принципа самотождественного различия в сфере понятия бесконечности. Тут тоже все дело не в отмене или ограничении аксиомы, но в своеобразии сферы, где она применяется. Что бесконечность есть совокупность изолированных элементов, это едва ли вызовет сомнения. Тут важно то, что бесконечность есть не только совокупность изолированных элементов. Бесконечность есть что–то и другое, так как невозможно получить бесконечность из конечного числа путем последовательного прибавления единицы. Бесконечность не аддитивна, и вот эта–то сторона и не схватывается вполне аксиомой самотождественного различия. Однако эта аксиома не единственная, и она не обязана выражать все решительно свойства арифметического числа. Достаточно того, что она выражает только одно несомненное свойство. А это свойство бесконечности — быть совокупностью изолированных элементов — вполне несомненно.

Переходим теперь к экстенсивному числу.

§ 46. Аксиома самотождественного различия в геометрии.

1. Что даст категория самотождественного различия в экстенсивном числе, т. е. прежде всего в геометрии! Геометрия вырастает на отрицании чистого числа; она есть утвержденность отрицания чистого числа, его гипостазированная инаковость. То, что обычно называется геометрическим «пространством», есть ведь именно рас–простертость чего–то. Чего же? Конечно, не чего иного, как числа. Число здесь не есть та простая и внутренно раздельная структура, с которой мы имели дело в арифметике. Число гут вышло из себя, покинуло свою самособранность и как бы расплылось, размылось, распростерлось. Это и значит, что оно перешло в свое отрицание, и это отрицание тут утвердилось, оно положено как самостоятельная структура, в которой находятся те же самые общеарифметические категории — напр., самотождественное различие, — но находятся в совершенно новой форме, форме той инобытийной модификации, которую претерпевает здесь и все число. Итак, что же такое самотождественное различие в этой инобьггийно–числовой геометрической области?

2. В интенсивном числе совокупность элементов и элементы даны просто, сами по себе; в них нет никакого различия, кроме того, которое свойственно им самим. В этом смысле арифметическая совокупность не содержит в себе различия между своим количественным содержанием и актами своего полагания. Это различие тут не положено, его нет. В геометрической величине число перешло в свое инобытие, т. е. произошел разрыв между его количественной значимостью и его бытием, актами егр полагания. Геометрическое пространство есть инобытие арифметического числа; это значит, что тут иное, противоположное взаимоотношение смысла (количества) и факта (актов полагания).

Арифметическое число есть такая совокупность элементов, в которой сколько актов полагания, столь же велика и сама совокупность. Вся совокупность дана сразу, самотождественно, но в ней [есть и] некое определенное количество разных изолированных актов полагания. И сколько оказалось таких актов полагания, такова и есть количественная значимость этого единого и общего акта полагания цельной совокупности. В геометрическом инобытии мы находим иное отношение. Здесь замолкает количественная значимость совокупности — так же, как это бывает и со всякой идеей, когда она переходит в инобытие. Перейти в инобытие — значит стать иным себе, забыть о себе, стать не тем, что было раньше. В геометрической совокупности забыта арифметическая значимость совокупности; она превращена тут в нечто неразличимое. В арифметической совокупности мы ясно различали отдельные элементы; и эта ясность была так велика, что элементы такой совокупности мы назвали выше изолированными. В геометрической совокупности погасла эта изолированность и все элементы слились в одно неразличимое тождество. Тем не менее акты полагания этих слившихся элементов тут совершенно различны, и их очень много, их бесконечное количество. В арифметической совокупности сколько было актов полагания (элементов), столь велика была и совокупность этих элементов. В геометрической же совокупности вовсе не столько различимых элементов, сколько актов полагания. Актов полагания тут бесконечное количество, а различимых моментов нет ни одного.

Вот это–то и значит, что тут мы имеем дело с пространством или, говоря вообще, с континуумом. Континуум как раз и есть бесконечно большое количество актов полагания, но в то же время — полная их взаимная неразличимость. Это–то и есть пространство, т. е. распро–стертость: актов полагания, или элементов, очень много, а в смысловом отношении они совершенно неразличимы; по своему факту такая совокупность бесконечно велика, а по своему смыслу она есть совершенный нуль, полная неразличимость и самотождество.

Такое положение дела, очевидно, есть диалектическая противоположность арифметическому числу. В последнем число элементов определенно и соответственно определяется их совокупностью; в геометрической же совокупности число элементов неопределенно велико, а на определенность самой совокупности это ровно никак не влияет, так что она остается по смыслу своему без всякого определения.

Отсюда становится ясной и функция рассматриваемой нами категории самотождественного различия в инобы–тийной геометрической совокупности. Эта категория, действуя здесь в инобытии, очевидно, различает и отождествляет элементы совокупности в их инобытийном положении, т. е. различает и отождествляет не их самих, но их инобытийные корреляты. Что тут значит «различает»? Это значит различает не их самих (сами они, как мы знаем, остаются в континууме неразличимыми), но только акты их полагания, поскольку самый акт полагания необходимо инобытиен в отношении того, что именно полагается. А что значит, что эта категория «отождествляет»? Это значит, что она отождествляет не самые элементы (самые элементы были бы всегда различны, и отождествление их в единстве их совокупности никогда не помешало бы этой совокупности с абсолютной точностью отражать на себе все различие элементов); и, отождествляя не самые элементы, категория самогождествен–ного различия отождествляет только их инобыгийный коррелят, т. е. отождествляет их только так, как способно инобытие; происходит не столько отождествление, сколько объединение, гак как инобытие но самому существу своему не способно на абсолютное тождество.

3. Сейчас на примере это станет вполне ясным. Акту полагания в арифметической совокупности соответствуют «единицы»; акту полагания в геометрической совокупности соответствует «точка». Если в настоящем месте нашего исследования не может еще стать сразу ясным, что такое самотождественное различие в «точке» (ибо еще не вскрыта вся диалектика точки), то на «линии», во всяком случае, это сразу должно стать ясным. Именно, пусть дана точка; и спросим, что будет с нею, если применить к ней категорию различия. Будет то, что мы должны будем помыслить еще другую точку. Другой эта точка может быть, очевидно, реально тогда, когда она дается в другом месте; иначе это будет та же самая точка, и наша категория не осуществится. Итак, уже на категории различия видно, что тут мы всецело в области инобытия. В арифметическом числе нет этого «другого места»; там есть только другой акт полагания, а никакого «места» не мыслится. Вернее, там тоже мыслится «место», но только в виде чисто смыслового же инобытия, т. е. внутри смыслового инобытия, ибо без такого инобытия не было бы и самой раздельности в числе, а был бы неразличимый перво–принцип. В геометрической совокупности мы имеем дело с вне–числовым инобытием. Тут не отдельный акт полагания дан отлично от другого и «находится» «вне» его, но все число, со всеми своими внутренними актами полагания, число как таковое, перешло в свое инобытие и хочет воплотиться и осуществиться вне себя самого. Отсюда и своеобразие различия, царящего в этой новой — инобытийной — совокупности. Это есть различие положенных актов целокупного числа, являющее себя как различие «мест» в пространстве.

Но ведь у нас не различие, а самотождественное различие. Как же действует в изучаемом инобытии эта категория тождества? Тождество должно быть здесь, очевидно, тождеством инобытийных моментов. Но инобытий–ные моменты, как мы только что видели, оказываются тут «местами пространства». Что же значит отождествить два таких «места»? Что значит отождествить различенные нами две точки? Не забудем: отождествление должно быть не чисто смысловым, но инобытийным, т. е. пространственным, отождествлением. Итак, что же значит пространственно отождествить две точки? Это значит их объединить, т. е. провести между ними прямую. Прямая есть, таким образом, точка, данная как самотождественное различие. Этим мы нисколько не определяем еще прямую. Как увидим в своем месте, это определение, если гнаться за его диалектической точностью, будет гораздо сложнее. Но мы сейчас и не хотим давать определения отдельным геометрическим совокупностям. Тут совсем не место. Но мы привели очень хороший пример того, как нужно понимать функционирование самотождественного различия в инобытии и каковы подлинные инобытийные свойства совокупности, когда она перестает быть арифметическим числом и переходит в геометрический континуум. Чистый континуум, конечно, не дает фигуры, и потому различные отдельные точки его по своему смысловому содержанию просто совпадают; их инобытийное объединение тождественно простому их совпадению. В фигурах же инобытийное объединение переходит из нулевого состояния в реальное, и мы получаем линии, плоскости и тела.

4. Теперь мы можем формулировать и обследуемую нами аксиому.

Аксиома самотождественного различия в геометрии: геометрическая величина есть совокупность абсолютно изолированных элементов в их инобытии. Или подробнее: геометрическая величина есть совокупность элементов, абсолютно изолированных по актам своего полагания и тождественных, неразличимых по своему смысловому (чисто количественному) содержанию или различимых, но — вне своих чисто смысловых различий. Или еще: совокупность элементов, различающихся по актам своего внешнего полагания и отождествленных в результате такого внешнего полагания.

Аксиомы науки суть высшая и наибольшая общность всех суждений, из которых состоит данная наука. Поэтому можно и ограничиться предложенной формулировкой аксиомы. Однако, забегая вперед и приближаясь к обычному стилю геометрической аксиоматики, мы можем дать ряд основоположений, которые будут гораздо конкретнее. Правда, для этого придется употреблять понятия и термины, относящиеся по своему логическому месту к гораздо более позднему изложению. И тут их придется употреблять в том сыром виде, какой они имеют в нашем повседневном сознании. Так же и в предыдущей аксиоме, перейдя к более конкретному изложению, мы употребили термины «сложение» и «арифметическое действие», не вкладывая в них пока совершенно никакого диалектического смысла. Здесь же придется заговорить о «точках», «линиях», «плоскостях» и «телах» — категориях, диалектику которых мы дадим значительно позже. Правда, у всех решительно аксиоматиков дело обстоит не иначе. Можно сказать, что никто еще не посмел прикоснуться к раскрытию логической тайны этих понятий и все ограничиваются только ничего не говорящей ссылкой на их общезначимость и общепонятность.

Именно, как мы видели, самотождественное различие точки, вообще говоря, есть прямая. Точно так же можно сказать: самотождественное различие прямой есть плоскость; самотождественное различие плоскости есть тело. В соответствии с этим можно в таком более конкретном виде представить общую и отвлеченную аксиому самотождественного различия в геометрии.

1. Две различные точки вполне определяют собою прямую.

2. Три точки, не лежащие на одной прямой, вполне определяют собою плоскость.

3. Четыре точки, не лежащие в одной плоскости, вполне определяют собою пространственное тело.

Общая аксиома у нас гласит: геометрическая совокупность— такая совокупность, в которой абсолютно изолированные элементы даны в своем инобытии. В приведенной конкретизации: абсолютно изолированные элементы суть точки—две, три, четыре (их может быть сколько угодно); совокупность — это отождествление данных точек; инобытие — это общепространственное отождествление точек, общепространственное их объединение.

5. На основании трех указанных конкретных аксиом самотождественного различия должны возникнуть и другие основоположения, которые, чем дальше, тем становятся все конкретнее и конкретнее и переходят в реальное содержание геометрии как науки. Многие аксиоматики, и в том числе Гильберт, помещают, однако, в число аксиом и такие основоположения, которые отнюдь не являются самыми первыми и легко выводимы из трех формулированных нами выше. Так, в этой группе аксиом, которая у Гильберта и у других называется «аксиомами сочетания» (очевидно, соответствует нашей группе аксиом самотождественного различия), Гильберт помещает кроме аксиомы об определении прямой двумя точками еще следующие аксиомы.

а) «Любые две различные точки прямой определяют эту прямую» (12)[19]. Эта аксиома, очевидно, есть повторение или в крайнем случае детализация первой, ибо когда говорится, что две точки определяют прямую, то имеются в виду не какие–нибудь особенные точки, а просто точки вообще, всякие точки, в том числе и лежащие на данной прямой, лишь бы они были различны, т. е. лишь бы они находились в разных местах. Таким образом, уже первая аксиома говорит о любых двух точках, и вторая аксиома только словесно отличается от первой. Раз мы уже постулировали, что две различные точки вполне определяют собою прямую, то, поскольку здесь не высказывается никаких ограничений, совершенно свободно можно иметь в виду как вообще любые две различные точки, так и любые две различные точки данной прямой. Поэтому степень общности первой и второй аксиомы у Гильберта во всяком случае неодинаковая: вторая аксиома вполне определенно есть частный случай первой.

b) «На прямой вообще существует по крайней мере две точки» (13). Эта аксиома с логической точки зрения также есть не больше как сырой материал — может быть, и полезный. Во–первых, если уже сказано, что две точки вполне определяют прямую, то ясно, что они–то уже во всяком случае должны иметь место на этой прямой. Как же это возможно, чтобы прямая определялась двумя точками, а самих этих двух точек на ней не было бы? Это нелепость. Во–вторых, данная аксиома могла бы получить определенный смысл в том случае, если бы прямая могла быть определена не только двумя различными точками. Тогда аксиома 11 говорила бы только о достаточности определения прямой двумя точками, а вовсе не о его необходимости. Мы тогда определяли бы прямую двумя точками между прочим, так как возможно, что этих двух точек на ней и не оказалось бы. И тогда постулат о двух точках на прямой действительно был бы новостью. Если это так, то как же еще можно определять прямую, — в аксиомах Гильберта ничего не сказано.

В–третьих, Гильберт как бы рассуждает так: я ничего не знаю о том, что такое точка, прямая, и плоскость, и пр.; для меня это просто какие–то «системы вещей», о смысле которых я впервые только еще условливаюсь; и если я постулирую, что некая вещь, называемая прямой, определяется двумя точками, то это еще не значит, что две точки обязательно в ней содержатся, подобно тому как, определяя близорукость диоптриями, я этим еще ровно ничего не предрешаю в вопросе о том, что такое близорукость вообще и какими вообще средствами ее можно определить. По–видимому, в этом и скрывается весь секрет гильбертовских аксиом. Гильберт «не знает», что такое прямая; и, определивши ее двумя точками, он еще «не знает», имеются ли эти две точки на ней фактически или нет. Такая позиция, однако, для философа есть жалкие и наивные потуги на критицизм и на логику.

В самом деле, допустим, что Гильберт действительно не знает, что такое прямая. Вот он «условился»: будем называть прямой то, что определяется двумя различными точками. Если он действительно «не знал» прямую, а знал только точки (почему точка понятнее прямой — тоже неизвестно), то мы вправе его спросить: а что значит «определяется»? Нам известно только, что такое точка, и мы говорим: «Прямая определяется двумя точками». Но что же это такое «определяется»? Если одна точка не есть прямая и другая не есть прямая, то откуда же две точки «определили» прямую? Если имеется два голодных желудка, то на каком основании Гильберт утверждает, что два голодных желудка определяют один сытый желудок? Или это «определение» употреблено у Гильберта в совершенно неясном, непроанализированном смысле: тогда «определение» прямой через две точки ровно ничего не говорит, это пустые звуки, и тогда действительно надо еще отдельно постулировать наличие двух точек на прямой; или Гильберт свое «определение» понимает в обычном — правда, тоже совершенно наивном, но зато вполне ясном—смысле, когда мы приставляем к двум точкам линейку и реально проводим прямую; но тогда постулат о наличии двух точек на прямой уже содержится в определении прямой двумя точками.

Как образец наивности Гильберта в этом отношении можно привести слова из § 2 его «Оснований геометрии»: «Вместо термина «определяют» мы будем употреблять и другое, — напр., а «проходит» «через» А и «через» В, а «соединяет» А «и» В или а «соединяет» А «с» В. Если А есть точка, которая с другою точкою определяет прямую а, то мы употребляем также выражения: А «лежит на» а, «существует точка» А и т. д. Если А лежит на прямой а и сверх этого на другой прямой [£], то мы говорим: «прямые» а «и» [b] «имеют общую точку А» и т. д.». Эти слова наивны потому, что они беспомощно открывают тайный интуитивный корень всего гильбер–товского формализма. Оказывается, «определение» это и есть не что иное, как обычное помещение двух точек на прямой. Но тогда уже в первой аксиоме содержатся все прочие «аксиомы сочетания» о точках и прямой.

с) Гильберт—формалист; он хочет изгнать всякую интуицию из математики и заменить ее логическими определениями. Пуанкаре[20] пишет: «Гильберт старался, так сказать, представить аксиомы в такой форме, чтобы они могли быть прилагаемы лицом, которое не понимало бы их смысла, потому что никогда не видело ни точки, ни прямой, ни плоскости. Рассуждения должны, по его мнению, приводиться к чисто механическим правилам; и для того чтобы строить геометрию, достаточно рабски прилагать эти правила к аксиомам, не зная, что они, собственно, выражают. Таким образом можно было бы построить всю геометрию, я не скажу, ничего в ней не понимая, потому что будет понятно логическое сцепление предложений, но по крайней мере ничего в ней не видя. Можно было бы вставить аксиомы в логическую машину, напр. в логическое пианино Стенли Джевонса, и из нее вышла бы вся геометрия». Таким образом, весь смысл предприятия Гильберта заключается в изгнании всего интуитивного и в замене его логикой, потому что только с такой точки зрения и можно оправдать те повторения и тавтологии в аксиомах, которые были отмечены выше и с которыми нам еще придется встретиться ниже. Но вот оказывается, что в самое начало, в самую душу геометрии введена самая обыкновенная интуиция: «проходит через», «лежит на», «соединяет» и пр. Она не уничтожается от того, что эти слова Гильберт ставит в кавычках. Но я повторяю: если «определение» прямой двумя точками есть интуиция, то все прочие аксиомы уже в ней содержатся.

d) Такая же тавтология и путаница у Гильберта и в плоскостных аксиомах. О том, что любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, определяют эту плоскость (Г 5), говорится уже в основной аксиоме об определении плоскости (Г 4). Аксиома же 16: «Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости а, то и всякая точка прямой а лежит в плоскости а» есть не что иное, как следствие аксиомы Г1, потому что если линия вполне определена двумя любыми точками, то ясно тавтологически, что, какие бы две точки на этой прямой ни были взяты, они будут относиться именно к этой прямой, а если вся линия — на плоскости, то и любая точка ее необходимо на той же плоскости. Аксиома Г 7 о том, что «две плоскости имеют по крайней мере две общие точки, если имеется одна общая точка», также есть только следствие из определения плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Что же касается последней аксиомы Г 8: «Существует по меньшей мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости», то, во–первых, почему–то не сформулировано здесь то, что именно определяется этими четырьмя точками, т. е. тело, в то время как в предыдущих аксиомах формулировалось именно определяемое (линия и плоскость). Во–вторых же, самый способ формулировки этой аксиомы производит несколько наивное впечатление своей сугубой осторожностью и трогательно–деловитым критицизмом. Если Гильберт считает, что признание четырех точек не в одной плоскости есть ничем не доказанная предпосылка геометрии, вводимая нами на веру и потому фиксируемая в виде аксиомы, то ведь тот же самый критицизм можно проявить и к возможности трех точек не на одной линии, и к возможности двух точек вообще. По–моему, также и признание возможности одной какой–нибудь точки ровно в той же мере достоверно и в той же мере сомнительно, что и признание четырех точек. И тогда надо было бы ввести еще три аксиомы: «Существует по крайней мере одна точка»; «Существуют по крайней мере две разные точки»; «Существуют по крайней мере три точки не на одной линии». Это, конечно, было бы наивно и пусто. Все геометрические фигуры, равно как и всякое арифметическое число или действие, совершенно одинаковы в смысле своей достоверности и очевидности; и нужно эту достоверность вынести сразу раз навсегда за скобки и ограничиться логической системой того, что остается внутри этих скобок. Рассуждать же о достоверности и реальности предметов знания вообще не дело математиков.

е) Но попробуем стать на точку зрения самого Гильберта, который не хотел подчеркивать достоверность трехмерного пространства (хотя даваемая им формулировка и вводит в заблуждение), а хотел возможно короче выразить «аксиомы сочетания» (потому что аксиома 18 уже предполагает существование трех точек не на одной прямой, существование двух точек, различных между собой, и, наконец, существование одной точки). Если подходить к аксиоме 18 именно так, то здесь получится некая невязка: предметную общность аксиом Гильберт заменяет внешнею общностью, которая если и имеет какой–нибудь смысл, то только чисто интуитивный. Если имеется трехмерное пространство, то всякий скажет, что тем самым имеется и двухмерное, и одномерное; и для краткости речи, конечно, можно сказать, что пространство по меньшей мере трехмерно. Но эта краткость речи не имеет ничего общего с аксиоматической общностью. Все равно смысл того, что Гильберт хочет сказать в аксиоме 18, заключается именно в утверждении существования пространства одного, двух, трех и т. д. измерений. И если Гильберт скажет, что из I 8 логически вытекает существование двух и одного измерений (в этом, по–видимому, смысл такой краткости речи), то логически также и из одного измерения вытекает два измерения, а из двух — три (подобно тому как единица предполагает двойку, двойка — тройку и т. д.) и логически с таким же успехом можно было бы вместо аксиомы I 8 сказать: существует по меньшей мере одна точка.

Беда только в том, что если действительно стоять на точке зрения абсолютного формализма, то ни из единицы нельзя получить двойку, ни из одномерного пространства нельзя получить двухмерное, так как все эти переходы не просто логические. Из того, что существует точка, ровно не следует, что существует и прямая; и из наличия четырех точек не в одной плоскости ровно не следует (формальнологически не следует), что существуют и три точки не на одной прямой или две вообще различные точки. Если идет дождь, то это еще не значит, что посеянному хлебу от этого полезно, хотя, вообще говоря, хлебу дождь полезен. И из того, что точка полезна для определения прямой, вовсе не вытекает, что прямая обязательно должна существовать, если существует точка. Все дело в том–то и заключается, что тут не просто формальная связь абстрактных понятий, но интуитивная очевидность и тут даже вовсе не понятия, а математические факты. Только интуитивно одно измерение предполагает другое, так как если мы фиксируем прямую, то тем самым косвенно фиксируем и плоскость, на которой она находится. Но Гильберт изгоняет всякую интуицию.

Будем понимать под логическим отношением то, простое и ясное, что имеется каждым в виду, когда заходит речь о логике. Логически определять что–нибудь — это значит выводить его как частное из чего–нибудь общего или как общее из чего–нибудь частного. В этом смысле точка ни в каком смысле не есть ни что–нибудь общее для прямой, так как, сколько бы мы ни дробили точку, мы никогда не получили бы прямую в качестве логического вида понятия точки, ни прямая не есть что–нибудь общее для точки, так как, сколько бы мы ни дробили прямую, мы никогда не получили бы точку — ни как вид понятия прямой, ни даже просто как часть самой прямой. Точно так же никаким ни логическим, ни материальным переходом мы не можем получить из трехмерного пространства двухмерную плоскость, сколько бы мы ни дробили его как некое общее понятие на частные виды или как некую большую вещь на меньшие части и сколько бы мы ни дробили в этом же смысле самую плоскость. Переходя от измерения к измерению, мы совершаем не силлогистическое умозаключение, но чисто интуитивное. И если в аксиоме Гильберта I 8 прочие измерения содержатся геометрически, то это значит только то, что геометрия вовсе не есть логика и что различные измерения связаны между собой совсем не логически. Поэтому надо было бы с точки зрения гильбертовского формализма выставлять бесконечное количество аксиом о существовании измерений (ибо измерений—тоже бесконечное количество).

f) Не нужно перевирать всю эту критику гильбертов–ской аксиоматики. Из того, что критикуется формализм и защищаются права интуиции, совершенно не следует, что только одна интуиция и существует вообще в математике. Это самый бездарный способ возражения, когда защищаемое вами положение начинают трактовать как единственное вами допускаемое. Читателю небезызвестно, что настоящее сочинение излагает диалектические основы науки, а для диалектики и формализм, и интуитивизм есть только противоположности, которые в конкретной науке слиты в нерасторгаемое единство. Гильберт не дает никаких определений понятиям точки, прямой и пр., хотя с точки зрения своего формализма он и обязан был сделать это в первую голову. И вообще всякая наука должна основываться на некоторых первоначальных дефинициях, которые мы постулируем, несмотря ни на какие права интуитивных данных. Всякая интуиция должна иметь свой логический коррелят, — поэтому никто не может упрекнуть автора этой книги в абсолютизации данных интуиции. Но Гильберт не только не хочет давать этих первоначальных определений. Он и не может их дать, потому что всякое логическое определение есть коррелят определенной интуиции, а он последнюю начисто отрицает. И получается основная неясность, почему рассматриваемые им геометрические элементы образуют именно такие, а не иные «сочетания». Поэтому, отказавшись от определений вначале, он пытается проводить их в дальнейшем, протаскивая интуицию исподтишка.

Нечего и говорить о том, что никакая логика, даже самая правильная, никогда не угонится за непосредственным опытом. Постулируя, напр., что прямая имеет по крайней мере две точки, он должен постулировать наличие трех, четырех и т. д. точек, потому что, как хорошо знает с самого начала всякий интуитивно, любая прямая содержит бесконечное количество точек. Но Гильберт этого «не знает». А тогда мало сказать, что прямая содержит по крайней мере две точки, так как отсюда еще вовсе не вытекает, что прямая содержит три точки. Если для Гильберта наличие двух точек на прямой еще не вытекает из самого факта прямой и приходится по этой причине выставлять особый постулат о двух точках, то из наличия двух точек формально тоже вовсе еще не вытекает наличие трех, а из наличия трех не вытекает наличие четырех точек на прямой. Другими словами, опять–таки, только написавши бесконечное количество аксиом, можно было бы охарактеризовать прямую как она есть. Да, впрочем, и самой бесконечности тут не хватило бы, потому что никакая бесконечность точек все равно не может составить одной прямой. Но эта нелепость всегда была там, где рассудок садится на место интуиции.

Наконец, совершенно неудовлетворительно у Гильберта и понимание всего этого раздела аксиом как аксиом сочетания (Verknupfung). Если прямая определяется двумя различными точками, плоскость — тремя точками не на одной прямой, то Гильберт напрасно думает, что тут имеются в виду просто сочетания элементов (если «сочетание» не есть просто условный заголовок этого разряда аксиом). Прямая, плоскость и пространство вовсе не есть сочетание точек. Как бы мы ни «сочетали» точки, мы никогда не получим даже прямой, не говоря о всех прочих измерениях. И если бы мы захотели всерьез назвать ту категорию, под которой существуют все эти аксиомы, мы сначала 1) столкнулись бы с тем фактом, что точка везде абсолютно тождественна самой себе, в каком бы виде мы ее ни брали. Затем 2) мы увидели бы, что точки все могут быть разными (или, обывательски говоря, могут «находиться в разных местах»); они — различны. Наконец, это самотождественное различие точки 3) не может тут браться во всей своей смысловой чистоте, ибо в таком случае мы понимали бы точки не как точки, но как отвлеченные арифметические единицы и вместо прямой из двух точек мы имели бы только отвлеченную арифметическую двойку. Надо это самотождественное различие погрузить в инобытие, т. е. надо, чтобы различие стало безразличием, а самотождество стало постоянным самопротивоположением. Тогда мы получаем самопротивополагающееся безразличие, т. е. алогическое становление, а это и делает впервые возможным перейти от арифметики к геометрии, от числа к пространству, т. е. впервые дает возможность сплошным образом соединить две различающиеся точки. Пусть у нас имеются две различные точки. Это еще не значит, что у нас есть прямая, так как тут пока только чисто арифметическое, отвлеченно–смысловое самотождественное различие точек. Но вот мы представили себе, что эти две точки переходят одна в другую в порядке самопротивополагающейся (или в каждый момент все новой и новой) неразличимости, т. е. в порядке инобы–тийной структуры самотождественного различия точек. Тогда это значит, что мы от одной точки к другой проведем прямую, т. е. впервые получим самую прямую, ибо между нашими двумя точками появилась целая бездна различных точек, но все они не отличны одна от другой.

И вот этот сложнейший диалектический процесс конструирования прямой из точек Гильберт хочет перепрыгнуть одним глупым словечком «сочетание».

Общую установку для диалектического получения основных геометрических элементов читатель найдет ниже, в § 55.3, 4.

§ 47. Аксиома самотождественного различия в теории множеств.

1. Множество отличается от простого арифметического числа инобытийным гипостазированием входящих в него единиц или — в дальнейшей идее упорядоченности, что и модифицирует принцип самотождественного различия вполне своеобразно, совсем не арифметично и совсем не геометрично. В арифметическом числе все единицы и тождественны, и различны, и во множестве все элементы тождественны и различны. Но во множестве каждый элемент еще заново отличается от другого элемента; тут как бы различные единицы. И понимать это надо не в том смысле, что эти единицы только различны, а в том, что они, будучи и различными, и тождественными, одновременно положены в инобытии, так что самотождественное различие оказывается здесь положенным в инобытие (как в геометрии), хотя это инобытие (в отличие от геометрии) мыслится здесь только числовым образом. Каждая единица оказывается здесь как бы меченой, откуда подобное инобытийное гипостазирование и является зародышем идеи порядка, перво–принципом упорядочивания. Таким образом, в глубине самого понятия множества лежит нечто, указующее на то, что принципиально всякое множество может быть мыслимо как упорядоченное и даже как вполне упорядоченное.

Во множестве отдельные единицы различны; и при этом говорится, что не важно, чем они различны: значит, тут играет роль сама категория различия. Но единицы эти также и тождественны между собою: значит, имеется в виду самотождественное различие. Наконец, поскольку единицы самотождественно различны и во всяком арифметическом числе, приходится искать спецификум еще в другом. А это и есть инобытийное полагание самотождественного различия, но без геометрической простран–ственности этого инобытия.

2. Однако необходимо остановиться на самой идее порядка ввиду неясностей, царящих в самой теории множеств. Основной логической невязкой в этом вопросе является то, что обычно множество определяют без помощи понятия инобытийного гипостазирования. Эти «определения» обычно сводятся к словесной тавтологии: множество — это множество. Мало того, существует термин «упорядоченное множество» и даже «вполне упорядоченное множество», хотя тут же существует утверждение, что всякое множество можно представить как вполне упорядоченное множество. Это обычная неясность у математиков, подавляющее большинство которых совершенно не имеет никакой логической школы ума. И она весьма затрудняет понимание математического материала, заставляя верить не формулировкам и не словесным (главным образом буквенным и вообще значковым) нагромождениям, но лишь конкретному исследованию и шаг за шагом прослеживать способы манипуляции над данным числовым материалом.

а) В вопросе об упорядоченности множеств и получается такая невязка: множество вполне определяется без момента инобытийной положенное числа, а тем не менее еще до введения этого момента уже пускаются в ход такие методы, которые имеют смысл в условиях упорядоченности. Именно, различаются понятия мощности и типа множества. Мощность множества — это то, что обще всем эквивалентным между собою множествам; тип есть то, что обще всем подобным между собою множествам. Что же такое эквивалентность и подобие? Одно множество эквивалентно другому, если элементы одного могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие с элементами другого множества. Подобно же одно множество другому тогда, когда оба они «могут быть наложены друг на друга». Наложение же выставляется как возможное только в случае, когда взаимно однозначное соответствие между элементами обоих множеств связано с относительным порядком каждой пары элементов того и другого множества. Отсюда мы вправе сделать вывод, что эквивалентность, т. е. взаимно однозначное соответствие, мыслится здесь вне принципа взаимоналожения и подобия, т. е. вне принципа упорядочивания. Спрашивается, в чем же, собственно говоря, два множества могут быть эквивалентными? Идеи порядка элементов нет; следовательно, остаются элементы, абсолютно изолированные друг от друга. Но что же тогда значит взаимно однозначное соответствие? Это может значить только вот что: мы берем один элемент из первого множества; потом берем другой элемент из первого множества, забывая о первом его элементе (ибо отсутствие порядка есть отсутствие фиксируемой последовательности и, стало быть, полный ее разрыв), и сопоставляем[21] с каким–нибудь другим элементом из второго множества; так же поступаем с двумя третьими, четвертыми и т. д. элементами вплоть до полного их исчерпания. Когда все исчерпано и одно множество оказалось соответствующим другому, мы говорим: два множества эквивалентны. Другими словами, в эквивалентности (и, значит, в мощности), как эта категория устанавливается в теории множеств, нет ровно никакого иного соответствия, кроме чисто количественного, голого арифметического. Одно множество соответствует другому — это значит в таком понимании только то, что арифметическое количество элементов одного в точности равняется количеству элементов другого множества и мощность есть просто количество. Правда, нередко тут же говорят, что это в конечных множествах мощность ничем не отличается от количества, а в бесконечных множествах они представляют собою совсем разные вещи. Но такое утверждение логически может иметь только тот смысл, что всякое множество есть обязательно бесконечное множество, потому что конечное множество есть просто самое обыкновенное число, и нет никакой нужды вводить новые и неясные термины в область, известную хорошо уже всякому школьнику.

b) Итак, теоретики множества ошибаются, когда думают, что множество можно определить вне категории инобытийно–числового гипостазирования. Они ошибаются тут точно так же, как и тогда, когда думают, что возможно какое–то множество вообще и что не всякое множество может быть мыслимо вполне упорядоченно. С точки зрения беспристрастной логики, т. е. для чистой мысли, только и может существовать вполне упорядоченное множество, и никакое другое. Все прочее есть только абстрактные моменты, которые, конечно, необходимо изучать каждый в отдельности, памятуя, однако, что всякий абсолютный отрыв этих моментов от цельного понятия множества грозит провалом самого предмета, что и происходит, когда, отрывая множество от идеи порядка, просто покидают сферу теории множеств и переходят в обычную, я бы сказал, пошлую арифметику.

c) С другой стороны, мы тут же должны отметить, что, несомненно, есть полный смысл в том, чтобы вводить в теорию множеств понятие мощности и эквивалентности, отличая их как от чисто арифметических конструкций количества и равенства, так и от дальнейших построений в теории множеств относительно типов и подобия. Только вводить их надо не так, как это делается обычно. Систематическое изложение всех этих вопросов мы проводим в соответствующем отделе нашего исследования; здесь же скажем только несколько слов—для того чтобы оправдать понимание всякого множества как потенциально упорядоченного множества, да и то сделать это целесообразно только при разъяснении аксиомы подвижного покоя (§ 52).

Вопрос сводится, к разным диалектическим ступеням упорядочивания. Математики думают, что упорядочивание может быть разным только в смысле различия частей множеств, с каковой точки зрения «вполне упорядоченным» множеством называется такое, каждая часть которого имеет «первый элемент». Но понимать так упорядочивание— это значит то же самое, как если в геометрии вместо различия вида кривых проводили бы только различие в их длинах. С диалектической точки зрения существует несколько форм более глубокого упорядочивания, являющихся формами не самих упорядоченных множеств, но формами самой категории их упорядочивания (§ 52. 4). К числу этих форм принадлежит и то упорядочивание, которое при взаимном сравнении множеств порождает из себя картину эквивалентности и категорию мощности. В данном месте мы только запомним, что всякое множество так или иначе связано [с ] инобытийно–числовым гипостазированием, т. е. потенциально с идеей порядка. Интересует же нас здесь совсем не самое упорядочивание (это всецело относится к области проявления категории подвижного покоя), но, высказывая что бы то ни было о множестве, нужно помнить, что множество (в особенности конечное) только и отличается от обыкновенного арифметического числа идеей инобытийно числового полагания.

3. Имея все это в виду, как ответить на вопрос о проявлении категории самотождественного различия в области множества?

Множество есть число, возвратившееся из инобытия к самому себе. Арифметическое число есть просто число. В нем не положено никакого различия между ним самим как бытием и каким–нибудь инобытием, которое было бы внешним в отношении него. Число по своему смыслу есть вследствие этого то же, что и число по своему бытию, т. е. по актам своего полагания. Сколько раз случился акт полагания, столько единиц мы фиксируем и в числе. Его смысловое, т. е. в данном случае количественное, содержание находится в полном соответствии с его бытийным содержанием; и даже нельзя сказать, что тут происходит «соответствие». Соответствовать одно другому может тогда, когда эти взаимно соответствующие предметы как–то отличны друг от друга. В арифметическом же числе не положено самого различия между его смыслом и его фактом. И это понятно, потому что различие между тем и другим предполагает переход чистого смысла в инобытие. А число арифметическое есть чистый смысл.

Что теперь происходит в экстенсивном числе и в геометрической совокупности? Здесь инобытие чистого числа. Это значит, что и тождество тут инобытийно, равно как и различие инобытийно. Инобытийное различие — это значит различие не чисто смысловых актов, но различие таких актов полагания, которые сами по себе еще ничего не говорят о различиях смысловых, о смысловых полаганиях. В арифметическом числе акт полагания равносилен акту смыслового различия. В геометрической же совокупности акт полагания еще ничего не значит как смысловое полагание. Это и есть признак того, что число перешло в свое инобытие. Оно расползается тут по актам своего полагания, но это совершенно не касается его смысловой разделенности, которая или прямо отсутствует (как в континууме), или обладает актами инобытийной связанности упомянутых актов (как во всякой геометрической фигуре).

Множество совмещает в себе все особенности и интенсивного числа, и экстенсивной фигурности[22]. Множество арифметично, ибо вся его математическая судьба разыгрывается в чисто числовой сфере, и тут нет и помина о каком–нибудь пространстве. С другой стороны, множество есть всегда инобытийное иолагание, откуда образуется и упорядоченность, т. е. некая фигурность, а это уже заставляет вспомнить о геометрии. Откуда получается фигурность в экстенсивном числе? Она получается из того, что акты полагания различным образом расставлены. Но почему они различным образом расставлены? Потому что имеется в виду не просто самый акт полагания (и их количество), но и то поле, на котором совершается полагание, которое, будучи измеренным, и дает различное расстояние и промежутки. Это и значит, что тут существенную роль играет инобытие, ибо «поле», где совершаются акты полагания, в точном диалектическом смысле есть только иное, чем самые акты. Теперь спрашивается: а если будет разная «расставленность» актов в самом числе, то как возможна такая конструкция? Ясно, что чистое экстенсивное бытие будет здесь вобрано в сферу самого числа и произойдет синтез чистого числа и чистой его инобытийности. Когда такой синтез произведен, мы получаем понятие множества. Но тогда числу необходимо вернуться из инобытия к себе самому, пережить отрицание своего отрицания и от этого получить новое утверждение.

В общей диалектике доказывается, что отрицание отрицания никогда не приводит к простому повторению того, что уже было утверждено. В синтезе тезис не просто повторен, но дан в соответственно новом плане; он здесь не только просто он, но еще и свое иное, еще и все инобытие, от которого он, взятый сам по себе, так резко отличался. Во множестве мы имеем как раз прекрасный пример этого диалектического возвращения к самому себе: тут дана и вся числовая природа, и вся инобытийно–геометрическая, но это уже не есть ни арифметическая, ни геометрическая совокупность, а нечто третье, высшее и более общее.

4. В связи с этим аксиома самотождественного различия примет форму, аналогичную с геометрией, но с переходом к чисто числовой интерпретации. В геометрической совокупности даны абсолютно изолированные по акту своего полагания элементы. Но в геометрии они даны сами по себе, без влияния на числовое содержание совокупности. Здесь же смысловое содержание множества будет в точности соответствовать инобытийным актам полагания. Соответственно изменится и формулировка аксиомы.

Аксиома самотождественного различия в теории множеств: множество есть совокупность абсолютно изолированных элементов, возвратившихся из инобытия к самим себе. Или подробнее: множество есть совокупность элементов, абсолютно изолированных по актам своего полагания, но отождествленных или различенных в точном соответствии с этими актами, однако же в их чисто числовом понимании.

5. Эту формулу выражают в теоретико–множественной аксиоматике иначе. Даже, собственно говоря, нельзя и сказать, что иначе. Дело в том, что обычная аксиоматика, с которой приходится встречаться в изложении теории множеств, слишком слепая и связанная; и никогда не знаешь, почему авторы берут эти, а не другие аксиомы и почему дают им то, а не иное выражение. Поэтому можно говорить только о более или менее отдаленном соответствии наивно–эмпирических обобщений конкретной теоретико–множественной аксиоматики с нашими аксиомами, выведенными в строжайшей системе с сознательным применением самого глубокого и точного философского метода—диалектического.

Именно, нашей аксиоме самотождественного различия в теории множеств соответствует, по–видимому, та аксиома Цермело и других, которая известна под названием аксиомы объединения, хотя и т. н. аксиома спаривания, по–видимому, говорит в значительной мере о том же самом. Аксиома объединения (Vereinigung) гласит у Цермело— Френкеля так: «Если т есть множество, содержащее по крайней мере один элемент, то существует объединенное множество, которое содержит в качестве элементов все вместе элементы т и также—только эти». Аксиома спаривания (Paarung) гласит: «Если а и b—два различных множества, то существует множество <д, ft), которое содержит в себе множества а и ft— и только их — и которое может считаться парой а и ft». Взятые сами по себе, эти аксиомы весьма важны, потому что очень важно отметить различие отношения, в которое вступают между собою элементы разных множеств в зависимости от объединения самих множеств. Так, если город состоит из улиц, а улицы — из домов, то дома суть элементы вовсе не города, а только улицы; если дома в каком–то смысле могут считаться элементами города, то это надо фиксировать специально, что, по–видимому, и сделано в «аксиоме объединения». То же соответственно и в «аксиоме спаривания».

Однако такая формулировка весьма формалистична и недостаточна. Прежде всего, тут совершенно не подчеркнут спецификум множества; и аксиома сформулирована так, что она применима и к любой совокупности, и прежде всего к чисто арифметической. Эта аксиома говорит ведь только то, что если мы имеем сумму 5 и 7, то она будет содержать в себе все единицы пятерки и все единицы семерки, и только их. Такая безобидная вещь, конечно, тоже очень интересна, но место ее в арифметике, а не в теории множеств. Далее, совершенно не показано, зачем понадобилась такая аксиома и как она связана с самим понятием множества. Между тем в нашей — чисто диалектической — дедукции со всею ясностью показано, откуда получается такая аксиома и каково специфическое значение ее в теории множеств. Именно, показано, каким образом множества, инобытийные одно в отношении другого и, следовательно, являющиеся только частями какого–то другого, более общего множества, могут слиться в новое множество, в котором и не узнаешь никаких бывших самостоятельных «частей», но в котором все элементы всех объединенных множеств сольются в новую цельность и подчинятся новой смысловой структуре. Тут важно не то, что два множества можно объединить в одно целое (это обычно делается и в арифметике с любыми числами), а важно то, что из этого объединения получается совершенно новая смысловая структура, новая цельность, имеющая весьма мало общего с каждым из объединяемых множеств, но заново освещающая и переделывающая элементы этих первоначально данных множеств. Это и зафиксировано в нашей основной формулировке.

§ 48. Формулировка трех выведенных аксиом при помощи понятий элемента и части.

1. Эта аксиома самотождественного различия может быть выражена иначе, и в связи с этим есть смысл в соответствующем видоизменении этой аксиомы и для интенсивного и экстенсивного числа. А именно, поскольку в этих аксиомах идет речь об инобытии, полезно ввести различие «элемента» и «части». Говоря кратко и обще, элемент есть смысловой момент целого, а часть — инобытийный момент целого. Например, если условно согласиться, что точное определение прямой есть то, которое всегда дается в школах («прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками»), то на основании этого можно сказать: элементом прямой является наличие двух точек и частью прямой является тот или иной ее отрезок. Это, однако, относится скорее к определению понятия прямой и к определению элементов понятия прямой, а не самой прямой, и потому можно привести более яркий пример. Если я разобью мелодию, разыгрываемую на скрипке, на отдельные ноты, то каждая такая нота будет частью мелодии; когда же я реально начинаю играть на скрипке и всю эту мелодию воспринимаю как целое, то каждая нота уже оценивается в сфере целого, и тогда она не часть целого, но элемент целого. Часть есть инобытие элемента точно так же, как и все части, т. е. все есть инобытие всех элементов, т. е. инобытие целого. Целое осуществлено во всем, и элемент осуществлен в соответствующей части. Целое объем лет части и одухотворяет их, без чего они остались бы самими собою и не имели никакой связи ни между собою, ни с целым. Никакая отдельная линия, взятая сама по себе, не есть квадрат, и мы можем взять тысячу прямых, и из них никакого квадрата не получится. Но достаточно взять только четыре прямых и привнести извйе идею квадрата, как вдруг получается и самый квадрат. Идея же четырехугольника тоже не имеет ничего общего ни с самими прямыми линиями, ни с линиями вообще; иначе пришлось бы сказать, что сама идея четырехугольника четыреугольна или четырелинейна, что было бы нелепостью. Итак, целое и все, т. е. элемент и часть, взятые сами по себе, не имеют друг к другу никакого отношения; они взаимно инобытийны и диспаратны. И только вступая в объединение, они начинают осмыслять и оформлять друг друга. В различиях формы этого объединения и коренится расхождение трех аксиом самотождественного различия.

2. а) Во–первых, часть может быть подчиненной элементу, т. е. целое может в точности равняться сумме своих частей. Другими словами, здесь сначала даются различия смысловые, а потом механически примыкают к ним различия фактические, инобытийные. Вернее, сначала проводятся различия смысловые, потом оказывается, что это же и есть различия инобытийные. Таково арифметическое число. Здесь по смыслу дается столько–то элементов (или единиц); и тут же оказывается: столько имеется и частей, т. е. столько же имеется различий и по факту, по инобытию; иначе выражаясь, сумма частей и есть все целое, целое в точности равняется сумме своих частей. Это возможно только тогда, когда дан смысл без инобытия, т. е. абстрактный смысл. Тут целое в полном смысле слова делимо на свои части, но возможно это только в том случае, если первоначальные различия установлены как чисто смысловые, а инобытийные только следуют за этими, не привнося ничего нового.

b) Во–вторых, отношение между элементами и частью может быть обратное, а именно элемент может быть подчинен части и целое — сумме своих частей. Это возможно, очевидно, когда вся система переходит в инобытие. Тут мы забываем о смысловых различиях и сначала даем волю инобытийным различиям. Когда установилась та или другая система инобытийных различий, т. е.

та или иная система частей, мы, не производя никаких специально смысловых различий, только фиксируем смысловым образом то, что получилось в результате инобытийных различий, и этим ограничиваемся. Такова система отношений в геометрической совокупности. Здесь, забывши о том, что такое чистая и абстрактная единица, чистая и абстрактная двойка, тройка и т. д., мы отдаемся во власть инобытийного раздробления, нагромождая путем бесконечного дробления одну часть на другую, а потом, выбравши то или иное взаимоотношение частей, которое получилось в результате инобытийного становления, фиксируем его как таковое, и — получается точка, линия, плоскость и пр. Здесь элементы (смысловые акты) следуют за своим инобытием, элементы следуют за частями. Может ли здесь целое равняться сумме своих частей? Очевидно, нет, но сумма частей образует здесь свое целое, независимое от того первоначального и абстрактного целого, из которого мы исходили. Целое есть везде—и в арифметике, и в геометрии. Но в арифметике оно равняется сумме своих частей, и сумма эта всецело им определена. В геометрии же целое перешло в инобытие, и потому оно уже не зависит от себя, но определено своим инобытием, т. е. суммой своих частей. В арифметике целое равно сумме своих частей, а в геометрии сумма частей равна своему (своему собственному) целому.

[с)] Наконец, в–третьих, между частью и элементом может быть полное равновесие, и целое может ровно в такой же мере быть подчиненным сумме своих[23] частей, как и обратно сумма частей — целому. Это происходит во множествах следующим образом. Здесь инобытие продолжает определять смысловую значимость элементов и сумма частей продолжает определять собою целое. Но это целое оказывается уже не чем–то противоположным первоначальному целому и инобытийным в отношении к числу, но оно оказывается ровно в той же мере чисто смысловой структурой, как и само арифметическое число, лишаясь того противостояния смысла и факта, которым инобытие как раз и отличалось от чистого смысла. В чистом смысле, мы знаем, нет положенное™ различия между бытием и инобытием; инобытие тут есть также бытие, оно определяет собою различие внутри бытия же, нисколько не мешая ему быть бытием, а только делая его внутренно раздельным. В инобытии же самая яркая особенность — это разрыв между смысловым бытием и алогическим инобытием и их несовпадение во всех существенных пунктах. Так вот, во множестве и оказывается снова снятой и уничтоженной эта противоположность бытия и инобытия, уничтожен это разрыв и снова восстановлена простота и неинобытийность чистого числа. Конечно, это с сохранением (теперь уже.смысловым сохранением) той инобытийной регулировки, которая была достигнута на стадии примата частей над элементами, инобытия смысла над самим смыслом. Тут, стало быть, мы находим подчинение целого сумме частей, но сама сумма здесь такова, что она ничем не отличается от чисто смысловой структуры целого. Целое окунулось в инобытие, но не рассыпалось на бесчисленные части, что сулило ему это инобытие, а только вобрало их в себя смысловым образом, получило вместо абстрактной значимости фигурную разрисовку, но не перестало быть чистым смыслом.

3. Отсюда три формулированные выше аксиомы самотождественного различия могут быть выражены еще и таким образом.

Арифметическое число есть такая совокупность элементов, в которой каждая часть подчинена соответствующему элементу и целое в точности равняется сумме своих частей.

Геометрическая величина есть такая совокупность элементов, в которой каждый элемент подчинен соответствующей части и сумма частей не равняется целому, но сумма эта сама определяет для себя самостоятельно свое целое.

Множество есть такая совокупность элементов, в которой каждый элемент и соответствующая часть находятся в полном равновесии, так что целое хотя и не равняется сумме частей, но эта последняя образует из себя как раз то самое целое, которое перешло в сумму частей.

4. а) Относительно множества также может быть выставлен ряд положений, с полной очевидностью вытекающих из этой аксиомы и являющихся, собственно говоря, лишь иным ее выражением, хотя для математиков здесь лежат неимоверные трудности и парадоксы.

1. Множество как целое больше своей части и, следовательно, больше всех своих частей, потому что целое хотя и состоит из частей, но содержит в себе и то, чего нет ни в одной части.

2. Множество как целое меньше всех своих частей и, следовательно, меньше и каждой правильной своей части, потому что целое вмещается в сумме своих частей и часть содержит в себе целое (целое помещается в каждой части).

3. Множество как целое равно и каждой своей части, и сумме всех своих частей, потому что целое состоит только из своих частей, и больше не из чего, и данные части составляют именно это целое, и больше ничего.

Только диалектика может понять и совместить эти взаимно противоречащие утверждения.

b) Хотя внимательный читатель и вполне понимает, что указанные положения относительно множеств обладают чисто логическим характером, тем не менее во избежание недоразумений надо сказать, что в математике самый термин «множество всех частей» имеет совсем другой смысл, а именно тут имеются в виду все части независимо от их взаимного перекрытия, гак что мощность множества всех частей множества всегда больше мощности этого последнего (напр., мощность множества всех частей счетного множества есть даже мощность континуума). Однако и без этого теория множеств не брезгует выражениями, указывающими, несомненно, на антиномию целого и части.

Множество τ называется частью множества φ, если всякий элемент τ принадлежит к φ. При этом если τ часть φ, но φ не часть τ, то τ — правильная часть φ; если же φ часть тих часть φ, то τ — неправильная часть φ. Относительно правильной части вопроса не возникает. Но что такое «неправильная» часть? Ведь, в сущности говоря, когда φ и τ являются одно в отношении другого частями, то это возможно только в одном случае, а именно когда они эквивалентны, т. е. попросту когда φ и τ суть разные названия для одного и того же множества, так как все их элементы в этом случае совершенно одинаковы. Но тогда под «неправильной частью» множества можно понимать, очевидно, только совокупность всех неперекрывающих одна другую частей, из которых и состоит данное множество. Утверждая, что все элементы τ принадлежат φ, мы выделяем из φ некоторую определенную часть, соответствующую элементам τ, но когда мы к этому прибавляем, что также и все элементы φ принадлежат к τ, то мы из τ вырезаем определенную часть соответственно элементам φ, т. е. в результате мы начинаем эти вырезанные из φ и τ части считать всеми частями и φ, и τ, вполне соответственными входящим в это единое множество элементам.

Все это рассуждение тотчас же получает острейший диалектический смысл, как только мы его зафиксируем в таком тезисе, непосредственно вытекающем из самого рассуждения: всякое множество есть часть самого себя по одному тому только, что всякий его элемент есть именно его элемент. Тогда появляется необходимость утверждать и то, что всякое множество меньше себя самого, как, правда, и то, что всякое множество больше себя самого, ибо в этом суждении и «больше», и «меньше» и субъектом, и предикатом является одно и то же множество, и можно сколько угодно взаимно их переставлять и получать каждый раз утверждение, обратное предыдущему. Однако единственный здравый смысл этой антиномики заключается в выше развитой антиномике целого и всего, или целого и частей.

с) Но даже если брать термин «множество всех частей» в специфическом теоретико–множественном значении, то и тут дело не обойдется без антиномии, хотя формулировать ее можно иначе. А именно, «целое» и «часть» могут находиться в диалектическом противоречии только тогда, когда они рассматриваются в качестве чистых понятий (как это и сделано у нас выше), т. е. когда эти понятия сами являются самостоятельным субъектом со своей собственной судьбой, или самостоятельным организмом, а не обладают только лишь инструментальным характером, не оказываются только лишь средством, которое употребляет какой–то другой субъект («человек») для целей осмысления чуждого инобытия. Как чистое инобытие смысла есть его становление, т. е. его бесконечное распыление, так чистый смысл есть восстановление инобытия, т. е. его бесконечная собранность. Так «движение» есть инобытие «покоя». Но если движение совершается с бесконечной скоростью, то движущееся сразу находится во всех точках бесконечности; и так как дальше бесконечности уже нет никаких других точек (поскольку всех их она уже вместила в себе), то такое движение с бесконечной скоростью вполне тождественно с покоем. Поэтому диалектика отличается от прочих способов рассмотрения понятий тем, что она берет эти понятия как бесконечные сгустки бытия, как пределы. А в математике только там воочию видна диалектика, где идет речь о бесконечности, так как конечные величины хотя и подчинены диалектической антиномике, но последняя в них не выявлена непосредственно, а только с необходимостью предполагается при достаточно систематическом подходе.

Итак, «множество всех частей» множества должно с необходимостью и воочию выявить антиномику целого и частей в том случае, если будем оперировать с бесконечным множеством. И действительно. Пусть мы имеем множество φ всех вещей. Поскольку множество χ всех частей этого множества своею мощностью выше этого последнего, постольку множество φ эквивалентно только части множества т. Но из чего состоит х? τ состоит все из тех же вещей, из каких и φ, т. е. всякий элемент χ есть и элемент φ. А это значит, по указанному выше определению части, что χ эквивалентно некоторой части φ. Но если φ и χ эквивалентны частям друг друга, то, опять–таки по указанному выше, и сами φ и χ эквивалентны. Итак: φ и χ и эквивалентны, и неэквивалентны. х, как множество всех частей φ, не эквивалентно φ; но так как φ есть множество всех вещей, то никакое χ не может его превзойти, и, будучи столь же бесконечным, оно совпадает с φ.

Поэтому, если среди аксиом учения о множествах попадается и аксиома о Potenzmenge, о множестве всех частей множества, то mutatis mutandis[24] и она не бесполезна для иллюстрации антиномики частей и целого. Эта аксиома формулирована у Френкеля так: «Если существует множество ш, то существует и множество U, которое содержит в качестве элементов все подмножества га, и только их».

§ 49. Аксиома самотождественного различия в теории вероятностей.

1. Прежде чем формулировать аксиомы теории вероятностей, сделаем ряд замечаний, которые послужили бы к философскому уяснению своеобразия всей той совершенно специфической области в дополнение к общей установке, намеченной в § 9. С понятием вероятности мы вступаем в область того, что в логике называется модальными категориями, среди которых обычно насчитывают три — необходимость, возможность и действительность. Надо дать элементарное разъяснение этих категорий.

2. До сих пор мы не встречались с этими категориями. Почему? Это было потому, что мы имели дело исключительно только с самим смыслом (с «идеальным» бытием). Беря смысл сам по себе — число как число, — мы не можем сказать о нем ни того, что оно необходимо, ни того, что оно возможно, ни того, наконец, что оно действительно. Ибо эти три сферы нуждаются в числе и без него невозможны, само же число не нуждается в них и обсуждаемо само по себе. Число «пять» одинаково может быть и необходимым, и возможным, и действительным. Значит, самый смысл пятка нисколько не зависим от этих сфер. Что же получается при переходе в эти сферы? Получается то, что из сферы смысла мы должны перейти в сферу факта, к инобытию смысла, но не в том смысле, как мы находим инобытие внутри самого числа (и получали интенсивное, экстенсивное и эйдетическое число), а в том смысле, что мы перешли к инобытию в отношении всей вообще сферы числа. Теперь мы оперируем не просто с моментами чистого смысла, но все время смотрим на сферу возможного их осуществления, как бы примеряем их к действительности, наблюдая степень их реальности, степень возможного осуществления. В этой общей области взаимоосвещения смысла и факта и зарождаются категории модальности. Их мы должны, однако, наметить подробнее и яснее, чем это обычно делается в логических исследованиях.

3. Возьмем тот или иной момент чистого смысла. Вообразим себе, что этот момент может предстать перед нами как осуществленная, овеществленная, фактическая действительность. Но мы пока не будем ничего предпринимать для осуществления этого смысла. Мы только запомним, что это осуществление должно потребовать каких–то новых актов, каких–то усилий с той или другой стороны, чтобы стать реальной жизнью. Каждый момент фиксируемого нами смысла должен превратиться в какую–то реальную силу или подвергнуться воздействию чьей–то силы; без этого невозможно никакое осуществление. Имея это в виду, обратим свои взоры на чистый смысл. Он, видим, есть полная этому противоположность. В нем все вытекает само собою из целого и из отдельных моментов. Тут нет никаких «вещей», которые надо было бы «двигать»; тут нет никаких сил, без наличия которых ничего не осуществилось бы. Тут все ясно само собою, независимо от того, осуществляет это кто–нибудь или нет. Даже наша собственная мысль тут неважна. Я, например, могу не уметь логарифмировать, но самый логарифм от этого нисколько не страдает. Даже если бы никто никогда не логарифмировал и человечество не имело бы об этом никакого представления, все равно логарифм был бы логарифмом и, в частности, природные процессы так же осуществляли бы в себе эту функцию, как они осуществляют ее и сейчас, при нашем знании логарифмов. Вот эта точка зрения, когда мы противопоставляем смысл его факту без фиксирования, однако, самого факта, и ведет к установке необходимости смысла. Смысл сам по себе не есть необходимость. Но когда смысл берется на фоне своего осуществления, хотя в то же время само это осуществление не фиксируется, а только присутствует отрицательно как принцип, то так модифицированный смысл есть необходимый смысл, необходимость.

Смысл факта в освещении факта, но без самого факта есть необходимость. Факт же смысла в освещении смысла, но без самого смысла есть случайность. Необходимость и случайность, следовательно, возникают в сфере взаимоосвещения смысла и факта, но в условии отсутствия того члена, в сфере которого мыслится данный член. Бытие–смысл, для того чтобы стать бытием–необходимостью, должен отличаться от своей противоположности, потому что мыслится как окруженное темным фоном того, что не есть бытие–смысл. Что это именно такое, можно и не знать. Знаем только, что кругом нечто такое, что не есть и чистый смысл, не есть и чистое бытие. При желании мы можем перевести глаза с этого зафиксированного чистого бытия–смысла на смешанное и мутное бытие–факт. Но тогда первое будет мыслиться как окружающий фон, вернее, как неприступные границы, и тогда чистое бытие–смысл станет неясным, присутствующим только отрицательно, как принцип возможных осуществлений. Получается бытие случайное. Когда мы хотим мыслить бытие, алогическим фоном для этого (или, как говорят, диалектическим отрицанием этого) обязательно является инобытие, когда мы мыслим смысл, обязательно в качестве возможного принципа примышляется внес–мысловая данность. Но когда мы мыслим необходимость, требуется отрицательное примышление случайности. Но это бытие исключает из себя всякую замутняющую его стихию, всякую нелепость и недостоверность, т. е. попросту всякое его отрицание, хотя последнее и должно быть положено вне самого бытия, чтобы это бытие могло от него отличаться. Точно так же случайность есть бытие, но это бытие исключает из себя всякую достоверность и закономерность, т. е. всякое свое полагание, утверждение (ибо полагание ведет к различению, к тождеству, т. е. к фигуре и т. д., т. е. к закономерности), хотя это полагание и должно мыслиться вне бытия случайности, чтобы было от чего этой последней отличаться. Поэтому более или менее точно можно сказать так.

Необходимость есть бытие. Необходимость есть бытие, которое полагает себя путем полагания вне себя своего отрицания, перенося свое самоотрицание из себя за пределы себя. Случайность же есть бытие, которое полагает себя путем отрицания себя внутри себя, т. е. путем самоотрицания, перенося свое самоотрицание извне на самого себя.

4. Смысл и факт есть абсолютная противоположность, т. е. хотя они и предполагают одно другое, но на них самих не отпечатлена эта взаимопредполагаемость. Это есть противоположность для иного. Чтобы она стала противоположностью для себя, т. е. чтобы каждый из ее членов отобразил на себе свою противоположность иному, необходима перестройка того и другого члена. Уже необходимость и случайность есть такие категории, которые демонстрируют собою некое взаимное сближение обоих членов изучаемой противоположности. Именно, в то время как «смысл» предполагает свое явление, т. е. факт не сам по себе, но в чьем–то постороннем сознании, «необходимость» уже в самом своем логическом содержании предполагает соотнесенность со «случайностью». Правда, смысл отображает здесь фактическое бытие пока еще очень абстрактно; а именно он покамест только требует, чтобы оно просто присутствовало, чтобы оно было вполне принципиально. Тут А указывает на то, что где–то и как–то есть еще и В, что этого В не может не быть принципиально, в то время как раньше А существовало так, что по нему нельзя было узнать, есть ли где–нибудь В (хотя мы–то и знали, что оно где–то обязательно есть). Однако возможно, что но А мы узнаем не только о принципиальном наличии В, но еще и о содержании этого В, о его свойствах, о его смысле, так же как и по В узнаем о свойствах А. Это будет уже гораздо более интимное воссоединение смысла и явления, и тут будет недостаточно — с точки зрения модальности — одной пары категорий необходимости и случайности. Смысл в свете факта, но без самого факта есть необходимость. Необходимость же в свете случайности, но без самой случайности есть вероятность. Точно так же: факт в свете смысла, но без самого смысла есть случайность; случайность же в свете необходимости, но без самой необходимости есть реальная возможность.

Необходимость есть тождество смысла и бытия в сфере самого смысла, равно как случайность есть тождество смысла и бытия в сфере самого бытия. Вероятность также есть тождество смысла и бытия в сфере самого смысла, равно как возможность есть тождество смысла и бытия в сфере самого бытия. Но необходимость привлекает для своего синтеза бытие в качестве внутрисмыслового бытия, поскольку самый синтез этот совершается в сфере смысла, оставляя прочее бытие вне себя как бесполезное марево, нужное только как логический принцип для ограничения (т. е. определения) смысла. Вероятность же, оставаясь по–прежнему смысловой конструкцией, вбирает в себя смысловое содержание этого случайного инобытия, пребывавшего во всей своей бесполезности и раздробленности. Смысл сам начинает тут перекрываться внешним себе инобытием, продолжая, однако, подчинять его себе. Но раньше он подчинял его себе так, что инобытие в нем растворялось без остатка (и чистый смысл только стал внутри обоснованным, т. е. стал необходимостью). Теперь же смысл не может просто растворить в себе инобытие, но инобытие накладывается на него вторым слоем, так как однажды оно уже поглотило его в себя и тем перекрылось определенным слоем внутреннего инобытия. Однако что же это значит — приятие второго слоя инобытия? Первый слой, появившийся в результате приятия в себя смыслом своего инобытия, ушел на внутреннее самообоснование самого смысла, на конструирование «необходимости». Теперь чистый смысл уже в себе обоснован. Дальнейшее привлечение инобытия уже не может выполнять функции внутреннего самообоснования чистого смысла. Внутренне самообоснованный смысл, приявший на себя новую энергию инобытия, может оставить его при себе только с его собственными, т. е. уже чисто внешними, функциями, которые ведь только и свойственны ему в первоначальной форме как именно инобытия. Однако мы сказали, что инобытие здесь понимается пока не в своей абсолютной, субстанциальной положенности. Покамест мы говорим о таком смысле, который принял на себя только смысловое содержание инобытия. Но ведь смысл у нас теперь есть самообоснованный смысл, необходимость; и что бы в нем ни находилось — пусть этот второй слой инобытия, — он все равно есть некое обоснование. Следовательно, получается внутренне обоснованный смысл, который как таковой обосновывает и внешнее инобытие, им на себя принятое, но, поскольку последнее берется только в своем смысловом содержании, он и обосновывает это внешнее инобытие только смысловым же образом. А это и есть вероятность. Вероятно ведь то, что имеет для себя основание; и так как всякое основание есть основание в сфере смысла, то вероятно то, что обосновано в сфере смысла. Но обоснование может быть как чисто смысловым, так и чисто фактическим. Фактически обосновать — значит, быть причиной. В смысловом же отношении обосновать — значит, сделать вероятным. Вероятность и есть такой самообоснованный смысл, который, кроме того, обосновывает еще и внешнее для себя инобытие, но обосновывает его только смысловым образом. Необходимость есть самообоснованный смысл, но для себя. Вероятность же есть самообоснованный смысл для иного, или необходимость смысла для иного. Вероятность утверждает, что для бытия есть смысл, но она как раз ничего не утверждает о том, есть ли само бытие.

С другой стороны, мы имеем возможность. Возможность мы отличаем от вероятности тем, что относим ее (как и случайность) в сферу факта, в то время как вероятность мы понимаем как нечто смысловое. Как необходимость, вбирая в себя смысловое содержание инобытия, становится вероятностью, так случайность, вбирая в себя смысловое содержание смысла, становится реальной воз–можностъю. Одно дело, когда вещи могут быть или не быть по смыслу; и другое, когда они могут быть или не быть реально. Одно дело — логическая (лучше сказать — смысловая) возможность, другое дело — фактическая сила, потенция. Первую мы и называем вероятностью, вторую же — возможностью.

5. Вероятность и возможность суть еще более глубокий синтез смысла и факта, чем необходимость и случайность. Можно, однако, этот синтез продолжить еще дальше. Можно говорить не о смысловом отождествлении смысла (необходимости) и факта (случайности), но о фактическом их отождествлении. Сначала смысл ни на что не указывал, но пребывал в уединении. Потом он стал указывать на свое инобытие, не входя при этом в его содержание и тем более не преследуя целей фактического с ним объединения. Это была «необходимость». Далее смысл стал указывать на самое содержание своего инобытия, так что, рассматривая смысл, мы тем самым рассматриваем и смысловое содержание его инобытия. Это была «вероятность». Теперь смысл указывает нам на самый факт своего инобытия, так что уже все равно, иметь ли с ним дело как со смыслом, иметь ли дело с ним как с фактом. Это фактическое субстанциальное тождество смысла и инобытия, смысла и факта, или смысла и явления, есть действительность. В ней встречаются и сливаются вместе логическая вероятность и фактическая возможность, когда обе они начинают одна другую на себе отображать. Необходимость была у нас смыслом в свете факта, но без самого факта и без осмысленности этого факта. Вероятность — это смысл в свете факта без самого факта, но с его осмысленностью. Действительность есть смысл в свете факта, но так, что она есть и осмысленность этого факта, и самый этот факт в его последней субстанции. Соответственно и со стороны инобытия: инобытие в свете смысла, но без самого смысла и его самообоснованности есть случайность; инобытие в свете смысла без самообоснованности смысла, а только с его содержанием есть возможность; инобытие в свете смысла, когда оно само есть смысл и по его содержанию, и по его самообоснованности, оказывается действительностью.

В таком виде можно было бы представить себе диалектическую таблицу модальных категорий, причем мы на данной стадии нашего исследования не входим в анализ еще особого вида модальности — выраженной, или понимаемой, действительности, о чем должно быть особое и весьма углубленное рассуждение.

6. После всех этих разъяснений мы можем приступить и к математической интерпретации категорий модальности. Математика вполне обладает аппаратом числовых конструкций модальности, и это в дальнейшем явится очень интересным предметом нашего специального исследования. В настоящую минуту мы можем сказать только то, что вся интенсивно–экстенсивно–эйдетическая сфера является, очевидно, сферой необходимости, что бытие вероятное и возможное получается в т. н. теории вероятностей, действительность — в т. н. статистике и даже модальность выразительной действительности можно выследить в некоторых отделах этих наук (напр., в т. н. вариационной статистике). Однако мы не будем здесь разрабатывать аксиоматику для всех решительно модальных категорий, так как это в значительной мере предвосхитило бы специальные отделы нашего исследования, так же как и в области интенсивного числа мы ограничиваемся только аксиомами арифметики. Однако мы все же не можем миновать самого главного, это — аксиом теории вероятностей. Чтобы перейти к ним, произведем общую числовую модификацию категории вероятности.

7. Вероятность отличается от необходимости тем, что вмещает в себе внешнее для себя инобытие, и вмещает только смысловым образом, так что она тем самым конструирует смысл инобытия, не конструируя, однако, его фактов. Это значит, что вероятность всегда есть некое смысловое отношение бытия и небытия. Мы смотрим на бытие–смысл и видим, что оно указывает на смысл инобытия, не указывая его факта, т. е. указывает на его возможность. Если брать обычные примеры теории вероятностей, то можно сказать так. Пусть в урне находится N шаров, и пусть Μ из этих шаров черные, а остальные белые. Обычно говорится, что вероятность вынимания черного шара равняется т. е. под вероятностью события А понимается в математике отношение благоприятных для него случаев ко всем равно возможным и несовместимым случаям вообще. Это и значит, что вероятность есть такой обоснованный в себе смысл, который обосновывает еще свое инобытие и обосновывает его смысловым образом. Если вероятность появления черного шара =, то это значит, что бытие (представленноетут всеми 10 шарами) берется не само по себе, но с указанием на возможное здесь инобытие (представленное 3 черными шарами) и что эта величина есть обоснование инобытия не фактическое (так как неизвестно, когда и как наступят соответствующие факты получения черных шаров), но только смысловое.

Тогда понятным делается и то, какую форму примет вероятность, когда она станет действительностью. Действительностью бытие 10 шаров станет в том случае, если мы все эти 10 шаров реально вынем из урны, т. е. когда число возможных выниманий совпадет с числом наличных в урне шаров. В таком случае числитель и знаменатель изучаемого примера[25] будут равны и вероятность окажется равной единице. Следовательно, действительность есть такая вероятность, которая равна единице. Это понятно еще и потому, что единица есть полное полагание, а действительность это прежде всего есть полное полагание. С другой стороны, не трудно себе представить, что вероятность, равная нулю, окажется просто невозможностью. Это не требует пояснений. Стоит только указать на то, что вполне представима и вероятность, равная бесконечности. Если вдуматься в формулу = ∞ то станет ясным, что, поскольку здесь Μ должно быть тоже равно бесконечности, мы всегда будем иметь случай, благоприятный событию |W ], когда бы и как бы ни происходил этот случай. Другими словами, это необходимость. Это тоже понятно из более общих рассуждений. Все смысловое вообще отличается от фактического, инобытийного тем, что оно есть в бесконечной степени то, чем инобытийное является только в конечной степени. Если мы будем бесконечное число раз измерять углы эвклидовского треугольника и бесконечное число раз сумма их оказывается равной двум прямым, то это и значит, что данная теорема [о сумме углов треугольника] не есть ни действительность, ни возможность, но самая настоящая необходимость. Если бы оказалось, [что] два прямых угла получаются только для конечного числа треугольников, то теорема имела бы только вероятное значение. А если бы они получались для конечного числа треугольников, но больше никаких других треугольников не существовало бы, то это была бы действительность. Также если и были бы всякие другие треугольники с суммой углов в два прямых или еще с иными суммами, но мы свое суждение относили бы только [к] данному конечному числу фактически измеренных треугольников, то и в этом случае наша теорема была бы не необходимостью и не вероятностью, но действительностью. Итак, вероятность, равная бесконечности, есть необходимость.

Другими словами, математическая вероятность в собственном смысле, т. е. когда она не есть ни нуль, ни бесконечность, может помещаться только между нулем и единицей, т. е. может быть только правильной дробью.

8. Теперь, наконец, мы можем сказать специально и об аксиоме самотождественного различия в математической теории вероятностей. Нетрудно сообразить по аналогии с этой же аксиомой в арифметике (§ 45), что вероятность есть прежде всего некая совокупность изоли–рованых моментов. Однако эта совокупность здесь вполне специфична. Она есть, как мы только что видели, отношение количества случаев, благоприятствующих событию А, к количеству всех равновозможпых, несовместимых и единственных случаев вообще. Вот это отношение здесь и рассматривается. В арифметике числа строятся так, что они сравнимы между собою и определяют друг друга, так что если есть а и есть А, то есть и с, которое есть их сумма. Также если есть с, то в нем всегда можно отличить одно от другого и найти такое а и такое Ъ, что их сумма как раз будет равняться с. То же самое мы находим в теории вероятностей. Если мы знаем, например, вероятность рождения детей вообще (в данной стране за данный промежуток времени), то мы можем сказать, что вероятность рождения мальчиков меньше вероятности рождения детей вообще и что последняя получится, если к этой вероятности мы прибавим еще вероятность рождения девочек. Отсюда и аксиома.

Аксиома самотождественного различия в теории вероятностей: математическая вероятность события есть отношение количества случаев, ему благоприятствующих, к числу всех единственно и равновозможных, несовместимых случаев, причем вероятность частного случая события меньше, чем вероятность события вообще, и предполагает соответствующее дополнение до нее.

9. Очень важно отметить, что те, кто занимаются аксиоматикой теории вероятностей, также сталкиваются с подобными постулатами. Я укажу на С. Н. Бернштей–на, который счел нужным[26] ввести здесь в качестве первейшей аксиомы т. н. аксиому сравнения вероятностей. Он формулирует ее так: «Если а есть вид (частный случай в узком смысле слова) события А, то вер. а<вер. А; обратно, если между вероятностями фактов α_ί и А существует неравенство вер. α_γ <вер. А, то оно означает, что вер. α_ν — α, где а есть некоторый вид события А». С. Н. Бернштейн называет это аксиомой сравнения. Ее можно было бы назвать самыми разнообразными словами (например, по Гильберту, это была бы «аксиома связи» или «аксиома сочетания»). Мы же можем сказать только то, что единственное обстоятельство, выдвигаемое здесь, есть необходимость различения внутри данной вероятности большего или меньшего и их складывания в одну данную вероятность. Но это есть только результат функционирования категории самотождественного различия.

Аксиома эта почти не требует никаких пояснений. Само собою, конечно, разумеется, что вероятность рождения мальчиков меньше вероятности рождения детей вообще. Это первая часть аксиомы. Вторая часть гласит о том, что если вероятность смерти в течение года больше, чем смерти в течение месяца, то мы можем вычислить вероятность смерти и для более специфического случая, например для смерти 70–летнего по сравнению со смертью 20–летнего. Оказывается, что вероятность старику умереть в течение (примерно) трех недель та же, что и вероятность молодому человеку умереть в течение года. Следовательно, чтобы из первой вероятности получить вторую, надо ее соответственно восполнить.

II. ПОДВИЖНОЙ покой § 50. Аксиома подвижного покоя в арифметике.

Переходим ко второй большой составной категории в области идеальной структуры числа, к подвижному покою. Применить эту категорию к изученным нами областям математического предмета будет теперь легче, поскольку мы более или менее освоились со смысловым своеобразием каждой из этих областей и на большом примере уже могли почувствовать их диалектическое место.

1. Самотождественное различие давало нам в применении к числу совокупность, которая складывалась из элементов. Совокупность и была самотождественным различием этих элементов. Теперь, применяя категорию подвижного покоя, мы получим, очевидно, тоже совокупность элементов, но не в их самотождественном различии, а в их подвижном покое. Если числовая совокупность действительно подчинена категории подвижного покоя, то это значит, что каждый элемент ее движется к другому элементу и ко всему целому и успокаивается на другом элементе и на всем целом. Раньше мы натолкнулись на совокупность как на систему различных моментов, натолкнулись на само различие моментов и на их тождество с целым. Но мы не знали, можно ли перейти от одного момента к другому, и брали многоразличность внутри совокупности как данную, как мертвую, как утвержденную неизвестно кем и как. Сейчас мы видим, что элементы не просто различны, но что при всем их различии можно перейти от одного к другому и что каждый элемент именно требует такого перехода.

Но что значит, что элемент требует перехода от себя к следующему? Это значит, что всем элементам свойственна некая упорядоченная система, свойственна идея порядка. Если я должен от А перейти к В и этого требует само А, это значит, что А и В определенным образом взаимно расположены, что существует некий порядок, заставляющий А идти именно к 2?, а не к С и не к Ζ> и т. п. Совокупность элементов, воплощающая на себе категорию подвижного покоя, есть, стало быть, уже не «самотождественная совокупность изолированных элементов», но «совокупность определенно взаимно расположенных элементов». Взаимное расположение, определенным образом данное, и есть, с одной стороны, движение, поскольку каждый элемент, находящийся тут во взаимном расположении, уже сам по себе требует перехода к соответствующему новому элементу, а с другой стороны, это есть и покой, так как взаиморасположение элементов есть нечто вполне устойчивое и нисколько не текучее.

2. Укажем теперь результаты применения категории подвижного покоя в отдельных областях. Что тут получается для арифметического числа? После данной выше характеристики интенсивного числа вообще в отличие от экстенсивного мы теперь гораздо легче и с большей уверенностью можем высказать относящиеся сюда термины и конструкции.

Арифметическое число чисто от всякой числовой ино–бытийности. Оно, говорили мы, нулевым образом инобытийно, инобытийно–нулевое число. Это значит, что в нем действует его чистая и ровно ничем не замутненная, именно его собственная смысловая значимость. Единица есть единица, и двойка есть двойка — так это и остается в арифметическом числе, в то время как, например, в геометрии единица сама по себе совершенно ничего не дает в смысле геометрии, а надо, чтобы единица была еще раз положена, и положена на другом, не на числовом, а на инобытийно–числовом, пространственном фоне, т. е. чтобы эта единица превратилась в точку. Ничего подобного нет в арифметике. Там ни единица, ни другое число не переходят ни во что инобытийно–числовое, а остаются в своей чисто смысловой значимости. Когда мы говорим о порядке, то, очевидно, здесь тоже не должно быть иначе.

В арифметическом числе порядок единиц должен быть инобытийно–ну левым, т. е. он должен быть продиктован только самой же числовой значимостью чисел. Порядок и взаимное расположение чисел должны тут вытекать из значения самих чисел, а не от того «фона», на котором они даются, не от тех различных «расстояний» и «направлений», которые могут быть продиктованы этим «фоном». Тут только одно и есть «расстояние» между единицами— это просто перечисление единиц по их количественному значению: 1, 2, 3, 4… и т. д.; и тут одно только и есть «направление» — это то, которое определено значением самих чисел (в данном случае возрастание). Лучше же сказать, арифметические числа никаких совершенно не имеют междуединичных расстояний и этим единицам ровно никакое направление не присуще. Это нулевые расстояния и нулевые направления. Это чисто смысловая, т. е. чисто количественная, взаимораспределенность и чисто количественная направленность.

Отсюда и аксиома.

Аксиома подвижного покоя в арифметике: арифметическое число есть совокупность определенным образом взаимно расположенных элементов.

Так как эта аксиома не содержит никакого указания моментов числового инобытия, то, следовательно, понимать такую формулировку можно только неинобы–тийно, т. е. только в смысле чисто количественной значимости. Можно, конечно, и отметить эту нулевую ино–бытийность. Тогда пришлось бы добавить несколько слов вроде «при их чисто смысловом расположении», или «при их чисто смысловой значимости», или «когда это расположение определено только смыслом самих элементов» и т. п.

3. Из распространенных аксиом арифметики сюда подойдут, очевидно, «аксиомы порядка», из которых, однако, надо брать не все ввиду их неравномерной значимости, а только некоторые. Очевидно, сюда целиком подойдет аксиома: «Если а и b суть какие–либо два различных числа, то всегда одно из них больше другого, т. е. всегда а>Ъ и b<а». Отсюда вытекают (но отнюдь не равносильны первой аксиоме) и другие: «Если а>b и А > с, то а>с»; «Если а>b, то всегда также а+с>b+с»; и наконец: «Если а>b и с> О, то всегда также ас>bс». Преследуя аксиоматическую общность изложения, можно и не касаться грех последних положений и ограничиться только первым об а>b и b<а.

§ 51. Аксиома подвижного покоя в геометрии.

1. Без труда формулируется та же аксиома для геометрии, поскольку здесь мы находимся в области инобытия числа, и категория подвижного покоя будет дана в своем инобытии. Это значит, что движение здесь мыслится не между отдельными единицами, из которых состоит чистое число, но между моментами инобытийными, т. е. пространственными, и покой будет мыслиться не в недрах самого числа, а среди инобытийно–числовых, пространственных моментов. Как в предыдущей категории различие дало различие не просто актов полагания и не единиц, но точек, а тождество оказалось не тождеством вообще, но пространственным тождеством точек, т. е. линией, плоскостью и телом, так и здесь мы должны оперировать с точками, этим бытием чисто числовых единиц, и должны от одной точки переходить к другой, наблюдая, что получается в результате этого движения и этого покоя.

Пусть мы двигаемся по линии от точки А к точке В. Чтобы показать, что мы именно движемся от А к В и что, придя в 5, мы именно остановились, для этого, очевидно, нужно, чтобы мы имели не просто голые и изолированные точки А и В_у взятые сами по себе, но в каком–то их специфическом взаимоотношении. Нужно, чтобы А уже сама по себе указывала бы на В, α В сама по себе указывала бы на А. Другими словами, нужно, чтобы обеим точкам была свойственна идея порядка, чтобы от А мы шли бы действительно кВи чтобы в таком случае и от В шли бы к А. Легче, однако, это демонстрировать на трех точках, потому что при существовании только двух точек еще есть возможность двигаться в обратную сторону. Когда же мы имеем на одной прямой три точки А, В, С и движемся от А в направлении к С, то тут уже во всяком случае нам придется пройти через точку В. Почему? Потому что точки А, В, С расположены в определенном порядке, связаны определенной последовательностью; и если вообще двигаться в этом направлении, то нельзя не пройти точки В. Таков порядок этой системы. В момент прохождения через В мы как бы на мгновение останавливаемся, а это и значит, что тут действует категория подвижного покоя и что она определяет собою единство направления и порядка.

Можно поэтому в следующем виде выставить нашу аксиому.

Аксиома подвижного покоя в геометрии: геометрическая величина есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов в их инобытии. Или подробнее: геометрическая величина есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов, находящихся в состоянии движения по актам своего внешнего полагания и в состоянии покоя, достигаемого этим внешним движением.

2. Из обычных формулировок аксиом сюда относятся т. н. аксиомы порядка. Их я взял бы почти в том виде, как они даны у Гильберта, хотя и в ином порядке — ради большей стройности и последовательности мысли. Именно, на первом месте я бы поставил то, что у Гильберта занимает третье место (II 3):

1. «Из трех точек прямой всегда одна, и только одна, лежит между двумя другими».

За этой аксиомой логически следует та, которая у Гильберта на первом месте (II 1), потому что сначала надо поместить одну точку между двумя другими, а потом уже говорить об отношении ее к этим другим, равно как только после этого следует говорить о продолжении движения за пределы этих двух точек (II 2). Таковы эти аксиомы:

2. «Если А, В и С—точки одной прямой и В лежит между А и С, то В лежит также между С и А».

3. «Если А и С—точки одной прямой, то существует по меньшей мере одна точка В, лежащая между А и С, и по меньшей мере одна точка D такая, что С лежит между А и D».

Это — аксиомы линейные. Необходимо также применение нашей категории и к плоскости. Здесь существует аксиома Паша[27], дающая представление о продолжении и порядке плоскости. Ее можно формулировать так:

4. «Если в плоскости даны три отрезка АВ, ВС и С А, то прямая на этой плоскости, имеющая общую точку с одним каким–нибудь из них, имеет также общую точку с одним из обоих других».

Тут не сразу понятно, что имеется в виду. Имеется же в виду то, что отрезок, соединяющий две точки, находящиеся по одну и ту же сторону от данной прямой, не имеет ни одной общей точки с этой последней, в то время как отрезок, соединяющий две не находящиеся по одну и ту же сторону от данной прямой [точки ], имеет с нею одну общую точку.

Разумеется, должна быть «аксиома порядка» и в отношении пространства (каковой почему–то совсем нет у Гильберта). Ее легко получить по аналогии с аксиомой Паша на плоскости примерно так:

5. «Две плоскости, имеющие одну общую точку, имеют одну общую прямую».

Эта аксиома показывает, как пространство делится плоскостью и как за одной частью пространства следует другая, ибо представление о прямой, общей двум плоскостям, возможно только тогда, когда есть представление о двугранном угле, и притом по крайней мере о двух (если не о четырех) сложных двугранных углах, т. е. представление о разделении пространства и о переходе из одной его части в другую.

Стоит заметить, что предложенная чисто математическая формулировка аксиомы подвижного покоя в геометрии отнюдь не есть единственно возможная. Энриквес наряду с предложениями Гильберта указывает и другие, которые вполне тождественны им. Это, пожалуй, стоит привести.

Одна формула:

«Каждая точка А прямой разлагает прямую на два класса точек (части), которые можно обозначить названиями «правая часть» и «левая часть», таким образом, что

a) каждая отличная от А точка принадлежит одной из обеих частей;

b) если А находится налево (или направо) от какой–нибудь точки В, то каждая точка налево (или направо) от А находится налево (или направо) от В

c) если А находится налево от В, то В находится направо от А».

Другая (относящаяся, как говорит Энриквес, к становящейся фигуре, но, собственно говоря, ни о каком становлении в настоящем диалектическом смысле тут нет и помину) [формула]:

«Точки прямой разбиты на два (естественных) порядка, из которых один противоположен другому таким образом, что при рассмотрении некоторого определенного порядка:

a) если даны две точки А, В прямой, то одна из них, например А, предшествует В ив таком случае В следует за А;

b) если даны три точки А, В, С и А предшествует В и В предшествует С, то А предшествует С;

c) между двумя точками А и В существуют промежуточные точки (предшествующие одной из них и следующие за другой);

d) не существует никакой первой (предшествующей всем) точки, и не существует также никакой последней точки».

Вышеприведенная плоскостная аксиома Паша может быть заменена другой (при условии Эвклидова постулата о параллельных линиях):

«Если две исходящие из одной точки О пары прямых пересекаются некоторой (не параллельной ни одной из четырех прямых) секущей в двух раздельных парах точек, то то же самое имеет место и для любой другой секущей, не проходящей через упомянутую точку О и не параллельной ни одной из четырех прямых».

Чтобы понять эту аксиому и ее своеобразную выразительность, необходимо иметь в виду вот что. Если мы имеем две пары линий, исходящих в упомянутом только что виде из одной точки, и если некая другая линия пересекает обе эти пары, то ясно, что обе эти пары линий находятся в одной и той же плоскости. Ведь, пересекая одну пару линий, наша секущая во всяком случае проходит через наши две точки той плоскости, в которой даны эти две линии, т. е. она всецело лежит на этой плоскости. То же самое и в отношении другой пары линий. Значит, обе пары линий в силу этого лежат на одной плоскости. Но тогда, очевидно, на этой же плоскости может быть проведена и всякая другая линия. И эта другая обязательно пересечет эти же две пары линий и тоже окажется в плоскости, общей обеим этим парам. Следовательно, если это возможно, то с проведением второй секущей мы остаемся в той же плоскости и единственное, что тут происходит, это движение по одной и той же плоскости.

Все различия геометрических формулировок анализируемой аксиомы указывают на то, что в философском отношении нельзя полагаться на чисто геометрические аксиомы. Их приходится заменять более общими формулами, выводимыми на общелогических основаниях.

Геометрические же положения должны быть только примером и приблизительным выражением. Аксиома дает перспективу в науке. И в свете этой перспективы должны появляться сначала более общие, а потом и более частные теоремы.

§ 52. Аксиома подвижного покоя в теории множеств.

1. Во множествах подвижной покой будет, как и везде, отражать на себе своеобразие данной множественной сферы. Множество отличается от арифметического числа тем, что элементы, из которых оно состоит, находятся между собою в инобытийном, а не в чисто количественном взаиморасположении. Тут, говорили мы, также геометрическая система взаиморасположения, но только с одним отличием от нее: это не пространственная, но чисто числовая фигурность. Поэтому множество и есть синтез арифметического числа и геометрической величины. Подвижной покой есть, как мы уже знаем, идея порядка. Во множестве, стало быть, содержится свой собственный порядок, упорядоченность, — такая, что в ней участвуют не просто счетно–числовые моменты и не только пространственное расположение элементов, а и то и другое вместе, в их синтетической воссоединенности.

Имея это в виду, можно было бы просто сказать, что множеству свойственна упорядоченность, или, что то же, всякое множество есть упорядоченное множество. Но тут не будет подчеркнут момент специфически множественной упорядоченности. Ведь упорядочено все — и числа, и геометрические фигуры, и множества, и даже континуум.'Раз дается аксиома для множества, то должен быть отмечен и спецификум множества. Он и отмечается у нас во всех аксиомах о множествах. Однако в аксиоме подвижного покоя упорядоченность имеется в виду специально. Она, конечно, захватывается так или иначе решительно во всех аксиомах, поскольку упорядоченность (и притом специфически множественная) находится во всех множествах. Но в аксиоме подвижного покоя упорядоченность находит свое специальное выражение, поскольку упорядоченность и есть не что иное, как результат проявления именно подвижного покоя. Аксиому поэтому можно было бы так формулировать (аналогично предыдущим аксиомам множества).

Аксиома подвижного покоя в теории множеств: множество есть совокупность определенным образом взаиморасположенных элементов, возвратившихся из инобытия к самим себе. Или подробнее: множество есть совокупность элементов, взаиморасположенных так, что, будучи различными по актам своего внешнего полагания, они отождествляются в результате этих актов в чисто числовую совокупность.

2. Самое яркое, что имеется в математической литературе на темы этой аксиомы, это знаменитая теорема Цермело о том, что всякое множество может быть сделано вполне упорядоченным множеством[28], вернее, всякое множество может быть мыслимо как вполне упорядоченное множество. Об этом стоит сказать несколько слов.

Прежде всего эта теорема Цермело с философской точки зрения может считаться вполне излишней. С философской точки зрения вообще множества не существует без идеи упорядоченности. Только философская нечеткость мысли в соединении с разного рода математическими вкусами и предрассудками может требовать какого–то множества вне идеи упорядочения. В § 47. 1—2 мы уже указали на невозможность даже простого отличения множества от обычного конечного арифметического числа, если не будет принята во внимание идея порядка. Последняя, таким образом, входит в самое определение множества. Поэтому и у нас она формулируется уже в числе аксиом идеальной (т. е. самой первой и существенной) структуры числа. Можно и не доказывать теорему Цермело, и все–таки она должна содержаться решительно во всяких теоретико–множественных построениях. Ей поэтому лучше и называться не теоремой, но именно аксиомой.

Далее, входя в существо доказательства этой аксиомы у Цермело, мы убеждаемся, что основная идея этого доказательства вполне интуитивна и непосредственна и что, собственно говоря, можно было бы и не давать его в этом развитом виде и ограничиться указанием на основную совершенно непосредственную очевидность самой структуры всякого множества.

Именно, центральная идея доказательства сводится вот к чему. Предполагая вначале, что данное множество неупорядоченно, мы берем его в виде всех его частей (уже тут, конечно, содержится petitio principii[29], потому что раз множество расчленимо на несколько различных частей, то это значит, что оно вполне упорядочено, но — не будем настаивать на этом). В каждой такой части выбираем произвольно какой–нибудь элемент, который мы называем «отмеченным» элементом этой части (опять операция, возможная только при условии, что множество уже мыслится вполне упорядоченным, но — не будем настаивать и на этом). Далее следует самое интересное. Цермело называет «γ–частью» всякую часть рассматриваемого общего множества, такую, которая вполне упорядочена при помощи этого отмеченного элемента (тут опять указанное выше petitio principii, но — простим и это прегрешение), а именно: если а есть любой элемент этой γ–части, А — определенный им отрезок, Μ—А—дополнительная часть к А до данного общего множества, то для этой Μ—А отмеченным элементом оказывается как раз а. Вот это и есть основание всего доказательства. Грубо говоря, мы берем произвольно любой элемент из данного множества и на нем строим ориентацию в отношении всего множества. Ведь как можно вообще ориентироваться в том, что неразличимо? Нужно схватиться за какую–нибудь любую точку в этой неразличимости и в отношении этой точки ориентировать все прочие. Мы как бы чиркаем спичку в темной комнате и этим освещаем все, что в ней находится. Платон бы сказал: если есть что–нибудь одно, то это значит, что есть все. Ничего другого Цермело не высказывает в употреблении и в самом понятии своей «γ–части». Уже только одного «отмеченного» элемента достаточно, чтобы мы знали и весь отрезок (отрезком, который определен через элемент а, в теории множеств называется множество всех элементов, порядки которых ниже порядка а), и все, чего не хватает в данном отрезке по сравнению со всем первоначальным множеством, т. е. чтобы «γ–часть» была вполне упорядочена. Мы берем, следовательно, любой элемент из данного множества, становимся на нем как на некоей твердой точке и с него смотрим вперед и назад и во все стороны, озирая и сравнивая все, что во множестве вообще находится. Это и есть — и у Цермело, и по существу — единственный принцип упорядочения вообще; и конечно, во всяком множестве с необходимостью мыслится такая ориентация.

В дальнейшем Цермело берет две или несколько таких «γ–частей» (в этом случае одна из них, конечно, будет отрезком другой) и берет любые вообще элементы данного множества, входящие в «γ–части» (их порядок, очевидно, будет тот же, что и порядок соответствующих «γ–частей», а множество, обнимающее все «γ–части» и все входящие в них элементы, будет, конечно, вполне упорядоченным множеством). Остается только приравнять данное множество этому множеству всех «γ–частей», и — теорема доказана. Приравнивается же оно опять по тому же принципу. Пусть в Μ входят какие–нибудь части, которые не суть «γ–части». Тогда остается дополнительное множество до А/, в котором также будет найден «отмеченный» элемент, т. е. получится новая «γ–часть», которая охватит и полученное множество «γ–частей» с этим «отмеченным» элементом, и таким образом все данное множество окажется состоящим из «γ–частей», т. е. вполне упорядоченным множеством.

Всего этого можно бы и не упоминать. Тут важно то, что мы уже сказали: в неразличимом берется одна точка, с которой сравнивается вся остальная неразличимость и, следовательно, всякая другая точка этой неразличимости. Больше ничего и нет в доказательстве Цермело. Такой характер доказательства с полной очевидностью удостоверяет, что множество, если его мыслить как твердое и законченное понятие, вообще не может обойтись без идеи порядка и что это является одной из самых основных аксиом теории множеств.

Можно сказать еще и так. Множество немыслимо без своих элементов (нуль–множество не есть исключение, так как нуль–множество и нуль просто — это совершенно разные вещи); множество и есть не что иное, как множество именно элементов. Но если это так, то элементы должны находиться между собой в каком–нибудь отношении. Ведь «множество» — это только неудачный термин; тут надо было бы говорить именно о единстве, а не о множестве. Единство же есть единство чего–нибудь. В том, что математики называют множеством, с философской точки зрения содержится именно единство взаимоотношений элементов. Раз есть элементы, то в силу самого своего понятия они находятся в некоем определенном взаимоотношении, а это и значит, что они вполне упорядочены. Понятие полной упорядоченности уже содержится в понятии элемента (т. е., другими словами, в самом понятии множества), так же как понятие протяженности содержится в понятии пространства.

3. Хотя подробная диалектика упорядоченного множества будет нами изложена в специальном отделе о множествах, необходимо и сейчас ради уяснения уже занятых позиций наметить перспективу по вопросу об упорядоченности и показать, какие вообще возможны виды упорядочения с диалектической точки зрения.

Итак, мы различаем чистое арифметическое число (в котором инобытийно–нулевая упорядоченность) и голую идею порядка — категорию подвижного покоя, — которая, конечно, может рассматриваться и сама по себе, без всякого применения к числу или к чему бы то ни было. Разные виды (или, если угодно, ступени) упорядочения возникнут в зависимости от того, как мы будем трактовать взаимоотношение голого инобытийно–нулевого числа и голого порядка (точнее, голой идеи порядка). В зависимости от того, как близко и как глубоко число и порядок проникли друг в друга, от этого будут меняться и виды упорядоченности. Тут та же последовательность диалектических категорий, что и везде.

1) Прежде всего, порядок есть перво–принцип. Это значит, порядок есть некая неразличимость актов полагания вообще. Все акты полагания слиты в одно, но не просто в один акт (актов тут именно много, бесконечно много, и они все друг от друга отличны), а в одну общую смысловую неразличимость. Акты полагания порядка различны, но смысловой результат этих актов — полная неразличимость. Отсюда получается конструкция, в одно и то же время неразличимая — по смысловой взаимослитости всех актов полагания порядка и различная — по самим этим актам. Это есть упорядоченность континуума. Континуум есть, конечно, как и всякое множество, вполне упорядоченное множество. Тут идея порядка присутствует актом своего полагания, своей субстанцией, так сказать, и этих актов множество, они рассыпаны в полную необозримость, но не своим смысловым содержанием.

2) Далее, идея порядка начинает более глубоко и осмысленно внедряться в инобытийно–нулевое число. Именно, она внедряется в противоположность первому случаю вполне смысловым образом, избегая, однако, своего субстанциального воплощения. Там воплощалась субстанция порядка без его смысловой структуры; тут же воплощается смысловая структура без ее субстанции. Там мы имеем упорядоченность, в которой было дано очень много актов полагания, но ввиду отсутствия принципа структурности порядка все эти акты полагания в смысловом отношении оказались слитыми в одну общую неразличимость; здесь же воплощается сама структурность порядка, т. е. зависящая от него как от принципа фигур–ность, но ввиду отсутствия субстанциальности и как бы овеществленности порядка вся эта фигурность остается чисто идеальной, абстрактной, она не принимается в расчет как таковая, а только продолжается такой же «субстанциальный» и континуальный учет этой фигурности, что и раньше. Тут мы — в области топологии.

Это уже не просто континуум, ничем не заполненный, но фигурность, рассматриваемая топологически. Топология занимается, как известно, изучением свойств фигур в отвлечении от конкретной формы с единственным условием— непрерывности деформации. Фигура не должна разрываться, во всем же остальном она может быть деформирована как угодно. Это значит, что в топологическом рассмотрении фигурность дана не целиком, но только абстрактно, как понятие, и воплощается она на континуальном фоне так, что важным оказывается не самая структура фигуры, а только те моменты, которые входят в определение отвлеченного понятия данной фигуры. Это так в геометрической топологии, в analysis situs[30]; это так и в теоретико–множественной топологии. Здесь множество тоже упорядочено так, что еще не дается порядка во всей его конкретной и законченной структурности. Вместе с чистой континуалогией топология рассматривает упорядоченность множества только с точки зрения внешних актов полагания порядка, вне структуры самого порядка — хотя в отличие от чистого континуума топологическое множество уже воплощает на себе идею порядка, пока в самом абстрактном и только понятийном его смысле.

3) Обе установки—упорядоченность субстанциально–актуальная и упорядоченность абстрактно–смысловая — должны объединиться вместе так, чтобы множество оказалось упорядоченным и в том и в другом отношении. Другими словами, должны существовать множества, которые сохраняют свою фигурность и в своих преобразованиях не нарушают ни субстанциальной, ни смысловой упорядоченности. Как и везде в диалектике, здесь отвлеченная идея, соединяясь со своим инобытием, с алогическим (в отношении себя самой) материалом, порождает уже конкретный образ, в котором нельзя отделить идею от инобытия и инобытие от идеи. Здесь появляется чистая фигурность, в которую воплотилась идея порядка, и мы впервые можем увидеть ее стройные контуры. Однако если прослеживать этот ход идей в геометрии, то с этой фигурностью еще не получится обыкновенная элементарная геометрия. Это будет так называемая проективная геометрия, отличающаяся от обыкновенной тем, что ей не свойственна идея измерения, не свойственны метрические установки, представляющие собою уже дальнейшее диалектическое воплощение идей порядка. Аналогично с этим мы должны требовать категорию проективного множества в отвлечении от всякой идеи размерности.

Одна и та же диалектическая конструкция этого тройного вида упорядоченности — континуальной, топологической и проективной—может быть выражена и зафиксирована разно. Во–первых, мы уже указали одну категориальную схему: континуум может трактоваться как перво–принцип, и тогда топологическая множественность будет определена через положенность чистого и абстрактного порядка, а проективное множество будет положенностью и воплощенностью порядка как структурно выработанного порядка. Можно сказать, во–вторых, и иначе: континуум и топологическая структура есть воплощенность из идеи порядка его категории самотождественного различия (можно привести, например, Энриквеса, который прямо говорит, что учение о континууме и вообще топология вырастают на аксиомах сочетания (взаимопринадлежности), что соответствует, как мы видели, нашей категории самотождественного различия); проективное же множество есть воплощенность вместе и самотождественного различия, и подвижного покоя (по Энриквесу, это будет «сфера действия аксиом сочетания» и «аксиом порядка»). Можно диалектически понять то же самое еще и так: континуум — неоформленный и внутри не расчлененный тезис; топологическое множество — антитезис, ибо присоединение фигурности пока только абстрактно — как структурно безразличный акт полагания. Проективное множество—синтез, воплощенность в числовой сфере чистой и законченной, конкретной структуры (т. е. фигурности). Мы уже знаем, что диалектически возможны самые разнообразные конструкции одного и того же смыслового обстояния; и поэтому настаивать на какой–нибудь одной из предложенных конструкций нет никаких оснований. Тут важна только нарастающая смысловая сложность упорядочения: континуум, топос и проективное множество.

В данном месте нецелесообразно давать полную диалектику всех видов упорядочения, так как это является предметом целого специального отдела нашего исследования. Поэтому мы не касаемся пока таких построений, как аналитическое множество или измеримое множество, представляющих собою еще дальнейшие диалектические этапы упорядочения. Предыдущие замечания были только образцом исследования данного вопроса.

4. Стоит упомянуть еще и о том, что в математической литературе мы имеем попытки определить и самое понятие порядка. Это, конечно, редкость, потому что большая часть основных понятий в математике вообще не определяется никак. Кажется, никто еще не дал определения таких понятий, как «точка», «линия», «сумма», «множество» и т. п. К числу этих определяемых только вербально понятий принадлежит и изучаемая нами здесь категория порядка. У Френкеля[31] мы находим следующее определение этой категории: «Множество R обладает следующими характеристическими для него свойствами: 1. если т_у и т₂—два различных элемента множества А/, R_x и Я_2 — соответствующие им остатки из А/, то или Я₂ есть подмножество для /?_ь или R_x есть подмножество для R₂ (именно смотря по тому, появляется ли т_х раньше т₂ или т₂ раньше т_х)\ 2. если т_х и т_2 — два различных элемента А/, то в R входит по крайней мере один остаток R₀, содержащий один из обоих элементов т_х и т₂ (а именно элемент, появляющийся в Μ на более позднем месте; если т_х стоит раньше т₂, то, например, соответствующий т_х остаток R₀ хотя и содержит т_ъ но он не содержит т_х)\ 3. объединенное множество каждого множества остатков от Μ (т. е. каждого подмножества для R) есть в свою очередь остаток от Μ—следовательно, элемент от R». Множество R с такими тремя свойствами и есть то множество, при наличии которого упорядочивается множество М.

[а)] Это определение упорядочивающего множества способно сначала поставить философствующего только в тупик. Однако тщательное расследование этого определения вскрывает как всю беспомощность математической мысли поставить философскую проблему, так и ее весьма поучительную слепоту, но все же в своей слепоте бессознательно правильно нащупывающей логический аппарат, который тут пускается в ход человеческим сознанием.

b) Возьмем первое свойство множества R. Здесь указывается, что каждому элементу из Μ соответствует некий определенный остаток до всего М₉ который пока мыслится как неупорядоченный. Выставляется требование, чтобы эти неупорядоченные куски множества Μ тоже находились между собою в отношениях целого и части. Что такое требование вполне естественно, в этом сомневаться не приходится. Но тут с первого же шага совершается обычная в математических рассуждениях petitio principii; а именно, требуется определить, что такое порядок множества или что такое упорядочивающее множество. Но при этом уже предполагается, что Μ упорядочено (так как имеется в виду, что т₁ раньше т₂ или наоборот). Ведь только зная порядок элементов в М, и можно будет сказать, какой остаток и для какого [элемента ] окажется частью или подмножеством. Что т_х раньше т₂, это Френкель знает; и что значит этот порядок, его нисколько не смущает. Но для R он почему–то не знает, как понимать порядок, и вдается тут в сложное рассуждение.

Однако не будем на этом настаивать. Закроем глаза на то, что в определении порядка здесь уже фигурирует категория порядка и неизвестное определяется здесь через другое неизвестное. Что же дальше? Зачем понадобился этот переход к «остаткам» и какое это имеет отношение к идее порядка? Тут, однако, необходимо указать, что математик пошел на ощупь вполне правильно. Хотя в смысле принципиальной мыслимости и не существует никакого неупорядоченного множества, но мы можем условно занять такую позицию, что есть некое множество, но что в нем все спутано и неразличимо и является как бы бесформенной глиной или песком. Как при такой позиции прийти к идее упорядоченности? Очевидно, необходимо прежде всего отбирать из этой глины те или другие порции, для того чтобы потом их как–нибудь обделать, объединить и придать им ту или иную форму. Первое свойство множества о котором говорилось выше, и есть, очевидно, не что иное, как распределение алогической массы множества Μ на отдельные взаиморазличимые куски, о величине которых можно судить и которые являются один в отношении другого целым или частью. Но если это так, то философский смысл первого свойства заключается в том, что тут элементы множества А/ перестают мыслиться в своей отвлеченности, но что они переходят в свое инобытие и в нем воплощаются. Когда мы берем элемент т_х и смотрим на то, что еще остается в А/, то хотя этот остаток по условию еще и мыслится неупорядоченным, но уже гораздо в меньшей степени, мы как бы уже видим здесь, где он начинается и где кончается. Изрезавши все множество R на такие куски (путем противопоставления данного куска соответствующему элементу из А/), мы, очевидно, получаем не что иное, как то же самое множество А/, но уже как отраженное на R, и само–то R оказывается не чем иным, как множеством всевозможными способами полученных следов всех элементов А/, множеством всевозможного воплощения всех отвлеченных элементов этого последнего на его алогическом материале. Действительно, так оно и должно быть: порядок предполагает, что есть отвлеченная идея и есть реальный, но алогический материал, который этой идее подчиняется. Так вот, кромсание этого материала на куски, которые потом превратятся в упорядоченные элементы, есть первый необходимый этап упорядочивания, и смысл этого первого свойства множества /?, очевидно, сводится к переходу отвлеченного элемента в свое инобытие, причем переход тут совершается пока не целиком, а только по факту элемента: элемент получил для себя инобытийную субстанцию, но она еще остается без воплощения подлинного смысла элемента, остаётся грубым и необработанным куском.

с) Перейдем ко второму свойству множества R. Здесь утверждается, что если имеется в А/ два каких–нибудь элемента, из которых один позже другого (опять предполагается идея порядка!), то в Λ должен быть хотя бы один остаток, содержащий в себе один из этих элементов. При этом если идея порядка здесь подлинно функционирует, то этот остаток должен содержать в себе именно позднейший элемент из этих двух, так как остаток, соответствующий элементу т_и может содержать в себе элементы только высшие, чем т_и а таковым является только т₂ (раз соблюдается последовательность перехода от т_х к т₂). Другими словами, это второе свойство множества R связывает его с множеством Μ в том смысле, что до сих пор отдельные «части» R мыслились только в своем взаимном различии, но не мыслились ни в каком взаимном порядке, теперь же они мыслятся как продолжение тех или иных элементов из М. Второе свойство множества R предполагает, что порядок в R может быть только в том случае, если, взявши что–нибудь из Af, мы этого уже не встретим в R, а встретим только то, что выходит за его пределы. Здесь, очевидно, устанавливается ориентация отдельных моментов R в отношении элементов А/. Каждый момент R отныне, оказывается, начинает нести на себе энергию целого Af, т. е. отвлеченно взятый элемент Μ не только перешел в свое инобытие, в R, субстанциально, но он перешел по смыслу. Остается, стало быть, только подтвердить, что все эти «части» Λ, отныне получившие смысл элементов, сами суть нечто целое, т. е. образуют некое самостоятельное множество. Тогда и окажется, что упорядоченное множество действительно конструировано из вполне алогического материала.

Это фиксируется в третьем свойстве множества R.

d) Если теперь оглянуться на весь пройденный путь в определении множества /?, то можно, очевидно, так понимать это определение. В § 48. 3 мы уже столкнулись с понятием т. н. Potenzmenge, т. е. множества всех подмножеств данного множества, причем его мы понимали как объединение всех частей (а не элементов) данного множества. Употребляя философскую терминологию, мы говорили, что Potenzmenge в отношении самого множества есть «все» в отношении «целого», причем это такое все, которое дано всевозможными способами комбинирования своих моментов, поскольку множество всех частей множества предполагает и взаимное перекрытие элементов последнего. Множество R, которое служит для упорядочения множества А/, есть, очевидно, не что иное, как именно это Potenzmenge. И тут заложена весьма важная идея. В самом деле, что такое целое, из которого исключена идея порядка? Что такое целое, в котором нет никакой конфигурации отдельных моментов? Очевидно, что только очень отвлеченно понимаемое целое — скорее принцип целого, чем само целое. Но что же тогда будет порядком этого целого, что внесет в него определенную последовательность моментов и создаст в нем четкую конфигурацию? Тут требуется, очевидно, внесение в это целое каких–то внутренних различий. Чтобы нечто получило структуру, необходимо внутри него отличить одно от другого. Но это значит внести в него некое инобытие. Чтобы была структура бытия, необходимо внести в него инобытие, так что оно уже само для себя оказывается своим инобытием. Оно заново осуществляется на этом инобытии, но осуществляется целиком, так что инобытие перестает быть чем–то внешним для него, а становится им же самим, т. е. его структурой, его упорядоченностью. Это инобытие, однако, может быть рассматриваемо и само по себе—стоит только отвлечься от того целого, которое мы воплощали. Ведь можно же, например, иметь идею карандаша и на ее основе изготовить самый карандаш, а потом забыть о существовании самой идеи карандаша (т. е. о том, что изготовленная вещь есть именно карандаш) и рассматривать карандаш просто как некое физическое тело, указывая, что вот это—дерево, вот это — графит, вот это — краска, вот это — цилиндрическая форма и т. д. Что это будет такое? Оно будет, конечно, тоже некой цельностью и, следовательно, множеством, но, раз мы забыли об идее карандаша, оно уже не будет для нас самим карандашом, не будет целым карандаша, но зато будет всеми частями, всем, из чего состоит карандаш. Это есть Potenzmenge карандаша; и это–то, как ясно, и есть то, что вносит в отвлеченную идею карандаша определенную последовательность ее элементов. Это наше множество R с указанными тремя свойствами.

е) Таким образом, математическая мысль, установившая в этом виде самую идею порядка (или упорядоченного множества), действовала здесь хотя философски и слепо, но на ощупь шла правильно. Наша задача — внести в эту математическую мысль философско–логичес–кую ясность, которая и будет достигнута, как это ясно из предыдущего, следующим образом.

1) Идея порядка как таковая не может быть «определена», поскольку она является исходной; и мы видели, что Френкель ее вовсе даже не определяет, а предполагает готовой и только рассуждает о сфере ее применения. Но можно часто увидеть в ней то последнее зерно, которое остается неизменным при всех возможных ее функционированиях. 2) Это зерно заключается (и это особенно видно на втором свойстве множества R) не в чем ином, как в категории подвижного покоя. Второе свойство только ведь о том и говорит, что от одного момента можно перейти к другому. 3) Эта категория подвижного покоя может, однако, по–разному применяться в зависимости от сферы своего функционирования. Мы можем ее понимать а) отвлеченно–арифметически. По–видимому, это именно понимание Френкель имеет в виду, когда он говорит о том, что т_х раньше т₂ (или наоборот). В таком виде идея порядка в собственном смысле еще не нарушается. Это скорее принцип порядка, чем самый порядок («инобытийно–нулевая упорядоченность»). Совсем другое получится, если категория подвижного покоя b) перейдет в свое инобытие и начнет в нем воплощаться. Это создаст тот материал, без которого не может быть и самого порядка (поскольку порядок есть всегда порядок чего–нибудь). Однако в чисто инобытийном смысле категория подвижного покоя дала бы геометрическую, а не теоретико–множественную упорядоченность. Необходимо ей из инобытия вернуться к себе, т. е. все эти инобытийные, геометрические «части» положить в себе, в сфере чисто числовой, отождествить с чистым смыслом, поднять в свою сферу. Тогда эти «части» получают опять чисто числовой характер, но уже с той идеей расставленности и распределенности, которая была характерна для чистого инобытия. Это и есть теоретико–множественная упорядоченность. 4) Следовательно, в упомянутом математическом определении упорядочивающего множества мы имеем не определение порядка, но — на основе уже имеющейся определенной идеи порядка — конструирование именно теоретико–множественной упорядоченности, возникающей в отличие от абстрактной идеи порядка на основе инобытийно–алогических модификаций. Все это, с одной стороны, подтверждает правильность защищаемого в нашем исследовании места как самой идеи порядка, так и всей теории множеств, с другой же — показывает слепую и бессознательную целесообразность математической мысли, идущей своими путями без философских методов и логической выучки.

О Существует еще иное определение порядка — при помощи понятия упорядоченной пары и однозначной функции[32]. Но чтобы не затягивать изложения, мы не станем его анализировать.

§ 53. Аксиома подвижного покоя в теории вероятностей.

1. Согласно аксиоме подвижного покоя, математическая вероятность должна быть такова, чтобы было видно, как она переходит в другую вероятность и как ее движение на этом останавливается. Чтобы выявить свое движение, вероятность, очевидно, должна в самой себе таить свое изменение. Как это возможно? Пусть мы имеем некое событие А, и пусть его вероятность равняется а. Чтобы вероятность оказалась в движении, надо событию А некоторым образом меняться. Если событие А мыслится некоторым образом в процессе изменения, то и вероятность его а, очевидно, тоже окажется изменяющейся. Но поскольку никаких иных причин и событий, кроме А, мы не знаем, остается, чтобы самое осуществление этого А повлекло за собою появление новых факторов и новых событий, способных изменить содержание нашего А. Другими словами, если вероятность приходит в движение, то это значит, что она относится к событиям взаимно зависимым, т. е. к совмещению событий. Действительно, та вероятность, с которой мы имели дело при изучении аксиомы самотождественного различия (§ 49.8), касалась событий, независимых одно от другого, и это мы там подчеркивали. Поэтому одна вероятность там только отличалась от другой и отождествлялась с ней, но не было видно, как она переходит в другую. Теперь же по факту самой вероятности, по ее осуществлению мы начинаем видеть, как она становится другой вероятностью, подобно тому как в арифметике за а следует b, и если уже за а следует 6, то необходимо сказать, что Ъ возникает после а, что, следовательно, между этими двумя числами существует строго определенный порядок. Но в теории вероятностей мы оперируем не просто с числами, а с числами в зависимости от случайных фактов, с числами как структурами бытия случайного.

Поэтому тут мало будет выставить утверждение, что если а >6, то b<а. Это утверждение было бы арифметическим, а не теоретико–вероятностным. Значит, необходимо ввести идею порядка в зависимости от случайного бытия, т. е. в зависимости от самого события, от голого алогического факта, от осуществления факта. Само это осуществление вероятности должно повлечь за собою ее движение, ее определенную изменяемость. Это, однако, есть учение о вероятности не просто событий, но совмещения событий.

2. У С. Н. Бернштейна[33] имеется тезис, который у него назван аксиомой совмещения событий. Удивительным образом это и есть то, что мы называем аксиомой подвижного покоя в теории вероятностей. Тут приходится еще и еще раз удивляться, как математическая мысль, если она правильная, бессознательно формулирует как раз те самые тезисы, которые философ дедуцирует из общих диалектических оснований разума. Тут редкий случай, когда я могу переписать математическую аксиому к себе, в свое философское исследование, не внося в нее решительно никаких поправок.

Аксиома подвижного покоя в теории вероятностей: если а есть частный случай факта А, то вероятность а при данных условиях зависит только от вероятности факта А при тех же условиях и от вероятности, которую приобретает а в случае осуществления факта А.

Примером независимых фактов может служить одновременное кидание игральной кости, все шесть граней которой равновероятны, и вынимание шара из урны, в которой находится одинаковое количество белых и черных шаров. Так как эти события независимы, то вероятность каждого из 12 возможных их совмещений всегда будет одна и та же, а именно равна ¹/₁₂. Другое дело, когда имеется в виду опыт с зависимыми событиями. Если Иван покупает по одному билету в двух лотереях, а Петр покупает билет только в первой лотерее с тем, чтобы купить билет во второй лотерее только в случае выигрыша в первой, то, хотя вероятность выигрыша в первой лотерее у обоих одинакова, а во второй — у Ивана больше, чем у Петра (поскольку Петр во второй участвует необязательно), все же в результате вероятность выигрыша в обеих лотереях у Ивана и Петра одна и та же, потому что вероятность выигрыша для Петра во второй лотерее будет одинаковой с вероятностью этого выигрыша для Ивана. Здесь вероятность выигрыша в обеих лотереях для обоих одна и та же, поскольку она зависит от вероятности первого выигрыша (одинаковой для обоих) и вероятности второго после осуществления первого (тоже у обоих одинаковой).

Более просто «аксиома совмещения» демонстрируется на таком примере. Существуют такие вероятности: 1) умереть для здорового 10–летнего ребенка в течение года вообще; 2) заболеть ему же скарлатиной вообще; 3) ему же умереть в течение того же срока от скарлатины. Наперед должно быть ясно, что, поскольку в третьей вероятности смерть рассматривается в зависимости от скарлатины, эта вероятность будет зависеть как от вероятности скарлатины вообще, так и от вероятности смерти для заболевшего скарлатиной, причем она не зависит от вероятности смерти вообще для 10–летнего. Как, однако, вычислить эту вероятность совмещения, будет рассматриваться в своем месте (§ ).

III. ОПРЕДЕЛЕННОЕ БЫТИЕ § 54. Аксиома определенности (закона) бытия в арифметике.

1. В § 26, 27 и 46.1 мы видели, что число как идеальная структура (в отличие от реального становления) характеризуется пятью категориями: бытие, различие, тождество, движение и покой. Вся эта область представляет собою бытие в широком смысле слова, т. е. бытие, включая и всю его внутреннюю структуру. Оно диалектически противостоит инобытию, или небытию, объединяясь с которым превращается уже в бытие, для которого положена также и внешняя граница, т. е. в ограниченное, в определенное бытие, дальнейшая эволюция которого приходит уже к становлению. В этом смысле инобытие может быть объединено с бытием так же тесно, как мы объединяли тождество и различие и как объединяли покой и движение. Если мы рассмотрим теперь значение этой составной категории определенности бытия, или закона построения бытия, то вместе с самотождественным различием и подвижным покоем это составит достаточно полное η систематическое рассмотрение всей чисто бытийной (онтической) и смысловой стороны числа, и мы сможем тогда перейти и к категориям, связанным с алогическим становлением.

2. Начинаем с арифметики. Определенность бытия арифметического числа есть закон тех операций, в результате которых оно получается. Когда мы заставляем действовать инобытие, мы прежде всего отличаем бытие от инобытия проведением границы, отграничением. Проводя эту границу, мы совершаем операцию, которая даст нам не просто число, но и закон его появления из других чисел, закон объединения используемого нами бытийного материала для получения числа. Когда мы рассуждали о категории самотождественного различия, или подвижного покоя, мы не говорили о числе как полной и конкретной индивидуальности; мы именно говорили об элементах и частях числа, т. е. анализировали его внутреннее инобытие, отвлекаясь от узрения числа целиком, от фиксации самого закона появления числа из других чисел. Ведь бытие со своей внутренней структурой, определяемой категориями самотождественного различия и подвижного покоя, предстоит теперь как уже сформированное, как отличенное от всех других видов бытия. Число, в котором мы нашли различные и тождественные, подвижные и устойчивые элементы, теперь уже внутренне сформировано, отличено от всякого иного числа; и мы как бы отходим от него на некоторое расстояние, чтобы обозреть его целиком и, пользуясь его четко установленными со всем прочим границами, сравнить его со всеми другими числами. Это и значит, что мы заставляем вступать это число в различные комбинации с другими числами, т. е. производим над ним те или иные операции. Вот закон этих операций и есть аксиома определенности бытия числа.

В чем же этот закон заключается? Тут мы можем только повторить то, что раньше говорилось о своеобразии бытия арифметического. Это бытие, как мы знаем, инобытийно–нулевое, т. е. оно зависит в своей значимости и структуре только от своей чисто смысловой же значимости. Число вне себя действует ровно так, как действует оно и внутри себя, т. е. как действуют внутри его составляющие его единицы. Эти единицы абсолютно однородны и однозначны; между ними не мыслится никаких особых расстояний, кроме того чисто отвлеченного и чисто смыслового различия, которое всегда присуще им как таковым и которое и есть они сами. Если мы, разъясняя категорию подвижного покоя, говорили, что единицам, входящим в число, т. е. натуральному ряду чисел, не свойственно никакой иной упорядоченности, кроме как только определенной чисто числовым же значением этих единиц, то точно так же мы теперь рассуждаем и в отношении, царящем[34] и между разными числами. В операциях между отдельными числами существует тот же закон, что и в операциях между единицами внутри каждого числа. Закон сочетания этих чисел точно так же говорит о независимости результата этого сочетания от инобытия, т. е. от взаимного расположения элементов. Арифметические действия нисколько не зависят от порядка действия, т. е. от сочетания, перемещения и распределения элементов в этих действиях. Отсюда и аксиома.

Аксиома определенности (закона) бытия в арифметике: арифметическое число есть совокупность элементов, появляющаяся в результате операций над теми или другими совокупностями вне зависимости от специфического порядка элементов, над которыми производится операция, т. е. независимо от их сочетания, перемещения и распределения. Или: арифметическое число есть совокупность элементов, появляющаяся в результате операций над теми или другими совокупностями при инобытийно–нулевой значимости их взаимораспределения. Или еще короче: арифметическое число есть результат счета.

3. Чтобы формулировать эту аксиому чисто математически, необходимо принять во внимание одно обстоятельство. Дело в том, что категория определенности бытия относится, как мы знаем, только к чистому бытию, г. е. не к становящемуся и не к ставшему, а к чисто идеальному, смысловому бытию. Мы ведь дальше пока никогда не шли. Что же касается чистого и идеально–структурного бытия, то оно одно, взятое само по себе, отнюдь не может обеспечить полностью математического предмета, и в частности полноты арифметических операций. Поэтому, строго говоря, на данной диалектической ступени, когда речь идет о законоопределен–ности числового бытия, мы должны говорить только об арифметических действиях вообще и даже еще более обще—о счете, о законах счета. Закон определенности арифметического бытия есть закон счета. Если бы мы не давали нашей расчлененной диалектики математики, то уже тут можно было бы вскрыть содержание этих законов счета, к которым приходит исследовательская мысль. Именно, мы здесь могли бы зафиксировать как различные типы арифметических операций, так и законы счета в более узком смысле слова, т. е. как законы ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный. Однако расчлененность изложения заставляет отнести эту детализацию «закона счета» на долю последующих категорий, здесь же—ограничиться одним голым утверждением, что мы не только мыслим числа как составленные из других чисел и как расположенные в определенном порядке, но что, когда отдельные числа уже сформированы, мы можем их комбинировать как угодно и от этой комбинации, от самого процесса комбинирования нисколько не страдают эти числа, продолжая входить в операцию ровно с тем же количественным содержанием, которое было свойственно им и самим по себе, до всякой операции.

Итак: арифметическое число подчинено закону счета, т. е. оперирование с ним не зависит ни от каких вне–количественных элементов, которые бы содержались в нем самом. Самотождественное различие говорит о статической составленности, взаимоприложенности отдельных элементов в некую цельную совокупность. Подвижной покой говорит о порядке следования этих элементов внутри полученной совокупности. Закон определенности числового бытия говорит уже о разных формах составления и упорядочения чисел, т. е. уже не об отдельном числе, но о разных числах. Оказывается, что когда мы берем и разные числа, то все равно операции с ними не зависят ни от какого вне–количественного их инобытия. Но это и значит, что мы считаем. Ибо арифметический счет как раз и основан на фиксации результатов вне–инобытийных, чисто количественных операций с разными числами.

§ 55. Аксиома определенности (закона) бытия в геометрии.

1. В геометрии действует числовое инобытие. Однако, будучи оторвано от такого числа и являясь его диалектическим отрицанием, геометрическое инобытие слишком вещественно понимает бытийственную определенность. Все эти сочетания, перемещения и распределения происходят тут в отношении пространственных моментов. Закон определенности бытия в этой области есть закон оформления геометрических фигур, появляющихся как раз в результате определенных пространственных операций с применением идеи порядка. Это, конечно, всецело инобытийная упорядоченность, порядок самого инобытия, отрицающего числовую энергию и потому статического, как бы застывшего. В результате получается геометрическая фигурность, застывшая и пространственная, в которой основной закон — построенность из инобытий–ного материала на основании идеи порядка.

Аксиома определенности (закона) бытия в геометрии: геометрическая величина есть совокупность элементов, появляющаяся в результате операций над теми или другими совокупностями в зависимости от специфически–инобытий–ного порядка элементов, над которыми производится операция. Короче: геометрическая величина есть результат построения.

Если чисто числовые операции не зависят от числового инобытия и закон объединения чисел в результате этих операций есть закон их абсолютной количественности, то геометрические величины зависят от числового инобытия (пространства), и закон объединения инобытийных моментов есть тут закон их своей специфически инобы–тийной скомбинированности, или закон пространственного построения. В арифметике — счет и числовые операции, в геометрии же — построение и пространственные фигуры, или, вообще говоря, величины: вот закон определенности бытия там и здесь.

2. Как в отношении арифметики аксиома определенности числа дает перспективу на арифметические операции, так в отношении геометрии она дает перспективу на пространственные операции (в широком смысле), т. е. на диалектику образования геометрических величин. Отсылая к подробному освещению этой области в соответственном месте нашего исследования, мы позволим себе здесь только очень кратко наметить указанную перспективу. Последовательность образования геометрических фигур может быть, как и все на свете, только диалектической последовательностью, т. е. последовательностью категорий бытия, инобытия и становления, возглавленной при помощи соответствующего перво–принципа и сконструированной в этой взаимосвязи при помощи категорий различия, тождества, движения и покоя. Формулируем это сначала кратко.

a) Прежде всего, должен быть какой–то перво–принцип всякой геометрической фигурности, т. е. то совпадение всех геометрических противоположностей, которое образует сплошную неразличимость, действующую, однако, в качестве принципа различимости. Это, несомненно, есть точка.

Во всей математике, может быть, нет ни одного еще такого образа, который бы так адекватно изображал диалектическую установку всякого перво–принципа и всех математических перво–принципов вообще. Обычно все говорят, что «точка не имеет измерений», и в то же время когда хотят ориентироваться на линии, на плоскости и в пространстве, то никогда не прибегают ни к какому иному средству, как только к фиксации точек. Таким образом, уже элементарное использование этого понятия указывает на то, что точка есть и принцип неразличимости, и принцип отличимости одновременно. Это и делает ее геометрическим перво–принципом подобно единице в арифметике; а ее наглядность и общепонятность превращают ее в самый ясный и безупречный образ математического перво–принципа вообще.

b) Далее, точка, подобная всякому перво–принципу, переходит в отрицание себя, в свое инобытие; она противопоставляет себя себе же самой. Это значит, что она становится линией, так как две точки уже определяют прямую (простейший вид линии) целиком. Но и для линии нет никакого иного пути к саморазвитию, как только переход в свое отрицание, в свое инобытие. Линия, взятая как таковая, требует своего «оформления»; на нее надо посмотреть «извне». А это и выполняется здесь в буквальном смысле, как только мы выйдем за пределы самой линии и отметим хотя бы одну какую–нибудь точку вне данной линии. Ясно, что мы переходим к плоскости, которая, как известно, вполне определена уже только тремя точками, если они не лежат на одной прямой. Точно таким же путем мы выходим за пределы плоскости и получаем трехмерное пространство. Точно так же, наконец, мы можем переходить и ко всякому другому следующему измерению и можем даже получить пространство с бесконечным числом измерений.

Этот метод получения основных геометрических категорий настолько ясен и прост и, я бы сказал, настолько банален и избит, что тут можно только ради шутки возражать против диалектических переходов.

с) Один момент в этом избитом умозаключении все же необходимо отметить. Именно, возникает вопрос: нет ли какого–нибудь осязательного ограничения в этом нагромождении бесконечного числа измерений? Нельзя ли здесь привести какую–нибудь более выразительную диалектику? Несомненно, ограничения здесь должны быть и теоретически, да и фактически мы почему–то по преимуществу имеем дело с трехмерным пространством и почему–то с большой неохотой переходим к дальнейшим измерениям. Мы к этому вопросу вернемся немного позднее, а сейчас укажем только на то, что основания для примата трехмерности с замечательной ясностью и прямотой вытекают из диалектики; и, кажется, иным путем и невозможно его обосновать.

Теперь остановимся на более подробном рассмотрении полученных нами геометрических категорий — линии, плоскости и пространства.

3. а) Как точка, этот наш исходный перво–принцип, переходит в линию? Как мы хорошо знаем, дело может обстоять только так, что точка начинает как бы дробиться, начинает противополагаться самой себе, переходить в инобытие. Тогда получается уже не точка вообще как перво–принцип, но точка как начало ряда, как то, что противопоставляется, — прежде всего, себе же самому (ибо пока ничего другого е1це нет). Итак, точка оказывается инобытием себя самой. Это возможно только тогда, когда между точкой как первоначальной данностью и точкой как данностью противопоставленной разыгрывается диалог при помощи указанных внутренних категорий, потому что обе эти точки должны различаться, должны двигаться и т. д.

b) Точка отличается сама от себя. Это значит, что существует уже не одна, а две точки. Но так как у нас имелась только точка и больше ничего (потому–то она и была перво–принципом), то различие может наступить у нее с нею же самой, г. е. различным должно оказаться то, что между собою тождественно. Следовательно, две полученные нами точки должны отождествляться. Но как же им отождествляться так, чтобы различие между ними все–таки осталось? Вернуться к исходной начальной точке—это значит уничтожить две точки и оставить только одну, т. е. уничтожить самую категорию различия. Единственный способ отождествить две точки, Fie теряя различия между ними, — это соединить их при помощи линии. Когда мы имеем отрезок прямой, то оба ее конца, несомненно, отличаются один от другого, так как иначе они вообще не были бы двумя точками и начало нашей линии слилось бы с концом, т. е. весь отрезок оказался бы не линией, а только точкой. Но, с другой стороны, оба конца нашего отрезка, несомненно, тождественны между собою, так как весь отрезок есть нечто сплошное и неразличимое в смысле отдельных своих точек; и если бы конечные точки его были бы различны, то это привело бы к их изоляции и одной от другой, и обеих от всего отрезка, т. е. отрезок, утерявший свое начало и конец, опять перестал бы быть отрезком. — Итак, линия есть самотождественное различие пространства (под пространством мы здесь понимаем общую категорию, независимо от числа измерений). Точка есть бытие (единичный акт полагания) числового инобытия (пространства), линия—его самотождественное различие. Но самотождественное различие дано тут в пространстве в своем чистом виде, без привлечения каких бы то ни было инобытийных моментов. В общем геометрическом инобытии оно дано чисто, неинобы–тийно. Поэтому мы получили не просто линию, но прямую линию. Поскольку различающиеся моменты являются здесь и абсолютно тождественными, постольку общая категория самотождественного различия должна обеспечить здесь единство направления, призванного синтезировать различное в самотождественное. Линия в условиях единства своего направления и есть прямая.

с) Далее, точка должна еще и двигаться. Точка, противопоставляя себя себе же самой, должна двигаться к себе самой и покоиться в себе самой. Что это значит? В отличие от резких переходов, как бы мгновенных смысловых ударов категории самотождественного различия, движение характеризуется моментом постепенности, сплошности.

В результате этой постепенности движение должно прийти в ту же точку, из которой оно и вышло. Мало будет, если мы станем двигаться по только что полученной нами прямой и придем от ее начальной точки к ее конечной, потому что здесь получится не сплошность, но именно прерывность движения: мы примем к конечной точке, и дальше идти будет некуда, а тем не менее покой не должен, по основному смыслу этой сложной категории, прекращать^ движения, он должен слиться с этим движением воедино. Так же ведь и в прямой тождество двух точек не просто уничтожает всякое их различие, а вполне его сохраняет, но—так, чтобы тождество растворилось в различии, а различие в тождестве. Только так и может осуществляться полный и постоянный диалектический синтез. В категории подвижного покоя, если применить к пространству, точно так же движение и покой абсолютно поглощают друг друга, так что между ними не оказывается ни одного мгновения, их разделяющего.

Поэтому прямой линии тут недостаточно, и движение по этой прямой недостаточно. Возвращаясь от конца отрезка к началу, мы все–таки на одно мгновенье прекращаем движение вперед, на одно мгновение останавливаемся и уже потом двигаемся назад. Настоящее воплощение категории подвижного покоя будет только в том случае, если мы, двигаясь вперед, в результате самого движения, т.е. в результате сплошного и непрерывного движения, вернемся к той же самой точке, от которой начинали двигаться, т.е. когда мы будем двигаться по кривой линии, которая к тому же должна быть замкнутой. А так как у нас берется чистая категория подвижного покоя, т. е. без всяких инобытийных привнесений, то должно быть соблюдено единство направления этой кривой (так же, как и в предыдущем случае с прямой); единство же направления замкнутой кривой есть единство ее кривизны. Другими словами, должна получиться окружность, которая, таким образом, есть, попросту, подвижной покой пространства. Сколько бы мы ни двигались по кругу, мы, в общем, всегда будем находиться на одном и том же месте; это и будет значить, что здесь воплощается составная категория подвижного покоя.

d) Но к числу эйдетических, или едино–раздельных, категорий относится кроме самотождественного различия и подвижного покоя еще и бытие (т.е. едино–раздельное бытие, «определенность», «закон» бытия). Ясно, что тут мы должны будем перейти к разным деформациям круга, т.е. к кривым второго порядка. Но эту область удобнее будет рассмотреть при другой планировке, к которой мы сейчас и приступим после еще одного замечания.

е) Итак, перво–принцип геометрической фигурности есть точка. Перво–принцип превращается в принцип, когда осуществляет себя в едино–раздельной форме; и — «точка вообще» становится реальной точкой, как началом ряда. Она, как и перво–принцип, переходит в свое инобытие, самопротивопоставляется, и в отношении нее начинают действовать основные смысловые категории. Пространство как некое бытие (как акт полагания) есть точка; как самотождественное различие оно — прямая (или кривая первого порядка), и как подвижной покой оно — окружность, как «определенность» оно — вообще кривые второго порядка. Таким образом, в результате этого диалектического процесса точка сначала превращается в кривую первого порядка, или в прямую, а потом становится кривой второго порядка. Все это в результате перехода точки в свое инобытие и распространение по необозримому нолю этого инобытия.

Заметим одну очень важную вещь. Бытие есть раздельность, ограниченность и конечность. Инобытие только потому и является инобытием, что оно безраздельно, неограниченно и бесконечно. Таково и все инобытие, такова и каждая его «часть». Это сплошная неразличимость, если брать его в чистом виде; и любой отрезок его, как бы мал он ни был, всегда бесконечен, ибо никогда в нем нельзя одну точку противопоставить другой (тогда была бы раздельность, т. е. какая–нибудь определенность и конечность). Но отсюда получается вывод огромной важности. Всякая новая категория, зарождающаяся на путях инобытия, будет в отношении своей инобытийной категории (которая и есть бытие для этого инобытия) всегда бесконечностью. Стоит только сравнить две соседние категории, образовавшиеся путем диалектического перехода по путям инобытия, как это становится вполне очевидным. Что такое линия в отношении точки? Это есть прежде всего бесконечное количество точек (так или иначе соединенных между собою). Что такое плоскость в отношении линии? Это есть прежде всего бесконечное количество линий, так или иначе расположенных. Точно так же и трехмерное пространство — в отношении плоскости. Аналогично — что такое окружность в отношении прямой? Прямая есть окружность бесконечно большого радиуса. В дальнейшем легко будет заметить, что плоскость есть не что иное, как шар бесконечно большого радиуса. Очевидность этого обстоятельства обнаруживается сама собой, если мы будем представлять себе, что в связи с увеличением радиуса и удлинением окружности последняя становится все менее и менее изогнутой, все более и более распрямленной. Значит, когда радиус станет бесконечно велик, окружность тоже станет бесконечно великой и превратится в прямую. Соответственно, и шар, все больше и больше разгибаясь, превратится в бесконечно протяженную плоскость. Этими бесконечными переходами, которые используются в целях получения новых категорий, особенно богата проективная геометрия.

f) Наконец, в отношении линии вообще, взамен отвлеченной схематики, можно провести и нашу общую пятистепенпую формулу. Если, оставляя точку в стороне, в качестве перво–принципа рассматриваемой геометрической области мы возьмем линию вообще, то ее принципом явится та простейшая и абстрактнейшая форма линии, которая называется прямой, подобно тому как и «бытие», хотя в отношении перво–принципа и является уже чем–то оформленным и, следовательно, сложным, все же из всех других категорий есть наиболее «простая», «чистая», «абстрактная» и «идеальная». Выше мы определили прямую как самотождественное различие пространства. Сейчас же мы получаем новое выражение этого определения (вполне тождественное со старым): прямая есть идеальное бытие пространства.

По сравнению с прямой кривая оказывается, несомненно, некоторым становлением (пространства). Ведь чтобы образовалась какая–нибудь кривая, необходимо — 1) фиксирование прямой и одновременно с этим — 2) испытывание еще какого–нибудь иного воздействия на прямолинейное движение, отличного от этого последнего. Кривая от прямой отличается именно тем, что каждая новая точка прямой, которая образовалась бы в условиях свободного саморазвития, постоянно сдвигается в сторону под тем или иным другим влиянием, она всегда — иная и иная. Это и делает кривую становлением прямой.

Но тогда ставшим бытием линии оказывается замкну–тая кривая, так как ставшее кладет границу для распространения становления и возвращает его к себе же самому, превращая в фактически устойчивую подвижность.

Что же касается выразительной формы линий, то поскольку выражение (§ [21]) есть смысловое вобрание в себя субстанциально–инобытийного окружения, деформирующего (ибо оно—субстанциальное) самую субстанцию, т. е. существенное основание выражаемого, то здесь мы получим те или иные типы замкнутых кривых в зависимости от степени их деформации. Тут мы сталкиваемся с кривыми второго порядка, которые выпали из рассмотрения в прежнем подходе.

Прежде всего мы должны получить замкнутую кривую, которая никак не деформирована в смысле инобытия. Эта нулевая деформация, однако, не есть просто отсутствие всякой деформации, подобно тому как в теории множеств мы различаем нуль–множество и нуль просто. Но как мы должны выразить это геометрически точно? Ясно, что такой кривой является круг, но как математически оформить эту категорию? Здесь мы должны, к сожалению, затронуть некоторые вопросы аналитической геометрии, хотя последней у нас посвящается в дальнейшем специальный отдел. Именно, из разных методов характеристики кривых второго порядка мы изберем метод фокусов (ради примера, конечно, можно брать и любой другой метод определения кривых второго порядка) и скажем так.

Всякая плоская кривая второго порядка характеризуется двумя направлениями своей деформации, соответственно двум главным координатам. Каждое направление характеризуется парой фокусов. У геометров невозможно добиться настоящего интуитивного понимания фокуса, и понимание последнего почти всегда сводят на аналитические абстракции. Тем не менее фокус есть просто указание на деформацию. Это прямо выводится из толкования фокуса кривой второго порядка как такой дочки, расстояние которой от точек этой линии выражается рационально через их координаты, точно так же—как и из толкования фокуса в виде точки пересечения четырех мнимых касательных к линии второго порядка, проходящих через циклические точки. Но мы не будем здесь излагать этого подробно (отсылая к специальному отделу; ср. также §[105]), а только ограничимся простым и наивным констатированием того, что с удалением фокуса от центра кривая определенным образом деформируется, а с его приближением к центру она деформируется в обратном смысле. Из учения о мнимых величинах (§[105]) мы увидим также, что если положительные и отрицательные величины откладывать направо и налево по л>ам, то мнимые пойдут вверх и вниз по >-кам. Кривая второго порядка определяется двумя вещественными и двумя мнимыми фокусами. Ясно, чтобы не было никакой ино–бытийной деформации кривой, необходимо, чтобы кривизна ее была везде одной и той же, а это значит, что все четыре фокуса должны совпадать в одной точке. Тут мы имеем круг, кривую второго порядка, у которой все четыре фокуса слились в одну точку (поскольку, конечно, можно говорить об определенном положении мнимых точек).

Если эта математически–диалектическая позиция усвоена, то нетрудно будет получить и прочие кривые второго порядка. Пусть перво–принципом замкнутой кривой будет выведенное раньше ее понятие. Тогда ее бытием будет круг. И тогда ее становлением будет, несомненно, парабола, у которой именно и происходит уход в бесконечное становление второго вещественного фокуса, а также бесконечное расхождение и мнимых фокусов, или, точнее сказать, один из вещественных фокусов параболы здесь бесконечно удален, а оба мнимых совпадают с циклическими точками. Чтобы такое становление остановить, надо снова ухватить его второй конец. Это случается в гиперболе, второй вещественный фокус которой, пройдя бесконечность, вновь появляется на конечном расстоянии, но уже с другой стороны (как это и должно быть, поскольку бесконечность есть отрицание конечного, вернее, отрицание самой категории конечного); и то же случается тут и с мнимыми фокусами, которые в гиперболе лежат на конечной мнимой оси.

Интереснее всего, однако, выразительная форма замкнутой кривой. Из теории мнимостей (§[105]) мы узнаем, что мнимая величина есть в диалектическом смысле выразительная величина и что вещественная величина, перейдя в мнимость, тем самым получает свое выражение, поскольку мнимость представляет собою наличие в данном измерении перехода в следующее измерение без нарушения, однако, прав первого измерения. В применении к кривым второго порядка это значит, что их вещественные фокусы (а они вместе с мнимыми [суть] показатели деформации) должны стать мнимыми, а мнимые вещественными. Это произойдет, если мы будем все больше и больше разгибать гиперболу, покамест не превратим ее в две параллельные прямые и потом в эллипс, б [олыпая ] ось которого окажется расположенной именно перпендикулярно к прежнему положению оси параболы и гиперболы, и в нем старые вещественные фокусы гиперболы превратятся в мнимые, расположенные на малой оси эллипса, а старые мнимые фокусы гиперболы превратятся в вещественные эллипса, расположенные на его большой оси. Этот эллипс и есть выразительная форма кривой второго порядка вообще.

Можно было бы получить эллипс и раньше, путем раздвижения двух вещественных фокусов круга, но без удаления второго из них в бесконечность. Это было бы моментом становления, которое в развитом виде представлено у нас параболой. Тут, однако, ничего удивительного нет, так как становление мы относим и к чистому эйдосу и к энергии; и там и здесь оно есть некое выражение, хотя и дано оно здесь на разных ступенях диалектической зрелости. В полном же смысле слова диалектическим выражением кривой второго порядка является упомянутый эллипс с упомянутым появлением его из гиперболы.

4. Этим мы заканчиваем наши краткие указания, ориентирующие нас в диалектике линии. Далее, мы должны были бы рассматривать диалектику плоскости и пространства, категории которых выведены у нас выше.

а) Нас не должно смущать то обстоятельство, что чего–то плоскостного мы уже коснулись в рассуждениях о кривых. Если угодно, мы там коснулись также й пространства, потому что цельное интуитивное представление взаимоперехода кривых второго порядка никак не обойдется без пространственных элементов. Тем не менее все это было только линиями, а не плоскостями; и мы должны различать окружность и круг, поскольку первая—линия, а второй — плоскость. Привлечение же второго и третьего измерения неизбежно потому, что мы захотели фиксировать выразительные формы линии. Выражение, как мы знаем (§[21]), вообще всегда есть привлечение субстанциально нового инобытия (т.е., напр., не просто различение на линии положительного и отрицательного направления, что было бы внутренним инобытием линии, но привлечение нового измерения, т. е. плоскости). Однако, поскольку речь идет о чистом выражении, это субстанциальное инобытие не заставляет реально и вещественно переходить в него (что привело бы просто к забвению самой линии), а заставляет только смысловым образом отображать его на себе. Всякая кривая вовсе не есть плоскость в реальном смысле слова, но она отражает на себе значимость плоскости, она — мнимая плоскость (это нам станет окончательно ясным после исследования мнимых величин, §[106]). И это потому, что кривая так или иначе несет с собою выразительную энергию линии вообще. Если угодно найти интуитивный образ для диалектической категории выражения, которое есть переход от данного смысла в инобытие, но не реальный переход, а только идеальный, смысловой, то кривые второго порядка — круг, эллипс, параболу и гиперболу — можно считать одним из самых лучших способов представлять себе «выражение».

b) Итак, нам предстояло бы говорить о диалектике плоскости и пространства. Не стоит делать этого подробно, так как этому у нас посвящен целый отдел. Но некоторые вехи все же наметим.

Плоскость, чтобы получить диалектическое оформление, должна быть чем–нибудь заполнена, или по крайней мере внутри ее должны быть осуществлены определенные условия ориентации. Чем может быть определена плоскость, если брать сначала ее внутреннее содержание, а не ориентировать саму плоскость как таковую среди всяких других геометрических построений? До плоскости мы имеем линию. Следовательно, с линии должен начаться процесс ориентации на плоскость. Как же будет происходить эта ориентация? Диалектика знает только один способ расширения смыслового содержания — это переход в инобытие. Линия должна перейти в инобытие, т. е. ей должно быть противопоставлено нечто такое, что не есть она сама. Но что же есть такое, противостоящее линии? Очевидно, опять–таки точка, но не точка на самой прямой (потому что тогда она не была бы отлична от самой прямой, но, наоборот, абсолютно слилась бы с ней), а точка вне самой прямой (тогда — очевидное противостояние точки и прямой).

Но тут необходимо иметь в виду, что мы знаем не только прямую, но и еще ее последующее диалектическое развитие. Там уже была как–то привлечена плоскость, хотя она и не была диалектически положена. Чтобы ее диалектически развернуть, надо ее заполнить при помощи прямой и ее диалектических продуктов. Тогда и эта последняя станет определением уже плоскости. Начнем с прямой.

с) Итак, мы имеем прямую и точку вне этой прямой. Это — уже различие. Где же тождество данной прямой и точки? Мы уже знаем, как получается тождество в ино–бытийно–геометрической области. Оно получается через пространственное объединение различествующих моментов. Другими словами, нужно соединить нашу прямую и точку, т. е. из этой точки провести линию, которая бы пересекла нашу прямую. Но так как здесь мы пока имеем чистые категории, в которых нет ничего, кроме них самих, то и различие и тождество должны быть только тем, что они сами собою говорят, т. е. по величине своей только необходимо великими, не больше того. Другими словами, тождество получится тогда, когда из данной точки будет опущен на прямую перпендикуляр, т. е. когда образуется угол, и притом пока только еще прямой, или, иначе, [образуются ] плоскостные координаты, и притом пока только еще декартовы (т. е. прямоугольные). Это и значит, что мы получили возможность ориентации на плоскости, т. е. тем самым определили внутреннее содержание всякой замкнутой плоскости. Стало быть, прямой угол есть такое самотождественное различие (прямая), которое, перейдя в свое инобытие, вновь обнаружило себя как именно самотождественное различие. В диалектическом анализе проективной геометрии мы убедимся, что это есть не что иное, как определение двумя перпендикулярными прямыми на бесконечно удаленной прямой двух соответственных точек инволюции.

Должен быть дальше и подвижной покой. Это уже не будет, конечно, тот чистый подвижной покой, который дал нам категорию круга. Это будет такой подвижной покой, который осуществится на почве уже осуществившейся категории самотождественного различия. Мы ведь уже имеем угол, и спрашивается: что же получится дальше, если к этой категории применить категорию подвижного покоя? Очевидно, той чистой сплоченности и непрерывности, которая характерна для подвижного покоя как такового, тут уже не может получиться. Туг может остаться только замкнутость, потому что подвижной покой требует возвращения к начальной точке, а траектория движения в основном уже предписана как самотождест–венно–различная, т. е. как перпендикуляр к данной прямой (откуда и прямой угол). Следовательно, остается только замкнуть полученный нами прямой угол; и так как подвижной покой опять–таки берется нами в чистом виде и осуществляется на почве этой самотождественной различности угла без всяких инобытийных привнесений, то движение наше необходимым образом должно быть ровно настолько же движением, насколько и покоем, и покой ровно настолько же покоем, насколько и движением, т. е. должно быть соблюдено условие: насколько мы удалились от прямой до нашей точки, настолько же должна участвовать в этом движении и вся покоящаяся прямая. А это значит, что получающийся в результате замыкания прямого угла треугольник должен быть не только прямоугольным, но и равнобедренным. Прямоугольный равнобедренный треугольник, стало быть, есть такое самотождественное различие в пространстве, которое, переходя в свое инобытие, не только вновь обнаружило себя как самотождественное различие, но еще и — на основе всего этого — как подвижной покой.

d) Пятиступенная формула, пожалуй, и здесь даст более прозрачные результаты. Если под перво–принци–пом считать тут определенность плоскости вообще, то принципом, бытием ее явится первое выхождение за пределы линии, т. е. точка вне самой линии, т. е. угол, т. е. координаты. Становлением плоскостного определения необходимо считать переход одной формы угла в другую и одних координат в другие и саму возможность этого перехода. Ставшим, очевидно, окажется замкнутый угол, или треугольник, а выражением — разнообразные виды треугольников и прочих плоскостных фигур, образованных из тех или других треугольников.

Не будем много говорить о плоскостном определении на основе кривой. Если прямая дала угол и прямолинейные фигуры на плоскости, то кривая даст дугу и криволинейные фигуры на плоскости.

В связи с общей диалектикой плоскости можно понять способ представления идеальной геометрической определенности, который попадается в старой философско–ма–тематической литературе. Именно, полная форма идеальной определенности пространства (в данном случае пока еще только плоскости), т. е. полная внешняя (в смысле границ) и внутренняя (в смысле принципа ориентации во внутреннем содержании) определенность бытия плоскостного, будет круг с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами, у которых соединены конечные точки, т. е. круг с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами, вписанным квадратом и составляющими четырьмя прямоугольными и равнобедренными треугольниками.

е) Все эти категории определяют плоскость по ее содержанию, но не определяют ее в ее субстанции. Если стать на последнюю точку зрения и применить пятисту–пенную диалектику, то мы получим — плоскость, поверхность, замкнутую поверхность и разные виды поверхностей.

0 Наконец, нетрудно представить себе в виде диалектических категорий и фигуры, пространственные в узком смысле слова, т. е. геометрические тела. Ясно, что, поскольку всякое дальнейшее определение происходит при помощи инобытия, необходимо найти инобытие для плоскости, как в ее прямолинейном, так и в криволинейном определении. Таким инобытием будет точка, не находящаяся на плоскости. Она и приведет нас к пространственным фигурам, или телам. Прямолинейное определение плоскости приведет нас сначала к телесному углу и его модификациям, а потом к его замкнутости, откуда — на выразительной стадии — правильные многогранники. Криволинейное определение плоскости приведет нас к шару и прочим круглым телам.

Таким образом, шар, круглые тела и правильные многогранники есть телесная выразительность геометрии. Здесь точка максимально развила себя и дала наиболее зрелый плод. Интереснейшие диалектические тонкости этой телесности мы должны оставить до специального места.

5. Дедукцией геометрических фигур мы показали, что такое закон определенности бытия в геометрии. Мы видим— вся суть заключается здесь в том, что бытие, переходя в инобытие, не расплывается безмерно вширь и вглубь (ибо тогда было бы уже не бытие, а становление бытия), но пользуемся этим инобытием только лишь для своего оформления. Получается определенное бытие. Однако эта определенность конструируется при помощи все тех же основных смысловых категорий, заполняющих, так сказать, промежуток между бытием и небытием и строящих тут определенное структурное взаимоотношение.

6. Относительно этой дедукции очень многое требует пояснения, что, однако, мы относим к специальной части. Сейчас же необходимо сделать только два добавления. Первое—о степени законченности этого геометрического построения и в связи с тем о количестве возможных измерений в пространстве. Второе — о формах пространства, выходящего за пределы произведенной дедукции.

a) Что касается первого вопроса, то смысл и количество измерений всецело определяется основной диалектической конструкцией. А именно, если чистая и абсолютная точка уже была нами интерпретирована как геометрический перво–принцип, то ясно, что едино–раздельный принцип должен гут дать линию. Если т очка есть диалектическое сверх–сущее, то само сущее, т. е. сам смысл, но пока еще чистый смысл, идеальный смысл, без всякого перехода в становление, это все есть линия. Но идеальному смыслу противостоит реальное становление, которое в диалектическом смысле есть только отрицание идеальности, т. е. его самопереход в свое инобытие. Следовательно, второе измерение и категория становления есть одно и то же, точнее, второе измерение есть осуществленность категории становления в общей пространственной области. Но если так, то отсюда получается сам собою тот вывод, что следующей общедиалектической категории, т. е. категории наличного бытия, или факта, ставшего, соответствует уже третье измерение, само трехмерное тело, поскольку ставшее есть ставшее чего–нибудь, т. е. оно всегда несет на себе все предыдущие категории, являясь их осуществлением.

b) Не говоря пока о выражении, скажем, что отсюда выясняется вся принципиальная значимость трехмерного пространства. Поскольку ставшее есть всегда фактическая осуществленность, трехмерное пространство, как единственно осуществившийся факт, всегда и везде будет главной и основной идеально–смысловой характеристикой пространства. Сколько бы измерений мы ни примышляли, в основе все равно остается трехмерное тело. Тут же выясняется и значимость именно третьего измерения. Оно [есть] телесное становление: вот его диалектическая сущность.

Впрочем, для полной ясности нужно сказать, что и всякое «измерение» в диалектическом отношении есть только становление. И так как само чистое становление вполне алогично, то свою смысловую значимость оно получает в зависимости от той уже смысловой категории, становлением которой оно является. Становление точки есть первое измерение, — тут получается линия; становление линии есть второе измерение, — получается двухмерное образование, плоскость. И становление плоскости есть тело. На этом замечательном примере прекрасно видна сущность диалектического перехода в инобытие, или в отрицание, т. е. сущность становления. Становление алогично в отношении к тому, что намерено становиться, т. е. в нем нет ровно ничего, ни одной точки (и в переносном более общем, и в конкретно–геомегриче–ском смысле), которая принадлежала бы становящемуся. Поэтому, чтобы получить линию, мы должны выйти за пределы точки; чтобы получить плоскость, мы должны выйти за пределы линии; чтобы получить тело, мы должны выйти за пределы плоскости. Каждый раз от данного оформления мы удаляемся в неизвестную мглу инобытия, где до сих пор ничего не было и куда не простиралось ни одно измерение из прежних.

с) Но если понятна диалектическая сущность пространственных измерений, то понятно и то, почему их в основном три. Это непреложно так же, как тверда диалектическая триада: внемерная точка превращается через свое одномерное инобытие (или отрицание) в двухмерную «идеальную» законченность (первая триада), которая, чтобы стать «реальной», должна вновь отрицать себя, т. е. противополагаться «факту» и, как всегда в диалектике, отождествляться с ним, что и означает переход идеальной двухмерной плоскости в полное трехмерное тело.

Заметим, что из математиков, кажется, только Пуанкаре понял сущность того, почему «пространство имеет три измерения». Именно, он решает этот вопрос при помощи понятий «непрерывности» и «сечения». Можно ли, спрашивает он, деформировать плоскость в прямую, пока эта деформация непрерывна? Очевидно, нет. Нужна тут прерывность. Значит, уже по одному этому проблема пространственных измерений глубочайше связана с категорией прерывности и непрерывности. Когда на прямой некая точка признана таковой, что ее нельзя переходить, то, очевидно, линия в этой точке прерывна. На плоскости одна запретная точка уже не создаст прерывности, потому что ее всегда можно будет обойти. Тут принципом прерывности будет, очевидно, не точка, а линия. Когда же мы имеем тело, то и запретная линия нисколько не помешает непрерывности и только плоскость, если она признана непроходимой, способна сделать шар прерывным и, таким образом, рассечь его. Ясно, стало быть, что «сечение» — это такая категория, которая необходима для понимания пространственного «измерения». Непрерывность η измерений есть поэтому непрерывность, сводящаяся на η — 1 измерений путем установления в ней сечения[35].

Это простейшее рассуждение Пуанкаре имеет только тот недостаток, что оно слишком эмпирично и лишено всякой диалектики. Кроме того, у него понятно, что такое измерение вообще, но непонятно, в сущности, почему измерений обязательно три. Тем не менее Пуанкаре правильно почувствовал направление, в котором этот вопрос может быть разрешен. С диалектической точки зрения антитеза непрерывности и сечения есть не больше, как только противоположность алогического, т. е. в конце концов отрицания, и — утверждения, или небытия (инобытия) и бытия. Диалектика, однако, дает гораздо больше: она учит еще, как нужно понимать эту противоположность в той ее форме, когда она становится синтезом. Концепция Пуанкаре выигрывает в своей интуитивной конкретности, но проигрывает в логической конструктивности и системе.

7. а) Возникает и еще один давно уже назревший у нас вопрос в связи с диалектикой пространства: что такое пространство больше, чем в три измерения, и как оно возможно? Равным образом, из предыдущего выясняется, что если диалектика измерений есть не что иное, как повторение основных диалектических категорий, то должно быть пространство, соответствующее и последней из тех категорий, которые мы приняли как первоначальные основные, а именно выражению. Категории до «ставшего» включительно конструируют в геометрии трехмерное тело. Что же конструирует тут энергийное выражение? Эти два вопроса — о том, как возможны «-мерные пространства, и о пространственном корреляте (в смысле «измерений») общедиалектической категории выражения, — эти два вопроса и есть один и единственный вопрос, потому что измерения выше трех могут быть конструированы только при помощи учения о выражении.

b) Выражение не дает ничего нового в смысле «факта», в смысле «наличного бытия», или ставшего; это один и тот же факт — выраженный и невыраженный. Поэтому, сколько бы измерений мы ни имели, в основе все равно всегда и неизменно остается тело трех измерений, если стоять на чисто онтологической точке зрения. Меняется только выраженный смысл бытия, а не его последняя субстанция. Выражение вносит инобытийную деформацию в тот смысл, которым уже обладает трехмерное пространство. А именно, ставится вопрос о кривизне пространства. Подробное проведение этого принципа выраженности привело бы к диалектической дедукции разных геометрий, могущей дать, как всегда, сначала триадиче–ское деление, а потом и более детальное. Относя эту дедукцию в геометрический отдел нашего исследования, мы, однако, должны будем сказать самое существенное об этом уже в дедукции аксиом выразительности. Сейчас же мы укажем на то, что основная выразительная триада, которую можно было бы прежде всего формулировать, — это разделение всех геометрий на

1) эллиптическую, где мера кривизны положительна (геометрия Римана),

2) гиперболическую, где мера кривизны отрицательна (геометрия Лобачевского) и

3) параболическую, где мера кривизны — нуль (геометрия Эвклида).

Диалектическое взаимоотношение этих трех типов геометрии есть взаимоотношение утверждения, отрицания и нуля. Этим вполне определяется выразительная сущность пространства. Детали же — в своем месте.

§ 56. Аксиома определенности (закона) бытия в теории множеств.

1. Закон бытия, или метод определенности, дает схему, по которой объединяются отдельные моменты в цельную совокупность. Арифметический закон такой объединенности есть вне–инобытийная, или, как мы говорим, инобытийно–нулевая схема. Тут числа объединяются вне своего специфического порядка и размещения. В геометрии — обратно. Геометрия изучает пространственные построения. Как таковые, они не могут не содержать в себе идеи упорядоченности. Когда мы говорим, например, о треугольнике, то никакое понятие трех, взятое в своей арифметической чистоте, никогда не даст представления о треугольнике. Тут входит принцип инобытий–ного взаиморасположения трех отвлеченных единиц. В теории множеств мы возвращаемся опять к арифметической вне–инобытийности, но эта вне–инобытийность не абсолютна в своей абстрактной изоляции, а содержит в своем смысловом составе разнородную упорядоченность, заимствованную из геометрической инобытий–ности. Можно противопоставлять, например, некую отвлеченную идею и реальную вещь, и они будут противоположностью чистого смысла (или чистого бытия) и отрицания смысла (инобытия). Однако можно сконструировать образ, который появится как полный синтез и неразличимость того и другого. Этот образ будет, с одной стороны, чистым смыслом, и никакой вещественности в нем не будет. С другой стороны, он будет разрисован и скомбинирован так, что окажется полной копией вещи, буквальным повторением всей той упорядоченности и взаиморазмещенности, которую дала вещественно–пространственная форма. Одно дело — отвлеченная идея постройки, другое — конкретно–построенный дом, а третье — это технический план и проект дома, где нет ни абстрактного смысла, ни полной вещественности, но есть овеществленный смысл и осмысленная вещественность.

Эта примитивная диалектическая установка, без которой нигде в диалектике нельзя обойтись, является в нашем случае основой и принципом рассуждения. Определенность бытия во множестве есть именно совмещенность арифметической нулевой инобытийности и геометрического пространственного упорядочения. Получается особого рода упорядоченность, которую нужно назвать теоретико–множественной и которая в одинаковой мере и совпадает с арифметической и геометрической, и отличается от них.

Аксиома определенности (закона) в теории множеств: множество есть совокупность элементов, появляющаяся в результате операций над теми или другими совокупностями при инобытийно–нулевой значимости их взаимораспределения, — после их возвращения, однако, из инобытия к самим себе. Или: множество всегда содержит в себе свой тип.

2. Последний термин «тип» математики ввели в теорию множеств недаром. Правда, обычное употребление этого слова исключительно формально–логично. Когда говорят «два типа карандашей», «три типа построек» и проч., то «тип» равносилен термину «вид» или «род». В теории множеств, однако, этот термин приобретает совсем другое содержание, возвращающее нас к античности, и, в частности, к греческому языку. «Тип» — от греческого глагола τύπτω — «бью», «выбиваю»; «тип» — то, что выбито, высечено, — например барельеф. В теории множеств тип есть наглядно данная фигурность числа, специфически выраженная целостность числа. Хотя сами математики большею частью и не отдают себе в этом отчета, но уже с самого начала ясно, что именно такого рода интуиции были здесь направляющим принципом.

Достаточно указать на то, как определяется «тип» в теории множеств. Тин, говорят, есть то, что обще множествам, подобным между собою. Это определение очень характерно. Поскольку подобие вытекает из возможности взаимоналожения, а взаимоналожение предполагает одинаковость распределения, одинаковую упорядоченность элементов данных множеств, то, разумеется, общее между двумя одинаково внутренне распределенными множествами может быть только сама же эта, в общих случаях тождественная, распределенность. Я в этих случаях говорю проще: тип есть просто какая–нибудь определенная числовая фигурность. Элементы расположены так, что они, вместе взятые, образуют некую фигурность, хотя она и не геометрическая, но чисто числовая же, и это–то и есть тип множества. Ведь не обязательно гипостазировать идею порядка чисто пространственно. Абстрактно–числовые акты полагания тоже могут быть различным образом взаимораспределен–ными. Эту чисто числовую взаиморасиределенносгь элементов и изучает теория множеств под видом учения о типах.

Итак, всякое множество принципиально содержит в себе свой тип. Всякое множество принципиально всегда есть результат некоего специфического упорядочения. Если аксиома подвижного покоя требовала, чтобы всякое множество мыслилось как вполне упорядоченное множество, то аксиома определенности бытия требует, чтобы результатом этого упорядочения была определенная фигурность множества, которая и есть настоящий закон определенности множества, т. е. правило его конструирования из элементов.

§ 57. Аксиома определенности (бытия) в теории вероятностей.

Что касается теории вероятностей, то трудно себе представить здесь аналогию к предыдущим аксиомам определенности, или бытия. Ясно и без дальнейшего, что здесь должна идти речь об определенных операциях и о результате этих операций. Математическая вероятность есть именно результат этих операций. После вышесказанного в этом не может быть сомнения. Весь вопрос, следовательно, только в том, какие именно операции надо иметь здесь в виду. И при этом вопрос не о разных видах этих операций (которые должны быть формулированы, как это мы указываем в § 62.Id, только при помощи привлечения еще дальнейшей аксиомы становления), но вопрос касается специфического тина этих операций, зависящего от природы теории вероятностей.

В отличие от предыдущих наук эта наука существенно связана с понятием факта, события, или случая. В то время как там определенность бытия достигается чисто смысловыми операциями, здесь она принимает в себя стихию вне–смысловой, случайной действительности. Раньше мы видели в аксиоме определенности, что определенность достигается здесь путем установления структуры из числовых элементов. Здесь мы находим, что хотя устанавливается и числовая структура, но относится она уже к вне–числовым моментам, к бытию случайному.

Аксиома определенности (бытия) в теории вероятностей: математическая вероятность есть результат операций над теми или другими вне–смысловыми совокупностями, или — числовая структура бытия случайного.

Позже в аксиомах о непрерывности мы встретимся и с реальными видами теоретико–вероятностных операций. Сейчас выведена только их общая категория.

§ 58. Общий результат аксиом идеальной едино–раз–дельности числа.

1. В § 35 были сформулированы аксиомы числа в наиболее общей форме, так, как они вытекают из общей теории числа, без всякой математической спецификации.

Теперь, принявши во внимание уже чисто математический материал, мы поняли, в какую математическую форму воплощаются эти наиобщие аксиомы. Следовательно, можно сравнить наиобщую аксиому едино–раздельного бытия с полученными математическими результатами.

Наиобщая аксиома гласила: число есть едино–раздельный акт полагания. Что же мы получили теперь? Полученный результат тоже можно фиксировать в его наиобщей форме. Примем во внимание, что категория самотождественного различия в общем приводит к понятию совокупности и элемента. Также категория подвижного покоя определяет собою понятие порядка, упорядоченности. И наконец, категория бытия требует конструирования в числе его определенности, или фигурности. Объединяя все эти моменты вместе, мы можем сказать, что число есть фигурно упорядоченная совокупность изолированных элементов. Этот результат модифицируется по разным отделам математики. Его можно взять как отвлеченный принцип; тогда получится арифметическое учение. Фигурную упорядоченность, несомненно, мы находим в самом обыкновенном арифметическом числе, ибо уже натуральный ряд невозможен ни без идеи порядка, ни тем самым без идеи фигуры, хотя тут, конечно, специфическая фигурность и упорядоченность (как это и должно быть теоретически). Фигурная упорядоченность, далее, может быть взята в своей инобытийности, равно как и в синтезе своего бытия со своим инобытием; тогда получатся учения геометрические и теоретико–множественные. Однако это уже развитие нашего результата, самый же результат в его наиобщей форме гласит только то, что число есть фигурно упорядоченная совокупность изолированных элементов.

Сравнивая этот результат с наиобщей аксиомой § 35, мы можем сказать, что в нем для нас нет ровно ничего неожиданного, что он есть ближайшее и самое естественное следствие наиобщей аксиомы. Как возможен акт полагания, если его брать вне его простой и неразвитой сущности, но в его едино–раздельной множественности? То, что этот акт делается множественным и в то же время остается самим собою, не рассыпается в дискретную множественность, это обстоятельство возможно только как переход в упорядоченную фигурность, т. е. в фигурность вообще. Если акт раздробился и потерял свое единство, речь должна идти уже о разных актах, о дискретных и взаимно не связанных полаганиях. Но если акт превратился во множественность полагания и в то же время сохранился как такой, это значит, что он объединяет образовавшуюся множественность, т. е. превращает ее в фигурность. Диалектика фигуры строится на взаимодействии, точнее же сказать, на взаимопроникновении категорий единства и множества. Фигурность именно там, где единство превратилось во множество, не потерявши собственного бытия, и где множество целиком поддалось единству, не переставши быть множеством. Фигурность есть, таким образом, простейший диалектический синтез единства и множества.

Таким образом, получение числа как фигурно упорядоченной совокупности имманентно кроется уже в самом общем утверждении, что число есть раздельный акт полагания, и здесь требуется только самый элементарный диалектический шаг.

2. Может быть, важнее другая сторона полученного нами результата. Яснее всего она на арифметике и геометрии. Спросим себя: чего еще не хватает нам для того, чтобы иметь настоящую, действительную арифметику и геометрию? Можем ли мы просто что–нибудь вычислять или решать те задачи, которые обыкновенно именуются «арифметическими»? Собственно говоря, единственное, что мы получили до сих пор, можно назвать числом самим по себе. Мы просто определили число как совокупность. Можно ли, например, на этом основании производить арифметические действия? Строго говоря, мы не имеем на это никакого права. Мы еще не знаем, всегда ли, при всех ли обстоятельствах это число будет себя вести так, как мы его определили. Правда, мы уже коснулись понятия арифметического действия, но оно получено нами (в учении об определенности числа) в очень общей форме, и мы еще не знаем, какие возможны арифметические действия и как они возможны. Точно так же, получивши геометрическую фигурность, мы на основании только одних аксиом едино–раздельности еще не можем знать, что же нам, собственно говоря, надо делать с этими фигурами; и даже мы еще не знаем самих фигур, а только получили их абстрактное понятие. То же самое относится и к учению о множествах.

Ясно, что полученный результат, гласящий, что число есть фигурно–упорядоченная совокупность элементов, отличается чрезвычайно общим характером, все еще очень далеким от конкретной математической действительности. Надо посмотреть, как осуществляется такая едино–раздельная структура числа. Надо определить формы функционирования этого другого числа, уже отвлекаясь от его чисто внутренней структуры и переходя в область его внешних судеб и проявлений.

Но это значит, что число, изученное нами до сих пор, есть число идеальное, смысловое, что ему еще предстоит стать реальным и что для этой реализации требуется новое инобытие, в котором оно заново бы перевоплотилось.

Что рассмотренное до сих пор число есть идеальная значимость и не больше того, — с полной ясностью вытекает из его принципа фигурности. Фигурность, как и вообще структура, обладает всегда чисто идеальным характером, если ее брать как таковую. Как бы ни был веществен этот дом, это дерево, этот двор, всегда фигура и структура этого дома, дерева и двора есть нечто идеальное. Ведь домов таких, как этот мой, очень много, а структура всех этих домов — одна и та же. Явно, что структура вещи не есть сама вещь, а только ее идея, хотя бы пусть и неотделимая от нее. Значит, поскольку сама действительность не есть только идея, мы должны для ее охвата оставить чистое идеальное число и перейти к его инобытию, где бы это идеальное число получило тело и плоть и стало реальным.

3. Но какое же теперь возможно для нас инобытие? С инобытием мы, вообще говоря, уже имели дело. Инобытие только и сделало для нас возможным противопоставление супра–акта ему самому. Едино–раздельность акта полагания только потому и была возможна, что в сфере самого полагания, внутри его самого, оказалось некое самопротивоположение, т. е. некое инобытие. Однако это инобытие заключалось именно внутри самого числа. Оно было, другими словами, самим числом. Число противопоставлялось себе же самому, т. е. оно было инобытием для себя же самого. Оно было и своим бытием, и своим инобытием. Теперь у нас на очереди совсем другое инобытие. Это инобытие уже вне едино–раздельной структуры числа, т. е. вне самого числа. Число со всей своей фигурностью, со всей своей едино–раздельной структурой (которая остается отныне неизменной), переходит целиком в новое инобытие. Новое инобытие будет вносить в число уже не сущностные дифференции, но такие, которые не затрагивают самой сущности, а лишь говорят о внешних судьбах этой сущности.

Другими словами, нам предстоит формулировать аксиомы становления числа. Число со всей своей структурой перешло в новое инобытие, которое и втянуло его в стихию становления. Тут–то и должна начаться уже не идеальная, а реальная жизнь числа. Что же это за аксиомы становления?

с) АКСИОМЫ СТАНОВЛЕНИЯ ЧИСЛА (ИЛИ ЕГО НЕПРЕРЫВНОСТИ) § 59. Принцип становления как принцип непрерывности.

Наиобщая аксиома § 35 гласит: «Число есть становящийся акт полагания». Спрашивается: как нужно понимать эту аксиому в ее математической интерпретации?

1. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо принять во внимание, что с переходом в становление число погружается в чуждую себе стихию и облекается в эту стихию, перекрывается ею. Число застилается новым слоем и таким образом делается двухсоставным. В нем меркнут прежние различия и застилаются новой уже неразличимой мглой. Если до сих пор число оказывалось едино–раздельной фигурной упорядоченностью, то теперь оно является безразличным, безраздельным, бесфигурным хаосом неизвестно каких элементов. Вступивши в инобытие, оно уже лишается своих смысловых различий и в этом отношении превращается в чистую неразличимость. В смысловом отношении здесь число неразличимо, оно везде тождественно. Но оно погружено в инобытие, в становление, и существуют тут только различия в этом становлении. Однако становление тем и отличается от едино–раздельной числовой структуры, что оно безразлично, внутренне неразличимо; и если мы теперь утверждаем, что оно различается, то это различие является уже положенным различием неразличимого.

2. Однако тут нельзя не вспомнить о той основной неразличимости, которую мы уже имели в виде супра–акта. Чем отличается эта новая неразличимость от той, первоначальной? Первоначальная неразличимость дана до бытия, до раздельного акта полагания. Потому там была абсолютная неразличимость. Здесь же мы имеем неразличимость после раздельного акта полагания. Потому неразличимость здесь берется не сама по себе, но уже в определенной сфере, а именно — в сфере раздельных актов полагания. Следовательно, здесь мы отвлекаемся не просто от всякого бытия, какого бы то ни было, но сначала полагаем бытие, и полагаем его раздельно, а затем уже погружаем эту раздельность в новое безразличие, заливаем раздельную структуру числа безразличной мглой становления. Тогда уже получится некая положенность различного с аннулированием различествующих в нем пунктов. Другими словами, получится непрерывность. Эта непрерывность тем только и отличается от перво–акта, что последний дан до всякого полагания и, следовательно, различия; непрерывность же дана в сфере полагания, в сфере раздельного. Поэтому в непрерывности мыслится как бы нечто протяженное, хотя сама по себе она еще не есть только протяженность, но последняя есть только один из ее видов.

3. В непрерывности погасло противоположение раздельно–смысловых моментов. Вся едино–раздельная фигурная упорядоченность числа потухает в тот момент, когда число становится непрерывным. Но это касается только смысловых, т. е. идеальных, моментов. Идеальность здесь потухла. Однако непрерывность возможна только потому, что смысловое безразличие дано здесь в реальном различии, неразличимость структуры делается различимой инобытийно, субстанциально, фактически, реально. Смысловые различия в числе потухли, но зато возросли различия его по факту, по актам полагания. Акты полагания здесь уже не подчинены смыслу. Это в идеально–смысловой сфере числа было так, что всякому смысловому различию сопутствовало и различение по факту; или, лучше сказать, в идеально–смысловой сфере нет самого различия смысла и факта, бытия и инобытия; что раздельно по смыслу, то раздельно здесь и по факту; и самое инобытие есть не что иное, как противоположение смысла ему же самому, т. е. самопротивоположение смысла. Совсем другая картина в становлении. Здесь идеальный смысл перешел в свое инобытие, весь идеальный смысл перешел в свое инобытие. Потому новое инобытие уже не есть внутреннее инобытие самого смысла, но оно — внешне ко всей смысловой сфере. Потому оно есть абсолютная алогичность, т. е. его различения уже не идут вслед за сущностными различиями, но остаются именно инобытийными в отношении их. Существенные различия здесь прямо уничтожаются, а в алогическом становлении образуются новые, свои собственные различия, уже не соответствующие сущностным различиям и несоизмеримые с ними.

4. Вот почему непрерывность есть совокупность таких моментов (или точек), которые абсолютно неотличимы друг от друга, т. е. неотличимы как такие, — другими словами, неотличимы по своему собственному смыслу, по своей идеальной сущности. Но эти моменты здесь вполне различимы и различны по актам своего полагания, по реальной своей воплощенности, по субстанциальной положенное™. Поэтому в непрерывности и существует некая как бы протяженность, хотя и неизвестно, чего именно это есть протяженность.

Следовательно, мы будем правы, если нашу общую аксиому из § 35 мы в настоящем случае интерпретируем математически следующим образом: число есть величина, так или иначе определенная с точки зрения непрерывности.

§ 60. Аксиоматическая диалектика непрерывности.

1. Однако это не конец, а только еще начало математической интерпретации. Нам предстоит формулировать модификации этого принципа непрерывности в арифметике, геометрии, теории множеств и теории вероятностей. Но еще раньше этого мы должны всмотреться в самое понятие непрерывности, так как оно в математике формулировано очень разносторонне, хотя, как всегда, сами математики поступают тут вполне слепо и не знают, как свести воедино данные ими же самими несходные формулировки.

2. Дело в том, что понятие непрерывности математически (и философски) можно формулировать с разной степенью общности и конкретности. Но если мы хотим осуществить всю гамму конкретизации, что согласно с нашим общим диалектическим учением, то у нас нет никакого иного пути, как только применить ту самую пятисоставную схему, которая действует у нас везде. Другими словами, непрерывность должна рассматриваться как супра–акт, как едино–раздельный акт полагания, как становление, ставшее и выразительно–эманативная энергия полагания. Не трудно формулировать супра–акт непрерывности, поскольку в основе последней лежит не что иное, как алогическое становление числа. Тут мы могли бы или повторить соответствующую аксиому §35, или сказать: всякое число есть непрерывная величина. Этим самым и формулируется то, что мы в диалектике называем супра–акгом.

3. Труднее подыскать математическое выражение для последующего диалектического развития понятия непрерывности. Прежде всего, что такое непрерывность как бытие, т. е. как положенность, как едино–раздельная структура? Если в супра–акте непрерывность бралась в своем последнем принципе и не рассматривалась в своем конкретном строении, то сейчас, с переходом в едино–раздельную структуру, мы должны понять ее как нечто различенное, как то, что выявляет свою едино–раздельную структуру, поскольку она выражена в этой идеально–смысловой неразличимости. Такой различенной структурой безразличного может явиться здесь только протяжение, наполнение, или, если угодно, непроницаемость непрерывности. Ведь перечисленные моменты абсолютно проницаемы один для другого, поскольку мы там говорили о смысловом самотождестве. В пятерке все единицы абсолютно тождественны и проницают одна другую. В непрерывности же мы находим глухую стену между отдельными ее моментами; и если они тут слиты по смыслу, то часто по своему факту они абсолютно взаимонепроницаемы, ибо в том только и заключается сущность протяженности, разрывающей бытийные полагания сущего в их абсолютную внеположность. Следовательно, если говорить о едино–раздельности в сфере самой непрерывности, то это будет не что иное, как некая наполненность, протяженность или непроницаемость.

4. Математически это есть в точности то, что известно под именем аксиомы Архимеда. Ее можно формулировать чисто арифметически. И тогда она примет такой вид:

если а>0 и b>0, то всегда a–f а + а + … + а>b.

Можно ее формулировать и геометрически: если один и тот же отрезок откладывать на прямой достаточное число раз, то общая сумма всех отрезков всегда выйдет за пределы любой точки на этой же прямой.

Эту аксиому математики справедливо называют аксиомой непрерывности. Однако очень мало сказать, что это есть аксиома непрерывности. Ведь существует много других выражений для непрерывности; и если гнаться за логической точностью, то необходимо указать ту категорию, под которой развита эта аксиома Архимеда. Размышление показывает, что тут имеется в виду не столько непрерывность вообще, сколько один определенный ее гип, а именно, непрерывность в аспекте ее полноты и непроницаемости. Что, собственно, хочет сказать аксиома Архимеда? Она хочет сказать, что когда мы откладываем отрезок во второй раз, то его начало должно совпасть с концом уже отложенного отрезка, а когда мы откладываем его в третий раз, то начало третьего должно совпасть с концом второго и т. д. Другими словами, мы хотим этим сказать, что если на прямой отложен данный отрезок, то во второй раз мы уже не можем помещать его на то же самое место, но необходимо выйти за пределы первого отрезка, и так же — во второй раз, и т. д. Следовательно, в аксиоме Архимеда имеется в виду только тот аспект непрерывности, который мы выше обозначили как непроницаемость, протяженность, или полноту.

5. За бытием следует инобытие, и за смыслом следует становление. Что такое непрерывность как становление? Она уже сама по себе с самого начала есть становление. Но теперь мы в сфере самого этого становления различаем бытие, становление, ставшее и выразительную форму. Что же такое теперь становление самого становления в этой общей сфере непрерывности?

Становление есть процесс, и процесс неразличимого, алогический процесс. Непрерывность, следовательно, должна теперь мыслиться как алогический процесс, как наплывание и размыв неразличимости. Чем, однако, определяется здесь наплывающая неразличимость? Тем, что она не имеет в себе ни одной твердой, устойчивой точки, в частности не имеет никакого определенного конца. Если даны какие–нибудь две точки, то, имея дело с непрерывной величиной, мы сможем между ними вставить еще одну точку, как бы ни было мало это расстояние. Такое представление непрерывности уже содержит в себе идею процесса, и притом явно процесса бесконечного и непрерывного. Поэтому аксиома непрерывности на этой диалектической стадии развития непрерывности может быть формулирована так: в непрерывной величине различие каждых двух ее моментов может быть как угодно мало. Или: в непрерывной величине расстояние между любыми ее двумя точками может быть сделано меньше любой заданной величины. Этим выразится уже не полнота и не непроницаемость, но именно наплывание, становление непрерывности.

6. За становлением следует ставшее. Непрерывность должна быть также и ставшим. Ее процессуальность где–то должна остановиться, и ее становление должно натолкнуться на некую твердую границу, которая уже не может быть чисто идеальной границей, как раньше, т. е. границей фигуры, но должна быть границей неразличимой протяженности. Неразличимое протекание и расплы–вание где–то должно остановиться. Однако, будучи подлинным становлением, оно ведь не может реально остановиться. Ее границей, как и границей вообще, может быть только идеально–смысловое. С другой стороны, это идеально–смысловое не должно быть здесь границей такого же идеально–смыслового, так как в этом случае мы совсем покинули бы сферу алогического, вне–смыслового становления. Следовательно, непрерывная величина должна быть текуче–неразличимым, вне–смысловым становлением, т. е. оно никогда не должно кончаться, но это становление должно иметь идеально–смысловую границу, чтобы перейти вообще из становления в сферу ставшего. Это значит, что непрерывная величина имеет предел. Предел ведь не есть сама непрерывная величина, которая потому и непрерывна, что не имеет никаких ни начал, ни концов (ибо иначе она была бы прерывна). И тем не менее предел как–то присутствует в этом непрерывном потоке, и не только присутствует, но даже направляет его, управляет им, осмысливает его. Это и значит, что он присутствует здесь идеально–осмысленно, поскольку функции всего идеально–осмысленного в реаль–ном–вне–смысленном заключаются в осмысливании, в направлении алогического потока, в оформлении. Сам же этот непрерывный алогический поток продолжает быть реально–алогичным, неразличимым, наплывающим, уходящим в безраздельную мглу бесконечности.

Вейерштрасс формулировал коренящуюся здесь аксиому геометрически, но ее легко понять и чисто арифметически: если на отрезке имеется неограниченный ряд следующих друг за другом точек, то существует такая (предельная) точка, что на любом расстоянии от нее имеется точка ряда. Это то, что мы могли бы назвать аксиомой непрерывности на той стадии диалектического развития этой непрерывности, когда она превращается в «наличное бытие», в ставшее.

7. а) Наконец, понятию непрерывности необходимо придать еще более богатое и значительное содержание, когда оно выходит уже за пределы и категории ставшего. Именно, после ставшего мы констатировали· новый переход в смысловую сферу, но такую, где даны не просто внутренние различия смысла самого по себе, но куда вобраны и все различия по факту, которые были при[в]несены становлением и ставшим. Это как бы расцветший смысл, почему мы и именовали эту область как эманативную, энергийную и выразительную. Наша непрерывность должна не просто быть внешним фактом, несущим на себе идеальный смысл, т. е. не просто неразличимым, бесконечным процессом, содержащим в себе идею предела, но наша непрерывность должна теперь растворить одно в другом, т. е. в ней должна быть теперь уже преодолена самая антитеза реального факта и идеального смысла, или, другими словами, законченность и различимость предела должна раствориться в хаотической и неразличимой бездне фактического становления. И это возможно только в том случае, если непрерывность перестанет быть и голой протяженностью, исполненностью, и голой, неохватной процессуаль–ностью и перестанет содержать в себе идеальный смысл только как невыполнимое задание (предел). Но что же такое протяженность, содержащая в себе и свое ставшее, и самый смысл этого ставшего становления? Это, несомненно, есть некий образ, некая выразительная форма, где всякое различение снова (как в чисто идеальной области) влечет за собой и различение по факту, но тут различение происходит не до факта, а после факта, после инобытийного осуществления, так что различение обладает здесь не просто идеальной бесплотностью чистого ума, но еще и активно полагающей определенно сконструированную сферу инобьггийной действительностью. Прежний «предел», к которому мы пришли в связи с категорией ставшего, должен перестать быть только идеальным заданием и должен быть конструирован как реальная выразительность каждой точки алогического становления. Предел должен быть как бы окутан этим становлением со всех сторон; и мы должны как нащупывать его в самом становлении, так и нащупывать, полагать становление при полагании самого предела.

Такое понимание непрерывности лежит в основе постулатов Дедекинда и Кантора.

b) Дедекинд формулирует аксиому непрерывности так:

«Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна, и только одна точка, которая производит это разделение прямой на два класса, это рассечение прямой на два куска».

С первого взгляда совершенно не видно, почему постулат непрерывности Дедекинда обладает указанными выше свойствами. Чтобы это уразуметь, начнем с житейских образов. Когда я смотрю сейчас на георгины, то их пышные темно–красные цветы хотя и составляют нечто целое со всем садом, но это целое дано тут в прерывных образах. Когда же я с георгин перевожу глаза на небосклон, то я вижу, что густая синева в зените постепенно, непрерывно переходит в голубизну ближе к горизонту и на самом горизонте почти уже теряет всякий голубой оттенок и становится белесоватой и почти белой. Наконец, когда я смотрю просто в зенит, то никакого перехода из одного цвета в другой я вообще не замечаю, и переход происходит только по вполне однородному густо–синему полю.

Аксиома непрерывности, основанная на чистом становлении, предполагает переход по одному пустому и равномерному пространству. Тут просто происходит бесконечное количество актов полагания, слившихся в одно общее протяженное полагание, т. е. тут полагание есть полагание только бы гия, чистого бытия, вне всякой качественности. Тут имеются в виду только самые акты полагания и совершенно игнорируется смысл того, что именно полагается. С другой стороны, аксиома Архимеда, основанная на четком различении одного заполненного пространства от другого, вовсе не говорит о чистом становлении в непрерывном потоке, но только говорит о тех различиях, которые вносятся в этот поток едино–раздельной структурой числа. Аксиома Архимеда относится к непрерывности в аспекте едино–раздельной струкгуры того, что вовлечено в поток непрерывности. Это есть непрерывность георгин, левкоев, роз, резеды и пр. цветов на общем фоне сада. Ведь сад тоже есть нечто целое, и эта целость непрерывно разлита по всем отдельным цветкам и деревьям, входящим в состав сада. Вот о такой–то непрерывности и говорит аксиома Архимеда. Это непрерывность прерывных предметов.

Наконец, можно переходить и от одного предмета к другому, от одного качества к другому и все же соблюдать непрерывность не как непрерывность прерывного, но именно как становящуюся непрерывность, как непрерывность чистого становления. Для этого нужен только постепенный переход от одного качества к другому, непрерывное изменение, скажем, синего в голубой. Тут, следовательно, будут происходить не просто акты полагания неизвестно чего, но вместе с этими актами будет полагаться и определенная качественность. С «бытием» будет вместе полагаться и «наличное бытие», но то и другое сольется в одну новую, уже энергийно–выразительную безразличность, так что и бытие будет становиться, и сама качественность будет в той же мере непрерывно становиться.

Вот это–то качественное, образное, или, как мы выражаемся, [эту ] энергийно–выразительную непрерывность, и имеет в виду Дедекинд. А именно, для чего ему понадобилось делить прямую на два класса точек? Предыдущие аксиомы непрерывности вполне обходятся без этого. Понадобилось ему это потому, что он при всем бытийственном переходе одних точек в другие, при всей взаимной неразличимости все же хочет их как–то различить, сохранить их качественное своеобразие. Точно так же, как и мы, хотя и видим постепенный переход от синего к голубому, все же совершенно определенно различаем синий цвет от голубого, точно так же и Дедекинд для демонстрации явления непрерывности прежде всего указывает на полную прерывность, на полную различимость и даже раздельность двух классов точек. Что бы тут ни происходило, но требуется, чтобы было два различимых класса точек, так как только этим путем и можно сохранить их качественное своеобразие. Но что же оказывается дальше? А дальше оказывается, что эти два класса разделены только одной и единственной точкой, что конец правой стороны линии, точка разделения и начало левой стороны линии оказываются одной и той же одной и единственной точкой. Это и значит, что синее переходит в голубое постепенно, непрерывно[36].

Таким образом, если под аксиомой Архимеда лежит интуиция раздельных тел, под аксиомой непрерывности в аспекте бесконечного процесса лежит интуиция пустого и темного пространства, то под аксиомой Дедекинда лежит интуиция поля, качественного пространства, расцветающего в непрерывном разнообразии своих красок.

Интересным является также и постулат Кантора о непрерывности, вызванный сходными же интуициями. Кантор[37][38] говорит: если на прямолинейном отрезке ОМ имеется два неограниченных ряда отрезков OA, OB, ОС, OA', OB', ОС… из которых первые растут, а вторые уменьшаются таким образом, что отрезки АА', В В', СС… постоянно уменьшаются и в конце концов становятся меньше всякого данного отрезка, то на отрезке ОМ существует такая точка X, что ОХ больше, чем все отрезки первого ряда, и меньше, чем все отрезки второго ряда.

В этом постулате Кантора лежит тот же принцин, что и у Дедекинда, но в то время как последний подчеркивает в одном энергийном образе момент устойчивости, стабильности процесса нарастания, у Кантора, наоборот, подчеркивается момент подвижности этого нарастания. У Дедекинда каждая точка процесса квалифицируется сразу тройным образом — как конец предыдущего периода, начало последующего и как точка, отделяющая одно от другого. У Кантора, наоборот, каждая точка процесса мыслится как только достигаемая в этом тройном смысле; она как бы еще только собирается быть концом одного, началом другого и разделением. Обе картины — и Дедекинда, и Кантора — рисуются на фоне синтетически–качественной, энергийной выразительности. Постулат Дедекинда, другими словами, есть диалектический синтез постулата Архимеда и постулата становящейся непрерывности (синтеза) при посредстве постулата Вейерштрасса.

§ 61. Аксиома непрерывности в отдельных математических науках.

1. Формулировка аксиом непрерывности, развитая в предыдущем параграфе, легко приобретает и чисто арифметическое, и чисто геометрическое значение, стоит только «числа» заменить «отрезками» (или другими геометрическими понятиями). Поэтому нет нужды загромождать изложение отдельной формулировкой принципа непрерывности в арифметике и в геометрии.

Стоит, может быть, только остановиться на этой аксиоме в применении к теории множеств и к теории вероятностей, так как здесь существует в математике более своеобразная терминология.

2. Что касается теории множеств, то здесь учение о непрерывности можно формулировать при помощи понятий полного и сцепленного множества, которые определяются следующим образом. Сцепленное множество есть то, в котором между каждыми двумя элементами можно иметь еще один элемент. Ясно, что понятие сцепления возникает на основе категории непрерывности в аспекте его становления (аналогично § 59.5). Полным называется такое сцепленное множество, в котором присоединение каждого нового элемента делает этот последний или наибольшим, или наименьшим. Нетрудно заметить и здесь некоторую аналогию с учением о непрерывности в аспекте ее полноты или непроницаемости (§ 59.4). В теории множеств непрерывным множеством и называют такое упорядоченное множество, которое является и сцепленным, и полным. Следовательно, аналогия с моментом ставшего (§ 59.6) должна привести к понятию предела. Самым общим положением здесь явится теорема Больцано — Вейерштрасса: «Всякое бесконечное ограниченное множество имеет хоть одну предельную точку».

a) Наконец, теория множеств выработала также большое учение, основанное на эманативно–выразительном понимании непрерывности. Конечно, можно было бы, в сущности, ограничиться и вышеприведенными постулатами Кантора и Дедекинда. Однако здесь они звучат достаточно отвлеченно, и теория множеств обладает в этом отношении более развитыми тезисами.

Именно, здесь прежде всего интересно определение континуума, данное Кантором. По Кантору, континуум есть совершенно–связное точечное множество. Чтобы понять диалектику этого понятия, вспомним некоторые основные определения из теории множеств.

b) Точка множества, не являющаяся для него предельной точкой, называется изолированной, и состоящее только из таких точек множество есть изолированное. Зато когда оно не содержит ни одной такой изолированной точки, оно называется плотным в себе. Однако множество может содержать свои предельные точки вне себя. В случае, когда оно содержит в себе все свои предельные точки, оно называется замкнутым. Замкнутое множество, когда оно не может быть представлено в виде суммы двух замкнутых множеств без общих точек, называется связным множеством. Другими словами, связность относится к предельным точкам множества так же, как сцепленность просто — ко всем точкам множества. И наконец, множество, которое является плотным в себе и замкнутым сразу, является совершенным множеством. Следовательно, совершенно–связное множество есть такое, которое состоит только из одних предельных точек, причем эти последние таковы, что между каждыми двумя из них можно указать еще одну такую же предельную точку.

Отсюда выясняется и все диалектическое строение континуума. Именно, для того чтобы существовал континуум, необходимо прежде всего сцепленное и полное множество. Сцепленность и полнота, вместе взятые, уже создают собою некоторую непрерывность. Однако что это за непрерывность в смысле диалектической судьбы самой непрерывности? Несомненно, сцепленность и полнота создают непрерывность только как бытие, как едино–раздельную структуру, т. е. как нечто только смысловое, только идеальное. Ведь континуум есть вид упорядоченности. Сцепленность и полнота тоже суть виды упорядочения. Но раз есть упорядочение, тем самым уже есть едино–раздельная структура, последняя же, взятая как такая, всегда есть нечто идеальное для того, в отношении чего она является структурой. Следовательно, непрерывность в смысле сцепленности и полноты множества есть идеальный момент континуума, бытие континуума, его едино–раздельная идеальная структура.

Далее, бытие, знаем мы, переходит в становление и непрерывность превращается в становящуюся. Содержится ли этот момент в континууме, как последний определен у Кантора? Несомненно, содержится. Уже понятие сцепления содержит в себе не только момент объединения (что необходимо для едино–раздельной структуры), но и момент специфического объединения, а именно такого, когда единораздельность мыслится как бесконечный процесс (поскольку сцепленность множества требует нового элемента между каждыми двумя, как они близкими ни были [бы] друг в отношении друга). Стало быть, континуум в смысле Кантора есть не только идеальное бытие, но он содержит в себе и переход в инобытие, в становление, т. е. непрерывность, лежащая в его основе, перестает быть плоской, изолированной, она покрывается новым слоем, углубляется, получает рельеф и тем самым стремится быть выразительным.

Однако, прежде чем перейти в сферу выразительности, еще необходимо перейти от становления к ставшему, к выражению внутреннего через отвлеченное задание, т. е. перейти к пределу. Последнее дано в определении континуума у Кантора при помощи моментов плотности в себе и замкнутости, входящих в понятие совершенного множества. Поскольку в этих моментах речь не просто о непрерывности, но и о пределах, момент ставшего уже оказывается включенным.

Однако и этого мало. В континууме Кантора даны не только предельные точки, они сами тоже вовлечены в новый поток становления, поскольку в нем мыслится еще и <…> связность. Но когда мы говорили об энергийно–выразительном, или эманативном моменте числа, мы как раз и мыслили становление, но не то становление, когда смысл впервые только еще вступает в свое инобытие и в нем погасает, но такое становление, когда смысл снова нашел себя в инобытии, растворился в нем, расцвел в нем и на нем, когда становление стало снова (…) включивши в себя, однако, и смысловой результат всех своих субстанциональных положений. Момент связности в Канторовом континууме, заставляющий сливаться в непрерывность уже не просто отдельные точки множества, но именно все его предельные точки, и демонстрирует для нас эту энергийную выразительность, которой не было в непрерывности на ступени ее идеально–бытийственной структуры.

с) Таким образом, в Канторовом континууме мы находим по крайней мере три различных диалектических слоя, совпадающих с обычной триадой: идеальный слой едино–раздельной структуры (полнота и сцепленность), реальное становление ее, или переход в инобытие (сцепленность), и — через ставшее как момент предела (плотность в себе и замкнутость)—синтез того и другого (связность), когда идеальная непрерывность снова находит себя в бесконечно–предельном процессе инобытия (связное совершенное множество).

d) Сравнивая это учение с постулатом Дедекинда, мы не можем не заметить явного превосходства учения Кантора над Дедекиндом. В то время как у Дедекинда (и Кантора) в постулате непрерывности имеется в виду ее обрисованность, ее зрительно–мотивированный переход от одного качества к другому, в учении Кантора о континууме подчеркнут момент понимания выразительного слоя непрерывности. Ведь здесь эта непрерывность вся перекрыта предельными точками. Это значит, что вся она состоит из точек, притягивающих к себе, из точек–идеалов, из точек–целей, из тех эманаций, которые своим исхождением из сущности привлекают к ней, вовлекают в свою стихию и своим привлечением к сущности всего чужого заставляют исходить ее вовне <…> бесконечными энергиями исхождения. Если под аксиомой непрерывности Дедекинда лежит интуиция разноцветных, но непрерывно взаимопереливающихся полей, то Кантор, строя свое учение о континууме, несомненно, исходил (может быть, тайно от себя самого) из образа таких же полей, но скомбинированных в ту или иную фигурную предметность, т. е. из той непрерывности, которая свойственна реальной комбинации реальных же вещей.

Когда мы рассматриваем, напр., цветок, то уже по одному тому, что он есть нечто целое, он есть и нечто в себе непрерывное. Тем не менее мы видим на нем несколько разных красок, напр. желтое на пурпурном и все вместе — на зеленом стебле, и мы видим тут много разных оттенков одного и того же цвета. Если бы мы просто фиксировали все это разнообразие, как собрание взаимно–изолированных вещей или красок, для нас достаточно было бы в смысле конструирования непрерывности[39] уже аксиомы Архимеда (§ 59.4). Если бы мы отвлеклись от всякой раздельной предметности и рассматривали бы цветок, не обращая внимания на стебель, листья, чашечку и пр., а исключительно только бы с точки зрения непрерывного перехода одного цвета в другой, нам достаточно было бы аксиомы Дедекинда и Кантора о непрерывности. Но когда каждый момент рассматриваемого цветка фиксируется не просто сам по себе, но как притягивающий к себе, заставляющий фиксировать именно его, когда он целесообразно группирует вокруг себя все прочее и является целью для всех других моментов, другими словами, когда вся эта непрерывность есть непрерывность пределов, тогда возникает континуум Кантора; и тогда перед нами начинает расстилаться непрерывность фигуры цветности, а не просто самой цветности; тогда перед нами та непрерывность в цветке, в букете, в человеческом лице, в разноцветном небе раннего солнечного восхода или позднего заката, — словом, везде, где разнообразие цветностей вызвано тем или другим прерывно–смысловым, а не чисто же цветностным принципом. Есть ведь какая–то непрерывность, разлитая по всему букету, несмотря на всю его раздельность и многоразличие входящих в него цветов. И ее не может не быть, так как, прервись она хотя бы на одно мгновение, букет уже распался бы на две или больше различных вещей. И вот эта–то — уже фигурная — непрерывность и есть континуум Кантора. Это и в диалектически–терминологическом, и в житейски–буквальном смысле выразительная, энергийная, эманативная, понимаемая непрерывность[40].

3. Что касается теории вероятностей, то категория непрерывности тут имеет гоже богатое применение, хотя, кажется, здесь и не дано столь ярких формулировок, как в теории множеств. Самым отвлеченным и самым примитивным теоретико–вероятностным пониманием непрерывности является то, что здесь называют геометрической вероятностью.

Основной интуицией для этой последней является линия или плоскость и составленность того или другого из точек. Если наша вероятность такова, что число возможных случаев равно числу возможных положений точки на прямой или на плоскости (или числу положений прямой в пространстве и т. п.), то такая вероятность будет непрерывной. Если бы мы стали спрашивать, какова вероятность вообще положения точки Μ на прямой Л В, то эта задача ввиду непрерывности данной прямой была бы вполне неопределенна. Но мы можем на данной прямой взять какой–нибудь отрезок <CD> и сравнивать вероятность положения точки Μ на <CD> с длиной <1 _CD> и <1_AB> Тогда задача получает определенность и мы сможем выставить такой принцип: вероятность того, чтобы точка Μ оказалась на определенном отрезке <CD> прямой А В, пропорциональна длине этого отрезка. Отсюда следствие: если Μ во что бы то ни стало находится на А В, т.е. вероятность этого ее нахождения равна единице, то вероятность ее нахождения на (CD) равна<>

Этот принцип непрерывной вероятности дает возможность решать массу задач, например, хотя бы знаменитую задачу о попадании иглы в ту или иную параллель [линий], начерченных на горизонтальной плоскости (задача эта была решена еще Бюффоном). Большинство задач подобного рода требует, однако, применения методов интегрального исчисления.

§ 62. Взаимодействие аксиом едино–раздельности и становления.

1. Достигнутая нами ступень числового становления имеет значение не только сама по себе, но она получает новое глубокое значение и в смысле взаимоотношения с предыдущей группой аксиом. Дело в том, что отвлеченно–диалектическое становление, математически специфицируемое в категорию непрерывности, будучи приложено к аксиомам предыдущей группы, впервые делает возможной разнообразную их модификацию — соответственно своей принципиальной алогичности, а предыдущие аксиомы едино–раздельности, будучи приложены к чистому алогизму непрерывности, впервые делают возможным получение различных новых оформлений уже из этого алогического материала непрерывности.

Остановимся сначала на воздействии, получаемом от аксиом непрерывности аксиомами едино–раздельности в арифметике.

2. а) Что касается арифметических аксиом едино–раздельности, то их видоизменение в зависимости от категории становления выясняется тотчас же, как мы вникнем в сущность становления, инобытийного, как мы знаем, в отношении идеального. Становление потому и есть становление, что оно есть выход смысла наружу, самоотчуждение смысла. Его мы поэтому называем еще алогическим. Алогичность в том и заключается, что она вносит вне–логический принцип. Так, например, идеальная структура логически предполагает категории различия, тождества, движения и пр. вида <…> привходит алогический принцип, то он может на любом моменте приостановить логическое следование категорий и, следовательно, взять их в какой угодно комбинации, в какой угодно несвязанности. С другой стороны, только если целиком проводить принцип становления, или непрерывности, можно поручиться, что все логически выведенные категории действительно имеют реальный смысл. Ибо может оказаться, что логически–то мы вывели их правильно, а реально они осуществляются частично и враздробь. Итак, категория непрерывности, примененная к категориям едино–раздельности, впервые ставит вопрос об их реальном и совокупном действии, впервые исследует формы осуществления всех категорий, из которых диалектически выросло число.

b) Имея это в виду, можно исследовать полученные нами до сих пор аксиомы. Скажем вообще, что результатом этого исследования должно явиться учение об арифметических операциях, действиях. Больше всего это понятно на аксиоме самотождественного различия (§ 25). Если эта аксиома гласит, что из всяких а и b составляется некое вполне определенное с, то в этом смысле она еще не была учением об арифметической операции сложения. Эта аксиома, если ее брать в строгом и собственном смысле слова, гласит только, что всякое число есть некая составленность из каких–нибудь единиц–элементов. Тут ставилось ударение на самой этой составленности, на ее результате, на с, а не на а + b. Чтобы сосредоточиться не на результате составленности, а на самом процессе этого составления, нужно мыслить себе некий алогический фон, на котором и развертывалась бы эта картина процесса составления, т. е. необходимо выдвижение на первый план момента становления. Поставивши акцент именно на становлении с, на самый процесс складывания а + b_у мы и получаем категорию арифметического сложения (и, стало быть, вычитания).

Также можно было бы показать, что раздельное применение категории подвижного покоя дает операции умножения и деления, а применение на[41] категории определенности — операции возвышения в степень, извлечения корня и логарифмирования. Однако мы не будем тут производить этих дедукций, так как им посвящается в дальнейшем специальный отдел диалектики арифметики; и это было бы уже превращением аксиоматики в диалектику уже реального состава науки, чего следует избегать. Аксиоматика только дает, как мы говорили, перспективу на науку, а не самое содержание науки.

c) Однако уже тут мы видим, что приложение принципа непрерывности к аксиомам едино–раздельности дает нам в руки очень важное орудие. Прежде всего мы получаем возможность рассматривать полученные категории в их процессуальном становлении. Мы получаем возможность осуществлять каждую полученную категорию в ее изолированном виде, отвлекаясь от ее логической связи с другими категориями (потому–то становление и есть алогический принцип). Мы, наконец, впервые получаем возможность взять все их и вместе, в то время как раньше они только логически предполагали одна другую. В частности, не что иное, как именно принцип непрерывности и становления, дает возможность распространить законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности на всю сферу арифметических чисел. Раньше речь могла идти только о самих законах как таковых, теперь речь идет об их всеобщей приложимости, вытекающей из того только, что тут мы имеем дело вообще с арифметическим числом.

d) Впрочем, если гнаться за логической точностью и последовательностью, то, в сущности говоря, на рассматриваемой диалектической ступени мы еще не имеем права говорить о законах счета в полном объеме, хотя они уже выведены, и притом еще на предыдущей — едино–раздельной ступени. Дело в том, что вся едино–раздельная ступень есть ступень только идеального смысла, если под реальным понимать непрерывное или прерывное ее осуществление. Этим мы действительно вывели как арифметическое действие, так и законы счета (т.е. законы ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный). Однако, согласно общему идеальному характеру сферы едино–раздельности, нужно считать, что там выведена только категория арифметического действия и категория законов счета. Теперь, когда мы стоим на базе непрерывности, мы можем превратить эту отвлеченную категорию действия и закона счета в реальные действие и счет. Реальное действие предстает перед нами в виде многочисленных арифметических операций. Однако представить себе тут же в развитой форме и законы счета как всеобще–значимые мы еще не можем, так как здесь мало одного принципа непрерывности. Ведь последний гласит только о непрерывном следовании и равномерном развертывании идеальной, едино–раздельной структуры, но еще ничего не говорит о комбинирующих функциях этой непрерывности. Для того чтобы складывать, умножать и пр., нужно только знать, что счет как идеальная значимость, т.е. попросту счет как перебегание по натуральному ряду чисел, зависит только от своих количественных заданий и что самая эта операция ровно ничего от себя не привносит в эти последние. Это только и содержится в арифметической аксиоме едино–раздельности, и это с привнесением принципа непрерывности разветвляется на отдельные типы арифметических операций. Когда же ставится вопрос о законах счета (в смысле ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности), то тут надо кроме этого еще быть уверенным, что не только самая операция не привнесет ничего нового в сравнении со своими количественными заданиями, но ничего нового не привнесет и тот самый натуральный ряд чисел, путем пробегания по которому вперед и назад мы осуществляем данную операцию. Позже (§ 65) мы увидим, что эта уверенность возникает только на основе аксиомы конгруэнтности> которая только впервые и обеспечивает полное и безразличное осуществление и использование в арифметике законов счета, которые, однако, в виде идеальной и отвлеченной структуры выведены уже на ступени едино–раздельности.

3. Далее, в геометрии мы получаем, очевидно, разные фигуры, образец выведения которых дан выше, в § 55. Если там была дана и общая дедукция фигуры, то здесь ввиду наличия реального континуума необходимо говорить уже об их осуществлении, в то время как прочие категории (конгруэнтности, метрики и пр.) в дальнейшем еще более специализируют у нас наше геометрическое построение.

4. В теории множеств соответственно мы находим учение об искомых операциях, которые, как это и должно быть, вполне специфичны, как специфичны и способы построения геометрических фигур, хотя, в сущности, это есть только разная комбинация на основе непрерывности все так же основных категорий идеальной едино–раздель–ности.

a) Так что понимается в теории множеств под сложением! Это такая операция, в результате которой 1) каждый элемент из нового множества ( = из суммы) принадлежит какому–нибудь из слагаемых множеств и 2) всякий элемент любого слагаемого множества принадлежит новому множеству. Сумма тут есть единственное вполне определенное множество. Надо строго различать множество самих слагаемых и множество их элементов. Элемент слагаемого есть элемент и суммы, но само слагаемое не есть элемент суммы, а только его часть (потому что одно множество есть часть другого, если все его элементы принадлежат к этому последнему). В связи с этим надо точнейшим образом себе уяснить, что множество ни в коем случае не есть сумма своих элементов. Представление о множестве как сумме возникает только при условии наличия слагаемых как множеств, так что сумма есть всегда сумма множеств, а не сумма элементов, или, иначе, множество есть сумма всех любых множеств из его элементов (особое множество—то, которое состоит только из одного элемента). При «нулевой ино–бытийности» арифметического числа эти свойства сложения не были так ярко выражены в арифметике. В теории же множеств, которая вся строится на идее специфического порядка, различие между элементом и частью обладает принципиальным значением даже в такой простейшей операции, как сложение. Категория самотождественного различия дана тут более выпукло потому, что она осуществлена на материале континуума, хотя континуум тут и вобран в само число и внутренно отождествлен с ним (что и породило собою, как мы знаем, самую категорию множества).

b) Еще яснее можно видеть осуществление категории подвижного покоя, именно — в т.н. умножении. В теории множеств произведением системы множеств называется множество таких элементов, из которых каждый принадлежит одному какому–нибудь множеству данной системы, а в каждом множестве данной системы есть один, и только один, элемент, входящий в это первое множество. Таким образом, здесь мы имеем в виду, собственно говоря, взятие общей части, потому что здесь берется множество тех элементов, которые являются общими для всех данных (перемножаемых) множеств. В то время как для сложения и вычитания достаточно было только растянуть все элементы слагаемых в одну, так сказать, линию (забывши, что такое множество каждого из таких слагаемых) и рассматривать полученные элементы как нечто целое и тем самым модифицировать категорию самотождественного различия с точки зрения непрерывности, здесь, в умножении, мы должны сначала сравнивать перемножаемые[42] множества, перебегая от одного к другому, с целью достигнуть успокоения, которое только тогда и может быть получено, если мы в результате этого сравнения получим нечто общее, одинаковое. И тогда, сколько бы мы ни бегали, мы будем бегать только, так сказать, в одном и том же круге, т. е. будем, в сущности, стоять на месте. Это–то и есть теоретико–множественное понимание «умножения».

5. Теория вероятностей также обладает рядом операций, которые в смысле отвлеченного принципа ничем не отличаются от категорий идеальной едино–раздельности, но которые по своему видоизменению в связи с принципом непрерывности приобретают ряд оригинальных черт, усиленных, конечно, кроме того, еще и своеобразием самой теории вероятностей. Тут мы имеем теорему сложения вероятностей: если событие [А ] состоит в поступлении одного из двух несовместимых фактов а и b, причем вероятность а=р_х и вероятность b=р₂, то вероятность Α=ρ_γ+ρ₂. Тут мы имеем теорему умножения вероятностей, касающуюся уже совместимых событий: вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности события А на вероятность, которую приобретает событие В, когда становится известным осуществление факта А. Некоторым осложнением тех же категорий является, например, понятие математического ожидания, равного алгебраической сумме произведений каждого возможного значения данной величины на его вероятность, причем для математических ожиданий существует также своя теорема сложения. Имеет полную реальность и возведение вероятности в степень (когда исчисляется вероятность осуществления определенного числа из рассматриваемых событий при указанном числе опытов). И т.д.

§ 63. Продолжение.

Предыдущий параграф трактовал о воздействии аксиом непрерывности на аксиомы едино–раздельности. Теперь сделаем краткие замечания относительно воздействия последних аксиом на первые.

1. Общим отличием этой области аксиоматики является то, что мы ставим здесь ударение на самой непрерывности и что, следовательно, оно только отражает на себе те или иные категории едино–раздельности. Уже это одно устанавливает одну общую тему для всех возможных здесь суждений, а именно тему длительности, рас–ставленности, некоей процессуальное, которая устанавливается здесь взамен отвлеченно–числовой сферы едино–раздельности.

a) В арифметике мы здесь уже не можем оиерировать только с отдельными числами, так как мы их получили уже на предыдущей диалектической системе. Поскольку в сфере непрерывности речь идет об инобытии в отношении всего числа как такового, мы можем здесь говорить только о некоей сплошной, неразделимой процессуальное. Но поскольку эта неразличимость берется на данной стадии нашего исследования не сама по себе, а лишь в свете различимых установок аксиом едино–раздель–ности, то она теряет свою сплошность и заменяет ее разрывными моментами, в результате чего от непрерывности остается только последовательность. Непрерывность в свете едино–раздельности есть последовательность. Типы ее и должна установить аксиоматика, — конечно, только в отвлеченно–принципиальном виде как мерило и исходную точку зрения для ищущих конкретных анализов.

b) В арифметике мы имеем здесь дело, очевидно, с т. н. рядами, т. е. последовательностями, чисел, имеющими определенную структуру. Примитивным образцом этих рядов является арифметическая и геометрическая прогрессия, известная еще из элементарной алгебры. К этим рядам применима структура в зависимости от тех операций, которые мы установили выше. Если мы говорим, что в данном месте непрерывность нами рассматривается в свете едино–раздельности, то очевидно, что структура и должна определяться этой едино–раздель–ностью. А последняя свою наиболее зрелую форму получила у нас как раз в виде элементарно–математических операций. Так мы получаем ряд важнейших понятий высшей арифметики, которые мы рассмотрим в своем месте и для которых сейчас производим только общеаксиоматическую принципиальную установку, а именно: они все суть результат обработки аксиомы непрерывности с точки зрения аксиом едино–раздельности. Речь идет о группах целых чисел, определяемых теми или другими операциями. Если имеются в виду операции сложения и вычитания, говорят о модуле; если — умножение и деление, говорят о луче; если — сложение, вычитание и умножение, говорят о кольце (по примеру Гильберта Кронекер говорил «область целости» <…>); если, наконец, применяются все четыре основные операции, употребляют термины «тело», «корпус», «поле» (англичане), «область», «область радикальности» «…) — Кронекер).

Можно себе представить также и числа на основе отсутствия принципа непрерывности. Их можно было бы назвать неархимедовыми числами по аналогии с геометрией, в которой отсутствует Архимедов принцип непрерывности и о которой мы упомянем ниже, в § 2е.

2. Немного подробнее, но все же не входя в специальный анализ, а лишь намечая аксиоматическую перспективу этого анализа, мы скажем и о геометрической области рассматриваемой модификации. Тут тоже принцип становления дает нам впервые возможность как осуществлять каждую категорию едино–раздельности изолированно от прочих, хотя между ними и непосредственная логическая связь, так и осуществлять их во всей их совокупности и цельности, принимая во внимание ориентацию сферы становления. Историческая геометрия выработала здесь следующие формы.

а) Прежде всего мы можем оставить неприкосновенной только группу аксиом подвижного покоя и игнорировать все прочие аксиомы. Что это будет значить в смысле оформления изучаемой сферы становления? Это будет значить, что в наших геометрических фигурах мы будем соблюдать только последовательность элементов, и притом — так как теперь речь идет о применении к непрерывности принципа этой изолированной категории — мы теперь (будем) соблюдать в геометрических фигурах только непрерывную последовательность их элементов. Поскольку аксиомы самотождественного различия тут не соблюдаются, мы уже не сможем здесь отличать, например, прямую от кривой. А поскольку здесь не соблюдаются и аксиомы определенности, постольку в такой геометрии мы и вообще будем отвлекаться от точного вида фигур. Кто знает о дисциплинах геометрии, тот не может не догадаться, что тут мы сталкиваемся с так называемой топологией, или [analysis situs].

Примером топологического учения является известная теорема Эйлера о многогранниках. Оказывается, независимо от вида сомкнутого многогранника сумма его граней и вершин на два больше числа его ребер. Из этой теоремы получается много очень важных выводов, например что во всяком многограннике должны находиться или треугольные грани, или трехгранные углы, что не может существовать многогранник, всеми гранями которого служат многоугольники[43] с числом сторон больше пяти; например <…>. Эта теорема, таким образом, относится к любому виду многогранника, лишь бы это был именно многогранник. Известны еще задача Кёнигсберг–ских мостов, игра с додекаэдром Гамильтона и пр. построения, которые являются <…>.

b) Далее можно присоединить к аксиомам подвижного покоя еще и аксиомы самотождественного различия. Мы, следовательно, оставляем инвариантной не только непрерывную последовательность фигуры, но и непрерывность, ненарушаемость ее вида, хотя все еще жертвуем аксиомами определенности, т. е. наша геометрическая фигура как бы вся целиком претерпевает разнообразные изменения. Так, когда мы видим предмет в перспективе, то сам по себе он нисколько не меняется ни по виду, ни в смысле порядка своих элементов, и тем не менее мы видим его в той или другой форме, несходной с видом, присущим ему как таковому. Этими свойствами фигур занимается проективная геометрия. Принцип вариации геометрических фигур понимается тут именно в моменте определенности бытия фигуры, но не в моменте вида или порядка элементов, из которых она состоит. Эти свойства фигур называют дескриптивными или проективными, противополагая их математическим свойствам фигуры, как это установили В. Фидлер и Ф. Блейн. Их можно назвать, если угодно, и «оптическими» свойствами фигур в отличие от топологических, которые удобно аналогизировать с мускульными ощущениями.

c) Наконец, мы можем строить геометрию, исходя из всех трех групп аксиом едино–раздельности, т. е. мы можем не только соблюдать порядок элементов, ограничиваясь свойствами, инвариантными к любым непрерывным преобразованиям, или соблюдать дескриптивный вид фигуры, ограничиваясь свойствами, инвариантными к группе коллинеаций, но мы можем потребовать, чтобы соблюдалась и категория определенности бытия, т. е. чтобы фигура бралась в неизменности всех своих свойств, чтобы на фигуру была бы уже раз навсегда установлена одна перспективная точка зрения, а именно та, которая не зависит от точки проекции и вполне адекватно фиксирует царящие в ней отношения. Такая «адеквация», однако, все же есть условность. Она предполагает ту или иную метрическую операцию, которая принимается за данную. Мы тем или другим способом измеряем линию или отрезок и в соответствии с этим строим свои фигуры. Непрерывность, рассмотренная с точки зрения принципа определенности, есть не что иное, как принцип измеримости. Однако мы еще не знаем, что такое непрерывность, и потому покамест тут мы еще не строим цельной геометрии, а только обсуждаем общую базу для будущих принципов метрики. Общая метрическая геометрия поэтому есть то, что возникает на основе всех трех аксиом едино–раздель–ности, рассмотренных совокупно с принципом непрерывности.

Однако в своем настоящем виде она может быть развита только на основе принципов конгруэнтности и параллельности, которые мы еще не вывели[44], и потому невозможно назвать метрикой получающуюся здесь геометрию в собственном смысле. Геометрия, возникающая на основе всех трех групп аксиом едино–раздель–ности, есть то, что называется синтетической геометрией. Это та геометрия, в которой равномерно и адекватно представлена логически целостная фигурность и которой недостает только метрического уточнения, чтобы стать обыкновенной элементарной геометрией.

Таким образом, под синтетической геометрией здесь у нас понимается не то, что назвал этим именем Шаль, выпустивший под таким названием свой знаменитый труд по проективной геометрии. Во времена Шаля эта геометрия полемически противополагалась аналитической геометрии, слишком увлекавшейся отвлечением от всякой наглядности. Аналитической геометрии противопоставляли геометрию, основанную на чисто дескриптивном методе и не зависимую ни от какого вычисления. Однако если рассуждать строго логически, то проективная геометрия вовсе не есть полная противоположность аналитической, так как последняя предполагает не только то абстрактное понимание фигуры, какое свойственно проективной геометрии, и основывается на допущении коллинеаций, но предполагает именно полную и конкретную фигурность, хотя и выражает ее уравнениями и функциями. Аналитическая геометрия есть противоположность синтетической, если последнюю понимать не как проективную, а именно в нашем смысле. Таким образом, если не геометрически, то логически наше понимание этого термина более основательно, хотя свое реальное значение эта синтетическая геометрия получает только с присоединением принципов конгруэнтности и параллельности. До этого присоединения она отличается от проективной только исключительно всей перспективой[45] точки зрения на фигуру и сосредоточением на последней как на таковой.

d) Необходимо заметить, что, в сущности, все три группы аксиом едино–раздельности действуют всегда и везде и речь может идти только о примате[46] той или другой группы. Ведь логическая связь, раз она однажды установлена, уже не может исчезнуть в абсолютном смысле. Она может только отступать, она может быть перекрыта и, стало быть, скрыта какими–нибудь внелогическими связями. Но так или иначе, латентно, она всегда как–то присутствует. И вот, можно сказать, что топология выдвигает на первый план аксиомы подвижного покоя, проективная геометрия—аксиомы самотождественного различия и синтетическая геометрия—аксиомы определенности — на общем фоне.

3. Прежде чем, однако, дать диалектические формулы вышевыведенным типам геометрического построения, мы внесем, во–первых, одно уточнение и, во–вторых, попробуем осознать относящийся сюда математический материал.

а) Яснее всего и проще всего положение топологии. Тут невозможно сказать, что исключается коллинеация, т. е. исключаются аксиомы самотождественного различия. Присоединяем теперь к категории подвижного покоя категорию самотождественного различия и оставляем неприсоединенной категорию определенности. Что в этих целях мы получим последовательность точек вместе с сохранением коллинеации, это тоже ясно. Но нельзя ли конкретнее описать значение отсутствия категории определенности? Это сделать можно и нужно, и тут–то и начинается подлинная работа диалектики математической науки.

А именно, в чем, собственно говоря, заключается абстрактность проективной геометрии в сравнении с обычной метрической? Проективная геометрия основана на перспективной точке зрения. Перспектива искажает фигуры; и вот — проективная геометрия синтезирует эти искажения. Она сохраняет коллинеацию как принцип, но она всячески требует коллинеарные связи, занимаясь в то же время только инвариантами в отношении всех этих деформаций. Что нужно для того, чтобы покончить[47] эти деформации и чтобы если они есть, то учитывать их как таковые, не отвлекаясь от их специфических свойств? Математика учит, что для этого надо принять во внимание существование бесконечно удаленной точки (или прямой) в качестве центра проекции. При таком центре все лучи зрения окажутся параллельными, и тем самым будет исключена всякая перспективная деформация фигуры. Следовательно, введение бесконечно удаленной точки внесет с собою определенность фигуры. Мы тут начинаем смотреть на фигуру с бесконечности, или, другими словами, начинаем смотреть на нее вне зависимости от расстояния. Проективная геометрия зависит от этого расстояния, хотя и отвлекается от вносимых им деформаций. Та же геометрия, которая построяется при помощи бесконечно удаленной точки, не зависит от этого, и потому изучаемые ею фигуры гораздо строже и конкретнее. Другими словами, категория определенности несет с собою исключение проективности и включение бесконечно удаленной точки. Пока не было определенности, пространственные расстояния вносили в фигуру свои деформации, а, чтобы отвлечься от них, проективной геометрии приходилось принимать во внимание только слишком абстрактные моменты фигуры. Теперь зависимость от пространственных расстояний исключается, и при этом точным диалектическим аналогом внесения бесконечно удаленной точки является внесение категории определенности (т. е. структурной определенности, фигурности) бытия. >

b) Но, как известно, включение бесконечно удаленной точки превращает проективную геометрию не в метрическую, а только в аффинную. Аффинные преобразования отличаются от проективных соблюдением параллельности, т. е. соблюдением углов, в то время как проективные преобразования соблюдают только коллинеацию. Аффинная геометрия поэтому гораздо конкретнее, но все же инвариантом аффинитета является только уточнение параллельных отрезков. Аффинное преобразование есть, следовательно, равномерное растяжение или сжатие пространства по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому геометрия, названная у нас выше метрической, или синтетической, вовсе не есть объединение трех основных категорий — подвижного покоя, самотождественного различия и определенности бытия. Таковым является пока только аффинная геометрия. Что же такое настоящая метрическая геометрия или, лучше сказать, настоящая синтетическая геометрия, т. е. та, в которой будут исключены даже те параллельные <…>, на которых стоит аффинная геометрия?

c) Вопрос этот крайне важен, и должна быть [в нем ] абсолютная диалектическая точность и ясность. Если мы обратимся к математике, то нас поразит ответ, даваемый ею на вопрос о переходе аффинной геометрии в метрическую. Этот ответ полон глубочайшей тайны; и, по–моему, из математиков еще никто не проанализировал его философски и логически, хотя Штаудт, Клейн и др. достигли полной ясности представления относительно математического значения этого ответа.

Ответ этот таков. Известно, что всякий круг пересекается с бесконечно удаленной прямой в одних и тех же двух постоянных мнимых точках (т. н. циклических точках) и, — соответственно, шар пересекается с бесконечно удаленной плоскостью по одному и тому же мнимому коническому сечению, кругу. Необходимость двух мнимых точек для всякой кривой второго порядка явствует аналитически из того, что пересечение двух кривых второго порядка дает четыре корня двух квадратных уравнений, в то время как вещественно эти кривые пересекаются только в двух точках. И вот оказывается: если присоединить к геометрической системе не только бесконечно удаленную точку (или плоскость), но и упомянутый мнимый круг, то из проективной геометрии вместо аффинной мы получаем метрическую. Этот ответ потрясает; и невозможно успокоиться, покамест не дашь ему достаточной философской интерпретации. Ведь речь ни больше ни меньше как о том, различать ли нам квадрат и прямоугольник или не различать. Ведь аффинная геометрия не различает этого. И вот оказывается: для того, чтобы иметь возможность различать квадрат и прямоугольник, надо ввести существование мнимого круга, по которому всякий вещественный шар пересекается с бесконечно удаленной плоскостью. Это учение производит настоящее мистическое впечатление, как бы ясно мы ни представляли себе, что квадратное уравнение имеет два корня, а два квадратных уравнения имеют четыре корня, что из них два корня мнимые, и т. д. и т. д. Попробуем разобраться здесь философски и диалектически, и это будет первая диалектика перехода от аффинности к метрике, первая — за все время существования и геометрии, и диалектики.

d) Нам надо, чтобы квадрат отличался от прямоугольника и круг от эллипса. Как связаны между собой квадрат и прямоугольник? Прямоугольник есть параллельная проекция квадрата. Следовательно, наш вопрос стоит так: как возможна проекция? Отвлекаясь от проек–тических (.··)> мы должны сказать, что проекция есть отображение первообраза на его инобытие. Что для этого нужно? Для этого 1) нужно, чтобы кроме первообраза было и его инобытие. Для этого 2) нужно, чтобы инобытие приняло на себя первообраз. Для этого 3) нужно, чтобы принятие на себя первообраза инобытием было не чисто образным (ибо тогда мы остались бы в сфере (…) первообраза) и не чисто инобытийным (ибо тогда мы остались бы в сфере только инобытия), но чтобы оно было именно отобразительным понятием, отображением. Что же это значит — принять на себя образ, но принять не вещественно, а образно же? Первообраз и его инобытие встречаются, но эта встреча — не вещественная, а чисто образная, смысловая. Выбирая выражения, более близкие к математике, надо сказать, что первообраз и его инобытие пересекаются, но пересекаются не вещественно, а мнимо. Позже (§ [105—107]) мы разовьем специальное учение о мнимых величинах как величинах именно выразительной (в частности, и отобразительной) структуры.

Итак, отличать квадрат от прямоугольника — значит отличать проектирующее от проектируемого, а это значит признавать существование проекции. Признавать существование проекции — значит признавать существование пересечения двух вещественных фигур в мнимых точках. Все поверхности второго порядка пересекают друг друга в мнимых точках, образующих особый мнимый круг. Поэтому если есть такой мнимый круг, то проекция квадрата в виде прямоугольника возможна и, значит, квадрат отличен от прямоугольника. Если же этого мнимого круга нет, то никакая проекция вообще невозможна и поэтому, берем ли мы квадрат, берем ли прямоугольник, пред нами в обоих случаях нечто совершенно тождественное.

Вот, следовательно, в чем удивительный секрет этого мнимого сферического круга, дающего устойчивость аффинному построению и превращающего его в построение метрическое. Это есть секрет выразительных функций числового бытия. Но тут необходимо еще одно разъяснение.

е) Для отражения первообраза должно быть инобытие. Если роль первообраза в нашей системе играет само число, (…) числа, конструированный при помощи принципов едино–раздельности, то инобытием этого первообраза является, очевидно, становление, сфера принципа непрерывности. Следовательно, для конструкции метрической геометрии мы выше использовали не только категории самотождественного различия, подвижного покоя и определенности бытия, но и категорию становления. Так оно и должно быть, потому что становление гораздо ближе подходит к метрической операции, чем дескриптивные и чисто смысловые категории едино–раздель–ности. Безусловно, становление входило и в нашу конструкцию топологии, проективной и аффинной геометрии, так как на данной ступени нашей диалектической системы мы обозреваем судьбы становления в связи с отражающимися на нем категориями едино–раздельности. Но во всех этих геометриях становление явно играет второстепенную роль. Оно здесь только обусловливает собою протекание тех преобразований, которыми как таковыми как раз данные типы геометрии и не занимаются и в отношении которых являются[48] только их инвариантами. Теперь же мы выдвигаем становление на первый план, рассматривая его вполне наравне с категориями едино–раздельности, т. е. все идеальные категории едино–раздельности действительно оказываются здесь целиком воплощенными в стихии становления, и последнее действительно рассматривается с точки зрения этих категорий полностью и целиком. Что же новое дает нам эта позиция?

Стихия становления может образовать с числовым первообразом абсолютное тождество. Это бывает тогда, когда оно как таковое, в самой своей субстанции, перестает существовать. В нашем случае мы не имеем такого тождества. Становление (инобытие) остается существовать само по себе, и его единственная функция здесь — отображать первообраз. Синтез числового первообраза и его инобытия происходит здесь поэтому не в субстанциональном отношении, а только в смысловом отношении. Здесь первообраз только указывает на свое отображение в инобытии, а инобытие своим отображением указывает на первообраз. Геометрический смысл возможности этого взаимоотображения (или взаимопроектирования) и есть наличие измерения фигур, т. е. их метрическая структура. И значит, только здесь мы можем говорить о синтетической геометрии в указанном смысле, а то, что мы называли выше этим именем, есть, стало быть, только база для настоящей синтетической геометрии.

f) Мы можем сказать еще и по–иному, и это[49] может стать резюме нашего исследования.

Покамест была у нас только проективная точка зрения, мы — согласно той категории, которая управляет этой последней, — могли только различать и отождествлять геометрические фигуры и их элементы, т. е. точку понимать как точку, прямую как прямую, плоскость как плоскость <…>, погружая все прочее в хаос становления. Когда мы захотели внести сюда еще и критерий определенного бытия, то, поскольку определенность в геометрии была для нас фигурностью (§ [55 ]), мы должны были заговорить о взаимных отношениях фигур (и их элементов), а не просто только различать и отождествлять их как таковые. Фиксировать же взаимное отношение фигур—значит оперировать с ними как с конечными величинами. Чисто проективная точка зрения выше разделения на конечное и бесконечное. Аффинная же геометрия требует это разделение; отсюда и введение[50] бесконечно удаленных элементов. Следовательно, если нам нужно рассмотреть становление в свете едино–раздельности, то мы погружаем всю отвлеченную фигурность, выведенную раньше в качестве чистых категорий, в стихию категорий и — таким способом получаем разные виды становления в свете едино–раздельности. При этом каждый раз берутся именно абстрактные категории едино–раздельности, а не их наглядная воплощенность, как того и требует сама едино–раздельность, которая есть, как мы знаем, начало отвлеченное, идеальное. Сохраняя подвижной покой как отвлеченную категорию, имеем топологию, где все деформируется, кроме последовательности элементов, а сама она понимается — в наглядном смысле — как угодно. Берем самотождественное различие как отвлеченную категорию, оставляя все прочее в становлении, т. е. в сплошной деформации, — получаем проективную геометрию, где сохраняется различие элементов, но—лишь как отвлеченных понятий (прямая везде остается как прямая, т. е. как прямая вообще[51]; и не важно, какая именно это будет прямая). Наконец, если мы вводим наличное бытие как категорию и смотрим, что получается при рассмотрении становления в его свете, то мы замечаем, что тут образуется определенность, оформлен–ность, конечность, но пока тоже как принцип, потому что для аффинной геометрии важна не[52] цельная и конкретная фигура, но лишь ее конечная определенность вообще. В этом и состоит тайна параллелизма, той, в принципе, конечной определенности фигуры, когда она рассматривается не в виде отвлеченной категории просто, но в виде непрерывного становления, — [рассмотренного с точки зрения отвлеченной категории конечной определенности.

Таким же отвлеченным принципом, в свете которого рассматривается непрерывное становление, может явиться, наконец, и само становление. Но последнее тут определяет собою уже не просто конечную фигурность, но и отличие одной конечной фигурности от другой (как на стадии проективной геометрии было мало фигуры вообще, а нужно было отличие одной фигуры от другой), потому что, увлекая конечную фигуру в свою стихию, оно тем самым меняет ее на ряд других конечных фигур. Но как возможен этот бесконечный ряд конечных фигур? Он возможен только как нечто единое. Этим единым является, конечно, уже само становление. Однако такое единое есть только порожденное единое, а не самая структура единого. Структура же как единое, т. е. та структура, которая характеризует и каждую отдельную конечную фигурность и есть нечто общее, может быть только мыслимой, а не вещественной. «Чтойность» вещи, взятая как принцип, может быть только мнимой. Та общая индивидуальность, которая определяет собою во всех индивидуумах самое конкретное в них и в то же время есть для них общее, эта индивидуальность есть мнимое. Отсюда — необходимость введения мнимого сферического круга, о котором шла речь выше.

Этот круг образуется путем пересечения любого конечного шара с бесконечно удаленной плоскостью. Но является заблуждением думать, что он, равно как и циклические точки, находится гоже на бесконечном расстоянии. Тогда именно потонуло бы все различие конечных кругов одного от другого. Так как этих конечных кругов бесконечное количество, то они в самом разнообразном смысле пересекаются в бесконечно удаленной плоскости. Поэтому циклические точки и мнимый сферический круг, чтобы обеспечить индивидуальную конкретность каждой конкретной фигуры, должны быть не на бесконечном расстоянии, а только на неопределенном. В самом деле, находя уравнение круга в однородных координатах

<(ξ — ατ)² + (η — bx)^2 — r²x² = 0)>

и находя, что пересечение этого круга с бесконечно удаленной прямой <τ = 0> определяется уравнением

<ξ² + η² = 0,>

мы определяем расстояние циклических точек так:

что и есть неопределенность. Так же неопределенно и расстояние циклических точек и от всякой другой конечной точки. На это тонко обратил внимание Ф. Клейн.

g) Наконец, дадим кратчайшее резюме всем рассмотренным типам геометрического построения. Именно, обратим внимание на то, что в топологии имеется в виду не сама фигура, а лишь ее непрерывное становление, и притом становление, которое не позже становящегося, а еще раньше его (поскольку никакая определенная фигура тут еще не фиксируется). Но становление принципа, взятое до самого принципа, есть перво–принцип.

Поэтому мы и можем сказать так. Топология есть наука о пространственном становлении, в котором не становится (инвариантна группе преобразований) только фигура как перво–принцип. Проективная геометрия есть наука о пространственном становлении, в котором не становится только фигура как отвлеченный принцип (как общее понятие). Аффинная геометрия — то же, когда не становится только фигура как определенный принцип, т. е. как конечная фигурность. Общеметрическая геометрия—то же, когда не становится фигура как индивидуально–конечная фигурность. Все это есть, таким образом, разная степень диалектической зрелости становления, зависящая от того, какие и в каких размерах категории воплощаются в этом становлении.

4. а) В качестве добавления скажем еще, что, поскольку принцип становления вносит возможность разнообразных комбинаций логически выведенных аксиом независимо от их чисто логической взаимосвязи (включая и саму непрерывность), вполне мыслимо конструирование геометрии и без всякого принципа непрерывности. Гильберт построил т. н. неархимедову геометрию, содержащую в себе все аксиомы, как раз за исключением аксиомы непрерывности[53]. И тем же самым занимался раньше его еще Веронезе[54], объединявший неархимедову арифметику и геометрию с теорией трансфинитных чисел Кантора. Хотя подобное построение по существу своему еще более оригинально и неожиданно, чем открытие Лобачевского (так как у последнего изменена только метрика, а [в] неархимедовой же геометрии нарушен самый континуум), все же формально и философски тут все совершенно обычно, и неархимедова геометрия — только одна из многочисленных диалектических теорий[55] вообще.

b) Все предыдущие установки являются только принципом для реального построения диалектики геометрии, которое мы даем в дальнейшем. Там все эти аксиоматические принципы должны вырасти в зрелую систему. Здесь же от этого, конечно, необходимо воздерживаться, и может идти речь только о самых принципах. Это положение дела и можно зафиксировать следующим образом.

I. Становление конструируется —

a) по типу подвижного покоя (т. е. порядка следования элементов), остающегося неизменным в условиях бесконечного становления прочих категорий (iтопология: любые свойства геометрических фигур инвариантны в отношении с любым непрерывным преобразованием);

b) по типу подвижного покоя (порядка следования) и самотождественного различия (взаимопринадлежности, сопряжения элементов), остающихся неизменными в условиях неопределенного становления категории определенности {проективная геометрия: любые свойства фигуры инвариантны в отношении к группе коллинеаций);

c) по типу подвижного покоя, самотождественного различия и определенности бытия, остающихся неизменными в условиях неопределенного функционирования самого становления, т. е. в условиях, когда категория становления еще не положена как самостоятельная {аффинная геометрия: любые свойства фигуры инвариантны к параллельному проектированию).

II. Становление конструируется по типу трех указанных основных категорий едино–раздельности с сохранением собственного принципа как инобытийного и потому с превращением его в то, чем измеряется фигура {метрическая геометрия: любое свойство фигуры инвариантно к абсолютно–измерительным операциям). Следовательно, фиксируется наиобщая и наиабстрактная метрика — та, которая гипостазирует идеальную фигурность во всей ее целостности, минуя те ее искажения, которые возникают от неполного числа категорий едино–раздельности. Эта метрика, однако, может быть и иной (она возникает уже в связи с принципами конгруэнтности и параллельности).

III. Становление конструируется по типу трех указанных основных категорий едино–раздельности, но без сохранения своего собственного принципа и как самостоятельного, и как подчиненного; это становление, нарушающее самый принцип непрерывности, становление непрерывности (неархимедова геометрия).

В таком виде можно было бы представить аксиоматическую диалектику основных типов геометрических построений, основанную на едино–раздельности и непрерывности.

5. Систематический обзор геометрии с точки зрения диалектики покажет нам, вообще, весьма большое разнообразие в комбинировании, а также и в формах развития основных аксиом. Мы, например, ничего не сказали о геометрии без всякой категории подвижного покоя. Однако вполне возможна геометрия, в которой отсутствуют аксиомы подвижного покоя. Таковой является геометрия Римана, являющаяся не чем иным, как сферической геометрией, а на сфере о трех диаметрах в одной диаметральной плоскости совершенно нельзя сказать, какой из них находится между двумя другими. Идея порядка здесь не имеет смысла, как неприменима она еще и к мнимым точкам (последние вообще не мыслятся размещенными в пространстве).

Так же, развивая начала проективной геометрии, мы столкнулись бы, например, с теоремой Дезарга. Если прямые, соединяющие попарно вершины двух треугольников, расположенных в двух плоскостях и не имеющих общей вершины, сходятся в одной точке, то соответственные стороны этих треугольников пересекаются в грех точках, расположенных на одной прямой, а именно на прямой пересечения плоскостей треугольников. Иначе можно было бы сказать,, что если два треугольника, принадлежащие различным плоскостям, перспективны, то они также и соответственны. Эту теорему можно доказать, исходя из аксиомы самотождественного различия плоскости и из аксиомы конгруэнтности на плоскости (категорию конгруэнтности мы пока еще не вывели, см. ниже, §66.4). Однако ее можно доказать и на основании других аксиом самотождественного различия, но только применяя их не к плоскости, а к пространству. Гильберт же доказал теорему Дезарга при помощи только одних проективных аксиом плоскости, т. е. при помощи наших аксиом самотождественного различия, притом только плоскостных. Для этого, конечно, необходимо соответствующим образом расширить понятия точки, прямой и плоскости.[56] Но тогда возможна недезаргова геометрия, наглядным примером которой Пуанкаре приводит луч, идущий по прямой через эллипс, но изгибающийся внутри его в дугу и выходящий из него тоже по прямой.

Так или иначе, но Штаудт доказал теорему Дезарга исключительно лишь при помощи «аксиом сочетания», примененных к пространству. А этот факт и значит, что проективная геометрия вырастает прежде всего на категории самотождественного различия.

Точный анализ подобных конструкций уже далеко выходит за пределы простой аксиоматики.

6. Что касается теории множеств, то предыдущая геометрическая дедукция типов становления с точки зрения категорий едино–раздельности, очевидно, должна дать руководящий принцип и для соответствующей дедукции моментов теоретико–множественной области.

a) Весьма наглядным делается, прежде всего, место теоретико–множественной топологии в системе аксиоматических установок вообще. Именно, под топологией понимается наука, изучающая те свойства множеств, которые сохраняются в условиях взаимно–непрерывного соответствия. Что в центре внимания здесь стадия непрерывности, это ясно; и что в условиях этой непрерывности мы соблюдаем только последовательность элементов ( = категорий подвижного покоя), отвлекаясь от всякой фигурности, это тоже ясно. Что же касается аффинных и проективных [множеств] (в смысле аналогии с проективной геометрией), то здесь также, по–видимому, принципиально возможны соответствующие построения.

Особо поговорим о метрических множествах, т. е. о понятии меры в применении к теории множеств.

b) Мы уже знаем (§ [ ]), что понятие меры возникает только в связи с категорией становления, и ниже, в § 66.2, мы этот вопрос развернем диалектически по поводу аксиом конгруэнтности. Сейчас нам важен тут только один принцип: становление структуры, если оно действует как самостоятельный принцип, застилает самую структуру новым слоем, который, будучи сравниваем с самой структурой, является ее измерением, или мерой. Математики поступают в определении меры весьма просто и наивно, за что, впрочем, в данном случае можно только похвалить. Можно было бы говорить и еще проще, не прибегая к нагромождению ненужных обозначений (к тому же обязательно греческими буквами) и пр.

Математики рассуждают так[57]. Мера множеств, лежащих на данном сегменте, есть не что иное, как более общее понятие длины отрезков этого сегмента. Пусть какое–нибудь множество F входит в S. Так как обычно берется интервал [0,1 ], то мера множества μ(F) равняется 1—мера (S— F), т. е. мера F + мера (S—F) = мере S=1. Мера μ(F) есть нижняя грань множества всех мер μ(G), т. е. всех мер любой «области» G, которая содержит F. Мера этой области μ(G) есть, наоборот, верхняя грань всех мер любого замкнутого множества F, лежащего в этой области. Если взять произвольное множество G⊃ Ε, то нижнюю грань множества всех неотрицательных чисел, изображающих меру области можно назвать внешней мерой множества μ*(E) a верхнюю грань всех неот­рицательных чисел, дающих меру для F⊂ E, можно на­звать его внутренней мерой μ*(E). Когда внутренняя мера множества равняется его внешней мере, то множество измеримо, и данное число его внутренней или внешней меры есть его мера вообще. Попросту говоря, если я буду измерять данный объем изнутри и его же извне и оба размера измерения совпадут, то это значит, что данный объем действительно измерим и существует некая опре­деленная количественная величина, которая его изобра­жает (или измеряет). Ясно видно, что измеримость мно­жества связывается именно с возможностью его перекры­тия, т. е. покрытия новым слоем, т. е. с введением момента становления.

Отбросим всякое становление и возьмем только голую структурность множества, т. е. едино–раздельность актов числового полагания (признавая только такое становление, которое абсолютно имманентно самой отвлеченной структуре множества и еще не выделено в особую категориальную положенность). Тогда мы получим в качестве идеального образца просто натуральный ряд чисел и то, что называется счетным множеством (т. е. множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел). Какова будет мера всякого счетного множества? Его мера = 0; и это ясно само собой, хотя математики делают вид, что они это «доказывают». Это ясно так же, как и то, что мера множества из одной точки равняется нулю. Возьмем отрезок [0; 1 ] и на нем множество всех отрицательных чисел. Какова мера этого множества? Ясно, что мера эта равна единице. Вообще говоря, всякое замкнутое множество (т. е. содержащее в себе все свои предельные точки) и всякое совершенное множество (т. е. содержащее в себе все свои предельные точки и никаких других), если мера его будет больше нуля, всегда будет несчетно.

Употребляя совсем обывательскую терминологию (а она всегда прекрасна, если правильно отражает интуитивную картину жизни), можно сказать так. Когда есть просто идеальная структура, она несжимаема и нера–сширяема и плотность ее дана раз навсегда. Когда дается ее инобытийно становящийся аналог, то этот аналог можно деформировать как угодно. На то он и есть инобытие, становление. И вот, я могу эти точки, из которых состоит множество и о взаимном расстоянии которых раньше не было речи (или шла речь в переносном смысле слова), располагать на том или ином расстоянии одна от другой, располагать их гуще или реже. Вот эта плотность распределения и есть мера. Ясно, что различия «плотности» предполагают введение принципа инобытия в абсолютную «плотность» (или, если угодно, абсолютную разреженность[58]) абстрактного, идеального множества. Но инобытие в сравнении с абсолютной различенностью структуры есть некая неразличимость; неразличимость же есть сплоченность, сплоченность есть континуум, г. е. несчетное множество. Следовательно, наличие <…> меры, превышающей нуль, уже предполагает несчетное множество.

b) Измеримость множества есть, таким образом, результат его непрерывности. К этому сводятся основные положения теории измеримых множеств, которые, по Н. Лузину[59], звучат так.

Во всяком измеримом множестве Μ меры μ, μ>0 содержится такое совершенное множество Ρ, что

mes Ρ>μ — ε,

где ε>0, малое как угодно.

Всякое измеримое множество Μ меры, большей нуля, есть сумма конечного, или счетного, числа совершенных множеств Pi, Pi, … не имеющих попарно общих точек, и нуль–множеств [а ]N.

Измеримое множество обладает точками плотности и точками сгущения. Точка а есть точка плотности множества, если отношение

где δ — интервал, содержащий а внутри, стремится к 1, когда δ стремится к нулю. Та же самая точка есть точка разрежения, если это отношение стремится к нулю вместе с δ.

Если mes М= 1, всякая точка области [0, 1 ] есть точка плотности, и, если mes М = 0, всякая точка есть точка разрежения.

Обращаясь к геометрической аналогии, мы находим, что никакое измеримое множество Μ меры 1 не может быть равномерно расположенным на области [0, 1 ]. Тут всегда будет, по крайней мере, одна точка плотности и одна точка разрежения, т. е. на этой области имеются два интервала равной длины и неперекрывающиеся, из которых один насыщен точками Μ, а другой пустует или беден ими[60]. Таким образом, всякое измеримое множество меры не 0 и не 1 не будет равномерно покрывать область [0, 1 ], но «будет лежать на ней как бы сгустками, будучи слишком уплотненным в одних частях этой области и слишком разреженным в других».

Соответственно надо говорить и о последовательности измеримых функций (такова теорема Д. Ф. Егорова о наличии совершенного множества с равномерной сходимостью последовательности функций) и вообще об измеримых функциях. Для того, чтобы функция /(х), конечная почти всюду на [0, 1 ], была измеримой функцией, необходимо и достаточно, чтобы, как бы мало ни было положительное число ε, существовало на [0, 1 ] совершенное множество Р, обладающее свойствами:

1. f(x) непрерывна на Р,

2. mes Р> 1 — ε.

Совершенно ясно, что во всех этих представлениях меры мы все время имеем дело с непрерывностью, т. е. со становлением, но только это не просто становление (иначе у нас получился бы теоретико–множественный континуум), но становление, рассмотренное с точки зрения едино–раздельности, т. е. измеряемое становление.

с) Необходимо также заметить, что здесь мы, как и соответственно выше, в § 2с, в отношении геометрии пришли только к самому общему понятию меры. Собственно говоря, если строго придерживаться рамок нашей общей категории становления, которую мы сейчас изучаем, мы можем утверждать сейчас только то, что существует измеримость множества вообще и больше ничего. Представление множества с точки зрения едино–раздельности, когда мы имеем в качестве самой сложной категории только категорию типа, было совершенно лишено всякого элемента измеримости, или, иначе, мера чистого и основного множества (счетного множества) — нуль. Теперь же мы приходим к тому выводу, что измеримость может быть и не только нулевой, — только об этом и говорит нам категория становления. Если же мы захотели бы исследовать разные типы измеримости, то это было бы равносильно исследованию разных типов становления, т. е. тут нужен был бы выход за пределы самой категории становления. Но это в полной мере совершится только после перехода нашего становления в ставшее и далее, наконец, в выразительную форму.

7. Наконец, бросим взгляд на теорию вероятностей в смысле того, как наличная в ней сфера становления испытывает на себе воздействие аксиом едино–раздельности.

Становление, взятое само по себе, есть процесс, последовательность. Когда мы оформляли его при помощи арифметических действий, мы получали ту или иную последовательность чисел. Когда это оформление совершалось у нас при помощи геометрических построений или теоретико–множественных операций, мы получали последовательность тех или иных вариаций пространства или множеств. В теории вероятностей мы тоже должны получить такую последовательность, которая бы свидетельствовала о размеренности ее с точки зрения тех или иных теоретико–вероятностных операций. Процессуаль–ность вероятностей должна свидетельствовать здесь о некоем постоянном законе, неизменном в данной процессуальное. В арифметической последовательности неизменно то или иное арифметическое действие (напр., умножение на какое–нибудь число в неизменной[61] прогрессии); в геометрической последовательности преобразований он имел также тот или иной инвариант. 1де же этот неизменный закон тех или иных операций в последовательности вероятностной?

Здесь мы могли бы говорить по–разному. Дело в том, что всю эту сферу «взаимодействия аксиом едино–раздельности и аксиом непрерывности» можно понимать настолько широко, что ею покроется и вся категория наличного бытия, к которой мы еще не перешли. Этого расширения, однако, мы намеренно не производим, так как в указанной сфере «взаимодействия» есть свой вполне самостоятельный диалектический момент. С этой точки зрения момент индивидуальности мы еще не будем выделять в самостоятельный пункт, как это случится в категории наличного бытия, а будем брать его в его максимальной слитности с самой процессуальностью. Таким <…> теории вероятностей является, прежде всего, т. н. закон больших чисел. Его основная идея заключается в том, что с увеличением числа случайных событий, с которым связан данный факт, устанавливается и вероятность факта, сколь угодно близкая к достоверности. Более того, этот закон формулируется с помощью понятия математического ожидания. Но мы не будем входить в этот вопрос, равно как и в анализ знаменитого неравенства Чебышева и его следствий.

Непосредственно видно, что принцип закона больших чисел иначе конструируется, чем выдвинутые выше математические факты в аналитической сфере «взаимодействия». Но остается самое общее сходство — категория становления в ее сформированное™ при помощи категорий едино–раздельности. Едино–раздельная последовательность массы случайных фактов ведет к установлению специфического процесса, а именно становящегося перехода вероятности в достоверность. В типах геометрии, рассмотренных выше в п[унктах] 2—4, инвариантность дана в процессуальном ряду сразу, здесь же она — в виде достоверности — только еще устанавливается. Тем не менее и здесь поток самого становления вероятности обусловлен определенной едино–раздельной системой (ростом количества «случаев»); и общее место закона больших чисел, несмотря на отдаленность с учением о преобразованиях в арифметике и геометрии, в основе все же сохраняет с ним единство: это становление, рассмотренное с точки зрения нестановящегося.

Понятно также и то, что с законом больших чисел впервые появляется возможность реального измерения вероятностной области вообще, в связи со статистическими вероятностями, средними величинами, дисперсией и пр.

8. а) Остается сделать одно общее замечание о всей рассматриваемой в последних двух π [унктах ] сфере «взаимодействия», и—мы совсем покинем категорию становления. А именно, если едино–раздельносгь в свете становления еще рисует пока только саму же едино–раздель–ность или само становление, то относительно становления в свете едино–раздельности может возникнуть вопрос: не есть ли это попросту ставшее? Ведь едино–раздельность вносит в становление некоторую запруду и лишает его характера абсолютной текучести. Не есть ли это само ставшее и не перешли ли мы здесь уже за пределы аксиом становления?

Нет, мы еще не перешли к ставшему в собственном смысле, хотя при более суммарном изложении эти тонкости и не имело бы смысла проводить. Ставшее есть остановившееся ставшее, а у нас становление еще не остановилось. Это значит, что мы еще не можем сравнивать результаты процессов становления между собою, но должны находиться внутри становления. Устойчивые моменты, включаемые в становление едино–раздельной сферой, не касаются самого становления вообще, самого принципа становления, но только содержания этого становления. Поэтому в арифметике мы получили возможность модифицировать и комбинировать действия, превращая их в ге или иные преобразования, но мы еще [на] этой стадии не смогли сравнить результаты действий с точки зрения действий как таковых, с точки зрения принципа действий. Мы, напр., еще не знаем коммутативность сложения или умножения. Нет сомнения, что применение операции с невыясненным законом коммутативности есть нечто весьма недостаточное и незрелое. Но это значит только то, что одна категория становления не может обеспечить полноты идеи арифметической операции и что необходимо привлечение дальнейшего. Также и полученные нами типы геометрии предполагают бесконечное вариирование одних элементов и инвариантность других, но ясно, что ограничение этого вариирования и превращение его из становления в ставшее должно привести еще к новым построениям, которые мы и получаем в связи с категорией конгруэнтности. Конгруэнтность превратит и полученные нами отвлеченные инвариантные элементы в структурные принципы, так что не этот инвариант будет рассматриваться на фоне становления (напр., как аффинность рассматривается на фоне параллельных преобразований), но он будет рассматриваться сам по себе в сравнении с другими такими же геометрическими фактами, в результате чего мы сможем накладывать их один на другой и судить об их конгруэнтности, подобии и пр. Все это возможно только потому, что геометрическая фигура превратится тут у нас в ставшее, в бытие наличное.

К этому мы сейчас и обратимся.

b) Для целостности диалектической картины, однако, мы приведем в заключение ту нашу универсальную схематику в рассматриваемой области, которую мы должны были бы привести с самого начала, но которую не приводим ради избежания различных нагромождений, заменивши ее сферой «взаимодействия» двух рядов <…>. Именно, в отношении всей сферы становления необходимо различать наши пять основных диалектических ступеней. То, что мы выше (§ [59]) изобразили как непрерывность вообще, это будет перво–принципом аксиоматики становления. То, что выше мы формулировали как аксиому едино–раздельности, рассмотренную в свете аксиом становления, есть принцип аксиоматики становления. Само становление в свете едино–раздельности необходимо оказывается становлением этой аксиоматики становления. В качестве ставшего, если брать арифметику, очевидно, мы должны выдвинуть разные преобразования, равно как и под выразительной формой[62]. Ведь арифметическое становление вообще есть только арифметическая операция, она есть именно принцип становления, и, если перво–принцип арифметического становления есть непрерывность, все остальное, — т. е. и становление принципа, и его ставшее, и его выразительная форма — есть та или иная последовательность операций, или преобразований. Соответственно, в геометрии[63] после непрерывности как перво–принципа и после геометрического построения как принципа мы имеем только разные типы геометрических структур. Становление, ставшее и выразительная форма этих структурных построений дает нам в этой развитой установке для становления — топологию, проективную и аффинную геометрию, для ставшего—геометрию подобных преобразований и только для выразительной формы — полную метрическую геометрию (хотя все еще без деталей, которые придут позже). Все эти виды геометрий в переводе на язык арифметики и есть не что иное, как та или иная последовательность преобразований. Наконец, ту же последовательность операций мы должны были бы проводить и в теоретико–множественной, и в теоретико–вероятностной области. Но мы избежали этих слишком (…) для аксиоматики деталей, введя просто сферу взаимодействия аксиом едино–раздельности и становления и приведя для теоретико–множественной последовательности указание на измеримость, а для теоретико–вероятностной — указание на закон больших чисел.

d) АКСИОМА СТАВШЕГО ЧИСЛА (ИЛИ КОНГРУЭНТНОСТИ) § 64. Принцип ставшего числового бытия как принцип конгруэнтности.

Если мы вспомним, что выше говорилось о категории ставшего, или, что то же, о категории «наличного бытия» (§ 21), то применение ее в области аксиоматики влечет за собою очень важное построение, которое гоже еще пе нашло в математике и в математической философии настоящего расчленения.

1. Что становление требует ставшего, что эти категории одна другую предполагают, об этом не будем долго разговаривать. Все сомнения, которые возможны в этом вопросе, рушатся уже от простейшей установки: если есть становление, то есть и ставшее. Ибо становиться может только нечто. Но это нечто не то, которое было до становления, и потому если мы становление противопоставим чисто идеальной структуре, бывшей еще до становления, то тем самым мы вернемся назад, и ни на шаг диалектический процесс от этого вперед не продвинется, хотя идеальное и противостоит становлению как бытию вне–идеальному, алогическому. Следовательно, дальнейшее движение мысли получится только тогда, когда мы становлению противопоставим такое нечто, которое хотя и не будет самим становлением, но как–то его в себя вместит как подчиненный момент. Должно возникнуть такое нестановящееся, которое вместило в себя всю стихию становления и которое уже не просто идеально неподвижно, но неподвижно в смысле реальном, неподвижно в смысле становления, в смысле результата становления. А это и есть ставшее.

Ставшее — то, что стало, т. е. остановилось; следовательно, оно — неподвижно. Однако эта неподвижность в отличие от идеально–смысловой неподвижности есть неподвижность как результат становления. Поэтому ставшее есть синтез идеальной неподвижности и вне–идеального становления. Другими словами, в ставшем мы различаем то, что стало после становления, и то, что было до становления, но оказалось втянутым в его алогический процесс. Эти два момента тут и отождествляются. Сначала мы имеем просто идеальную структуру, взятую как такая. Потом она вовлекается в стихию становления. Мы не теряем ее из глаз; и, через какие бы этапы становления она ни проходила, мы видим все ту же самую идеальную структуру, узнаем ее, несмотря на ее самоотчуждение в инобытийной алогичности. Разумеется, с ней не может не происходить тех или иных изменений, потому что иначе становление было бы пустой и незначащей категорией и не для чего было бы и вводить ее в диалектику. Значит, идеальная структура, вовлеченная в процесс становления и остающаяся самой собою (ибо мы ее везде узнаем), в то же время сплошь меняется, перекрывается новым слоем. И вот, допустим, она остановилась, ее становление закончилось. И что же? Оказывается, и в этом покойном состоянии мы все еще видим не что иное, как именно ее же, узнаем ее, фиксируем ее так же, как и до становления; но тут же мы видим и то новое, что наросло на ней, фиксируем результат пребывания в становлении, рассматриваем то инобытие, которым она перекрылась и с которым она теперь отождествилась.

И она обязательно отождествилась сама с собой, со своим наросшим инобытием. Если бы идеальное не отождествлялось с реальным в процессе становления, то в реальном становлении мы не узнали бы становящегося идеального. И получилось бы, что идеальное вовсе не становится, а пребывает в своей идеальной сфере как абсолютно изолированная неподвижность; о реальном же становящемся вовсе нельзя было бы сказать, что оно есть нечто (так как «нечто» само по себе есть как раз нестановящийся идеальный предмет), т. е. о реальном становящемся совсем ничего нельзя было бы сказать. Все, сказанное о реальном становлении, уже есть нечто, и нечто — не становится, оно есть просто смысл и больше ничего. Итак, идеальное в процессе своего становления отождествляется с реальным. Когда же процесс окончился и становление превратилось в ставшее, то и в ставшем мы находим 1) прежнее абсолютно то же самое идеальное, 2) результат становящегося процесса в виде некоего инобытийного перекрытия первоначального идеального и 3) отождествление того и другого в некую цельную и неделимую предметность.

2. Однако и эта картина отождествления еще не полна. Когда строилась диалектика идеального, то идеальное и было самим бытием. Идеальное, рассматриваемое само по себе, не нуждалось ни в каком носительстве, ни в какой иноприродной к себе субстанции. Идеальное и есть само для себя субстанция. Но когда зашла речь о становлении, идеальное уже потеряло свою собственную субстанцию. Оно ведь стало осуществляться и воплощаться заново, и его субстанцией оказалось не оно же само, но уже становящееся инобытие, сама стихия становления. Идеальное теперь оказывается несомым при помощи реального; реальное оказывается его новой субстанцией и телом; ведущим оказалось реальное, становящееся инобытие, а идеальное — только пассивно плывущим по этим неугомонным волнам становления.

Следовательно, в ставшем мыслится два плана. Один — это то реальное, алогическое, инобытийное, что и есть самая субстанция становления. Мы не ошибемся, если назовем этот план протяжением, не вкладывая в этот термин только одно геометрическое содержание. Ведь протяженность и есть алогически (т. е. нерасчленен–но) ставшее, результат алогического становления. Еще неизвестно, что именно стало, т. е. еще нет никакой идеальной структуры, которая именно становилась, а есть только самая стихия становления, достигшая ступени ставшего, т. е. остановившаяся. Другой план ставшего — это то идеальное, смысловое, расчлененное, что было вовлечено в процесс становления и что, несмотря ни на какие инобытийно–становящиеся судьбы, мы все же узнали в окончательном результате становления. Это идеальное оказалось тем же самым, которое было и до становления. Новая субстанция ничего в нем не повредила. Оно осталось тем же. Становление, правда, много раз переносило его с места на место, но оно везде и постоянно, несмотря на инобытийную вовлеченность, оказывается самим собою, без всяких изменений.

3. Эта отождествленность идеального самого по себе с идеальным в разные моменты его инобытийного и реального становления, или отождествление идеального с самим собою в разные моменты его реального протяжения, и есть его конгруэнтность. Когда в геометрии утверждается, что при равенстве двух соответствующих сторон треугольников и угла между этими сторонами самые треугольники конгруэнтны, то это значит только то, что треугольник везде остается самим собою, что его структура совершенно не зависит от того «места», где мы ее мыслили осуществленной. Пусть мы имеем какие–нибудь две пересекающиеся прямые и, следовательно, углы между ними. Покамест не поднимался вопрос о ставшем, т. е. реальном протяжении, мы могли оперировать с этим углом как угодно. Неудивительно, что в чистой мысли он, удаленный от всего реального и пребывающий в смысловой изоляции, ровно никак не меняется и был просто самим собою и больше ничего. Совсем другое дело, однако, если мы захотим мыслить его реально протяженным. Пусть мы берем для этого какую–нибудь произвольную прямую и пусть строим на ней наш первоначальный, никуда не двигавшийся, идеальный угол. Вот мы начертили из какой–нибудь точки этой прямой произвольную дугу и на ней откладываем расстояние, равное величине первоначального угла. Получит ли линия, соединяющая отметку этого расстояния с центром нашей дуги, однозначное значение и образуется ли таким образом угол, равный нашему первоначальному углу? Если пространство везде одинаково и не деформирует проводимых на нем линий и вообще фигур и если самые фигуры таковы, что ничего не теряют от своего пространственного передвижения, то мы можем поручиться, что новый угол будет абсолютно равен первоначальному, т. е., говоря вообще, что обе фигуры, первоначальная (как первообраз) и вновь построенная на новом участке пространства (как отображение), будут конгруэнтны.

Отсюда перво–принцип ставшего числового бытия мы можем формулировать так: всякое число так или иначе определено с точки зрения конгруэнтности. Оно, конечно, может и совсем исключать момент конгруэнтности. Однако это возможно только тогда, когда известно, что такое конгруэнтность. Если мы, например, строим геометрию без аксиомы конгруэнтности, то это не значит, что конгруэнтности нет, но это значит, что конгруэнтность есть и она осуществима и что только в данном случае мы от нее воздерживаемся.

§ 65. Аксиома ставшего числового бытия в арифметике.

Теперь перейдем к обзору явлений конгруэнтности с математической точки зрения.

1. Явление числовой конгруэнции легче всего демонстрируется на т. н. коммутативном законе a + b = b + a. Когда мы складываем два числа, то оказывается, что сумма совершенно не зависит от порядка слагаемых. Что это значит и почему это возможно? Это значит, что для слагаемого совершенно не важно то место, где оно находится. Место это ничего нового в количественную характеристику слагаемого не привносит. Однако это не значит, что место само по себе есть полное ничто и никакой роли в сложении не играет. Наоборот, самый процесс сложения возможен только в силу наличности вообще разных «мест» для слагаемого. «Место» есть тот инобы–тийный фон, на котором разыгрывается вся картина данного арифметического действия. Без него не было бы и самого сложения. Однако единственная функция этого инобытийного фона заключается только в гипостазирова–нии слагаемых, и тут совершенно отсутствуют всякие функции какого бы то ни было количественного воздействия на гипостазированные числа. Кроме тог–о, инобытие здесь вполне нейтрально к порядку этих слагаемых и форме их взаиморасположения. Это значит, что идеально–числовая структура совершенно не зависит от своего инобытийного становления. Мы ее можем полагать при любой форме этого последнего, и она в идеальном смысле, т. е. в смысле своего отвлеченного количества, совершенно никак не меняется. Она всегда тождественна сама с собою, т. е. она всегда сама с собою конгруэнтна.

2. Однако здесь мы указали только на коммутативный закон в сложении. Этот «закон счета», как известно, далеко не единственный. Существуют еще ассоциативный и дистрибутивный законы; и кроме того, все эти законы применимы как к операциям сложения, так и к операциям умножения.

а) Вот обычная их арифметическая формулировка.

I. КОММУТАТИВНЫЙ (ПЕРЕМЕСТИТЕЛbНЫЙ) ЗАКОН:

a) в сложении —

a + b = b + a,

b) в умножении —

а · b — b а

II. АССОЦИАТИВНЫЙ (СОЧЕТАТЕЛbНЫЙ) ЗАКОН:

a) в сложении —

a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b,

b) в умножении —

a (b–c) =(а–b) · с = (а · с) — b

III. ДИСТРИБУТИВНЫЙ (РАСПРЕДЕЛИТЕЛbНЫЙ) ЗАКОН В УМНОЖЕНИИ:

a) а · (b + с) = а · b + а · с,

b) (a + b) — c = a–c + b–c

Это обычный вид формулировки, как он дается в арифметике. Не преследуя философских целей, он, конечно, и не может давать нам полной логической ясности и обоснованности, и нас при этом заметно беспокоят вопросы: почему тут эти, а не другие законы, почему тут только сложение и умножение и пр.? Это заставляет, с логической точки зрения, взглянуть на них несколько иначе при всей их непосредственной арифметической очевидности. Арифметически–то они очевидны, но логически они совсем не очевидны.

b) Начнем с конца. Дистрибутивный закон, очевидно, есть частный случай законов сложения — умножения вообще. Если мы имеем произведение а · [d] и если [d] есть не что иное, как некая сумма b + с, то само собой очевидно, что а · (b + с) = а · b + а · с. Отсюда, хотя в нашем случае дистрибутивность умножения используется совсем для других логических целей (не просто для иллюстрации законов самого сложения и вычитания), все же, взятая сама по себе, она вполне доказуема на основании категории только простого сложения и умножения.

Дистрибутивный закон показывает, что совокупность можно распределить между частями другой совокупности так, что это никак не повлияет на общий результат операции с такими совокупностями.

С другой стороны, ассоциативный закон, как легко заметить, есть частный случай коммутативного закона. Если мы знаем, что a + b = b + a, то стоит только представить, что b равняется какой–нибудь сумме с + а, как делается очевидным и ассоциативный закон. В самом деле, если a + b = b + a, то, значит, в смысле объединения с а одинаковым образом ведут себя и отдельные части этого b. Ведь, когда говорится b, не имеется в виду, какое оно, большое или малое, часть чего–нибудь или само дано как целое. Если ему свойственна такая общность, то под этим b можно понимать и с, т. е. одно из слагаемых нашего общего b. А это и значит, что а и с могут свободно обменяться местами без влияния на общую сумму, т. е. обнаруживается действие коммутативного закона. Равным образом и закон a(b–c) = (ab) — c есть тоже лишь логическое следствие того же самого коммутативного закона, стоит только в коммутативном законе один из сомножителей представить как произведение новых сомножителей. Точнее будет сказать, что если в коммутативном законе одна совокупность может быть поставлена на место другой, то по ассоциативному закону одна совокупность может быть поставлена на место элемента другой совокупности.

Но тогда нетрудно уловить и общую схему этих трех законов счета: коммутативный закон требует независимости арифметической операции от перемены порядка различных совокупностей; ассоциативный закон требует независимости от перемены одной совокупности на любой элемент другой; и, наконец, дистрибутивный закон требует равноправия в общей операции двух раздельных совокупностей с равномерным распределением одной из них по всем элементам другой. Все же эти три арифметических закона порождены одной общеарифметической аксиомой: закон конгруэнтности числа есть закон получения его из элементов, различающихся между собою исключительно только своей чисто количественной значимостью и абсолютно тождественных в смысле какого бы то ни было инобытия, какого бы то ни было своего инобытийного положения. Итак, можно дать следующую формулу этой аксиоме.

3. а) Чтобы дать общую и строгую логическую формулу аксиомы ставшего наличного бытия в арифметике, будем рассуждать так. Ставшее есть то, что остановилось. Покамест оно не остановилось, оно было только становлением. Становление, по самому существу своему, неопределенно. Оно идет неизвестно откуда и неизвестно куда. То есть чистый алогизм бытия, в котором, как в таковом, невозможны никакие расчленения. Невозможно применить к нему, например, категорию тождества; и нельзя даже сказать, тождественно ли оно себе самому, ибо оно в каждый момент все разное и разное и его невозможно поймать ни в какой точке; в нем все плывет сплошно. Но вот оно остановилось, т. е. мы перешли к ставшему. Это значит прежде всего, что становление оказалось чем–то, и прежде всего самим собою, оно стало тождественным с самим собою. Ставшее есть тождество становления с самим собою. Но что надо для того, чтобы установить тождество становления с самим собою? Для этого надо вернуться с конечной точки становления к первоначальной; и если оба направления становления окажутся тождественными по своему процессу и по своему результату, то искомое тождество и будет установлено. Итак, ставшее есть не что иное, как тождество направлений становления в смысле их общего результата.

К этому сводятся и указанные выше законы счета. Единственное, что утверждает коммутативный закон, — это тождество направления производства арифметической операции. О разных вариациях этого направления и об их тождестве в смысле результата говорят и другие два закона. Следовательно, мы могли бы сказать так.

Аксиома ставшего наличного бытия в арифметике: арифметический счет имеет своим основанием тождество направлений своего становления. Другими словами, арифметический счет зависит только от количественной характеристики чисел при любом инобытийном воспроизведении. Или: арифметический счет характеризуется законами коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным в операциях сложения и умножения.

b) Впрочем, можно дать в кратчайшей и тем не менее превосходной формуле арифметическую интерпретацию конгруэнтности, не прибегая даже к самим законам счета, а только имея их в виду вообще. А именно, что мы, собственно говоря, делаем, когда пишем формулы этих трех законов в п. 2а? Пусть, например, мы высказали a + b = b + a. Что это значит? Это значит, что была некая величина с, которая составлялась из а и b. Мы сложили а и получилось с. Чтобы формулировать на этом основании коммутативный закон, мы должны были (α + b) приравнять к (b + α) на основании равенства того и другого с третьей величиной с. Пусть мы имеем: α+ (6 + c) = (a+b) + c. Чтобы вывести этот ассоциативный закон, мы должны были сначала вычислить левую часть этого равенства, определивши искомую сумму, например, как [d]; затем мы должны были вычислить правую часть и найти сумму для правой части. Только когда в обоих случаях у нас получилось то же самое [d], мы можем сказать, что ассоциативный закон в сложении верен. Так же точно мы поступаем и во всех законах счета, как сложения, так и умножения. Нетрудно заметить, что в глубине этих трех законов лежит одна огромной важности идея и она–то и есть настоящая идея арифметической конгруэнтности, если ее понимать в максимальной общности и отвлеченности, минуя все конкретные формы, в которых она может являться. Эта идея следующая:

две или несколько величин, равные порознь третьей величине, равны между собою.

Тут [все три ] дедуцированных нами закона арифметического счета суть только проявления этой общеарифметической идеи конгруэнции; и они вырастают из нее как из своего глубокого и последнего основания. Эта идея есть и наилучшая арифметическая интерпретация той общедиалектической аксиомы ставшего числового бытия, которая дедуцирована выше.

Когда говорится, что две величины, равные порознь третьей величине, равны между собою, то, очевидно, предполагается, что эти две величины по крайней мере по внешнему своему виду различные, так как, будь они равны с самого начала, не было бы смысла и выставлять эту аксиому. Следовательно, обе эти величины имеют полное право быть внешне различными. Однако что же это значит? Могут ли они быть количественно различными? Конечно, нет. Могут ли они стоять на любом месте? Да, они могут стоять на любом месте, но этот принцип нельзя понимать в абсолютном смысле. Если бы тут был абсолютный принцип безразличия порядка действий, тогда можно было бы в математическом выражении числитель писать вместо знаменателя и обратно, показатель степени — вместо основания и обратно, и т. д. Конечно, не эту нелепость утверждает аксиома конгруэнтности. Но тогда что же остается? Сказано совершенно точно: тождество направлений становления. Становление есть тут, как известно, действие, арифметическая операция, но не в смысле количественной значимости вовлеченных в эту операцию чисел и не в смысле порядка отдельных моментов операции. Поскольку становление есть инобытийно–алогическое, т. е. сплошно–непрерывное, развертывание, под[64] становлением в смысле арифметической операции можно понимать только вариирование операции в условиях полной сохранности ее смысловой структуры. Это и заставляет геометров связывать конгруэнцию с понятием движения и перемещения и утверждать, что конгруэнтность есть неизменность фигуры при перенесении ее в любое место. Тут как раз и имеется в виду алогическое становление фигуры (ее перемещение) при условии сохранности ее структуры. Точно то же имеем мы и в арифметике. Две величины, равные порознь третьей, могут обладать именно разными направлениями своего становления (например, а + b и b + а) в этом и заключается то, что мы выше назвали разницей внешнего вида величин. Таким образом рассматриваемое арифметическое положение действительно с огромной точностью воспроизводит в арифметических терминах общедиалектическую аксиому конгруэнтности.

4. Необходимо отдавать себе полный логический отчет в диалектической последовательности и назревании числовой мысли в арифметике. Когда мы строили аксиомы едино–раздельности, арифметика созрела у нас до степени категории счета. Что надо для счета? Для этого нужно, чтобы каждое число было сформировано внутри себя самого и чтобы ясно было отношение сформированных чисел между собою. Первое было определено категориями самотождественного различия и подвижного покоя. Второе было дано через закон определенности числового бытия. Но, получивши идею арифметического счета, мы, в сущности, получили не что иное, как возможность бесконечно двигаться вперед и назад по натуральному ряду чисел. Надо было внести какие–нибудь диф–ференции в это безразличное движение по натуральному ряду, т. е. надо было получить возможность не просто выхватывать те или иные числа из этого ряда, но надо было уметь пользоваться и разными комбинациями этих чисел. Для этого надо было внести моменты становления в самую категорию счета. Получились разнообразные арифметические действия. Последние и есть ведь не что иное, как самый обыкновенный счет, но только с различными дифференциациями внутри себя, т. е. в условиях различного комбинирования чисел. Но ведь числа твердо держатся каждое на своем месте в общем натуральном ряду чисел. Если мы допускаем любое их комбинирование, то возникает вопрос: не прикованы ли они к своему месту настолько крепко, что каждый отрыв их от данного места и приковывание к новому месту влекут за собою их собственную деформацию? Чтобы этот «отрыв» и это новое полагание не мешали их чисто количественным отношениям, требуется нейтральность инобытия, несущего на себе эти комбинации чисел и заново осуществляющего их на любом участке числового протяжения. Но это значит, что требуется не только непрерывность чисел и действий над ними, но еще и конгруэнтность как чисел, так и действий. А для этого надо воспользоваться категорией ставшего.

5. Только теперь, с присоединением аксиомы конгруэнтности, наш счет, который мы вывели в сфере едино–раздельности только отвлеченно, наполнился живым содержанием и превратился в реальные законы арифметического счета вообще. Но это не значит, что невозможна арифметика без аксиомы конгруэнтности. Наш общий перво–принцип конгруэнтности, формулированный в § 64.3, гласит вовсе не то, что решительно всякое арифметическое число конгруэнтно. Он гласит только то, что всякое арифметическое число «так или иначе определено с точки зрения конгруэнтности». А вполне возможна арифметика, где этот принцип будет действовать отрицательно, и мы получим здесь числа, лишенные принципа конгруэнтности. Ниже (§ 66.5) мы укажем теорему Паскаля как наиболее яркую для характеристики геометрической конгруэнции. Если возможна непаскалева геометрия, то так же возможны и непаскалевы числа. Это числа, к которым применимы все упомянутые выше законы счета, кроме закона коммутативности умножения. Если бы мы стали входить в подробности, то, между прочим, мы нашли бы, что для неконгруэнтности в этом смысле необходимо нарушение принципа непрерывности, так что не все неархимедовы числа суть непаскалевы, но все непаскалевы обязательно суть в то же время и неархимедовы. Это должно быть понятно <…>, потому что в диалектической системе становление предшествует ставшему и, отвлеченно говоря, становление возможно без ставшего, но ставшее невозможно без становления. Нагляднее это дело будет обстоять в геометрической области.

§ 66. Аксиома ставшего числового бытия в геометрии.

1. а) О конгруэнтности в геометрии говорили больше всего, и это только потому, что там она видна грубее и показательнее, а вовсе не потому, что роль ее тут больше по существу. Даже самое понятие конгруэнтности почти не выяснилось геометрами, <…> и общепонятном смысле. Гильберт без дальнейших разъяснений говорит «конгруэнтный или равный», так что остается неизвестным, чем же конгруэнтность отличается от равенства. Невозможно понять, чем конгруэнтность отличается от подобия. Большинство геометров объединяет конгруэнтность с понятием движения. Так, Пеано брал понятия «точки», «отрезка» и «плоской поверхности», присоединял к ним «движение» и отсюда конструировал аксиому конгруэнтности. Другие (Виери) брали «точку» и «движение» и т. д.

Это «движение» в данном контексте или непонятно, или, когда становится понятным, оказывается весьма наивным. В самом деле, зачем геометры привлекают эту категорию? По–видимому, тут имеется в виду очень простая вещь: чтобы судить о конгруэнтности, надо две фигуры [сопо]ставить между собою или заставить одну и ту же фигуру передвинуться на другое место с тем, чтобы потом посмотреть, не изменилась ли она в своих очертаниях. Если это представление правильно, то можно только удивляться его наивности.

b) Во–первых, вполне абсурдно применять к геометрическим фигурам понятие движения в физическом смысле. Когда мы говорили о покое и движении, то понимали под этим чисто смысловые категории (образец: от единицы мы «движемся» к двойке, от двойки — к тройке, и т. д.). Но говорить о том, что треугольник «движется» по пространству— это значит высказывать нелепость или выбирать слишком грубую манеру выражаться. В этом же смысле можно говорить о движениях по топологическому или проективному пространству. В этом [же] смысле «движение» играет первостепенную роль и в аксиоме параллельности (к которой мы в дальнейшем перейдем), так как, чтобы судить о том, встречаются ли где–нибудь параллельные или нет, надо прежде всего «двигаться» по этим параллельным. Движение в этом смысле играет первостепенную роль везде в числе, начиная с его первых категориальных моментов.

Во–вторых, под «движением» геометры имеют в виду здесь вовсе не движение, а, наоборот, если угодно, «покой», так как понятие конгруэнтности есть во всяком случае понятие как [ого ] — то взаимо–соответствия, взаимосоотнесенности, какого–то совпадения, а это все суть виды покоя или, лучше, подвижного покоя. В–третьих, однако, дело тут, конечно, и не в покое. И движение, и покой суть слишком общие категории, применяемые в математике решительно ко всему[65], и не ими можно вскрыть сложную категорию геометрической конгруэнтности. Чтобы ее усвоить, надо присмотреться к ряду простейших геометрических операций. Пусть мы впервые пришли от точки А до точки В. Мы получили некую линию — пусть, например, прямую. Профану покажется, что если речь идет о получении прямой, то одной этой операции «движения» от А до В и достаточно, чтобы получить прямую. На самом же деле это вовсе не так просто.

с) Мало линию провести. Надо, после ее проведения, еще раз пробежать по ней глазами, сравнивая ее с окружающим фоном. Если этого становления не произведено, мы не можем поручиться, что наша прямая есть действительно прямая. Чтобы она была, надо, чтобы она отличалась от всего иного. Когда же мы ее проводили, мы действовали пока еще как бы слепо; и зрячими стали мы в отношении прямой только тогда, когда, пробегая по ней еще раз, мы будем исследовать, действительно ли она во всех своих точках в одинаковом смысле отличается от всего иного (от своего фона), т. е. действительно ли она есть замысленная прямая. Но и того еще мало. Надо еще третий раз пробежать глазами по полученной прямой и опять — совершенно с новым смысловым содержанием. Мы отличили нашу прямую от ее фона, но мы должны еще и отождествить ее с самой собою. Мы сравнили ее с иным, но мы также должны сравнить ее с нею же самою. Когда мы ее провели в первый раз, мы еще не знали, что она такая, потому что весь смысл такой прямой был только смыслом первого ее утверждения, гипо–стазирования, первого ее бытийственного положения. Когда мы провели ее во второй раз, мы уже получили возможность сказать, что наша линия а не есть ни b, ни с, ни вообще что–нибудь иное. Когда же мы проходили по нашей линии в третий раз, мы получили впервые возможность сказать, что наша прямая а есть именно прямая а.

Для этого надо было, пробежавши от А до В, пробежать еще от В к А и — отождествить оба прохождения.

Первый процесс проведения прямой был полаганием ее едино–раздельности, второй—ее становления (непрерывности), третий процесс есть полагание ее конгруэнтности. Тут мы пока утверждаем самое начало конгруэнтности,, а именно, когда отрезок конгруэнтен самому себе, но зато всякая иная конгруэнтность вырастает отсюда уже сама собой.

d) Таким образом, сущность конгруэнции заключается не в движении (движение есть и в едино–раздельности, и в непрерывности, и в параллельности), но в самоотождествлении геометрической фигуры в процессе становления, т. е. в ее ставшем. Конечно, становление как–то предполагается уже в самой едино–раздельной структуре. Но оно тут только предполагается (предполагается тут, как и везде, вообще очень многое), а не вбирается в самую эту структуру (так же, как черный костюм предполагает, что есть или возможен белый костюм, но это еще не значит, что данный белый костюм есть в то же время и черный) и тем более не происходит тут самоотождествления в результате становления. Чтобы вобрать становление в саму себя, едино–раздельная структура должна быть внутри перекрыта слоем непрерывности. Это мы как раз и получили, пробежавши по нашей прямой во второй раз с целью соотнесения ее с ее инобытием. Но та ли эта прямая после включения в себя становления, что и прямая до этого включения? Для этого нужно было пробежать по ней в третий раз. И если после такого пробегания мы определили, что это та же самая линия, то значит, мы включили в едино–раздельную структуру прямой не просто становление, не вообще безразличное становление без начала и конца, но как раз то самое становление, которое необходимо, чтобы наша структура стала, не больше и не меньше. А это значит, что наша прямая отождествилась с самой собой в процессе становления, что она — ставшее, что она конгруэнтна с самой собой.

2. Не вносит большой ясности в дело и обычное у многих геометров именование теорем, основанных обычно на категории конгруэнтности, как метрических. Это последнее обозначение настолько часто встречается в геометрической терминологии, что, кажется, тут и выяснять совершенно нечего. Мы, однако, уже много раз сталкивались с тем, что понятное математикам оказывается совсем не понятным с философско–логической точки зрения. Так же требует разъяснения и понятие геометрической метрики.

a) С понятием измерения мы уже встретились в § 54, где пробовали конструировать трехмерное и вообще п–мерное пространство, и в § 63.2, где заговорили об «общей метрической геометрии». Уже в этих двух случаях термин «измерение» обладает совершенно различным содержанием. Когда же говорят о метрике в смысле разных пространств, это будет еще третий смысл термина. Необходимо отдавать себе в этой путанице полный отчет.

b) У меня нет иного пути к расшифрованию разных значений этого термина и к их взаимному расположению, кроме диалектики. Диалектический же ход мысли предуказан заранее. Но прежде чем произвести здесь диалектическое исследование, необходимо утвердить самое главное: представление об измерении возникает впервые только с проблемой становления. Измерять можно только тогда, когда есть что измерять и чем измерять. Чтобы было что измерять, необходима какая–нибудь структура; а чтобы было чем измерять, необходимо уметь как–нибудь заполнять эту структуру. Структура впервые создается сферой едино–раздельности. Таким образом, теоремы (а тем более аксиомы) едино–раздельности сами по себе, собственно говоря, не нуждаются ни в каком понятии меры, или измерения. Но ведь сфера идеальной едино–раздельности есть сфера идеальная, сфера Эйдоса. Для нас она является также сферой чистого понятия, чистой категориальности. В категориях же может быть представлено вообще все существующее и несуществующее, возможное и невозможное. В категориях же мы говорили и о геометрических фигурах. В сфере Эйдоса мы имеем дело не столько с самими геометрическими фигурами, сколько с их понятиями. В этом смысле мы и нашли возможным дедуцировать геометрические фигуры еще на стадии едино–раздельности, хотя подлинное их место, конечно, только там, где уже имеет [ся] принцип непрерывности (или прерывности). С вхождением в сферу непрерывности мы впервые получаем геометрические фигуры как таковые (а не только их категориальную структуру и не только их эйдос).

Об измерении мы заговорили после перехода к сфере становления, т. е. к сфере непрерывности. Но это было уже другое измерение. Если раньше оно только впервые эйдетически конструировало самую фигуру — и было потому измерением впервые появляющихся пространств, — то здесь мы уже не конструируем фигуру из понятий, но впервые созерцаем ее как готовую. Раньше становление у нас было внутри самой фигуры, будучи ее нераскрытым самотождеством, так что «измерять» фигуру и впервые ее конструировать было одно и то же. Теперь же, поскольку фигура уже сконструирована, дальнейший переход ее в становление влечет за собой разделение функций «конструирования» и «измерения», и измерение оказывается операцией внешней в отношении конструирования. Но если так, то в чем же заключается отношение этих двух операций?

Если мы от эйдоса фигуры перешли к самой фигуре, то это значит, что теперь у нас не просто эйдос фигуры, но сама фигура и в ней — ее эйдос. Мы смотрим на фигуру и уже в ней видим ее эйдос, отличный от нее самой. Но это значит, что мы при созерцании такой фигуры сравниваем саму фигуру с ее эйдосом, с ее сущностью. Сравнение[66] же — это и есть более общая категория для всех видов измерения. Другими словами, здесь мы эйдос фигуры измеряем самой фигурой (или, если угодно, саму фигуру — ее эйдосом, хотя это последнее утверждение, однако, менее удобно, так как под измерением обычно понимается применение к измеряемому операции сравнения его с дальнейшими, низшими сферами, например размеры конкретной земли измеряются отвлеченными километрами).

с) Совсем новое понимание метрической операции [конгруэнтности. Здесь еще новый переход в инобытие, новый даже по сравнению с тем, когда мы переходили от эйдоса фигуры к самой фигуре. Естественно, что застилание фигуры становлением отодвигает теперь измерение еще дальше от конструирования. Если здесь переход в становление был только не чем иным, как гипостазиро–ванием эйдоса фигуры, то теперь, очевидно, введение нового инобытия должно не просто отличать саму фигуру от ее эйдоса, но оно должно установить инобытийные различия уже в самой гипостазированной фигуре. Раньше фигуру мы сравнивали с ее эйдосом, теперь же фигура получила для нас вполне самостоятельное значение; и если мы будем ее с чем–нибудь сравнивать, т. е. чем–нибудь измерять, то уже не с чем–нибудь высшим и более первоначальным, но с чем–нибудь последующим, вторичным или по крайней мере с самой собой.

Конгруэнтность и возникает на почве сравнения геометрической фигуры с самой же собой, на почве измерения фигуры ею же самой. Если мы уже полученную фигуру наложили на нее саму и нашли, что она сама с собой совпадает, то это, во–первых, значит, что мы измерили фигуру при помощи нее же самой; и это значит, во–вторых, что данная фигура подчинена принципу конгруэнции. Таким образом, конгруэнтность фигуры гарантирует нам, что идеальная, едино–раздельная ее сущность (эйдос, категория, понятие), гипостазированная в своей полноте (и тем превращенная в конкретно созерцаемый геометрический образ), не может быть как таковая растянута или сужена, что геометрическая фигурность не только есть, существует, но что она всегда и везде адекватна самой себе, что она неизменна в своих очертаниях и ее нельзя никакой силой деформировать или менять. Это и значит, что геометрическая фигура есть тут нечто ставшее, остановившееся, но это значение мы получили только потому, что мы произвели акт сравнения фигуры с нею же самою, что мы измерили ее при помощи ее же самой.

d) Есть, наконец, и еще один тип метрической операции. Логически сам собою возникает из всего предыдущего рассуждения принцип сравнения геометрической фигуры с дальнейшим инобытием, принцип сравнения не с нею же самой, а с тем, что ее отрицает, с инобытийным фоном. Если в процессе измерения фигуры ею же самой мы могли убедиться, что она или совпадает, или не совпадает сама с собой, то теперь мы накладываем на нее меры, взятые из того материала, который ей самой как таковой совершенно чужд. Но что же окружает геометрическую фигуру? Окружает пространство. Что же значит внести в фигуру инобытийно–пространственные моменты? Это значит убедиться, можно ли из алогически–ино–бытийного материала пространства построить данную фигуру или нет. Но это значит смотреть уже на самое пространство относительно. Это значит судить о том, каково данное пространство, на основании деформации самой геометрической фигурности. Ясно, что это измерение есть совсем другое, не бывшее раньше, и эта метрика здесь понимается вполне оригинально. Ниже мы увидим, что она связана с разным пониманием аксиомы параллельности.

е) Итак, вот максимально философски отчетливое расчленение и в то же время диалектическая конструкция возможных типов метрической операции в геометрии: 1) метрика в смысле модификации аксиомы параллельности (т. е. в смысле пространства Эвклида, Лобачевского и Римана) есть результат измерения геометрической фигуры при помощи ее внешнего инобытия; 2) метрика в смысле аксиом конгруэнтности есть результат измерения геометрической фигуры, когда она сама для себя является внешним инобытием, т. е. измерение фигуры при помощи ее же самой; 3) метрика в смысле аксиом непрерывности есть результат такого измерения геометрической фигуры, когда она сама квалифицируется как нечто внешнее к чему–то более внутреннему (а именно к ее эйдосу), т. е. это оказывается измерением эйдоса фигуры при помощи самой фигуры; и, наконец, метрика в смысле аксиом едино–раздельности есть не что иное, как результат отождествления измерения эйдоса с его первоначальным конструированием.

Сначала мы просто конструируем общее понятие фигуры и еще неизвестно, будет ли оно реальным предметом математических созерцаний, построений и обследований, потом мы накладываем на нее внешние меры, и — начинаем видеть, что она существует не только в мысли, но и «реально» (т. е. непрерывно). Потом мы меряем эту реальную фигуру: оказывается, она совпадает сама с собой или не совпадает, т. е. раньше непрерывность касалась ее первого гипостазирования, теперь же касается самой ее структуры. Непрерывность фигуры в смысле ее структуры и есть конгруэнтность. Далее, мы измеряем уже таким образом сформированную структуру тоже внешними мерами[67], т. е. непрерывность теперь начинает касаться не самой структуры, но возможного ее гипостазирования во внешности уже как таковой, не в смысле только эйдоса (что было бы только превращением эйдоса фигуры в самую фигуру, т. е. первым получением самой реальной фигуры), но в смысле гипостазирования самой реальной фигуры, так что здесь непрерывность превращается в «однородность» пространства (и, значит, в «неединородность»). Можно сказать еще и так. Геометрическая метрика основана или на идеально–смысловой внутренно–эйдетической непрерывности (непрерывность эйдоса фигуры), или на реальной внешне–эйдетической (непрерывность самой фигуры, ее факта и непрерывность ее структуры), или на выразительно–инобытийной эманативной непрерывности ([непрерывность] чисто алогического пространства). Метрических операций столько же, сколько основных диалектических моментов фигуры вообще. И после всего этого расчленения предмета вопрос о том, что именно называть геометрической метрикой, является уже второстепенным, и тут возможны разные вкусы.

3. Теперь выясняется отношение конгруэнтности к равенству и к подобию. Если проводить четкую постановку вопроса и здесь, то необходимо произвести расчленение соответственно основному диалектическому ряду. Прежде всего, мы имели (в супра–акте) 1) абсолютную единичность, или тождество, которое в смысловой сфере превратилось в 2) относительное тождество. Когда отождествляемые моменты не суть чисто смысловые, но становящиеся, г. е. когда они стремятся перейти в факт, мы получаем вместо тождества—равенство. Равенство есть тождество осуществляемого, или смысловое тождество в условиях фактически–субстанционального противостояния, в то время как в чистом тождестве это последнее еще не намечено. Если становление останавливается и мы получаем возможность обсуждать уже полученную структуру, то наше общее тождество трех структур, структурное тождество, есть конгруэнция. И наконец, когда структура сама переходит в новое становление, то мы получаем при условии тождества тождество структуры при наличии новых инобытийных ее свойств. Так получаются треугольники, тождественные но структуре, но — различные в смысле абсолютных размеров. Это есть подобие, которое оказывается, таким образом, выразительно–эманативной формой тождества. Итак, существует: 1) абсолютное тождество (единичность), 2) относительное тождество (в эйдосе), 3) становящееся тождество (равенство), 4) ставшее тождество (конгруэнция), 5) выразительное, энергийное, эманативное тождество (подобие).

Так выясняется с предельной четкостью сущность и диалектическое место конгруэнции.

4. Теперь мы можем сформулировать и соответствующие геометрические аксиомы.

a) Аксиома конгруэнтности, следовательно, должна указывать на постоянное самотождество ставшего. В арифметике, где становление было арифметической операцией, а ставшее было результатом этой операции, аксиома конгруэнтности свелась на учение о самотождестве результата операции в условиях вариирования самого становления, т. е. в условиях перемены формальной структуры самих операций. Это и дало «законы счета». В геометрии мы имеем дело не со счетом, но с построением. Требуется, следовательно, утвердить самотождество результата построения, т. е. самотождество фигуры (точнее, ее структуры, поскольку речь идет о ставшем в условиях изменения формальной структуры самих построений). Имеется фигура, например прямая. Мы ее построили определенным образом, например соединили две разные точки. Переменим структуру этого построения. Сделать это в отношении столь простого геометрического образования, как прямая, можно только путем обратного процесса, соединения не точки А с точкой В, но В с А. Если при этом прямая не изменится, значит, действует аксиома конгруэнтности. Везде тут фигура как ставшее будет тождественна сама себе, как бы мы ни вели себя в сфере становления, в результате которого появилось наше ставшее.

Аксиома ставшего числового бытия в геометрии: геометрическое построение имеет своим основанием тождество направлений [своего ] становления. Другими словами, геометрическое построение зависит только от своей чисто пространственной структуры при любом инобытийном воспроизведении ее элементов.

b) В свете этой общей аксиомы, полученной чисто диалектическим путем, будет понятным и многое из того, что рассказывается в математической литературе об аксиомах конгруэнтности. Нужно сказать, что математика и здесь не выдерживает ясного принципа, то объединяя конгруэнцию с предыдущими аксиомами, то ее им противопоставляя. Гильберт, например, формулирует аксиому линейной и плоскостной конгруэнтности и не формулирует конгруэнтности для пространства, выводя ее из сочетания линейно–плоскостной конгруэнтности с аксиомами сочетания и порядка, что, конечно, абсолютно] невозможно, так как аксиомы сочетания и порядка играют в пространственной конгруэнтности ровно ту же роль, что в линейной и в плоскостной. Это можно было бы утверждать, если бы пространственная фигура вообще ничего оригинального в себе не содержала бы по сравнению с линией и плоскостью. Если применение конгруэнтности к одним из элементов, построенных на основании аксиом едино–раздельности, требует аксиоматического закрепления, то это закрепление необходимо и ко всем другим из них. Поэтому для начала лучше вообще не говорить об отдельных фигурах, а нужно говорить о фигуре вообще.

Самой общей и отвлеченной аксиомой ставшего бытия, выраженной в геометрических терминах, может служить такая.

1. Каждая геометрическая фигура конгруэнтна самой себе.

Обыкновенно говорят об отрезке, который равен самому себе, где бы мы его ни откладывали. Но, снижая это суждение до наибольшей внутренней краткости, можно сказать, что каждая геометрическая фигура просто конгруэнтна сама себе, так как для установления конгруэнтности достаточно эту линию (как выяснялось выше, в п. 2с[68]) отложить на ней же самой (для большей ясности это можно сделать с ее другого конца).

Этот общий геометрический принцип можно детализировать, как детализировали мы в § 65 аксиомы счета. Тогда его можно заменить рядом аксиоматических утверждений, из которых наиболее важны такие два.

2. Две или несколько геометрических фигур конгруэнтны между собою, если соответственно конгруэнтны их элементы.

Эта аксиома, во–первых, может являться аналогией для коммутативного и ассоциативного закона в арифметике. Если имеется линия и на ней точка, делящая эту линию в том или другом отношении, то безразлично, какую из этих обеих частей сначала откладывать на новой прямой; сумма их все равно будет конгруэнтна данной линии (коммутативный закон). Также, имея линию, разделенную на несколько частей, можно в любом порядке откладывать эти части; сумма от него не изменится (ассоциативный закон). Не требует пояснений и геометрический аналог дистрибутивного закона. Эта же аксиома охватывает и аксиому Гильберта ΙΠ 2: «Пусть А В и ВС—два отрезка на прямой а без общих точек; далее, пусть А'В' и В'С' — два отрезка на той же или на другой прямой а' тоже без общих точек. Если при этом А В конгруэнтна А' В' и ВС, то всегда также АС конгруэнтна А'С'».

3. Две фигуры, конгруэнтные третьей, конгруэнтны между собою.

Нет нужды пояснять полнейшую аналогию этой аксиомы с общей идеей арифметической конгруэнтности, формулированной выше, в § 65.2а. Ее считает нужным ввести в число своих аксиом конгруэнтности и Гильберт.

с) Наконец, эти общие аксиомы геометрической конгруэнтности могут быть распространены и на отдельные фигуры, если иметь в виду соответствующие аксиомы едино–раздельности. Таковы аксиомы:

1. Каждый отрезок может быть однозначно определенным образом отложен по любую сторону на любой прямой от любой точки.

2. Каждый угол может быть однозначно определенным образом отложен в любой плоскости по любую сторону при любом луче.

3. Каждое тело может быть однозначно определенным образом построено в любом пространстве при соответствующих координатных данных.

5. В заключение остается еще сказать несколько слов относительно связи аксиом конгруэнтности с предыдущими аксиомами. Если мы обозначим аксиомы едино–раз–дельности через А, аксиомы непрерывности через В, аксиомы конгруэнтности через С, то, минуя полную систематику всех возможных здесь геометрических комбинаций (что мы делаем во втором томе), можно покамест отметить такие четыре комбинации:

1) А, В, С,

2) А, не–В, С,

3) А, <В>, не–С,

4) А, не–В, не–С.

Что касается первой комбинации, то ясно, что она (со включением аксиомы параллельности, которую мы еще не рассматривали) есть наша обыкновенная элементарная эвклидовская геометрия.

Но что такое вторая комбинация? Может ли существовать пространство, которое подчинено аксиомам еди–но–раздельности и конгруэнтности, но не подчинено аксиомам непрерывности? Очевидно, такое построение невозможно. Допустим, что наши линии прерывны, что наше пространство не гарантирует нам возможности его заполнить и что, скажем, откладывая наш отрезок на какой–нибудь прямой, мы вдруг убеждаемся, что он разломился и внутренняя последовательность его точек прервалась. Можно ли после этого ожидать, что весь отрезок целиком уложится на прямой, где ему будет отведено такое же место, какое он занимает сам по себе? Ясно, что эти два отрезка при взаимном наложении не будут совпадать. Следовательно, геометрия, в которой нет идеи непрерывности, не может иметь и идеи конгруэнтности.

Что такое третья комбинация? Возможна ли едино–раздельная непрерывность без конгруэнтности ? Если бы она была невозможна, то конгруэнтность была бы пустым [понятием] без всякого смысла и она ничем не отличалась бы от самой непрерывности. Тут–то как раз и выясняется все своеобразие этой категории. Когда фигура непрерывна, [она] в то же время [может быть] лишена идеи конгруэнтности. Тут выясняется именно структурный характер конгруэнтности, в отличие от которой непрерывность касается только факта, становящегося факта построения, а не структуры этого построения.

Такую геометрию, вообще говоря, можно было бы назвать непаскалевой, поскольку в ней отсутствует известная теорема Паскаля о пересечении сторон угла параллельными линиями (или, что то же, о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение, имеющее форму двух прямых) и поскольку эта теорема связана с законом коммутативности умножения. Однако для точности надо сказать, что в непаскалевой геометрии соблюдаются как оба ассоциативных и оба дистрибутивных закона, так и коммутативный в сложности.

Если к этому присоединить аксиому непрерывности, то нетрудно дедуцировать отсюда коммутативность умножения, т. е. тем самым теорему Паскаля. Следовательно, хотя упомянутая комбинация А> В, не–С внешне и выражена, если брать эти категории в чистом виде, но те из <.··>> которые наблюдаются в геометрии архимедовой и паскалевой (а также еще и дезарговой, ср. выше теорему Дезарга о проектности треугольника в § 63.5), делают невозможным объединение дезарговой, архимедовой и непаскалевой геометрий.

Что касается, наконец, четвертой комбинации, в которой отсутствует и непрерывность, и конгруэнтность, τό если вообще мыслимо отсутствие одной из этих категорий, то вполне представимо и отсутствие их обеих. Можно даже сказать, что эта геометрия и не может не быть непаскалевой, раз она неархимедова (как это видно из предыдущего).

Вообще говоря, в суждении о всех этих типах геометрических построений можно руководствоваться следующей схемой[69].

§ 67. Аксиома ставшего числового бытия в теории множеств.

1. Нам не нужно будет подвергать категорию конгруэнтности вновь принципиальному рассмотрению после того, как мы выше предприняли ряд разграничений и установок для арифметической и геометрической областей. Перенесем целиком в теорию множеств основной принцип конгруэнтности в тождестве направлений счетного, или построительного, становления и будем только наблюдать, какой эффект вызовет этот принцип в сфере самих множеств.

а) Прежде всего, что здесь является аналогом арифметического счета и геометрического построения? Выше (§ 56.1) мы видели, что таковым является упорядочение, или, другими словами, типизирование (установление и функционирование типа) множества. Следовательно, вопрос касается тождества направлений упорядочивания. Если аксиома конгруэнтности верна в отношении множеств, то, какие бы направления в смысле упорядочивания элемента мы ни брали, все они должны давать абсолютно тождественный результат, а именно прежнее и основное множество с его собственным типом.

Будем при этом помнить: речь идет вовсе не о произвольности комбинирования элементов как таковых. Такового произвола не было у нас даже в арифметике и в геометрии, и тем более его не может быть в отношении теории множеств, где такую первостепенную роль играет идея порядка. Речь идет о произвольности выбора направлений становления чисел, а не о тождестве самих чисел. Становление же, будучи само по себе алогическим, не способно ничего менять в логическом, т. е. в данном случае, в чисто числовом (как в смысле количества, так и в смысле порядка), и оно способно вносить различия только в условиях сохранения прежней количественной и качественной структуры. Следовательно, аксиома конгруэнтности требует сохранения общей структуры данного множества (т. е. его типа) при любом комбинировании его элементов, но это комбинирование должно быть не абсолютным, а, так сказать, экземплификационным. Мы не сдвигаем этих элементов с места и не меняем их порядка, а только мысленно объединяем их в разные подмножества. И оказывается, при каждом таком комбинировании образуется новое множество, хотя в него входят элементы только из тех, которые входили в данное основное множество.

Можно ясно сказать еще и так. Элемент множества, как мы знаем, несет на себе смысл целого, т. е. смысл всего множества. Теперь мы объединим его с элементом другого множества. Это другое множество, поскольку оно другое, есть совсем другая целость, и несет оно в себе совсем другой смысл. Стало быть, и элементы его несут на себе совсем другой смысл, чем элементы первого множества. И вот, оказывается, объединение этих двух элементов из разных множеств создает еще новое множество, которое ничего общего не имеет с первыми двумя. Элементы первых двух множеств вошли в состав третьего множества решительно с тем же самым смысловым содержанием, которое они имели и в границах своих множеств. Элемент третьего множества конгруэнтен элементу первого или второго множества (смотря по тому, откуда он взят). Другими словами, к какому бы новому множеству мы ни присоединяли данный элемент данного множества, он все равно остается самим собою, и в пределах этого нового множества он точно так же ориентирован на целое, как и в пределах первого множества. Правда, поскольку сюда входят элементы с другой ориентации, общая совокупность всех элементов множества наложит на наш перенесенный элемент печать и его нового местонахождения. Тем не менее стоит только отвлечься от целого, как мы вновь узнаем наш элемент первого множества, как он был до перенесения.

Наглядным и обывательским примером теоретико–множественного действия этой аксиомы конгруэнтности может служить такая вещь детского мира. Всем известны т. н. загадочные картинки. Дается, например, картинка леса или постройки, и спрашивается: а где же дровосек или где же плотник? Вы долго рассматриваете этот простейший рисунок и никак не можете найти человека. Потом вдруг вы обращаете внимание на несколько штрихов и объединяете их в специальную фигуру, отличную от всего прочего фона. Оказывается, дровосек тут все время был, но мы просто не выделяли штрихов, рисующих его фигуру, в отдельное множество. Спрашивается: изменилось ли что–нибудь во всем рисунке оттого, что мы увидели здесь человека? Ровно ничего не изменилось. Элементы картины, из которых создан дровосек, вполне конгруэнтны тем же самым элементам в том случае, когда они не дают нам никакого представления о дровосеке, а просто входят в общий рисунок наряду с прочими его частями. А мы можем выбрать любые комбинации на фоне нашего рисунка, от этого ровно ничего не изменится ни в самом рисунке, ни в отдельных его частях. Это и значит, что, какое бы направление в становлении упорядочивания мы ни взяли, все эти направления вполне тождественны в смысле общего результата упорядочивания элементов, захваченных данным становлением.

b) Таким образом, конгруэнтность здесь (как и раньше) мы понимаем двояко.

Во–первых, мыслится конгруэнтность множества с самим собою. Здесь мы видим: тип множества есть нечто до такой степени твердое и определенное, что он не меняется от того, с какой стороны мы к нему подходим. В теории множеств прямо существует предположение, что конечное множество при всяком изменении способа упорядочивания сохраняет свой тип. Из этого типа мы могли вырезывать другие типы, которые не будут с ним конгруэнтны, и наличие этих совершенно новых типов нисколько не мешает существованию общего липа. Последний остается сам собою при любых направлениях его рассматривания. Это и есть тождество направлений становления множества.

Во–вторых же, мыслится конгруэнтность множества при любом его «перенесении» и любой, так сказать, «среде», как и треугольник мыслится конгруэнтным другому треугольнику, если для последнего выполнены те же условия построения, что и для первого. Некоторый материал для этого второго способа представления дает указываемая дальше «аксиома произвольного выбора», хотя она формально и не имеет никакого отношения к понятию конгруэнтности.

Аксиома ставшего числового бытия в теории множеств: упорядочивание множества основано на тождестве направлений его становления.

2. а) Просматривая литературу по теории множеств с целью определения того, сумели ли математики уловить и зафиксировать идею конгруэнтности в сфере множеств, мы с огромным удовлетворением и полной неожиданностью наталкиваемся на одну очень популярную аксиому, которая так и носит название «аксиомы Цермело» и определяется как «аксиома произвольного выбора». Формулировка ее, однако, сильно отличается от нашей, и сходство в основном не должно затемнять перед нами всех расхождений. Остановимся на этой популярной и многоспорной аксиоме.

Сначала прочитаем ее. Формулируют ее обычно так: если Μ есть множество, все элементы попарно содержат каждый тоже по крайней мере по одному элементу, и потому, попарно взятые, они совершенно различны по своим элементам, то существует по крайней мере одно множество, — а именно подмножество в качестве некоего объединенного множества, — которое имеет как раз один–единственный элемент, общий с каждым элементом из М, и не имеет никакого другого элемента.

b) Что сказать об этой «аксиоме выбора», создавшей целую литературу бесполезных словоизлияний? — Прежде всего, если ее брать в таком виде, как она формулируется обычно, она вполне излишня в системе теоретико–множественных аксиом вообще, и в особенности у тех, кто не сопротивляется аксиоме полного упорядочения. Строго говоря, «аксиома выбора» отличается от «аксиомы полного упорядочения» только словесно. Ведь что мы называем полным упорядочением? Если упорядоченным множеством мы называем такое, в котором о каждой паре его элементов а и b мы утверждаем, что или а>b, или b>а (т. е. или а является первым элементом, или b), го вполне упорядоченное множество есть такое, в котором каждая часть имеет первый элемент. У нас имеется множество множеств. Каждое входящее сюда множество есть, стало быть, четкая последовательность элементов.

Мы берем из каждого такого множества по одному элементу так, чтобы это были разные элементы. Ясно, что в полученном из этих элементов новом множестве будет соблюдена тоже четкая последовательность, раз сами элементы с самого начала составляли такую же четкую последовательность. Что же нового нам дало это «произвольно выбранное» множество по сравнению с полной упорядоченностью первого множества множеств? Ровно ничего. Поэтому кто признает полное упорядочение, тот может не тратить времени и слова на аксиому выбора.

c) Особенно математики убиваются над тем, что часто, несмотря на эту аксиому, невозможно действительно построить реальное множество, отвечающее требованиям аксиомы. Многие с серьезнейшим видом делают замечательное открытие, что одно дело — постулировать возможность множеств и другое—дать само множество как реальный математический индивидуум, утешая себя и других, что–де хоть и невозможно конструировать здесь реальное множество, но зато оно принципиально возможно. По этому поводу обычно высказывается ряд глубоко–мысленнейших суждений, являющихся действительно невообразимой новостью для тех, кто никогда не занимался философией. Вся эта словесность, однако, появляется только потому, что в самой аксиоме напирают обычно на то, что для нее совсем не характерно и что является только повторением аксиомы полной упорядоченности[70].

d) Что же является гут самым главным, самым оригинальным и интересным? Таковым является здесь и самая возможность нового множества, и[71] то обстоятельство, что, если оно возможно, оно составляется из тех же самых элементов, из которых состоят и множества данного множества. Центр тяжести здесь не в отдельном индивидуальном множестве, о возможности которого спорят математики, но в том, что тип данного множества совершенно не [зависит] от того, в какие группы мы объединяем элементы, входящие в эти множества. Тип данного множества множеств всегда можно заменить типом некоторой системы подмножеств данного множества, и это будет совершенно тот же самый тип. Поэтому дело тут вовсе не в произвольности выбора таких подмножеств, которые окажутся упорядоченными ровно так, как основное, исходное множество. Значит, «аксиому выбора» мы бы так преобразовали в целях привлечения ее для иллюстрации нашей аксиомы ставшего бытия в теории множеств: если дано какое–нибудь множество множеств, то из элементов этих последних всегда можно составить такую систему подмножеств, что ее тип будет конгруэнтен типу основного множества множеств.

е) Этой аксиомой определяется то, что в пределах каждого множества мы можем как угодно менять направления в становлении упорядочивания его элементов, т. е. выявлять в нем любые части, из которых каждая будет, очевидно, упорядочена специфическим образом, и тем не менее общий результат всех этих направлений (если мы исчерпали все множество) будет вполне равносилен его первоначальной упорядоченности. Здесь намечаются контуры того самого универсально–математического принципа, который для арифметики постулировал равенство двух величин при условии равенства каждой из них третьей величине, если под этой величиной понимать множество, упорядоченное первоначально, и под второй— множество, упорядоченное путем упорядочения произвольно взятых частей этого множества. Такие два множества будут различаться между собою только направлениями становления своего упорядочивания, и они поэтому будут конгруэнтны: всякое множество конгруэнтно самому себе.

Отсюда и переход к законам теоретико–множествен–ных операций, которые, конечно, специфичны в сравнении с соответствующими законами арифметики (так, например, дистрибутивный закон умножения слева вовсе не возможен, в то время как тот же закон справа имеет место). Легче всего видеть связь этих законов с анализируемой аксиомой в ассоциативном законе сложения. Пусть имеется множество трех множеств — А, В, С, где А>В и В>С. Тогда возможны[72] такие вполне упорядоченные системы частей:

1) AUBUC.

2) (AUB)UC.

3) AU(BUC).

Совершенно ясно, что, какую бы из этих трех систем частей данного множества мы ни брали, общая сумма трех множеств будет вполне одинаковая. Это и будет значить, что мы тут вариируем направление становления упорядочения. Однако конгруэнтность суммы во всех трех случаях выбора направления упорядочивания требует аксиоматической фиксации.

§ 68. Аксиома ставшего числового бытия в теории вероятностей.

1. Место арифметического счета, геометрического построения и теоретико–множественного полагания занимает в теории вероятностей исчисление вероятности. Ставшее бытие есть то, которое становилось и потом стало, остановилось. Это значит, что оно есть последовательность, но стационарная. Стационарная последовательность, чтобы быть именно стационарной, требует единства своей структуры, — точнее, самотождества этой структуры при различии тех или иных ее инобытийных особенностей. «Движение», «перенесение» и здесь является хотя и «грубой», но, кажется, наиболее ясной иллюстрацией наличия инобытийного становления структуры при ее смысловом и принципиальном самотождестве. Следовательно, если мы имеем определенную последовательность вероятностей в одном «месте», мы гарантированы, что та же последовательность вероятностей будет и в этом другом месте.

Аксиома ставшего числового бытия в теории вероятностей: исчисление вероятностей основано на тождестве направлений их становления.

2. С. Н. Бернштейн и здесь проявил некоторую проницательность, выставивши «аксиому о несовместимых событиях», не отдавая, впрочем, себе отчета в том, что под этой аксиомой кроется идея конгруэнции. С. Н. Бернштейн напирает в этой аксиоме на несовместимости событий. Для нас, однако, во–первых, эта несовместимость важна только как указание на последовательность (без которой нет структуры ставшего), а во–вторых, тут важна не столько и сама последовательность, сколько независимость ее от «направления ее становления», данного здесь в виде «перенесения» ее с одних событий на другие (вне этой независимости не может быть самотождества фигуры последовательности). Если иметь это в виду, то «аксиому о несовместимых[73] событиях» можно повторить без изменения: «Если известно, что события А и A_t несовместимы между собой и, с другой стороны, события В и также между собою несовместимы, причем вер. А=вер. В и вер. А₁ = вер. В₁ то вероятность факта С, заключающегося в наступлении события А или события A_l равна вероятности факта С₁ заключающегося в наступлении В или Β₁ т. е. вер. (А или А₁) = вер. (В или Β₁)».

Пусть для какой–нибудь категории лиц, вступающих в брак, вероятность овдоветь в течение трех лет равна вероятности получения из данной урны белого шара, а вероятность овдоветь после трех лет равна вероятности появления черного шара. Тогда вероятность овдоветь вообще равняется вероятности появления белого или черного шара. Разумеется, несовместимость события может быть какая угодно и отношения между отдельными вероятностями могут быть какие угодно. Всегда одна последовательность вероятностей будет конгруэнтна другой последовательности при условии тождества соответственных отдельных вероятностей.

е) АКСИОМА ВЫРАЖЕНИЯ ИЛИ ПОНИМАНИЯ (ИЛИ АКСИОМА ВЫРАЗИТЕЛbНОЙ ИЗМЕРИМОСТИ) § 69. Общий принцип выразительной измеримости.

1. В § 35 была формулирована общая установка для математической аксиоматики в области выражения: число есть выразительный акт полагания. Там же выяснялась и сущность выражения или понимания. Сейчас мы кратко это повторим.

Бытие есть нечто. Это значит: оно имеет смысл. Ведь смысл и значит быть чем–то. Смысл бытия отличен от самого бытия, ибо бытие имеет смысл, но еще не есть самый смысл. Выражение же бытия не только не есть само бытие, но не есть смысл бытия. Смысл выражается, но не есть само выражение. Смысл может и не выражаться, и это не мешает ему существовать. Выражение предполагает, что есть нечто выражаемое, а «нечто» есть смысл. Следовательно, выражение в диалектическом смысле позже смысла, как и смысл диалектически позже, чем «бытие». В смысле, как таковом, [нет] ничего внутреннего или внешнего. Смысл просто есть. В сравнении с бытием он есть позднейшее, но, когда он появился, он стал внутренним для бытия. В выражении же всегда есть нечто внешнее. Но это внешнее выражает смысл, а это значит, что оно делает его из внутреннего внешним. Выражение—синтез внутреннего и внешнего, тождество внутренней осмысленности и внешней явленности. Смысл обращен к своему осмысленному бытию, выражение же обращено к инобытию, к внешнему, оно выносит тайный смысл бытия наружу и делает его ясным и видным всюду.

Смысл бытия уже предполагает инобытие. Но оно еще не целиком вошло в него. Смысл бытия еще не вобрал в себя всего выраженного своего инобытия. А это необходимо, так как смысл бытия, раз уж он появился, должен охватить все возможные судьбы этого бытия. Формулируя выше разные диалектические этапы «измерения» (§ 66.2, ср. также рассуждение о диалектике перехода от аффинной геометрии к метрической, § 63.Зе), мы уже столкнулись с проблемой выражения. Именно: эйдос сам по себе есть только вообразительно данный смысл, но еще не есть выражение; выражение же начинает диалектически жить только с момента появления абсолютно внеэйдетического бытия, абсолютно внесмыслового, ино–бытийно становящегося. Как же нарастает эта выразительность по мере дальнейшего диалектического продвижения и усложнения эйдоса?

Первые два этапа этой выразительности, зародышевых этапа, мы уже имели; это конгруэнция непрерывности и конгруэнция конгруэнтности. Первая из этих позиций (давшая нам первоначальную теорию групп, наиобщую метрическую геометрию и первое наиобщеизмеримое множество) только еще начинает некое общение с абсолютным инобытием. Идеальное число, числовой первообраз (конструированный при помощи принципов еди–но–раздельности) впервые здесь предполагает инобытие как некую самостоятельную сферу. Тут еще далеко до полного синтезирования числа с его абсолютным инобытием. Но важно, что здесь число постулирует бытие этого инобытия, в то время как чистый эйдос даже его и не постулировал. Постулирование чего–то как отличного от себя есть первый этап объединения с ним.

Вторая из упомянутых позиций (как мы разъясняем в § 66.2), позиция конгруэнтности (давшая нам правила счета, Паскалеву и непаскалеву геометрию, и «аксиому выбора», и «аксиому о несовместимых событиях»), синтезирует идеальное число, или числовой эйдос, с его инобытием гораздо ближе, глубже и интимнее. Если на стадии непрерывности внешнее инобытие входило в идеальное число только по своему смыслу, то сейчас оно входит уже и по своей субстанции, так что эйдос уже перестал быть бесплотным смыслом, но получил, так сказать, свое тело, стал фактом. Раньше он не был фактом. Он был только эйдосом, или смыслом, и всякое инобытие он мог вмещать в себя только смысловым же образом. Теперь он субстанциально отождествляется с инобытием, и так как инобытие смысла есть именно материал, тело, то смысл теперь и получает от инобытия тело, которое отныне становится его собственным телом, и тем самым превращается] в самостоятельный факт. Итак, тело как ставшее, число как факт есть субстанциальное тождество становящегося смысла и его инобытия. Но и тут мы сталкиваемся только с примитивными зародышами выразительности.

Дело в том, что на стадии наличного бытия, или ставшего, числовой эйдос хотя и вместил в себя инобытие по его субстанции, но он все же остался замкнутым в себе. По существу, чистый смысл как раньше был дан сам по себе, без всякой связи с внешним, так остался он и теперь, с тем единственным различием, что он получил тело и стал фактом. Разумеется, уже одно это немного приблизило его к внешности, но это приближение— фактическое, а не оформленно–выявленное. Если смысл стал фактом, то это и значит, что он стал ближе к действительности фактически. Но ведь смысл и есть всегда смысл; и если он стал фактом, то не для того, чтобы перестать быть смыслом (и, следовательно, обессмыслиться), но чтобы стать смыслом своего факта. Раньше он был смысл просто, смысл идеального бытия. Теперь он стал фактом, т. е. стал смыслом своей фактической судьбы. Но для этого мало одного факта, одной наличности бытия. Для этого нужно, чтобы ставшее, факт, уже будучи таковым, т. е. уже вместивши в себя инобытие субстанциально, начало вмещать в себя еще новое инобытие.

Но что значит для факта вмещать инобытие? Когда смысл вбирает в себя свое инобытие, он внутренно разделяется, различается, становится раздельным, превращается в координированную раздельность. Когда же факт вбирает в себя свое инобытие, он внутренно раскалывается, дробится, множится, растягивается и сжимается, делается компактным или пористым и т. д., т. е. претерпевает некую свою жизненную судьбу. Если чистый смысл превратился в смысл своего факта, или существования, то он являет собою все эти судьбы своего фактического деформирования. Это–го и значит, что он стал выразительным смыслом. Это же значит также и то, что он стал не просто мыслимым смыслом (как раньше), но и понимаемым.

2. Как же подойти теперь к этой новой категории с точки зрения математической аксиоматики?

Инобытие потому и есть инобытие смысла, что оно, как таковое, никакого смысла в себе не содержит и вполне алогично. Входя в тождество со смыслом, оно распределяется, разливается, распластывается по структуре смысла, сплошно заполняет ее. Это значит, что оно переводится, так сказать, на язык смысла. Но если выразиться математически, т. е. рассуждать об алогизме инобытия в отношении к числу, то упомянутое отождествление окажется не чем иным, как измериванием числа. Число измеряется мерой, инобытийной к себе. Измерение и предполагает, с одной стороны, инобытийный материал, из которого сделана мера, а с другой — совпадение (полное или приближенное) этого размеренного материала с измеряемым предметом. Некоторым измерением числа, минуя внутренно–эйдетическое инобытие, было уже превращение его из чистого числа в становящееся, что и заставило нас заговорить в § 66.2 о метрической геометрии. Но там измерение свелось просто к гипоста–зированию идеального числа без привлечения всякого другого инобытия. «Меряли» мы и на стадии конгруэнтности, ограничившись измерением, адекватным измеряемой структуре. Теперь мы столкнулись лицом к лицу с новым абсолютным инобытием, которое может и быть, может и не быть адекватной мерой для числа, так как теперь речь идет о самом факте числа, о дроблении не содержания числа (когда оно, например, из целого становится дробным), но о дроблении самого факта числа, т. е. о напряженности самой категории числа. Следовательно, новое измерение числа и пространства покажет нам, насколько сохраняется самое понятие числа, величины фигуры и т. д. В отношении, например, геометрии мы будем говорить не о различиях в пространстве (отличие прямой от кривой, точки от линии, подобия от перспективы и пр.), но о различиях самого пространства, о различиях в структуре самого пространства, так что речь зайдет о кривизне не в пространстве, но о кривизне самого пространства. Это и значит, что мы перешли к выразительной измеримости.

§ 70. Аксиома выражения в арифметике.

В предыдущем выразительная измеримость уже назревала: мы получили категорию арифметического действия (§ 62.2), последовательности арифметических действий (§ 63.1) и внутреннего строения этих действий (§ 65.2). Внутреннее становление числа, т. е. его внутренняя измеримость, т. е. арифметическое действие, отныне должно выявиться вовне, чтобы стать выражением. Но проявиться вовне оно может только тогда, когда оно перестанет быть изолированным и единичным арифметическим фактом и превратится в осмысливающее начало для некоего внешнего становления. Ведь выражение и есть смысловым образом наполненное становление. Другими словами, последовательность действий, которая на стадии простого и чистого становления была лишь системой преобразований, теперь [приобретает] самодовлеющее значение — в виде определенного ряда или рядов чисел, структура которых и будет определяться теми или иными действиями. Мы получим арифметические ряды или вообще арифметические комбинации чисел, законом построения каковых рядов и комбинаций будет то или иное действие или совокупность действий. Отсюда и аксиома.

Аксиома выражения в арифметике: арифметический |ряд] основан на тождестве внутренно–внешних направлений самого становления. Или: существует то усложнение арифметического действия, которое основано на том, что ряды чисел подчиняются в своей структуре тому или иному арифметическому действию или их системе.

2. а) В отделе арифметики мы увидим, что сюда относятся т. н. модули, или ряды чисел, подчиненные действиям сложения или вычитания, кольца — с действиями сложения, вычитания и умножения и поля, или тела, — с четырьмя основными арифметическими действиями. Особую область составляют т. н. группы с более широким законом объединения элементов, чем те или иные арифметические действия. Все это — выразительные формы в арифметике.

Но так как выражение, как сказано, ставит под вопрос саму субстанцию выраженного, так что выразительное пространство, например, есть не только модификация элементов в пространстве, но и модификация самого пространства, т. е. та или иная его кривизна, то аналогично этому мы можем получить и специально выразительные формы в арифметических совокупностях. Самым простым и самым ярким является здесь впервые примененный Клейном и Ли метод выражения тех или иных пространств при помощи теории групп. Пространство оказалось выраженным при помощи арифметической совокупности и превратилось, таким образом, в ту или иную группу. Подробно излагать этого мы здесь не будем.

b) Наконец, необходима и еще одна диалектическая позиция, долженствующая к тому же завершить всю сферу числового выражения. А именно, мы должны взять всю числовую сферу целиком и, забывая все, что мы различили внутри нее самой, подвергнуть ее рассмотрению с точки зрения вне–числовой. Ведь выражение предмета и есть его значимость для иного, когда он является иному. До сих пор наше число являлось самому себе. Выразительная форма получалась у нас, вообще говоря, как та или иная комбинация самих же чисел (таковы модуль, группа и т. д.). Но постоянное и уже последнее по своей конкретности числовое выражение получится тогда, когда мы всю сферу числа противопоставим вне–числовой сфере.

Однако эту позицию удобно будет провести вместе с теорией множеств, что мы и делаем ниже, в § 72.

§ 71. Аксиома выражения в геометрии.

Выражение геометрического пространства составляет один из самых глубоких и увлекательных отделов философии числа. Попробуем наметить некоторые вехи в этой замечательной области, поскольку это требуется интересами аксиоматики.

1. Пространство, диалектически созревшее до степени выражения, есть пространство, поставленное в соотношение со своим абсолютным инобытием. В общем случае оно — неэвклидовское, «неоднородное» пространство, в котором эвклидовское — только один из частных случаев.

Это неоднородное пространство никак нельзя осилить предыдущими аксиомами. Что нам давали аксиомы едино–раздельности («порядка», «сочетания» и пр.)? Они нам только впервые давали геометрическую фигуру, да и то не столько ее саму, сколько ее отвлеченную категорию. Результат аксиом едино–раздельности, как это формулировано в § 5–8.1, гласил нам только о фигурно–упорядоченной совокупности элементов, и больше ничего. Конечно, и в эвклидовой и во всякой неэвклидовой геометрии построение приводит к тем или иным фигурно–упорядоченным совокупностям. Однако по этой линии невозможно провести различие между эвклидовой и неэвклидовыми геометриями. Точно так же тут ничем не поможет и становление, т. е. принцип непрерывности. Все эти пространства одинаково непрерывны и прерывны, и совершенно не в этом их подлинное различие. Конгруэнтность стоит уже значительно ближе к характеристике разных пространств, но та конгруэнтность, которая выше формулирована у нас в § 64 как результат категории числового ставшего, все равно сюда не годится. Там имелась в виду конгруэнтность внутрифигурная, когда сравнивались две фигуры в пространстве и независимо от свойств того пространства обсуждались с точки зрения конгруэнтности. Здесь же, поскольку ставится вопрос о субстанции самого пространства, нам важна конгруэнтность фигур именно в зависимости от пространства.

Самое большое, что мы получили до сих пор от наших аксиом, это фигура как таковая, с той ее чисто фигурной же измеримостью, которая зависела или от ее внутреннего инобытия, или от ее внешнего, но от такого внешнего, которое положено пока только в виде голого принципа, без всякой реальной развернутости. Ясно, что выведенная нами геометрическая фигура все еще слишком «идеальна», хотя она уже значительно «реальнее» фигуры, о конгруэнтных свойствах которой ничего неизвестно, подобно тому как эта последняя «реальнее» голой категории фигуры. В настоящем же смысле и уже в окончательном смысле «реальной» фигура будет только тогда, когда она вместит в себя и все свое абсолютно–внешнее инобытие. Включивши в себя возможное инобытие, она уже не сможет больше ни в каком смысле изменяться.

Как же включить в геометрическую фигуру ее абсолютно–внешнее инобытие, чтобы она стала выразительней?

2. а) Чтобы решить этот вопрос, мы должны взять какую–нибудь фигуру и рассмотреть ее отношение к ее абсолютно–внешнему инобытию. Возьмем фигуру простейшую— прямую линию, потому что еще более простая «фигура», точка, по своему смыслу абсолютно само–тождественна решительно во всех фигурах и пространствах. Конечно, прямая и без всяких дальнейших добавлений уже содержит в себе свою соотнесенность со своим инобытием. Поскольку в прямой мы находили (§[55]) единство направления, мы тем самым уже, несомненно, ориентировали ее на фоне ее абсолютно–внешнего инобытия. Однако сейчас нам этого мало. Мы хотим как раз эту–то соотнесенность и рассматривать специально, полагая и утверждая ее в виде отдельной диалектической категории. Но для этого мало будет одной прямой. Кроме того, и в указанной соотнесенности нас интересует, собственно говоря, не сама она как таковая, а то, с чем прямая соотнесена, т.е. само пространство. По этой соотнесенности мы должны судить о пространстве.

Чтобы этого достигнуть, мы, очевидно, должны взять по крайней мере две таких прямых. Когда мы берем одну прямую, то ее соотнесенность с прочим пространством если как–нибудь и меняется, то этого заметить невозможно. Другое дело, когда мы имеем две фигуры, конгруэнтные одна другой. Тогда если в этом мы найдем какое–нибудь различие, то оно будет зависеть уже не от внутренних особенностей самой фигуры, но от окружающего ее пространства, а это как раз нам и важно.

[b)] Но что значит две взаимно конгруэнтные прямые? Конгруэнтность есть одинаковая ориентированность фигуры относительно ее внутренно–внешнего инобытия. Две прямые, если мы к ним решаемся применить это понятие, есть не что иное, как две параллельные прямые. Когда две линии параллельны, это значит, что они одинаково ориентированы относительно своего абсолютно–внешнего инобытия, что они взаимно «конгруэнтны» и по своему внутреннему, и по своему внешнему инобытию.

И вот если мы имеем две такие параллельные прямые, а они оказываются при своем продолжении непараллельными, то это значит только то, что данная деформация есть деформация не прямых как прямых, но именно того пространства, в котором они существуют. Если при одинаковой, в принципе, ориентированности прямых они при своем продолжении в пространстве вдруг меняют свою ориентацию, то это значит, что само пространство как–то их деформирует; и по их новому виду мы, следовательно, получаем возможность вполне точно судить о самом пространстве. И особенности этого последнего, выводимые из нового вида фигур, уже не зависят от самих фигур, уж [е ] деформируют в определенном смысле вообще всякие фигуры.

Но если так, то тут мы тоже получаем один из великолепных примеров того, что диалектика называет выражением. Ибо выражение «чего–нибудь» — это как раз и есть смысловая вмещенность этим «чем–нибудь» его внешнего инобытия без реального перехода в это инобытие. Мы видим фигуру, деформированную по сравнению с отвлеченной геометрической фигурой, и по характеру этой деформации судим о том чистом, нефигурном пространстве, которое и обусловило собою эти деформации.

с) Что же оказывается? Оказывается, существует пространство, в котором не только возможна одна параллельная к данной прямой через данную точку, но и такое, в котором этих параллельных может быть сколько угодно, и такое, в котором их не может быть ни одной. В чем же дело?

Какой философский смысл возможности только одной параллельной к данной прямой в данной точке? Из предыдущего вытекает само собой, что если возможна реально только одна параллельная к данной, то это равносильно возможности только одинаковой ориентации прямой относительно прочего пространства. А так как прямая у нас с самого начала берется в чистом виде и без всяких примесей, то, значит, эта одинаковость есть всецело результат самого же прочего пространства, т.е. это пространство как таковое везде одинаково, или, как говорят еще, кривизна его равна нулю. Если к данной прямой через данную точку возможна только одна параллельная, то пространство, в котором все это происходит, есть голое и ровное становление, абсолютно однородное, каким и полагается быть становлению, если оно берется в чистом виде. Рассматривая пространство как выражение, а в выражении основное — это внутренно–внешнее становление, то сначала мы имеем просто становление как таковое, не внося в него решительно никаких диффе–ренций. Это и значит, что к данной прямой через данную точку можно провести только одну параллельную. Это — эвклидовское, параболическое пространство.

Но единице противостоит бесконечность. Что значит, что к данной прямой через данную точку можно провести бесчисленное количество не встречающихся с ней прямых? Это возможно только тогда, когда условия самого пространства обеспечивают проводимой линии ее непересекаемость с данной. Само пространство по своему качеству должно быть таково, чтобы при бесконечном продолжении линии оно толкало ее в сторону от данной прямой и постоянно мешало их встрече. Пространство здесь устроено так, что оно все время как бы расходится в разные стороны. Оно так же бесконечно, как и предыдущее, эвклидовское пространство, но оно в сущности еще более бесконечно, если можно так выразиться, поскольку оно обеспечивает не только уход проводимой линии в бесконечность, но обеспечивает и возвращение ее опять в конечную область. Ведь поэтому–то мы и узнаем о невстрече проводимой линии с данной, что по обе стороны данной точки они не встречаются с нею, как бы мы их ни продолжали.

Следовательно, в этом пространстве мы уже оперируем не с чистым и пустым становлением, но [с] таким, которое вернулось из бесконечности[74] и в котором мы знаем начало и знаем конец, хотя его «середина» и в бесконечности. Это т. н. гиперболическое пространство, или пространство Лобачевского, пространство отрицательной кривизны. Наконец, пространство, в котором невозможна ни одна параллельная к данной прямой через данную точку, устроено так, что оно заставляет все решительно прямые пересекаться уже на конечном расстоянии. Оно насильно гонит каждый две «параллельные» к соприкосновению, так что тут и не может быть никаких параллельных. Тут все линии замкнуты, и пространство обязательно конечно. Это пространство — положительной кривизны, т. н. эллиптическое, сформулированное Риманом.

3. а) Так вот в чем смысл этой старинной проблемы параллельности и всей судьбы знаменитого V постулата Эвклида. Это есть смысл выражения пространства в отличие от чистой фигурности как таковой, которая никак не выражена, а только отвлеченно мыслится. Аксиома параллельности с ее модификациями есть аксиома выражения в геометрии. Закрепим ее в формуле.

Аксиома выражения в геометрии: геометрическое построение основано на тождестве внутренно–внешних направлений своего становления.

Эта формула непонятна только тем, кто не читал или не продумывал предыдущего изложения. Если фигура обсуждается не сама в себе, но в связи с тем пространством, где она осуществлена (в условии положенности его как самостоятельной категории), то это и значит, что построение одинаково принимает здесь во внимание и особенности фигуры как чистой фигуры вне всякого пространства, и особенности пространства как чистого пространства вне всякой фигурности. Это есть тождество внутренно–внешних направлений становления фигуры. Пусть данный угол деформируется в связи с продолжением сторон, из которых он состоит. Это значит, что по данной деформации мы сразу узнаем и о том, что за фигура имеется в виду и что за пространство ее воплощает.

b) Но выше были указаны и модификации этой общей геометрической выразительности. Они определяются тем, в каком виде входит в выражение необходимое для него внешнее становление. Если фигура как таковая бесповоротно утверждена предыдущими аксиомами, то ее выражение есть перекрытие ее новым слоем самостоятельно существующего пространства, и вот оно–то и может входить в разных видах. В геометрии Эвклида, как мы видели, пространство есть чистое и беспримесное становление, лишенное всякой кривизны. Тут кривизна всегда есть кривизна самих фигур, но не чистого бесформенного пространства. В пространстве Лобачевского оно есть не просто становление, но оно само перешло в становление. Это становление становления, давшее нам возможность обозреть становление (в то время как в пространстве Эвклида мы находим только неопределенную длительность). Однако это становление все же остается становлением самого же становления, что и дает возможность, обозревать нам его начала и концы, но не дает возможности обозревать его целиком. Для этого последнего надо, чтобы круговорот становления возвратился к себе так, чтобы мы видели его перед собою полностью. Надо, чтобы становление не только вернулось назад из неопределенной бесконечности, но чтобы отныне весь этот круговорот становления уже не уходил больше в бесконечность и оставался на наших глазах. Таково именно пространство Римана.

Отсюда и специальные аксиомы геометрической выразительности.

Аксиома геометрии Эвклида. Геометрическое построение основано на тождестве внутренно–внешних направлений самого становления, когда это внешнее становление дано в чистом и беспримесном виде.

Аксиома геометрии Лобачевского. То же — когда это внешнее становление перешло в свое собственное становление.

Аксиома геометрии Римана. То же — когда это внешнее становление, возвращаясь к себе, совершает свой круговорот в конечной области.

Можно эти аксиомы формулировать несколько иначе и в ином порядке, имея в виду определения кривых 2–го порядка, данные нами в § [ ]. Но этого мы не станем делать, чтоб не загромождать изложения.

4. Сказанного вполне достаточно, чтобы дать аксиоматическую установку для выразительной области геометрии. Но поскольку подобная теория проводится впервые, краткость всегда приведет к сухости, абстрактности и слишком большой общности. Поэтому попробуем войти глубже в диалектику эвклидова и обоих неэвклидовых пространств, привлекая на помощь также индуктивные данные.

а) Мы изучаем выразительное пространство. Выражение, являя внутреннее вовне, есть тождество внутреннего и внешнего. Внутренним является идеальная геометрическая фигура, т. е. тот ее чисто мысленный и отвлеченный образ, который мы еще никак и ничем не измеряем и о котором не знаем, какую форму он примет в реальном пространстве. Это реальное пространство и есть то внешнее, с чем внутреннее, т. е. идеальная фигура, отождествляется. Как же происходит это отождествление?

Будем покамест говорить о простейшем геометрическом образе — точке. Та точка, с которой мы до сих пор имели дело, вполне «идеальная». Она идеальная до того, что не имеет даже тех измерений, которые свойственны вообще разным фигурам. Может ли эта исключительная идеальность, доходящая до какой–то фантастической абстрактности, оставаться такой до конца? Этого не может быть уже потому, что реальные точки нашего опыта всегда имеют то или иное измерение. Это или чернильное пятнышко, или острие иголки и пр. А ведь геометрия должна осилить ^весь чувственный опыт,> если она хочет быть жизненной. Следовательно, эту фантастическую бесплотность точки надо превратить в живую плоть. И этим занимается выразительная геометрия.

b) Именно, точка, будучи «внутренним», «идеальным», «чистым» и т.д. образом, погружается во «внешнее», «реальное» становление с тем, чтобы отождествиться с ним. Но диалектическое отождествление предполагает отождествляемое неизменным. Поэтому, чтобы идеальная точка воплотилась в реальном становлении, необходимо, чтобы и становление стало идеальным, и идеальное стало становящимся. Чтобы становление стало идеальным, надо ему перестать быть растянутым, грузным, тяжелым инобытием. Оно должно стать легким и невесомым, как сама точка. Это значит, что такая выразительная точка сразу должна находиться во всех моментах своего становления. Становление не должно тут быть процессом, но оно должно быть таким же мгновенным, как и сама точка. С другой стороны, оно не может просто уничтожиться; диалектика требует, чтобы оно в этом новом синтезе и тождестве, в этом новом пространственно–выразительном символе оставалось самим собой. Это значит, что оно здесь абсолютно безразлично в себе и не занято никакой едино–раздельностью, как и полагается чистому меону. А это значил, что точке безразлично, в каком направлении двигаться, когда она переходит в становление; она всегда и при всяком случае остается самой собой, т. е. всегда сама тождественно находит себя в становлении, но уход в становление, т. е. от себя, тождествен возвращению из становления, т. е. к себе. Это значит, наконец, что она движется по замкнутой линии.

Итак, идеальность инобытия заставляет точку сразу быть во всех моментах своего пути одновременно, а инобы–тийность идеального заставляет точку иметь этот путь в виде замкнутой линии (скажем, окружности). Выразительная точка, следовательно, есть окружность, во всех моментах которой точка пребывает одновременно и неизменно.

Этот совершенно понятный язык можно пояснить еще и так. Идеальное — вневременно и внепроцессуально. Но оно может отождествляться с реальным. В таком случае оно охватывает все реальное, двигаясь по нему с бесконечной скоростью. Когда точка движется по своему пути с бесконечной скоростью, она сразу и одновременно находится во всех без исключения точках своего пути. Это и значит, что она сохранила в реальном свою идеальность. Выразительная точка поэтому тождественна с бесконечно большой окружностью, которая, однако, пройдена вся сразу в одно бесконечно малое мгновение.

c) Но и этого мало. Наша идеальная точка двигалась в определенном направлении, чтобы воплотиться в становление. Скажем для простоты, что это было горизонтальное направление. Но выбор этого направления,•конечно, вполне условен. Становление точки совершается не только в горизонтальном направлении, но и, например, в вертикальном, и притом вполне одновременно с горизонтальным. Так как идеальное внепространственно, то оно не зависит и от направлений в пространстве, т.е. оно одновременно и совершенно в одинаковом смысле воплощается и становится сразу во всех направлениях пространства. Следовательно, наша точка сразу и одновременно описывает в одно мгновение бесконечно большую окружность и вправо, и влево, и вверх, и вниз, и во всех промежуточных направлениях, различие которых исчеза–юще мало. Наша точка есть некий фонтан бытия, бегущий сразу во все направления пространства, которые только можно себе представить. Она сразу пробегает всю бесконечность во всех направлениях и мгновенно возвращается к себе. Ей все равно, куда двигаться. Когда она движется налево, это все равно, что ей двигаться направо. Удаляясь от себя налево, она этим самым приближается к себе справа, и, двигаясь от себя вверх, она тем самым спешит к себе снизу. Такова эта сокровенная мысль круга. Удаляться от себя — значит приближаться к себе, и стремиться к себе — значит уходить от себя. Куда бы мы ни двигались, мы все равно приходим к себе, или, что то же, к иному. Но и самый момент начала движения абсолютно совпадает с моментом конца движения, так что не только безразлично, куда двигаться, но и безразлично, двигаться ли вообще.

В этом образе выразительной точки лучше всего можно проверить неизбежность всех основных диалектических категорий идеального: бытия, инобытия, различия, тождества, движения и покоя. Таково идеальное вообще, выраженное здесь геометрически.

d) Теперь не удивляйтесь, если я скажу, что этот бегло намеченный нами образ выраженной точки и есть не что иное, как пространство Римана.

Когда стараешься вникнуть в эти многочисленные изложения геометрии Римана, поражает одна яркая антитеза— неумолимая строгость всего вывода и чудовищность, с обычной точки зрения, всех получаемых результатов. Чтобы понять философскую сущность пространства Римана, приходится разыскивать его зерно, его душу, его перво–принцип, а это–то и трудно уловить за бесконечными и чудовищными нагромождениями. Сами математики мало этому помогают. Тончайший и глубочайший вопрос о смысловом содержании пространства Римана они почти всегда подменяют вульгарным и матерым вопросом о его «реальности». Еще неизвестно как следует, в чем дело и что это за тайна — эллиптическо–сферическое пространство Римана, а уже решается вопрос, реально ли это пространство. И тут, как всегда, целый букет разнообразных вкусов и капризов. Одним хочется, чтобы оно было; другим хочется, чтобы его не было; третьи — и нашим, и вашим; и т. д. Мы отбрасываем весь этот «кабинет любомудрия» и попробуем вникнуть в самое смысловое содержание пространства Римана и неэвклидовых пространств вообще.

5. а) Для нашего исследования очень малую роль играют аналитические рассуждения. Как ни просто, ясно и прекрасно мероопределение Кэли — Клейна, оно нам почти ничего не дает для философского истолкования неэвклидовых пространств. Этот множитель К в определении расстояния, принимающий разное значение для пространств Эвклида, Лобачевского и Римана и связанный с т. н. кривизной пространства, уже предполагает некую интуицию, которую приходится заимствовать из каких–то других источников. Больше дает нам выяснение отношения указанных трех пространств к пространству проективному. Уже в § [63 ] мы видели, как разные типы геометрии получаются при помощи усложнения проективной геометрии. Виды геометрии, рассматриваемые у нас сейчас, также без особого труда выводимы из проективной геометрии. Но и этот метод все еще недостаточно интуитивен и все еще слишком сложен для того непосредственного ощущения, которое должно лежать в основе всякого философского заключения.

Остается один способ — это попробовать использовать обе основные неэвклидовы геометрии эвклидовски–ми методами. Нельзя ли в «нашем», «обычном» пространстве найти такие формы, которые бы в той или иной форме символизировали собою эти чудовищные (на первый взгляд) нагромождения неэвклидовых пространств? Такие попытки были предприняты крупнейшими математиками, Пуанкаре и Клейном, а в простейшей и наглядной форме это изложено у И. Вельштейна в его «Основаниях геометрии». И в этом — якорь нашего философского спасения. Не будь этой эвклидовской интерпретации неэвклидовых пространств, философская сущность последних была бы недостижима и теперь, через сто лет после открытия неэвклидовой геометрии, как она была неясна и тогда[75].

Для уловления этого изначального символа эллиптического пространства рассмотрим сначала понятие т. н. связки.

b) Формулируем сначала ряд несложных геометрических понятий.

Степенью точки относительно данной окружности называется произведение всей секущей, проходящей (рис. I)[76] через эту точку, на ее внешний отрезок. Это величина постоянная для данной окружности и точки и равняется квадрату касательной к данной окружности из этой точки. В случае, когда эта точка находится внутри окружности, степень равняется квадрату полухорды, перпендикулярной к прямой, соединяющей ее с центром окружности. В первом случае оба отрезка секущей всегда расположены по одну сторону точки (будем называть ее О), во втором случае — по разные стороны. Отсюда в первом случае степень считают положительной, во втором же—отрицательной. Если точка О лежит на окружности, то ясно, что степень ее равна нулю. Точки, обладающие одной и той же степенью относительно нескольких окружностей, расположенных в одной плоскости, лежат на одной прямой, перпендикулярной к их линии центров и называемой радикальной осью данных окружностей. В различных точках этой оси степень точки относительно данных окружностей, конечно, разная. Точка пересечения этих осей называется радикальным центром.

Окружности, расположенные в одной плоскости и имеющие общую радикальную ось, образуют пучок окружностей. Эти окружности по числу общих точек образуют три группы[77] пучков: 1) параболический пучок, в котором окружности имеют только одну общую точку (рис. 2), 2) эллиптический, когда (рис. 3) их две и 3) гиперболический, когда их ни одной (рис. 4). В первом случае радикальная ось {а) проходит/ через общую точку, т. е. точку касания всех окружностей, во втором — она внутри окружностей (А₁А₂) и в третьем — она вне их (а'). Легко доказывается из рис. 4, что линия центров эллиптического пучка есть радикальная ось гиперболического пучка, а радикальная ось эллиптического есть линия центров гиперболического и окружности обоих пучков пересекаются ортогонально.

Совокупность окружностей на плоскости, относительно которых какая–нибудь точка О имеет одну и ту же» степень, называется связкой окружностей. Связки тоже бывают трех типов с теми же названиями, что и у пучков, в зависимости от того, имеет ли общий радикальный центр положительную или отрицательную степень относительно окружностей связки или окружности, проходя через одну и ту же точку плоскости, определяют для нее и одну и ту же нулевую степень. Связку можно определить и иначе. Имея в виду, например, что в гиперболической связке значение степени есть (+р²) и что окружность с центром О и радиусом ρ ортогонально пересекает все окружности связки, можно сказать и так: связка окружностей есть такая совокупность окружностей, которые пересекают данную окружность ортогонально. Поскольку в эллиптической связке общий радикальный центр имеет степень (— р²) относительно всех окружностей связки, диаметральная окружность эллиптической связки относится к самой связке, в то время как в гиперболической она — вне ее. Точки пересечения всех окружностей связки могут быть расположены и на самой диаметральной окружности, как это видно на рис. 5[78].

Наконец, необходимо иметь в виду и пространственные отношения. Пучок окружностей, вращаясь вокруг линии центров, образует пучок сфер, т. е. совокупность сфер, имеющих общую радикальную плоскость. Если же окружности связки вращаются каждая вокруг своего центра, то получается связка сфер, совокупность сфер, имеющих общую радикальную ось. Совокупность же сфер, относительно которых некая точка О имеет одну и ту же степень, называется сетью сфер.

В случае связки окружностей каждая прямая, проходящая через точку О, пересекает каждую окружность связки в двух точках, в т. н. паре точек связки. Соответственно и в сферической сети — пара точек сети. Эти точки — взаимообразные, потому что они получаются одна из другой путем аналогичного преобразования.

с) Все эти установки дают нам в руки весьма тонкий инструмент для уловления философской сущности неэвклидовой геометрии. Попробуем представить себе, что в эллиптической связке пара точек в инверсии сети является одной точкой. Другими словами, представим себе, что точки Q_x и Q₂ (рис. 4) пересечения всех окружностей (и сфер) связки есть одна и та же точка. Представить это, может быть, и не так легко. Но вспомним, что мы говорили выше. Точка на данной ступени диалектического развития геометрии должна мыслиться не абстрактно, но выразительно: она вмещает в себя и свою антитезу, т. е. свой уход в бесконечное инобытие, свою «бесконечно удаленную» точку. Итак, точку мы берем вместе с ее диалектической антитезой.

Но что же тогда мы назовем прямой? Прямая предполагает по крайней мере две точки. Но, взглянувши на рис. 4 и помня сказанное выше о выразительности точки, мы сразу замечаем, что какая–то прямая должна образоваться, уже когда абстрактная точка удалилась в свое бесконечное инобытие, и что если она в этом последнем нашла не что иное, как саму же себя, то это возможно только благодаря замкнутости пути, проходимого ею для этого. Следовательно, прямая в нашей новой геометрии есть не что иное, как окружность. Уйти в инобытие, отрицая себя, и найти в инобытии себя же, отрицая свое отрицание и тем заново утверждая себя, — это значит двигаться по окружности. Да мы и раньше, еще в конструкции отвлеченных фигур (§ [55 ]), нашли, что выразительная линия есть определенным образом замкнутая линия. Итак, будем считать окружности нашей связки за прямые.

Теперь не потребует объяснения, что плоскостью в нашей новой геометрии нужно считать сферу.

Итак, вот у нас новое пространство. В нем точка — это то, что сразу охватывает всю бесконечность в смысле совмещения с данной точкой и той, которая от нее бесконечно удалена (хотя в буквальном смысле о бесконечности может тут идти речь только в отношении предельного случая, когда окружность выпрямляется в прямую; в остальных же случаях о бесконечности можно говорить только символически); прямая—это окружность, и плоскость—сфера, что, конечно, тоже является охватом бесконечности, но только в смысле последующих измерений (с указанным символическим пониманием бесконечности, поскольку Риманово пространство вообще может рассматриваться как конечный символ бесконечного). Все прямые и все плоскости в нашем новом пространстве проходят через эту точку, т. е. все они выходят из нее и в нее возвращаются. Но мы, кроме того, говорим о связке окружностей и сфер. А это значит, что прямые, выходя из этой точки и возвращаясь в нее, заполняют решительно всю плоскость, двигаясь сразу во все стороны, которые только допускает плоскость; и плоскости, выходя из этой точки и возвращаясь в нее, заполняют решительно все пространство, двигаясь во всех направлениях, которые только допускает пространство. Сферическая сеть есть именно символ того нового пространства, которое раньше мы называли пространством Римана; и анализировать этот символ — значит понимать и самое пространство Римана.

d) В самом деле, в этом пространстве имеет полную силу наша аксиома самотождественного различия, т. е. Гильбертовы аксиомы сочетания. Можно и нужно говорить, что через две точки тут всегда проходит прямая, и притом одна, потому что две «точки» здесь есть не что иное, как две пары точек, т. е. четыре точки, а окружность (в нашем случае — прямая) определяется уже только тремя точками. Через три точки тут всегда проходит плоскость, и притом только одна, потому что три точки дают нам целых шесть точек, которых даже слишком много для определения сферы. Однако и аксиомы подвижного покоя (Гильбертовы аксиомы порядка) также в известном смысле здесь соблюдаются (понятие «между» модифицируется на понятие «развитие двух пар точек»). Формально остаются у нас и фигуры, конструированные у нас при помощи аксиом определенности, непрерывности и конгруэнтности. Единственная новость этого пространства заключается в том, что тут нет параллельных прямых, что все прямые суть замкнутые кривые, что все они пересекают друг друга уже на конечном расстоянии.

И эта новая аксиома параллельности накладывает свою неизгладимую печать и на все предыдущие аксиомы, хотя формально, т. е. в той абстрактной, до–выразительной форме, как они были выведены раньше, они и остаются в полной силе.

Сферическая сеть является в полном смысле слова символом пространства Римана, выражающим его структуру в максимально четкой форме. Она содержит в себе все особенности символа вообще, и прежде всего отождествление идеального и реального. Уже самая обыкновенная проективная геометрия, вводящая в свое рассмотрение бесконечно удаленные элементы, но не отличающая их от конечных, снимает различие идеального и реального. Это остается и в геометрии Римана, которая есть, как, правда, и всякая другая геометрия, не больше чем специальный вид проективной геометрии. В идеальном бытие и инобытие абсолютно тождественны, как, правда, и различны. В реальном же это самотождественное различие должно быть пространственно положено. А это значит, что все прямые такого пространства замкнуты. Тайна эллиптического пространства заключается в выразительном вездеприсутствии идеального, в таком тождестве идеально–отвлеченной фигуры и ее пространственного инобытия, где уже не различимо ни идеальное, ни реальное. Вот почему тут нет параллельных, и вот почему кривизна такого пространства положительная. В этом пространстве, куда бы я ни двигался, я, описавши известную замкнутую линию, возвращаюсь опять к той же исходной точке. При этом я могу двигаться вперед или назад, вверх или вниз, результат один и тот же. Наконец, если я совсем не двигаюсь, это не значит, что меня нет в другом месте. Я в это же время нахожусь и в другом месте, и притом — во всяком месте, как равно, впрочем, и двигаюсь по всем местам, достигая одни и проходя другие. Тайна пространства Римана, повторяясь, есть тайна подвижного вездеприсутствия идеальных форм, это пространственный символ идеальных фигур или, лучше, пространство как символ.

е) Этот символ можно несколько видоизменить. Будем мыслить себе не связку окружностей, а просто связку прямых. На этом символе Клейн прекрасно иллюстрирует все свойства эллиптического пространства. Именно, пусть точкой у нас будет вся прямая связки. Тогда под новой прямой придется понимать плоскость связки и под новой плоскостью—всю связку. Но что будет в этих случаях отрезком? Если мы поместим плоскость, пересекающую нашу связку, то каждая прямая связки и точка этой плоскости будут связаны взаимно однозначным соответствием. Спрашивается: на основании чего можно будет судить о расстоянии двух точек такой плоскости? Конечно, на основании угла между соответствующими двумя прямыми связки. Следовательно, отрезок на эллиптической плоскости нужно понимать как некий угол и, в частности, равенство отрезков есть равенство углов, а полупрямая, т. е. прямая, неопределенно продолженная в одну сторону, есть не что иное, как прямой угол. Если же мы захотели представить себе угол на эллиптической плоскости, то, поскольку для этого необходимо пересечение двух прямых, а под прямой мы условились понимать плоскость связки, угол этот на плоскости есть, очевидно, двугранный угол. А треугольник — в таком случае — окажется трехгранным углом связки.

На основании такого толкования эллиптической планиметрии мы должны сказать, что все категории геометрии предыдущих аксиом тут понимаются в новом смысле и эта новизна везде обладает одним и тем же методом, методом выразительности. Выразительность же есть прежде всего встреча идеи в инобытии с самой собой. И вот: точка эллиптического пространства уходит в свое инобытие, но все это инобытие, весь путь, пройденный ею, есть точка же; прямая эллиптического пространства уходит в свое инобытие, создавая своим движением плоскость, но эта плоскость есть только та же прямая; отрезок, вращаясь около своей начальной точки, создает угол, но этот угол мы считаем отрезком эллиптической плоскости; угол на эвклидовской плоскости таким же точно путем превращается у нас в двугранный угол, но этот двугранный угол и есть угол эллиптической плоскости и т. д. Везде тут один и тот же метод — выражение идеальной фигуры при помощи инобытийного к ней пространства, если под выражением понимать не внешний безразличный привесок, но самостоятельную смысловую категорию.

Усвоивши себе этот выразительный символ эллиптического пространства, нетрудно уже дедуцировать и прочие особенности последнего, равно как и видеть эллиптически–выразительные модификации всех предыдущих аксиом. «Аксиомы сочетания», очевидно, пополняются указанием на то, что всякие вообще две прямые пересекаются, равно как и плоскости. В «аксиомах расположения» уже нельзя просто утверждать, что если А предшествует В, то В следует за А, так как на замкнутой кривой две точки еще не дают представления о направлении. Только четыре точки, или т. н. разделение двух пар точек, обеспечивают здесь категорию следования и «порядка». Две точки определяют тут не один отрезок, а два (ввиду той же замкнутости прямых). Но так как две прямые продолжают тут пересекаться в одной точке, то получается, что прямая не делит эллиптической плоскости на две раздельные части, а плоскость не делит пространства на две равные части. Две пересекающиеся прямые образуют тут не четыре угла, как у Эвклида, а только два, и два смежных угла, равно как и полный угол, одинаково равняются двум прямым углам. Легко доказывается и существование в эллиптической плоскости треугольника, у которого все углы прямые. Так как угол равен тут отрезку, то длина полупрямойа длина всей прямой = π. Можно сказать, что прямая есть частный случай окружности, когда ее радиус равен Сумма углов треугольника всегда меньше π. Этот факт, между прочим, если его истолковать методом связки, есть не что иное, как то, что сумма трех двугранных углов треугольника больше двух прямых двугранных углов. Это обстоятельство так же ясно, как и то, что прохождение через одну точку всех перпендикуляров к одной и той же прямой соответствует прохождению через некоторую прямую всех плоскостей связки, перпендикулярных к одной и той же плоскости. Площадь всей плоскости = 2π и т. д. и т. д.

Если мы обратим внимание на то, что в эвклидовской сферической тригонометрии сферический треугольник есть не что иное, как трехгранный угол с вершиной в центре шара и сторонами, равными дугам больших кругов, то можно будет сказать, что прямолинейная эллиптическая тригонометрия вполне тождественна с эвклидовской сферической тригонометрией. Если наши отвлеченно–идеальные фигуры будут воплощены на поверхности шара, но в то же время будут квалифицироваться не как явления на поверхности, а как явления на плоскости, то мы и получим эллиптическую геометрию. Этим фигурам будет свойственна любая выразительная кривизна, зависящая не от них самих, но от непосредственного отождествления их с чистым и пустым, абсолютно алогичным инобытием–пространством.

Наконец, из основных геометрических свойств анализируемой плоскости я бы указал еще на одно, может быть, самое замечательное, что здесь имеется. Именно, эллиптическая плоскость односторонней. И чтобы это понять, тут тоже необходимо полететь «вверх пятами», но только на этот раз уже в буквальном смысле. Можно ли себе представить, что плоскость не имеет двух сторон, например верхней и нижней? Казалось бы, это есть уже какое–то умопомешательство. А тем не менее это надо себе представить, так как настоящая математика вообще есть ниспровержение «здравого рассудка», хотя людская пошлость сумела и здесь поставить все вверх дном и понять математику именно как апофеоз здравого рассудка. Но что же это такое, односторонняя плоскость, или поверхность? Укажем сначала ее философское место и потом приведем и геометрический образ.

Мы знаем: всякая прямая имеет только одну бесконечно удаленную точку, что указывает на тождество положительного и отрицательного направления в смысле достижения этой точки. Мы знаем также, что в эвклидов–ском пространстве две параллельные встречаются в бесконечно удаленной точке, как бы изгибаясь одна другой навстречу. Но представим себе некую фигуру между этими двумя параллельными. Если верхняя параллельная склоняется книзу[79], а нижняя кверху, то, очевидно, фигура, заключенная между параллельными, перевертывается, прохождение через бесконечно удаленную область сопровождается перевертыванием. То, что в конечной области есть верх, то в бесконечности — низ, а что низ, то — верх. Поверхность, проходящая через бесконечно удаленную область, выворачивается наизнанку, гак что уже нельзя различить, где лицо и где изнанка. Таким образом, односторонность поверхности есть в философском смысле не больше как уход в инобытие, где уходящее отрицает самого себя, но где оно одновременно и находит себя, отождествляется с собою. Одна и та же философская идея заключается и в том, что прямая имеет только одну бесконечно удаленную точку, т. е. что направления тождественны, и в том, что фигура, проходящая через бесконечно удаленную точку, перевертывается, и в том, что эллиптическая плоскость одностороння. Ведь последняя есть символ бесконечности, т. е. она воплощает бесконечные отношения в конечной и, следовательно, выразительной форме. Поэтому то, что у Эвклида осуществляется только при условии предельного процесса, в геометрии Римана происходит уже в конечной области.

Яснее всего односторонняя поверхность представима на поверхности Мёбиуса [рис. 6 ][80]. Если в одной точке этой поверхности мы поместим и заведем часы, то, когда они пройдут всю эту поверхность и вернутся к исходной точке, мы заметим, что их стрелка движется теперь уже в обратную сторону. Если по средней линии поверхности Мёбиуса пройдет река, то мы, двигаясь вдоль одного берега, рано или поздно очутимся на другом берегу, хотя и без всякого переплывания с одного берега на другой по воде. Эти чудеса, творящиеся в эллиптическом пространстве, математически объяснимы слишком элементарно, чтобы можно было удивляться (идея односторонней поверхности), философски же это есть только логически последовательно проведенная идея бесконечности.

Однородность поверхности вполне ясна и на связке прямых. Если эти прямые образуют конус и его ось мы повернем на 180°, то образующая, которая раньше описывала коническую поверхность в одном направлении, теперь будет описывать ее в обратном, что и есть признак односторонности.

6. В настоящем контексте мы не будем подробно рассматривать виды выразительного пространства и ограничимся лишь краткими замечаниями.

a) Во–первых, пространство Римана может быть только эллиптическим. Когда мыслится, что всякая прямая пересекается с другой прямой не в одной, а в двух точках, мы получаем не эллиптическую Риманову, но сферическую Риманову геометрию. Используя нашу сеть сфер, мы теперь должны пару точек сети принимать не за одну точку, как в эллиптическом пространстве, но за две взаимно сопряженные точки. То же самое мы получим, если в качестве пра–символа сферического пространства возьмем связку лучей (вместо связки полных прямых). Тогда, по аналогии с эллиптическим пространством, точкой будет луч связки, прямой — плоскость связки, плоскостью— вся связка, отрезком — угол между двумя лучами, углом на плоскости — трехгранный угол и т. д. Если же мы из центра связки лучей опишем шаровую поверхность радиусом = 1 и установим взаимно однозначное соответствие между лучами связки и точками поверхности, то полученная геометрия на поверхности шара будет полным пра–символом сферической планиметрии — стоит только под точкой понимать точку обязательно шаровой поверхности, под взаимно сопряженными точками—диаметрально противоположные, под прямой — окружность большого круга, под плоскостью — поверхность шара, под отрезком—дугу большого круга, под углом — угол между окружностями больших кругов и иод треугольником — сферический треугольник. При всем сходстве с эллиптической системой тут и большие различия— вроде, например, того, что сферическая плоскость—двухсторонняя (она тут как бы дважды выворачивается и потому остается в первоначальном виде) или что полный угол составляет тут не два, а четыре прямых и т. д.

Если разница между обеими геометриями Римана есть разница геометрий связки прямых и связки лучей, то для прямой в одной связке мы находим два луча в другой и, следовательно, фигура в одном пространстве соответствует двум симметричным фигурам в другом пространстве, что каждой точке и двум прямым эллиптической плоскости соответствуют две различные, взаимно противоположные точки и две прямые с двумя общими точками сферической плоскости или что, вообще говоря, эллиптическая плоскость двойная[81].

b) Обеим Римановым геометриям противостоит геометрия Лобачевского, «гиперболическая». Ее пра–сим–вол — указанная выше гиперболическая связка окружностей. Тут мы находим бесчисленное количество окружностей и сфер, которые не пересекаются с данной окружностью или сферой. Можно сказать, что непересекающиеся окружности пересекаются здесь в мнимых точках, а две непересекающиеся сферы имеют общую мнимую окружность, которую всякая прямая, проходящая через точку О в этой плоскости, пересекает в двух взаимно обратных мнимых точках. Вместо того чтобы всем прямым пересекаться уже на конечном расстоянии, мы находим тут целых три категории взаимоотношения прямых. Две прямые определяют здесь или пучок сходящихся прямых (это есть и у Римана, и у Эвклида), или пучок параллельных прямых (как у Эвклида), или пучок расходящихся прямых. Последние и есть оригинальность плоскости Лобачевского. Этот пучок есть совокупность прямых, перпендикулярных к общему перпендикуляру двух данных прямых. Расстояние между двумя параллелями беспредельно растет в одном направлении и беспредельно убывает в противоположном. Поэтому происходит непрерывный переход от пересекающихся, сходящихся прямых через параллели к расходящимся. Если у Римана вовсе нет вещественных бесконечно удаленных точек <…> так что они пересекают эту область, но все еще не пересекаются в ней, а пересекаются где–то за ней, мнимо.

Пуанкаре дал замечательное по наглядности и осязательности истолкование пространства Лобачевского в эв–клидовских терминах. Оно сводится тоже к пра–символу гиперболической связки, но формулировано по–своему, ярче и определеннее. Пусть мы имеем некую прямую[82], все точки которой (V¹ N¹ U…) являются бесконечно удаленными точками. Пусть мы будем считать точкой обязательно точку верхней полуплоскости, а прямой — полуокружность с центром на данной прямой или полупрямую, перпендикулярную к ней (она, как ясно, будет предельным случаем этих полуокружностей). Новой плоскостью мы станем считать только верхнюю полуплоскость, и вообще нижней полуплоскости для нас не существует. Тогда под параллельными прямыми придется считать полуокружности и полупрямые, которые имеют общий конец. На рис. [7 ] полуокружности U V и NN¹ не имеющие общих точек, суть непересекающиеся. Полуокружности UPU' и UV с общей точкой на данной линии параллельны. Пересекающимися прямыми здесь окажутся, например, V¹PV и UPU¹ с точкой пересечения [.Ρ] выше данной линии.

Вдумаемся в эту интерпретацию Пуанкаре. Мы видим, что пространство устроено здесь также по закону некоторой кривизны, так как мы принуждены толковать прямые в виде полуокружностей. Фиксируя себя в конечной области, мы начинаем замечать, что оба конца прямой, на которой мы поместились, уходят в бесконечность, но что это не та единая бесконечно удаленная точка, до которой доходят оба конца прямой в Эвклидовом пространстве. Это разные точки. Если эвклидов–ская полупрямая, уходя в бесконечность, получает только одну бесконечно удаленную точку, как бы только касается, дотрагивается до бесконечности, в гиперболическом пространстве перед нами открывается в этой бесконечности еще новая бесконечность, т. е. мы тут не просто дотрагиваемся до нее, но входим в ее глубину и, таким образом, охватываем бесконечность самой бесконечности. Сама бесконечность тут положена как таковая, ставши из мнимой (в эллиптическом пространстве) фактической, вещественной. На нашем языке это значит, что параболическое становление перешло тут в гиперболически ставшее. В конечной же области это сказывается бесконечно расходящимися прямыми, тем, что к данной прямой через данную точку возможно бесконечное количество параллельных. Если в пространстве Римана каждая точка, уходя в бесконечность становления, тут же и возвращается к себе, так что мы уже в конечной области созерцали этот диалектический круговорот, то в гиперболическом пространстве точка не только не возвращается к себе, но уходит в реальную, вещественную бесконечность, и не только это, но стремится в этой бесконечности утвердиться и осесть. Тогда пересечение двух прямых, прошедших через бесконечность, может быть только мнимым, т. е. оно попросту отсутствует вещественно и только идеально представляется.

Но пожалуй, интерпретация Кэли — Клейна еще более простая [(рис. 8)][83]. Представим себе шар. Точкой пусть будет точка только внутри этого шара, прямой—его хорда и плоскостью—любое круговое сечение шара. Все точки на поверхности шара исключаются. Тогда пересекающимися прямыми окажутся только те, которые имеют общую точку внутри шара. Если иметь в виду прямую А В и точку М, то пересекаться с А В будут все прямые, исходящие из Μ внутри угла AM В. Все же прямые за пределами этого угла не будут пересекаться с А В (вещественно, а будут пересекаться мнимо за пределами круга). Прямые МА и MB будут отделять все пересекающиеся прямые от не пересекающихся с прямой А В, т. 'е. они будут параллельными в смысле Лобачевского. Мы видим, что непересекающихся, расходящихся прямых в этих условиях может быть сколько угодно, что бесконечно удаленные точки никогда не могут быть достигнуты (так как они исключаются с самого начала), что прямые Μ А и MB образуют «равные» углы с «перпендикуляром» из Μ и А В и т. д. Тут выполняются все аксиомы геометрии, за исключением аксиомы об единственной параллельной.

с) В данном месте нет надобности давать обоснование эвклидовой геометрии; тем более нет надобности как–нибудь иллюстрировать относящиеся сюда области.

Заметим только ради единства изложения, что пра–сим–волом Эвклидового пространства также может быть связка окружностей и сфер, причем именно параболического типа, т. е. когда все окружности и сферы имеют одну общую точку (см. выше, п. 5b). Пусть прямыми и плоскостями будут окружности и сферы сети, а точка останется в обычном виде. Другими словами, всякая окружность окажется символом бесконечно удаленной прямой, а параллельными прямыми окажутся все окружности, пересекающиеся в данной точке. Легко увидеть, что все до–выразительные аксиомы и Эвклидова аксиома параллельности вполне найдут себе место в так понимаемом пространстве.

d) Наконец, тот же Пуанкаре еще в одной старой работе[84] дал простейшее и яснейшее представление об основных «квадратичных» геометриях, под которыми он понимает геометрии, рассматриваемые с точки зрения основной поверхности второго порядка. Если этой основной поверхностью второго порядка является обыкновенный шар, то эта сферическая геометрия и есть геометрия Римана при условии понимания больших кругов в качестве прямых линий. Геометрию Римана мы получаем и на эллипсоиде. При двуполом гиперболоиде в качестве основной поверхности мы имеем геометрию Лобачевского, а при эллиптическом параболоиде — геометрию Эвклида. Можно поставить вопрос и о геометрии на однополом параболоиде, если отказаться от предрассудков, которые часто мешают геометрам серьезно отнестись к тем или другим пространствам. Пуанкаре говорит, что для геометрии однополого гиперболоида нужно признать, что: 1) расстояние двух точек, лежащих на одной и той же прямой на производящей основной поверхности, равняется нулю; что 2) никаким движением нельзя превратить эллиптические диаметральные сечения в гиперболические (то и другое принимается за прямые); что 3) невозможно совместить прямую с самой собой путем вращения около одной из ее точек (как у Эвклида совмещается сама собой прямая при вращении на 180°).

Словом, сколько существует поверхностей второго порядка, столько можно себе представить и квадратичных геометрий.

7. В заключение, возвращаясь к трем видам выразительной аксиоматики в геометрии, формулированным в п. 3, дадим общую характеристику выразительного пространства.

Выразительное пространство есть такое внешнее пространство, по которому видно внутреннее. Внутренним, или идеальным, пространством является чистая фигурность как таковая, в той форме, как она выведена на основании аксиом едино–раздельности, непрерывности и конгруэнции. Внешним, реальным, инобытийным пространством является абсолютно–внефигурное становление, противостоящее всякой фигуре. Когда рождается выразительное пространство, то тем самым прекращается раздельное бытие обоих абстрактных пространств и возникает их абсолютное тождество как символ. Этот символ есть перво–принцип выразительного пространства.

Пространство как символ, как символическое пространство сначала понимаем непосредственно, как простую положенность, как тезис. Это значит, что идеальная фигурность просто и целиком воплощена на темном поле инобытийно–бесконечного пространства. Но воплотиться идее — значит целиком присутствовать ей везде, мгновенно охватывать всю длительность пространства. Другими словами, идея, уходя вовне, там же вовне и встречает себя, вечно пребывая, таким образом, в нерушимом круговороте себя самой. Это опознание себя в инобытии, эта встреча с самой собою, когда всякая точка сразу двигается от себя самой во всех возможных направлениях и тем самым отовсюду приближается к себе самой, — вот это пространство как символ, как тезис символа, как принцип символа и есть сферическое пространство Римана. Оно бесконечно, но его бесконечность не расплывается до безразличия, а собрана в себе; она есть система выразительной кривизны, обозримая уже на конечных масштабах. Да бесконечность и не нуждается в отсутствии границ. Истинно бесконечное— оформленно, определенно и в этом смысле конечно. Или, выражаясь бессмертными словами Римана в его общеизвестной вступительной лекции о гипотезах в геометрии, оно — безгранично, но не бесконечно.

Но вот, символ переходит в свое инобытие; он отрицает себя. Пространство, в котором каждая точка возвращалась к себе и которое было сконструировано так, что был обеспечен круговорот бытия геометрической идеи в себе и невозможно было этому бытию иметь другие пути для перемещения фигур, — это пространство вдруг бросается в бездну бесконечной тьмы, забывает себя, отчуждается [от] себя, перестает быть собою. Раньше оно было вечным возвратом [к] себе, теперь же оно — антитезис этого возврата, т. е. теперь оно — уход от себя без возврата к себе, не круговорот, а истечение в неведомую мглу. Положительная кривизна сферического пространства распрямляется и превращается в прямизну. Пространство уже не обеспечивает предмет [ы] такого движения, чтобы оно приводило их к самим же себе. Наоборот, пространство сконструировано здесь так, что если вещь уходит от некоторой точки, то она уходит всерьез и уже никогда не вернется к исходному месту. Таково пространство Эвклида.

Но всякая идея, даже уходя в абсолютное инобытие, даже забывая себя, все же остается самой собой. Если бы раз навсегда идея перестала быть самой собой, то она никогда не смогла бы воскреснуть и вновь. Смысл не может перестать быть смыслом, хотя его и можно забыть. Пребывая в инобытии, она есть она, ибо если ее уже нет, го что же тогда и пребывает в инобытии? Если нет того, что в инобытии, то нет и самого инобытия. Однако где же в Эвклидовом пространстве этот возврат смысла к себе, этот идеальный круговорот точки в себе, из отрицания которого родилось и само Эвклидово пространство? Мы утверждаем, что в инобытии идея теряет себя, забывает себя, становится чем–то не в себе и не для себя, но для иного. Что–то иное фиксирует ее, как ее, а она себя не фиксирует, как себя, она себя теряет, как себя. И действительно, точка, уходя в бесконечную точку инобытия, сама вовсе не значит того, что она уходит именно в бесконечность. Сколько бы точка ни двигалась в том или ином направлении, неизвестно, где же именно наступает здесь бесконечность. Как бы ни удлинялась данная прямая в Эвклидовом пространстве и как бы фактически она ни уходила в бесконечность, никакая точка ее никогда не обнаружит того, что она перестала быть конечной точкой oтрезка и превратилась в точку бесконечно удаленную. Вот это и значит, что геометрическая идея бросилась здесь в бесконечность стремглав, вслепую, что она вовсе не знает того, где она находится, что она не может отличить конечного от бесконечного.

Но об этом знает кто–то иной. Именно, оказывается, что на прямой Эвклида существует только одна бесконечно удаленная точка, что на плоскости Эвклида существует только одна бесконечно удаленная прямая, что трехмерное пространство Эвклида достигает только одной бесконечно удаленной плоскости. Что это значит? А это значит, что безразлично, куда двигаться точке по данной прямой, направо или налево. Она все равно придет в одну и ту же бесконечно удаленную точку. Но знает ли об этом сама точка, т. е. несет ли она с собою тог смысл, по которому можно было бы судить, находится ли она в конечной области или в бесконечности? Конечно, нет. Точка знает, что в одном направлении путь положительный, а в другом — отрицательный; для нее существует безусловное различие направлений движения. А того, что она придет в одну и ту же точку независимо от направления движения, — этого она не знает; и это с трудом усваивают даже те, кто учился геометрии. Точно так же она, как сказано, не знает различия конечного и бесконечного, ибо она вознамерилась двигаться по конечной прямой или во всяком случае конечными интервалами, а ни из каких конечных отрезков невозможно никогда получить бесконечную прямую. Итак, в Эвклидовом пространстве точка тоже возвращается к себе из бесконечности, как и в сферическом пространстве Римана, но она не знает ни того, что она возвращается к себе, ни того, что она возвращается к себе из бесконечности (подобно тому как в топологии линия не знает, прямая она или кривая). Идеальная фигурность (точка, прямая и пр.), или, короче, идея, перешла тут в инобытие, как и у Римана, но она, кроме того, забыла себя, погрузилась в инобытие вслепую, без всякой надежды на возвращение к себе. И вот почему к данной прямой через данную точку возможна только одна параллельная; и вот почему две параллельных встречаются одна с другою в одной–единственной вещественной бесконечно удаленной точке. Об этой встрече они ничего не знают, ибо практически они никогда ее достигнуть не могут. Так с полной ясностью рисуется* перед нашими глазами диалекика–параболического пространства: оно есть прямая, непосредственная, в самом буквальном смысле диалектическая антитеза сферического пространства Римана.

Но самозабвение в инобытии не абсолютно. Движение и становление не всегда безразлично и слепо. Очень долго длится становление, и — не получается никакого нового результата. Но наступает момент, одна капля дальнейшего становления вдруг переносит всю систему на новые рельсы, и начинается становление уже совсем новое, в неожиданном и небывалом смысле. Так сферическое пространство, распрямляя все больше и больше свою кривизну, вдруг превращается в пространство параболическое. И так это последнее, продолжая этот процесс все дальше и дальше, вдруг совершает скачок и становится пространством Лобачевского, гиперболическим.

Что же это за процесс и что это за скачок? Когда идеальная фигурность ушла от себя и забыла себя, то что может произойти дальше? Дальше может быть только продолжение этого ухода от себя, ибо диалектический процесс всегда идет только вперед. Но уйти еще дальше от себя—это значит не просто вечно двигаться дальше и дальше, но закрепить самый факт этого вечного движения, осесть и окопаться в инобытии не в смысле простого становления, но в смысле субстанции. А это возможно только тогда, когда в наших руках находится вся бесконечность, когда она пройдена вся целиком, а не просто точка движется по ней в неопределенную даль. Конечно, слепота остается и здесь, потому что и здесь нет никакой встречи точки с [нею же] самой после ее возвращения из бесконечности и встречи обозримой на конечном расстоянии (ибо это только и есть символ как тождество конечного и бесконечного). Но раз пройдена вся бесконечность, то, значит, пройдено и все инобытие; а если пройдено все инобытие, значит, прекращено забвение смысла, значит, покинутый смысл вновь возвращается и вновь начинает мыслиться. Правда, одной мысленности вечной встречи с самим собою мало. Но ничего иного гиперболическое пространство обеспечить не может. Оно гарантирует мнимую встречу точки, уходящей в бесконечность, с самой собой, в то время как в параболическом пространстве хотя эта встреча и была вещественной, но она была вне смысла встречающихся элементов, она была для иного., о ней не заявляли самые встречающиеся элементы.

В гиперболическом же пространстве, как это мы яснейшим образогм видели на толкованиях Пуанкаре и Кэли — Клейна, происходит встреча прямых за пределами бесконечно удаленной области вполне ощутимо и сознательно, хотя и мнимо. Или, выражаясь точнее, она здесь начинает мыслиться как необходимость. Эта встреча есть уже не для иного, не вне себя, но для себя; это встреча, так сказать, в сознании; точка тут начинает вспоминать, что она может и должна сойтись с собою, обойдя всю бесконечность.

Только обозревая всю бесконечность инобытия, можно начинать вспоминать о бытии. Но обозревание обеспечивает только воспоминание, только мнимость. И вот почему в гиперболическом пространстве параллельных прямых к данной прямой через данную точку вне этой последней — бесчисленное количество; вот почему здесь сколько угодно расходящихся прямых, которые нигде и никогда не встречаются вещественно, несмотря на обход всей бесконечности целиком. Но даже по этому же самому данные прямые встречаются мнимо за пределами бесконечно удаленной области. Эти расходящиеся прямые искривляют здесь пространство в обратную сторону по сравнению с пространством сферическим, так как последнее в своем распрямлении перешло стадию параболической прямизны и начало загибаться в другую сторону. Эта кривизна обеспечивает для точки ее встречу с собою в мнимом пространстве, а вещественно она так же лишена этой встречи, как и в параболическом пространстве.

В смысле диалектики выразительного пространства гиперболическое пространство обладает всеми чертами ставшего, если под становлением, или инобытием, понимать параболическое, а под бытием—сферическое. Оно есть факт, наличное бытие бесконечности. Факт не есть сам смысл, но он несет на себе смысл; и этот смысл — мнимый. Сам по себе смысл не есть ни что–нибудь вещественное, ни что–нибудь мнимое, так как эти моменты возникают лишь при переходе чистого смысла в его инобытие. Однако если смысл перешел в инобытие, оброс телом и стал фактом, то прежний чистый смысл оказался мнимым смыслом. Пока не было факта, не было и мнимости. Но раз возник факт, возникла и мнимость. Однако тут залегает диалектическое противоречие. Факт есть субстанция, действительность, вещественность, а его смысл есть только мнимость. Факт сам по себе слеп, а зрячий смысл — невещественный и мнимый. Это противоречие должно быть снято, а оно снимается, как только мы перестанем отличать вообще обе эти сферы. Оно снимается, как мы знаем, в выражении. Следовательно, в этой общей области выразительного пространства мы должны конструировать пространство, которое было бы по преимуществу выразительным, было бы выражением выражения пространства.

Но снять различие слепого факта и мнимого смысла в нашем случае — значит лишить гиперболическое пространство его слепой бесконечности и превратить его мнимые коэффициенты в вещественные. Но тут мы сталкиваемся с эллиптическим пространством Римана. Тут воспоминание стало реальностью; и точка, забывшая себя в бесконечном инобытии, вновь обрела себя и встретилась с собою, но уже не мнимо, а действительно. В эллиптическом пространстве нет того абсолютного <…>, которое мы находили в пространстве сферическом. Тут остается явный след его возврата к себе из инобытия в том, что пространство это двойное, что оно содержит в себе симметричное удвоение в сравнении с пространством сферическим. Но зато эллиптическая плоскость односторонняя т. е. она вообще не ориентирована в пространстве; она не нуждается ни в каком инобытии для своего существования, так как всякое возможное инобытие она уже вместила в себя, пройдя всю его бесконечность насквозь.

Теперь мы можем непосредственно связать геометрию выразительного пространства с теми видами геометрии, которые мы получили раньше в до–выразительной области (§ [55]). Там, после того как были выведены самые категории фигур (§ [63]), мы имели разные типы фигурного пространства в связи с модификациями становления. Самой общей геометрией была топология, потом шли проективная, аффинная и общеметрическая. Теперь мы можем расшифровать эту последнюю. Мы помним, что в диалектической эволюции типов пространства играли основную роль бесконечно удаленные и мнимые элементы. Чтобы от проективного пространства перейти к аффинному, необходимо ввести бесконечно удаленную плоскость (или поверхность), а для перехода от аффинного к метрическому надо было ввести мнимый сферический круг. Поскольку выразительная сфера есть не что иное, как модификация до–выразительной отвлеченной идеальности, постольку теперь для дальнейшего выведения типов пространства мы должны только модифицировать употребление введенного (как говорят) абсолюта (т. е. бесконечно удаленных и мнимых элементов).

А именно, когда абсолют мыслится мнимым, мы получаем, очевидно, пространство Римана: если последнее есть непосредственно обозримый символ как выразительное тождество идеального и реального, то все остальное, т. е. всякая возможная бесконечность, для него просто не существует, так как оно уже включено. Это значит, что абсолютная поверхность здесь мнимая. У Лобачевского, наоборот, этот абсолют вещественный. Абсолютная поверхность здесь—действительная нелинейная поверхность второго порядка, причем для метрики имеют значение только ее внутренние точки. Так оно и должно быть по предыдущему. Раз идея ушла здесь в бесконечность и в ней забыла себя, го вещественной будет теперь сама эта бесконечность, а мнимой станет, наоборот, прежняя конечная встреча. Наконец, у Эвклида мы тоже имеем вещественный абсолют, но он не может тут оставаться в том полном и развитом виде, как у Лобачевского. Именно, абсолютная поверхность вырождается здесь в мнимое коническое сечение, плоскость которого играет роль т. н. конечно–удаленной плоскости; абсолютное же коническое сечение вырождается в мнимую пару точек, причем имеются в виду только те точки, которые не находятся на вещественной прямой, соединяющей абсолютную пару точек, сама же эта прямая и есть то, что обычно называется бесконечно удаленной прямой. Такое вырождение абсолюта вполне понятно: ведь эвклидов–ское пространство есть бесконечность только потенциальная; оно не положено здесь как самостоятельно–субстанциальная бесконечность; и в этом смысле оно есть мнимость, хотя фактически бесконечность здесь все же налична (раз возможно бесконечное деление). Потому и говорится о выродившемся абсолюте.

Следовательно, три основные метрические геометрии— Римана, Лобачевского и Эвклида—есть не больше как та или иная модификация проективной геометрии, вполне закономерно возникающая из определенного функционирования геометрического абсолюта.

На точках пространства, может быть, яснее, чем на других математических образах, демонстрируется диалектическая сущность числового выражения вообще. Кривые второго порядка, явившись пра–символом соответствующей структуры пространства, суть наилучшие образы выразительной силы числа вообще. Сферически мы пребываем в ровном и блаженном самодовлении, не нуждаясь ни в каком инобытии, в спокойном обладании бесконечность [ю ]; параболически мы устремляемся в неведомую мглу бесконечности и теряем память о себе и, значит, о всем ином; гиперболически мы строим великую крепость из материалов самой инобытийной бесконечности, что и приводит нас к воспоминанию об утерянной власти над бесконечностью, хотя оно тут пока еще бессильно, а власть эта только еще зрится здесь, но не осуществляется; и, наконец, эллиптически мы вновь завоевываем потерянную бесконечность, и она отныне равномерно плещет перед нами в твердых и обозримо–конечных берегах.

§ 72. Аксиома выражения в теории множеств.

1. После дедукции выразительной измеримости в геометрии нет нужды доказывать, что выразительная измеримость должна быть присуща и множеству. Метризация множеств, однако, во многих отношениях гораздо гибче и тоньше, так как пространственный материал геометрии все еще достаточно тяжел и неповоротлив. Мы не станем здесь излагать подробное исследование по метризации множеств, хотя это является весьма тонкой и увлекательной темой. Я здесь ограничусь только ссылкой на литературу[85]. Дальнейшее же будет посвящено, так сказать, эвклидовским построениям в области теории множеств.

2. а) Выше (§ 70) было указано, что для характеристики сферы числового выражения имеет завершающее значение выразительная проработка всей числовой сферы как таковой, минуя всякие различия внутри нее самой. Там же было указано, что такая точка зрения удобнее всего может быть проведена сразу в отношении арифметического числа и множества. К этому и необходимо перейти сейчас. Разумеется, и для прочих математических наук это должно иметь основоположное значение. В отношении геометрии, например, мы уже столкнулись с различением конечных и бесконечных элементов (§ [71 ]); это различение было уже использовано нами, хотя самые эти категории только теперь должны стать непосредственным предметом философской рефлексии. Типы бесконечности, рассмотренные в § 71, также суть внутренно анализируемые структуры, но и там не ставился вопрос о самой категории конечного и бесконечного. Наконец, в предыдущем мы, конечно, и вообще много раз оперировали этими понятиями без всякого их анализа, поскольку они еще не были полагаемы как таковые. Вся сфера становления, например, связана с проблемой конечного и бесконечного. Но и она еще пока не требовала непосредственного анализа этой проблемы. Вот к этой последней и надлежит нам теперь перейти.

b) Итак, нами получено число во всем своем логическом завершении. Его едино–раздельная упорядоченная определенность дала нам возможность оперировать с ним как с абсолютно усточивой структурой, а его становление привело нас к разнообразным числовым операциям, точные законы которых также получили для нас необходимое диалектическое обоснование. Теперь мы забываем все внутренние различия числа, обозначая их одним и по возможности наиболее широким термином. Это для нас просто определенность числа как такового, или, иначе, выразительно–числовая определенность. Спросим себя: куда же пойдет число дальше? Ведь дальше уже начинается вне–числовая сфера, т. е. сфера даже вообще не количества, а, например, качества или какой–нибудь другой категории, смотря по выбору той или иной диалектической системы. Но мы не можем переходить в эту вне–числовую сферу, не покидая исследуемой нами математической области вообще. Как же в таком случае мы могли бы в целях еще большей конкретизации понятия числа и множества привлечь и это вне–числовое бытие?

c) Способ такого привлечения нам хорошо известен. Это способ выразительных форм. Выражение как раз дает возможность смотреть на вещь извне и таким образом учитывать ее внешний антураж, но в то же время оно отнесено только к самой же вещи и ни к чему другому. Итак, на числе и множестве должно почить вне–числовое качество. Но какое же именно это качество? Поскольку число есть внутренне равнодушная сама к себе определенность, исключающая всякое вне–12 А. Ф. Лосев.

числовое качество, постольку необходимо думать, что никакая специфическая качественность здесь неприменима. Но тогда это значит, что к числу применима качественность вообще, качество как отвлеченная категория, другими словами, потенция качеств, принципиальная возможность получить то или иное вне–числовое существование. Иначе говоря, число, или множество, заново осуществляется, но осуществляется во вне–числовой среде. А это и оказывается источником ряда дальнейших весьма важных и даже основоположных математических категорий.

3. а) Рассмотрим способы этого осуществления, или полагания, числа во вне–числовой среде. До сих пор мы находили в числе только специфическую определенность, которую мы выше назвали выразительно–числовой определенностью. Что теперь будет с нею делаться, если мы ее заново станем полагать, но полагать уже во вне–числовой среде, так как всякая иная среда уже нами использована для конструирования самого числа?

Полагаем числовую определенность в чистом виде. Мы ничего к ней не прибавляем и ничего от нее не отнимаем. Мы просто полагаем ее как таковую во вне–числовом инобытии и—смотрим, что из этого получается. Получается то, что называется конечным числом и конечным множеством. В самом деле, что нужно для наличия конечного числа? Если оно конечно, оно имеет конец, т. е. свою определенную границу. А если оно имеет границу, оно, во–первых, твердо сопротивляется всякому уходу за эту границу, так что всякий уход за эту границу есть уже нарушение самого принципа конечности. А во–вторых, наличие границы неуклонно ведет к возможности дробления внутри того, что обладает этой границей, ибо ограничить — это диалектически и значит превратить в дробимое. Другими словами, конечность есть не что иное, как вне–числовая определенность, но только определенность, взятая в чистом виде, т. е. в своем бытии, в своем принципе. Это есть просто едино–раздельность, но не та идеальная, при помощи которой впервые только еще производилось отличие одной единицы от другой в пределах данного числа, но та едино–раздельность, которая перешла во вне–числовую данность, где она и осуществилась как таковая, т. е. осуществилась в своем принципе, так что число «три» или «четыре» отныне для нас оказывается не просто результатом различения и отождествления в определенном порядке следуемых единиц, т. е. не просто результатом счета, но результатом фиксирования данного числа извне, результатом того, что это число твердо положено вне себя и что ему дальше некуда двигаться (так как все дальнейшее есть уже вообще не число, но — вне–числовая область). Все числа, обладающие таким свойством, являются уже не просто едино–раздельными, но и конечными.

b) Математики много рассуждают о конечных величинах. Некоторые даже прикидываются, что они совершенно не знают, что такое бесконечность, и утверждают, что им известны только конечные величины. Однако еще, кажется, ни один математик не дал определения того, что же такое конечность по своему существу. Более или менее определенное понятие конечного может быть дано только вместе с категориями бесконечного, и к этому мы перейдем сейчас же. Но здесь пока необходимо отметить, что единственная область, где можно искать определение конечности, — это область вне–числового и, даже шире, вне–смыслового бытия. О чистом смысле нельзя сказать, конечен ли on или бесконечен. И о числах, взятых самих по себе, совершенно нельзя сказать, конечны ли они или бесконечны. Возьмем число «два». Профану кажется, что это есть конечное число. Оно, конечно, может быть конечным числом и в качестве такового обычно и принимается. Но тут у математиков немного слабеет память, и они забывают свое же собственное утверждение, что если «два» рассматривать как предел некой переменной величины (начиная, например, хотя бы с той же единицы), то эта переменная может приближаться к своему пределу как угодно близко, никогда не сливаясь с ним целиком. Другими словами, от единицы до двойки залегает та же самая непроходимая бездна, что и в тех предметах, которые обозначаются математическими значками оо и ω. Скажут, что это уже другой подход к двойке. Но я как раз и утверждаю, что суждение о конечности или бесконечности двойки зависит от подхода, от точки зрения, и что сама двойка по себе не есть ни только конечное, ни только бесконечное.

c) Итак, в чем же сущность конечного? Только переход во вне–числовую область, в область, так сказать, вещественную, материальную, физическую, впервые создает категорию конечного. Но мы не можем в математике говорить о физическом просто. Надо, чтобы это физическое было понято математически и, главное, диалектически. Всмотримся, в чем же сущность этого физического. Ясно, что ни белое, ни черное, ни мягкое, ни твердое и никакое физическое качество тут не имеется в виду. Ясно, что ни отдельная физическая вещь и ни все вещи вместе тоже не имеются здесь в виду. Значит, остается только самый принцип физического, или материального, вообще, т. е. просто факт, наличие, осуществление, воплощение числового бытия, когда отброшено все остальное, т. е. все конкретные свойства этого воплощения. Важно понимать двойку не просто как некий чистый смысл, как отвлеченно–идеальную едино–раздельность, как смысловую определенность вообще (т. е. как составленность из двух единиц), но именно как вещь, — и вот тогда она становится для нас конечной величиной. А под вещью здесь понимается, как сказано, не вещь во всей своей чувственной конкретности, но вещь в своем первичном бытии, вещь как просто вне–числовое бытие, отбрасывая всякие вопросы о том, какое именно это вне–числовое бытие.

d) Выше (§ [ ]) различалось инобытие внутри смысла и инобытие вне смысла. Внутреннее инобытие смысла и есть не что иное, как принцип его раздельности. Внешнее же инобытие смысла есть полная его противоположность, оно есть становление, т. е. раздробление и разрушение смысла, принцип случайности его существования. И когда мы говорим о конечном бытии, мы имеем в виду как раз это второе инобытие, потому что первое инобытие уже было использовано нами для проведения дифференций внутри самой сферы числа. Если мы спросим, почему тройка есть тройка, то для ответа на этот вопрос достаточно фиксировать в ней три полагания и тем отличить от всех соседних и всех вообще чисел. Тройка есть тройка потому, что она не нуль, не единица, не двойка, не четверка и т. д.; она выделена из всех чисел тремя актами полагания, в ней содержащимися. Но если мы спросим, почему тройка есть конечное число, то тут уже нельзя ответить указанием на то, что тут три акта полагания. Если тройка оказывается конечным числом потому, что в ней три единицы, то тогда четверка не есть конечное число, потому что в ней содержится не три единицы; и вообще тогда из всех «конечных» чисел только тройка будет конечным числом, потому что никакое другое число не есть тройка. Следовательно, тройка есть конечное число вовсе не потому, что она отличается от единицы, двойки, четверки и т. д. Но тогда почему же тройка есть конечное число? Конечна она потому, что мы ее понимаем здесь как вещь, как материальную вещь, отличая ее уже не от идеально–абстрактных единиц, двоек и четверок, но от других вещей материального мира[86], от этого стола, стула и пр. Однако материальность тут нужна только с одной — правда, самой существенной своей — стороны, а именно с точки зрения принципа физического бытия, воплощения, с точки зрения принципа реальности. Идеальная едино–раздельная определенность, сама по себе чуждая всяких категорий конечности и бесконечности, становится конечной определенностью, или просто конечностью, как только начинает мыслиться реально. Конечность есть определенность, ставшая реальным фактом. Правда, идеальная определенность была не чем иным, как именно результатом счисления данного количества единиц, г. е. она есть не что иное, как просто едино–раздельность. Поэтому конечность более точно можно определить в виде вне–числовой определенности, данной как едино–раздельное бытие.

е) Все эти диалектические рассуждения о конечности числа нужно понимать (как и все в диалектике) максимально просто. Приведем житейскую аналогию. Может ли быть пиджак черного цвета, не будучи пиджаком вообще? Конечно, нет. Есть ли черный цвет для пиджака что–нибудь существенное? Конечно, нет. Но ведь черный цвет как–то оформляет и определяет пиджак? Несомненно. Но тогда получается, что пиджак имеет вне–пиджачное определение. Раз черный цвет есть вполне самостоятельный предмет, по существу не имеющий ничего общего с пиджаком, то, следовательно, чернота пиджака есть его вне–пиджачное определение. Чтобы говорить о черном цвете пиджака, надо уже знать, что такое пиджак, надо иметь его понятие, его смысл, его структурную идею, ибо иначе к чему же будет относиться прилагательное «черный»?

Точно го же самое мы имеем и в определениях числа как конечного, бесконечного, трансфинитного и т. д. Все эти определения уже предполагают, что имеется законченная идея числа. Ее мы и рассматривали в до–выразительных аксиомах. Сейчас же идет речь о вне–числовых определениях числа, по существу своему не имеющих никакого отношения к самому числу, ибо конечным и бесконечным может быть и не только число, как все равно и черный цвет может быть свойствен не только пиджаку.

4. а) Но, выйдя за пределы чисто числовой сферы и перейдя в область вне–числовых категорий, мы сразу видим, что конечностью все далеко не исчерпывается и что конечность есть только первая категория, с которой мы сталкиваемся во вне–числовой сфере. Простейший, но совершенно неумолимый закон диалектики гласит, что если есть что–нибудь одно, то есть и что–нибудь иное. Если есть вне–числовая определенность, данная как едино–раздельность, τ [о] е[сть] она [же], данная как множественно–безразличное, как безразличная множественность. Мы хорошо знаем, что здесь нас подстерегает категория становления.

Тут все различное слилось в неразличимое, но эта неразличимость не дана тут сама по себе (так как в этом случае она слилась бы в неподвижную точку и, следовательно, стала бы принципом различимости, раздельности), но дана она действительно как все иное и иное, т. е. как процесс, как сплошное изменение. Вне–числовая определенность перешла в сплошную и неразличимую изменчивость, утерявши устойчивость едино–раздельной структуры. Это не значит, что последняя исчезла совсем. Если бы она исчезла совсем, то сплошная текучесть оказалась бы таким бытием, о котором ровно ничего сказать нельзя (так как всякое слово, отнесенное к бытию, уже предполагает в нем ту или иную едино–раздельную осмысленность). Но эта структура дана здесь не непосредственно, как в конечном бытии, а дана как задание, как метод, как недостижимый идеал. Опять–таки это не значит, что едино–раздельная структура тут не дана никак. Она дана лишь как закон этой сплошной текучести, как метод этого алогического становления. Само становление нигде не кончается, и оно нигде не может кончиться, так как это противоречило бы самому понятию становления; становление потому и есть становление, что оно является инобытием и отрицанием едино–раздельности и вовне, и внутри себя. Но, нигде не кончаясь, становление может иметь ту или иную структуру, а конкретное становление и должно ее иметь. Конкретное же становление есть необходимо становление конкретного, т. е. в каждый момент становления мы должны знать, что именно становится, чего оно достигает и чего уже достигло.

b) То неизменное, что есть в сплошно меняющемся алогическом становлении, есть его предел. В этот предел и превратилась та конечность, которая раньше была предметом непосредственной рефлексии, а сейчас удалилась с нашего поля зрения, и только следы ее мы замечаем в течение всего процесса алогического становления.

Возьмем этот новый тип вне–числовой определенности в его наивозможно чистом виде. Когда мы идем от одного конечного числа к другому, то алогическое становление будет фиксироваться нами вместе с теми конечными величинами, в отношении которых оно осуществляется. Возьмем в качестве предела такого становления нуль, чтобы наблюдать это становление в самом его зародыше, в том его чистом виде, когда оно осуществляется в минимальной форме, когда оно только еще начинается. Чем ближе мы станем подходить к нулю в своем алогическом становлении, тем все более и более примитивные формы этого становления мы станем наблюдать. То же самое соответственно можно сказать и о бесконечности как пределе алогического становления (хотя покамест мы еще не получили категории бесконечности).

Ясно, что здесь мы сталкиваемся с понятиями бесконечно–малого и бесконечно–большого. В математике бесконечно–малым и называется переменная величина, имеющая своим пределом нуль. Но переменная величина χ стремится к пределу и тогда, когда[87] абсолютная величина разности х — а будет меньше положительного числа ε, как бы мало это последнее ни было. Следовательно, бесконечно–малое есть такая величина, которая все время стремится к нулю, делаясь меньше любой заданной величины и не будучи в состоянии когда–нибудь слиться с этим нулем. (Соответственно бесконечно–большое может быть определено как величина, обратная бесконечно–малому.)

c) Бесконечно–малое есть уже новая форма вне–числовой определенности, мало похожая на конечную определенность. В диалектическом смысле оно есть прямая антитеза конечности, являясь не только инобытием ее вообще, но именно алогическим ее становлением. Бесконечно–малое есть вне–числовая определенность, данная как алогическое становление. Это и есть синтез конечности и ее инобытия, но не синтез вообще, а очень специфический синтез, именно тот первейший синтез, когда инобытие взято во всей своей иррациональной текучести и когда ее предел по своей субстанции находится на недостаточной высоте по сравнению с нею.

Итак, философская сущность бесконечно–малых есть не что иное, как чистое алогическое становление.

5. Не мы виной того, что становление может мыслиться остановившимся. Ведь можно же, идя по улице, в конце концов где–нибудь остановиться. Я думаю, этой возможности нельзя отрицать, не будучи психически больным. Но если остановиться можно, то сейчас же бесконечно–малое и бесконечно–большое преподнося! нам сюрприз, которому многие математики не обрадуются.

а) Именно, когда остановилось бесконечно–большое, это значит, что предел, бывший на необъятном от него расстоянии, уже достигнут, т. е. само алогическое становление оказывается одновременно и идеальной устойчивостью. Тут тоже синтез конечности с ее инобытием, но синтез уже дальнейший, второй, когда чистый алогизм отождествился с едино–раздельным идеальным не в порядке примата чистого алогизма, но в порядке примата идеального едино–раздельного. Это и есть, вообще говоря, трансфинитное число.

От бесконечно–большого оно отличается устойчивостью, идеальной законченностью, которая в то же время нисколько не удерживает реального потока становления. Когда мы обозначаем мощность первого трансфинитного числа через «алеф–прим» («алеф–нуль» — мощность конечных тел), то этот алеф–прим есть синтез как раз той самой устойчивости, которая характерна для конечного числа (и того постоянного становления, которое мы находили в бесконечно–большом). Все эти г. н. числа II класса имеют один и тот же алеф — мощность счетного множества. Этот алеф коренным образом отличается от алефа–нуля, потому что каждое конечное число имеет непосредственно ему предшествующее (кроме нуля), наименьшее же из чисел II класса, ω, хол я ему и предшествует сколько угодно других (конечных) чисел, все же не имеет непосредственно предыдущего. В этом отношении первое трансфинитное число уподобляется нулю в области конечных чисел. Существуют и числа II класса, отличные от ω и не имеющие первого предыдущего. С одной стороны, среди чисел II класса нет наибольшего. С другой стороны, существует Ω — наименьшее число III класса, так что все числа, меньшие Ω, суть числа II класса. Это объясняется тем, что всякое число II класса может быть рассматриваемо как предел некоей последовательности возрастающих чисел.

b) Таким образом, трансфинитное число антиномично в двух отношениях. Оно не имеет непосредственно предыдущего, так как между ним и конечным числом — разрыв, прыжок, хотя в то же время оно само вполне обладает конечной определенностью, так как выразимо конечным числом слоев (а именно: счетное множество есть множество всех чисел натурального ряда). С другой стороны, оно не имеет наибольшего элемента, хотя в то же время всякое трансфинитное число II класса меньше Ω. Все это сводится к тому, что первое трансфинитное число ω, с одной стороны, есть первое следующее за множеством всех конечных чисел, а с другой стороны, конечные числа не имеют наибольшего числа и, следовательно, не может существовать и первого за наибольшим. Или еще проще: не существует никакого наибольшего числа (ибо всякое число можно увеличить) и существует наибольшее число (когда берутся все числа натурального ряда). В трансфинитном числе сразу дана и идеальная определенность, и устойчивость числа, и его алогическая неисчерпаемость. Можно сколько угодно увеличивать ω, прибавляя единицу за единицей, и от этого она нисколько не увеличивается, потому что этому ω свойственна идеальная определенность, вполне тождественная с той, которая была формулирована у нас в аксиомах едино–раздельности, а эта определенность — вполне вне всяких категорий конечности и бесконечности, ее нельзя ни увеличивать и ни уменьшать, и даже самые эти операции в отношении ее бессмысленны. Но с другой стороны, мы этот процесс прикладывания все новых и новых единиц, несомненно, производим в реальности, потому что то же самое действие ω+ 1 =со, которое бессмысленно с точки зрения первого слагаемого, ω, вполне осмысленно относительно второго слагаемого, 1, потому что как–никак, <…> а это 1 исчезает в ω как в некоей бездне, каковое исчезновение нужно считать событием очень большой важности.

Итак, трансфинитное число (II класса), или т. н. актуальная бесконечность, есть вне–числовая определенность, данная как наличное бытие (как ставшее).

6. Переходим к самой интересной, но в то же время и к самой трудной выразительной форме числа и множества, это к той, когда вне–числовая определенность сама становится выражением. В общей сфере числового выражения мы нашли свое бытие (конечность), свое инобытие (бесконечно–большое и бесконечно–малое) и свое ставшее бытие (трансфинитное число). Теперь мы переходим к выражению в сфере этого выражения. Из предыдущего можно припомнить, что на эту область мы уже натыкались не раз, хотя только сейчас наступило время для ее непосредственного анализа. Это первое трансфинитное число III класса, или Ω, которое в дедукции основных категорий теоретико–множественного упорядочивания (§ [5 ]2.4е) и становления (§ 61.3) предстало перед нами как континуум. Раньше мы наталкивались на это понятие потому, что всякую до–выразительную теоретико–множественную категорию мы старались представить максимально конкретно и потому доводили ее до выразительной формы, а тем самым и до континуума. Теперь же мы рассматриваем само числовое выражение; и если в области этого выражения мы перебрали все более абстрактные категории, дойдя до выражения самого числового выражения, то это значит, что континуум только сейчас подпадает под нашу непосредственную диалектическую рефлексию, превращаясь из завершающего и потому периферийного момента в центральный, в субстанциональный, в непосредственно предлежащий.

а) Что такое континуум? Уже давно прошло то время, когда континуум представлялся чем–то простым, ясным, очевидным, чем–то совершенно неразложимым. Правда, для нас это не должно значить, что континуум должен быть просто разложен на взаимно изолированные моменты, и больше ничего. Такая механическая атомистика тоже не может удовлетворить современному философскому содержанию. Однако мы все же должны как–то формулировать структуру континуума, и эта формулировка представляет огромные трудности.

b) Прежде всего мы должны выполнить одно обязательное условие: континуум в нашем определении должен остаться самим собою, т. е. прежде всего он должен не потерять своей равно расстилающейся непрерывности и не рассыпаться на бездну точек, как бы они близки ни были одна к другой. Изначальная, совершенно примитивная интуиция континуума, ясная уже ребенку, должна и для нас стать путеводным маяком: континуум не имеет никаких разрывов или дыр; мы их не видим; континуум есть непрерывная, равномерно растекающаяся сплошность. И вот этого–то и нельзя никогда терять из виду.

Если мы не погрешим против этой исходной интуиции, то все остальные разделения и подразделения, вся эта атомистика точек уже не будет для нас страшной. Вполне естественно, что математика хочет составить континуум из точек. В этом еще нет ничего худого. Ведь математика есть наука, а всякая наука есть более или менее абстрактное знание, которое, конечно, никогда не может ухватить непосредственную жизненную вещь целиком и не должно к этому стремиться. Вопрос не в том, чтобы целиком отображать вещь (тогда наука вполне могла бы заменить живого человека и ему больше уже никакого не осталось бы места на земле), а вопрос в том, чтобы отобразить вещь в точном соответствии с той позицией, на которой стоит данная наука. К континууму можно подойти физически; и физик должен суметь формулировать его в своих физических терминах. К континууму можно подойти геометрически и теоретико–множественно. К континууму можно подойти оптически, художественно–искусствоведчески. К нему же можно подойти и философски; и, как мы знаем, это будет значить, что мы должны вскрыть ту диалектическую взаимосвязь категорий, без которой не может осуществиться самое понятие континуума. Математика даст нам материал, а философия этот материал осознает. Поэтому нечего страшиться того, что в мысли приходится разлагать неразложимое. Если мы, разложивши неразложимое на составные элементы, вновь показываем, как воскресает на этих последних само неразложимое, то тут не только нет ничего страшного, но это только и есть единственная возможность рассуждать о предмете философски. Напрасно Вейль причитывает, что континуум–де вообще никогда не удастся подвергнуть полному анализу на том основании, что он есть непосредственно данная неразличимая сплошность. Вся жизнь и все бытие таковы, но это нисколько не мешает никому философствовать о том и о другом. Важно, чтобы явление жизни отразилось в данной абстрактной области так, чтобы структура этой последней адекватно ей соответствовала; но невозможно протестовать против того, что абстрактная структура абстрактна.

c) Еще одна установка должна быть у нас руководящей. Под влиянием идеи бесконечно–малых континуум легко можно трактовать как некий логический или математический инструмент для каких–нибудь иных целей. Но рассуждение о континууме не должно быть для нас только аналитическим аппаратом, подобно тому как мы рассуждали в анализе о непрерывности, с тем чтобы сейчас же применить это понятие для дифференцирования или интегрирования функций. Континуум есть для нас вполне самостоятельный предмет, сущность которого мы вскрываем. Он существует не для чего–нибудь, а сам по себе; и если в нем есть это «для чего–нибудь», то оно берегся не для того, чтобы найти это «что», для которого оно существует, но самое это «для чего–нибудь» берется здесь как непосредственный предмет рефлексии. Поскольку имеется здесь смысловая сущность континуума, Гуссерль сказал бы, что континуум здесь оказывается идеальным предметом. Но нам нет нужды употреблять эту терминологию, потому что мы можем заменить ее и гораздо более близкой к математике.

d) Именно, мы уже использовали такое «идеирова–ние», когда от инфинитезимального бесконечно–большого перешли к трансфинитному. Очень хорошо инфинитези–мальные категории иные обозначают вслед за Кантором как потенциальные. Действительно, то бесконечно–малое и бесконечно–большое, с которым оперирует классический анализ, построено чисто процессуально, и притом алогически процессуально. Тут нет ни одного момента, который был бы положен и пребывал. В тот самый момент, когда мы что–нибудь здесь полагаем, это полагаемое и снимается. уходя в прошлое, и мы о нем забываем. Бесконечно–малое есть именно эта вечно скользящая сплошность и текучесть, в которой каждый момент снимает сам себя, отождествляясь с другим, который тут же в свою очередь снимает сам себя, отождествляясь с третьим, и т. д. и т. д. Это в полном смысле слова потенциальная бесконечность.

Совсем противоположно ей то бесконечное, которое покоится в себе, будучи раз навсегда отождествленной со своей идеей, никогда не подвижной и никогда не измен–ной. Тут не ищется чего–то a priori недостижимого, но оно уже дано; то, что стремится к пределу, тождественно здесь с самим пределом. Это актуальная бесконечность. Ясно, что только в актуальном виде бесконечность стала для нас чем–то определенным, стала, скажем, идеальным предметом, в то время как потенциальная бесконечность имела свою определенность вне себя, поскольку она никогда не могла достигнуть своего предела. Трансфинитное число имеет свою определенность внутри себя, а не вне себя; для его распознавания не нужно фиксировать какой–то его предел, т. е. определяющую его идею, которая была бы вне его.

Результатом этого является то, что над трансфинитным числом, в сущности говоря, невозможно производить никакие действия. Ведь бесконечность — это же и есть все, что только существует: можно ли к ней что–нибудь прибавить или можно ли ее как–нибудь уменьшить? Сущность операций ω±Ν = ω·Ν= = ω^N=^N√ω = ω, где Ν—любое конечное число, в том только и заключается, что трансфинитное число ω не дозволяет никаких над собой конечных операций. Актуальная бесконечность неподвижна, неизменна; она есть абсолютное постоянство самособранности, в самом своем корне исключая всякую конечную раздробленность, текучесть, слабость и [непостоянство.

Итак, с полным правом мы можем сказать, что трансфинитное число и есть та бесконечность, которая свою идею содержит сама в себе, а не вне себя и которая потому, несмотря на мнимую составленность из вечно дробящейся конечности, есть в полном смысле слова идеальный предмет в смысле Гуссерля. Заметим, однако, что если брать терминологию идеалистов, то найдутся термины и гораздо более выразительные. Так, поскольку трансфинитное число как раз то и обозначает, то и проявляет, чем оно является по своему смыслу, то оно оказывается также и символом в смысле Шеллинга. Трансфинитное число — символично, а не аллегорично, как инфини–гезимальные бесконечно–большие, и не схематично, как дряблая конечность. Но, повторяю, мы можем спокойно отбросить всякую философскую терминологию, вызывающую к тому же ненужные ассоциации, раз мы усвоили, что такое трансфинитное число.

Но тогда предмет нашего исследования может быть обозначен следующим образом. Это континуум, данный как трансфинитное число. В самом деле, континуум есть во всяком случае бесконечность. Это ясно уже из того, что мы в нем не можем указать ни первого, ни последнего элемента, т. е. ни наименьшего, ни наибольшего. Он все время плывет; и неизвестно, где он начался и где кончится. С другой стороны, однако, мы хотим, чтобы континуум стал для нас самостоятельным предметом, так, чтобы за его сущностью нужно было идти не к чему–то другому, а к нему же самому. Надо, чтобы свой собственный смысл, свою собственную нетекучую, абсолютно ясную и неподвижно определенную идею он имел в самом же себе. А это значит, что континуум должен предстать перед нами не как просто бесконечность, но именно как актуальная бесконечность или как число трансфинитное (как модификация трансфини гности).

Можно сказать и еще определеннее. Так как в континууме ярче всего бросается в глаза именно эта непрерывная текучесть, т. е. алогическое становление, то наша проблема есть проблема алогического становления, данного как актуальная бесконечность. Когда алогическое становление (в форме инфинитезимального) переходило в трансфинитное, то оно не просто переходило, оно еще отождествлялось с конечной определенностью, почему мы и говорили, что трансфинитное есть остановившийся ин–финитезимальный процесс. Когда же в учении о континууме говорим об алогическом становлении, то оно берется уже в своем чистейшем, беспримесном виде, со всей его сплошностью и текучестью, без всяких элементов едино–раздельности. И вот эта мгла и бездна неразличимости, не имеющая ни начала, ни конца, оказывается, тоже есть актуальная бесконечность; она тоже имеет свое идеально–фигурное строение, свою смысловую физиономию. Она—тоже число трансфинитное, форма самой бесформенности, скульптурный символ вечного хаоса. Ибо хаос есть тоже некая стадия, а именно — стадия хаоса.

7. Такая ясная постановка вопроса сразу снимает ряд трудностей, которые в другой постановке оказались бы и большими, и часто непреодолимыми. Это мы будем чувствовать на анализе понятия континуума, к чему сейчас и приступаем.

a) Итак, наш исходный пункт: континуум есть алогическое становление. Алогическое становление есть такое полагание, которое в то же время является и отрицанием, снятием. Каждый момент никогда не есть он сам, но всегда — иное и иное. Но относительно идеальной едино–раздельности эйдоса (§ [ ]) мы знаем, что ему также свойственно сразу и в одном и том же отношении как тождество, так и различие. Следовательно, для алогического становления тут должен быть спецификум. Он заключается в том, что если в эйдосе каждый отдельный момент тождествен и различен с другими его моментами и со всем целым, то здесь каждый момент тождествен и различен со всем эйдосом, с едино–раздельностью как с таковою. Алогическое становление в каждый свой мельчайший момент полагает весь эйдос, и в тот же самый момент весь этот эйдос снимает, отрицает его.

b) Итак, весь полагаемый эйдос целиком снимается, забывается. Алогическое становление — там, где об эйдосе (т. е. о едино–раздельности) ничего не помнится. Но что же тут помнится, т. е. что же остается и не [у]бывает? Ведь оставаться нечто безусловно должно. Если бы один момент после своего наступления целиком бы оказался забытым и также второй, третий и т. д., то мы плыли бы по морю становления, совершенно не замечая последовательности этого становления и не имея представления ни о каком процессе. Процесс — там, где произошедшие[88] моменты изменения не погибли целиком, но продолжают сохраняться и влиять на наступающие моменты. Следовательно, должны оставаться и пребывать все моменты полагания, хотя само полагание — актуальная бесконечность и должно забываться, чтобы было действительно алогическое становление, или континуум. В континууме мы наблюдали акты полагания эйдоса, или трансфинитного числа, как бы следы полагания и снятия трансфинитного, беря их как целое и не забывая их вместе с их снятием, но само трансфинитное тут не мыслится (ибо иначе не получится алогичности, необходимой для континуума).

c) Теперь спрашивается: каковыми же должны быть акты полагания и отрицания, чтобы это было полаганием и отрицанием именно трансфинитного эйдоса (и притом чтобы самого–то эйдоса тут не было)? Прежде всего, очевидно, это не то полагание, которое мы находим в самом эйдосе. Там всякое полагание было только различением. Полагать в этом смысле эйдос и значило создавать едино–раздельность. Не то реальное полагание. Оно уже предполагает, что есть какое–то идеальное полагание, некая различенность и отличенность, ибо иначе нечего было бы и полагать реально. Само же реальное полагание есть полагание факта, некой силы, способной активно установить себя и оттолкнуть прочее. Тут не просто различие, но некоторого рода притяжение и отталкивание, получение некоторого тела, воплощение.

d) Итак, мы наблюдаем, как воплощается трансфинитное, само трансфинитное отбрасываем, а только созерцаем целокупность самих актов воплощения трансфинитного. Но будем помнить, что нам никуда нельзя отходить от алогического становления. До сих пор оно предста [ва ]ло перед нами как ряд последовательных воплощений трансфинитного без самого трансфинитного. Но ведь алогическое становление возникает как инобытие эйдоса. Это значит, что если эйдос есть самотождественное различие, то становление есть безразличное саморазличие, и если эйдос есть подвижной покой, то становление есть подвижная неустойчивость и взаимопроникну–тость и слитость, и если эйдос есть единство и определенность, то становление есть абсолютно сплошная бесформенность. Другими словами, алогическое становление есть безразличная самопротиворечивая сплошность или (максимально сжимая все эти определения) безразлично–взаимопроникнутое, порождающее само себя самопротивоборство. Следовательно, все акты воплощения трансфинитного эйдоса должны в континууме находиться в состоянии безразлично–взаимопроникнутого самопротивоборства. Это значит, что каждый акт воплощения порождает из себя и поглощает в себя все остальные акты воплощения. Какой бы акт мы здесь ни взяли, он, с одной стороны, порождает себя и все прочие элементы, сам получая свое бытие от них же, а с другой стороны, он поглощает в себя все прочие, а равно и сам поглощается каждым актом из всех прочих. Это–то и будет подлинным алогическим становлением эйдоса, когда, с одной стороны, оно предполагает решительно все категории эйдоса (т. е. все его элементы и самотождественны, и саморазличны, и устойчивы, и взаимопереходчивы, и структурно–определенны), а, с другой стороны, самих–то этих категорий не видно, а только видно, как нечто (неизвестно что), согласно этим категориям, воплощается на безразличном материале [и] тут же само себя пожирает.

Пусть у нас есть точка А, где «воплотился» трансфинитный эйдос. Она не может быть просто точкой. Если мы хотим исследовать континуум, т. е. то, что прежде всего есть алогическое становление, мы тотчас же увидим, что эта точка плывет, что ее нет как ее, что она в одно и то же время есть и точка, и самопротивоборство целой бездны таких же точек. С одной стороны, наша точка А породила из себя целую бездну новых точек; а с другой—сама она исчезла в этой бездне, и мы уже не умеем ее поймать. Она же породила новую бесконечность, она же и погибла в ней, т. е. она же себя породила, она же себя и уничтожила.

Итак, мы теперь знаем, что дает континууму алогическое становление. Оно воплощает в нем актуальную бесконечность трансфинита (п. [7] с), и оно заставляет эти акты воплощения пребывать в безразличном самопорождении и безразличном самопожирании.

Что же дает теперь становление именно эйдоса?

е) Трансфинитный эйдос, как мы знаем выше из п. 5, возникает прежде всего в результате последовательного пробегания всех чисел натурального ряда. Трансфинитный эйдос прежде всего таит в себе последовательность всех чисел. Это есть тот факт, из осмысления которого родился и сам трансфинитный эйдос. С другой стороны, он потому здесь и является эйдосом, что он не есть просто эта последовательность конечных чисел, так как никакая последовательность чисел еще не есть ни трансфинитное, ни даже просто бесконечность. Эйдос есть именно эйдос, т. е. некоторый смысл, идеальный предмет, который сам по себе уже ничего общего не имеет ни с какой последовательностью, подобно тому как понятие тяжести вовсе не есть само нечто тяжелое.

Применить указанные моменты в интересующей нас области можно только так, что, взявши одну точку «воплощения» и получивши в результате ее снятия и превращения неопределенную текучесть, саму эту текучесть[89] полагать так, как мы полагали самый трансфинитный эйдос. И вследствие того, что это новое воплощение в силу алогического становления в то же мгновение будет в свою очередь снято и оттолкнуто в бездну прошлого и превращено еще в новую длительность и текучесть, мы должны и с этим новым результатом поступить так же, воплощая его заново, снимая и т. д.

Другими словами, если алогическое становление трансфинитного эйдоса дало нам стихию взаимопоглощающего самопротивоборства актов воплощения этого эйдоса, то алогическое становление трансфинитного эйдоса заставляет, чтобы каждый такой акт имел значение эйдоса, т. е. чтобы все акты не только поглощали один другого, но чтобы они были один в отношении другого эйдосами, т. е. чтобы они были воплощением один другого точно так, как один акт воплощает природу самого эйдоса. А так как трансфинитный эйдос есть бесконечная последовательность, то мы должны представлять себе дело так, что первый акт воплощения эйдоса является эйдосом для второго, а этот второй — эйдосом для третьего и т. д. и т. д. Следовательно, необходимо, чтобы не просто каждый момент в стихии алогического становления воплощал в себе общий и единственный грансфинитный эйдос, но чтобы тут была последовательность его перевоплощений, чтобы все время росла, так сказать, сама категория воплощения.

f) Что же мы теперь получили? Вышесказанное можно резюмировать так. Континуум есть 1. алогическое становление, 2. данное как актуальная бесконечность, или, что то же, как трансфинитный эйдос. 1. Алогическое становление предполагает ежемгновенное полагание и снятие всего трансфинитного эйдоса (а не его отдельных моментов) (а), взятое, однако, без самого эйдоса (который внес бы едино–раздельность) (b); это полагание и снятие есть фактическое (а не только различаемое отвлеченно) воплощение ©, которое дается в виде непрерывного и сплошного самопорождения и порождения из себя всего иного вместе с самопоглощением и поглощением в себя всего иного (d). 2. Трансфинитный же эйдос требует, чтобы каждый акт воплощения был в отношении всякого другого акта тоже эйдосом и чтобы эта эйдетизация происходила последовательно, с накоплением всего получаемого смыслового содержания (е).

К этому анализу, однако, необходимо прибавить, что весь он есть не что иное, как утверждение того, что бесформенное тоже имеет свою форму, а именно форму бесформенности, подобно тому как куча, облако и пр. бесформенные предметы, в сущности, всегда имеют свою определенную форму, хотя континуум — это уже предел всякой бесформенности. Можно еще сказать и так, что предыдущий анализ понятия континуума утверждает только мыслимостъ хаоса и бесформенного, бессмысленного, ибо, как только бесформенное и бессмысленное стало мыслиться, оно тотчас же получило и свой смысл, свой эйдос, а именно смысл и эйдос бессмысленного. Бессмыслие можно видеть умом — вот что говорится в предыдущем анализе. Можно, наконец, и просто сказать, что здесь мы раскрываем, как есть абсолютный хаос, ибо «быть» и «иметь смысл» для философа одно и то же. Бессмысленное самопротивоборство хаоса все пронизано смыслом — конечно, своим собственным (а не каким–нибудь иным) смыслом и эйдосом. И вся эта жестокая буря порождений и поглощений есть ясная и прозрачная, покойная и тихая, бесплотно–умная картина, несмотря на все свое бессмысленное содержание. Тут все — эйдос, и каждый мельчайший момент есть безмолвный жест чистого смысла.

Но эту, в общем, довольно банальную (не для всех) истину, что хаотическое тоже есть нечто мыслимое («идеальный предмет»), приходится анализировать и уточнять, чтобы приблизиться к тому представлению континуума, которое создано гением Кантора и которое с тех пор вошло в общее достояние мировой математики. Тут–то и пригодятся те расчленения, которые мы только что произвели.

8. а) Уже одну математическую интерпретацию мы ввели с самого начала. А именно, вместо того чтобы говорить об алогическом становлении как идеальном предмете, мы говорили о нем как об актуальной бесконечности. Понятие же актуальной бесконечности, или трансфинитного числа, есть уже очень определенное математическое понятие, несмотря на то что многие из механистических позитивистов в математике и считают его философским (сваливая в это свалочное место, философию, все, что им непонятно). Это, конечно, вполне математическое понятие, составленное из тех элементов, которые в других случаях не вызывают сомнения ни у каких математиков. Будем исходить из этого, т. е. будем понимать алогическое становление как ω, считая, что этот пункт вполне ясен.

b) Идем дальше. Указанные выше пункты a, b и с можно взять вместе. Это воплощение всего эйдоса без самого эйдоса. Значит, это воплощение не чего другого, как того, что мы обозначили через ω. Что же это такое, воплощение ω? Воплотить, вообще говоря, — значит перенести в инобытие, повторить. Но если мы ω просто повторим, то это будет перенесение без всякой фиксации его внутренних моментов, перенесение самой его общей субстанции, без перенесения его внутреннег о смыслового содержания. Мы получим вместо ω нечто другое, именно ω · 2, но само ω останется нераскрытым. Однако это раскрытие ω в инобытии мы обязательно должны произвести потому, что инобытие (как таковое) содержит в себе только те смысловые моменты, которые оно получило извне. Иметь смысл от самого себя может только сам же смысл. Поэтому, когда мы в трансфинитном находили присутствие этого смысла во всех его частях, то это было вполне естественно и вытекало уже из одного того, что оно есть эйдос. Когда же речь идет об инобытийном воплощении, то воплотить эйдос «вообще» не значит еще воплотить его и во всех частностях. Надо дать такое его повторение в инобытии, чтобы каждый его момент в инобытии тоже воплотил на себе целое.

c) Что это значит математически? Возьмем число «три». Что значит повторить его так, чтобы каждая из входящих в него единиц стала тоже целым, т. е. тройкой? Это значит возвести тройку в квадрат. А что значит возвести число в степень, которая равна самому числу, напр. тройку в куб? Это значит не только отобразить целое в каждой отдельной его части, но еще и отобразить его именно со всем тем смысловым содержанием, которое мы находим в целом. Когда мы возводим тройку в квадрат, т. е. один раз повторяем целое в каждой его части, мы, очевидно, берем целое тоже пока только вообще, как некую общую субстанцию, без внимания к тому, что это целое есть именно тройка. Когда же мы возводим тройку именно в куб, то мы и заставляем тройку воплощаться в инобытии как общую субстанцию и каждый ее смысловой момент оказывается гоже воплощенным в этом инобытии, так что здесь впервые целиком «воплотилось в инобытии» число и по своей субстанции, и по своему смыслу.

Следовательно, возводя ω в степень ω же и получая ω^ω, мы впервые получаем искомое воплощение трансфинитного числа полностью.

d) Этот процесс первого воплощения, поскольку речь идет именно о реальном полагании, а не только об идеальном различении (см. выше, 7с), не так прост, и его следует представлять себе математически точно, потому что это воплощение, как сказано, везде будет повторяться и дальше.

А именно, будем пользоваться нашим основным воззрением на трансфинитное, которое и привело нас к этому последнему из конечной области. Мы знаем (§ [ ]), что нужен скачок из раздробленной конечности в неделимую идею, чтобы впервые только еще получить самую категорию бесконечного. Будем пользоваться этим методом и здесь и тогда получим следующее.

I. Первое воплощение.

(1,2, 3, …ω)

A.  1. ω, ω+1, ω + 2, … ω + ω

B.  2. ω 2, ω·2+ 1, ω·2 + 2, … ω·2 + ω

3. ω·3, ω·3+ 1, ω·3 + 2, … ω·3 + ω

4………………………………………………

C.  5. ω² + 1, ω² 4–2, ω² + 3, … ω² + ω

6. ω² + ω+ 1, ω² + ω + 2, ω²+ (0 + 3, … ω² + ω + ω

7. ω² + ω ·2, …

8………………………………. ω² + ω ·ω

9. ω²· 2,……………………… ω² · 2 + ω²

10. ω² · 3,……………………. ω^2 — ω

11. ω³,………………………… ω³ ω

D. 12………………………….. ω^ω

Нечего пояснять эту таблицу математически. Она не выходит за пределы элементарных арифметических операций. Но ее философский смысл, кажется, еще никто не исследовал до сих пор.

Я различаю здесь четыре стадии.

Первая, обозначенная буквой А, демонстрирует недоступность трансфинитного ни для каких конечных увеличений. Поднимая вопрос о воплощениях бесконечного, мы как бы сразу устанавливаем фундаментальный тезис: никакое увеличение бесконечного невозможно, так как бесконечное уже охватывает все. Бессмыслицу этого процесса увеличения мы и фиксируем с самого начала.

Но уже этот процесс А приводит нас к случаю, имеющему совсем другое значение. Именно, не обязательно говорить только о конечных приращениях. Что получится, если к ω мы прибавим не 1,2, 3,…, но прибавим целое ω? Тогда получится, что мы поставим бесконечность во взаимоотношение не к конечному, но к бесконечности же, т. е. к самой себе. А соотношение бесконечности с самой собой дает несомненно нечто новое, [о ]но растет в своем собственном, чисто смысловом содержании.

Вот почему с момента достижения ω · 2 мы отмечаем начало нового процесса В, который открывает собою область взаимоотношений бесконечности с самой собой, в отличие от прежнего взаимоотношения ее с бытием конечным. Именно, процесс В рисует взаимоотношение бесконечности с самой собой по ее субстанции. Что значит ω — 2, ω · 3, ω 4 и т. д.? Это значит, что мы то или иное число раз повторяем бесконечность, не вводя ни в какое рассмотрение ее внутреннего смыслового содержания. Правда, повторить бесконечность, собственно говоря, невозможно, так как она уже есть все, т. е. нет для нее никакого инобытия, в котором она могла бы быть повторена. Но поскольку идет речь о взаимоотношениях бесконечности с самой собой, постольку всякое ее субстанциальное повторение есть не что иное, как последовательное обогащение ее внутреннего же смыслового содержания. Следовательно, субстанциальное повторение бесконечности нисколько не выводит нас за пределы идеи бесконечного, а только напряжет ее смысловое содержание. — Итак, сущность процесса В есть субстанциальное взаимоотношение бесконечности с самой собой, или общебытийная ее саморефлексия, когда бесконечность устремляет взоры на саму себя и находит в себе себя же саму, но пока только как голый факт, не фиксируя еще смыслового содержания этого факта.

С момента ω–со или ω² начинается процесс С. Здесь, стало быть, бесконечность уже рефлектирует над самой собой, и должен происходить рост этой рефлексии. Поскольку рефлексия бесконечности как голого бытийного факта уже состоялась, дальнейший рост этой рефлексии возможен только в сторону смыслового содержания бесконечности. Уже простое ω² указывает на то, что ω в качестве некоей целости отразилось во всех своих отдельных моментах, из которых оно состоит. Это уже нельзя считать бытийным взаимоотношением. Если целое присутствует полностью в каждой части, то тут мы находим уже и смысловое взаимоотношение. Ведь целое в отношении частей есть то, что их осмысливает как именно части. Удаляя целое, мы уничтожаем и части, которые после этого из частей превращаются в совершенно дискретное множество вполне самостоятельных предметов. И если вещь такова, что в ней целое полностью присутствует в каждой части, то это значит, что она рефлектирует в себе не просто свой факт, но и свой смысл. Обращая взоры на себя, она видит в себе не только факт своего существования, но и свою физиономию. Пересматривая свои частичные моменты, она везде видит себя и по существу. В этом смысл изучаемого нами момента ω².

Ясно, что один этот факт саморефлексии ω² еще далеко не есть вся возможная саморефлексия. Бесконечность утверждает себя как факт в процессе В, воплощает себя (конечно, в себе же самой) как факт. В процессе С бесконечность утверждает себя как смысл, воплощает себя как смысл. Но мы уже много раз встречались с дуализмом факта и смысла и везде находили их синтез, потому что реальная действительность не есть ни просто факт и ни просто смысл, но их последнее взаимопроникновение и слияние. Факт должен быть целиком использован смыслом, целиком осмыслен. Это и будет значить, что смысл целиком осуществился и стал во всех отношениях фактом. Нельзя говорить ни о каком воплощении чего бы то ни было, пока целиком не осуществился в инобытии и самый его факт, и самый его смысл. Но процесс от факта к смыслу был у нас процессом от ω к ω², т. е. возведением бесконечности в квадрат. Следовательно, чтобы в сфере смысла использовать весь факт, надо использовать в этих актах саморефлексии все ω. Единичный акт саморефлексии (или единичный акт смыслового самовоплощения) есть возведение в степень. Но что здесь является субъектом рефлексий? Ведь целая же бесконечность. Стало быть, только тогда бесконечность исчерпает себя в саморефлексии, т. е. только тогда она воплотится вся целиком в едином, но полном акте самовоплощения, когда этих актов саморефлексии будет тоже целая бесконечность. Если это случится, то в смысловом самовоплощении бесконечности ее собственный факт и бытие будут исчерпаны полностью. Это и происходит в моменте ω^ω, что и есть окончание процесса С и начало процесса D. Этот процесс D и есть первый полный акт воплощения трансфинитного эйдоса в его инобытии.

Этим характеризуется весьма существенный этап в конструировании континуума. Еще далеко нет самого континуума, но уже есть, так сказать, одна его «точка», если только можно говорить о точках континуума. И что же это за «точка»? Мы видим, что это целая бездна точек, как оно и должно быть по нашему первоначальному условию соблюдать принципы чистого алогического становления. «Точка» континуума есть не просто геометрическая точка, но она в то же самое время порождает из себя целую бесконечность точек, так как эту бесконечность точек порождает уже всякий малейший сдвиг полагаемой точки, а она в силу алогичности данной области не стоит ни одно мгновение на месте. Мало того. Здесь не только бесконечность точек, но эта бесконечность дана сразу как некий единственный акт полагания. Быть же одной точкой для бесконечности точек — это возможно только тогда, когда каждая точка из этой бесконечности есть предел для каждой другой точки из этой бесконечности и для всех их вместе. А это и значит превратиться из ω точек в ω^ω точек. Когда одна точка в качестве предела притягивает к себе бесконечность других точек, то каждая из них, чтобы слиться с первоначальной точкой, должна сама пройти свою бесконечность точек; и, значит, ω точек пройдет ω² точек только для того, чтобы одна первая точка была пределом для всех других. Но так как вовсе не одна точка является пределом для других, а·каждая из ω точек является пределом для всех других, то в результате мы получаем ω^ω точек.

Другими словами, здесь мы наталкиваемся на тождество элемента континуума с его предельной точкой. А множество, которое состоит из всех своих предельных точек, носит название совершенного множества. Следовательно, то, что мы получили ω^ω точек из одного акта полагания, уже обеспечивает нам форму континуума как совершенно связного множества. Совершенство и связность тут уже содержатся, — по крайней мере как принцип. Таково философско–математи–ческое значение первого воплощения эйдоса в виде [ω^ω ].

е) Пойдем дальше. На очереди у нас принцип континуума, формулированный выше, в п. 7f, как пункт d (о порождении и уничтожении). Уже достигнутый нами результат достаточно обнаруживает стихию взаимопорождения и взаимопожирания отдельных актов воплощения. Мы воплощали, т. е. полагали, в инобытии наш трансфинитный эйдос однажды, а оказалось, что это не одна точка, а ω^ω точек. Наша единственная точка породила целую бездну точек, но эта бездна поглотила и ее саму, так что выходит, что точка через эманацию точек из себя уничтожила себя саму. Этот первый полный акт воплощения ω^ω фактически оказался целой бездной взаимопорождающих и взаимопоглощаю–щих точек. Что же нового нам даст этот пункт d? Нового он даст только то, что эта «точка» ω^ω в свою очередь должна будет порождать из себя новую бездну точек с тем, чтобы погибнуть в этой бездне и еще в дальнейшем уничтожить и ее саму. В каком отношении ω^ω оказались к ω, в гаком же и еще дальнейшее порождение этого ω^ω должно оказаться к себе самому. Ясно, что мы получаем (ω^ω)^ωβ = ω^ω».

Этот процесс можно и здесь записать более подробно.

II. Второе воплощение.

A. 1. ω^ω+ 1, ...

B. 2. ω^ω + ω, ... 3. ω^ω + 2ω, ...

4 ω^ω + ω²

5. ω^ω+ω² + 1, ...

6. ω^ω+ω² + ω, ...

7. ω^ω + 2ω², ...

8 ω^ω + ωω²

9. ω^ω + ω³ ...

10 ω^ω+ω^ω

11. ω^ω·2+1, ...

1 2 ω^ω·2 + α>

1 3 ω^ω·2 + ω^ω

14. ω^ω·3 + 1, ... ω^ω·ω

C. 15. ω^ω+1 ... ω^ω+ω

16. ω^2ω... ω^ωω

17. ω^ω2

D. 18. ω^ω

Тут также можно проследить указанные выше четыре процесса (они отмечены в этом списке буквами А, В, С, D). Но мы достаточно разъяснили их выше.

Существенно важным является то, что этот принцип взаимопорождения и взаимопоглощения, отмеченный в п. 7f как d, в сущности своей является тождественным с двумя последними принципами, указанными также под рубрикой [е]. Действительно, что же мы тут делаем такое, как не то, что ω^ω считаем эйдосом в отношении дальнейших порождений, и как не то, что это эйдетизиро–вание проводим с неуклонной последовательностью? То самое, что с точки зрения алогического становления представляется взаимопорождением и взаимопоглощением, с точки зрения смысловой есть только переход эйдоса из одного инобытия в другое. В эпоху романтйзма изображали иронию именно так, что идея осуществляла себя в инобытии и тем уничтожала себя, а инобытие принятием на себя идеи уничтожало себя (как инобытие), но тем же самым и воскрешало себя (ибо становилось осмысленным). Вот эта «божественная ирония» абсолюта над самим собою и совершается в каждом простом акте осмысления, когда смысл из своей чистой и беспримесной сферы выходит наружу, чтобы осмыслить не имеющее смысла. Потому мы и говорили выше о тождестве в континууме хаоса со смыслом, [о том,] что каждое мгновение этой алогической тьмы есть в то же время и скульптурный жест чистого смысла. На приведенных процессах второго воплощения трансфинитного эйдоса мы созерцаем, таким образом, сразу и принцип d, и принцип е из указанных в п. 7f.

О Однако и здесь мы еще не получаем полного континуума. Дело в том, что если первый полный акт воплощения трансфинитности дал нам вместо ω стихию ω^ω, то, получая вместо ω^ω еще новую бездну точек ω^ω\ мы образуем не что иное, как другой, второй полный акт воплощения, когда воплощается уже не ω, но ω^ω. Но почему же мы должны остановиться на этом втором акте воплощения? Как там было недостаточно ω², потому что оно не исчерпывало всей бесконечности, так и здесь недостаточно ω^ω<\ потому что оно не исчерпывает всей бесконечности воплощений. Чтобы пройти от 1 до ω, нужна бесконечность актов полагания или идеальных различений. Чтобы пройти от ω до ω^ω, нужна бесконечность реальных полаганий всей бесконечности, чтобы получилась одна воплощенная бесконечность. Наконец, чтобы охватить бесконечность самих воплощений бесконечности, нужен переход от ω^ω к ω^ω» .

III. Третье воплощение.

ω^ω», ω^ω* , ω^ω» " = Ω

Это третье воплощение есть, таким образом, только окончательное выполнение принципов d и е из п. 7f.

9. а) Чтобы понять, что результатом третьего воплощения является континуум, надо самым четким образом представлять себе наш общелогический анализ континуума в п. 7f, а чтобы реально воспользоваться этим анализом, необходимо было яснейшим образом представлять себе диалектику самого трансфинитного числа. Кто не понимает ω, тот не поймет и континуума; и непонятность континуума есть, в основе своей, непонятность числа ω.

Именно, надо раз навсегда себе запомнить, что если бесконечность есть действительно бесконечность, т. е. охватывает все, то ничто конечное не может в ней изменить ни одной ноты. Бесконечность есть нечто абсолютно неуменьшаемое и неувеличиваемое, нечто абсолютно неделимое. Если думать, что ω действительно составлено из конечных чисел и может быть на них сведено, то это колоссальное недоразумение, которое является препятствием ко всякому пониманию этого ω. Никакими процессами нельзя из конечного получить бесконечное, и никакими процессами нельзя уже имеющуюся бесконечность как–нибудь изменить. Это запомним раз навсегда. Наше трансфинитное число ω, эта актуальная бесконечность, есть только одна неделимая точка, и больше ничего. Его нельзя дробить так же, как нельзя раздробить точку; в этом смысле оно лишено всяких «измерений».

Если это хорошенько себе усвоить, тогда отпадает значительная часть и трудностей, связанных с пониманием континуума, ибо одно из основных возражений против учения о континууме заключается в том, что невозможно его представить себе составленным из точек. Совершенно правильно, что континуум не состоит ни из каких точек, а есть абсолютная сплошность. Но это происходит здесь — принципиально—точно так, как и в простом трансфинитном числе. Как простое ω есть некая неделимая сплошность, несмотря на наличие в нем всей бесконечности чисел натурального ряда, так и континуум ничто не мешает понимать как некую неделимую сплошность, несмотря на бездну точек, из которых он составляется. Если понятно, что такое ω, то понятно и чго такое континуум. И если не понятен континуум, то уже рушится и самое первое трансфинитное число.

Следовательно, весь вопрос заключается не в том, как получить континуум из точек (это общая проблема всякой трансфинигносги), но в том, чем отличается получение континуума из точек [от] получения первого трансфинитного числа из точек.

Будем считать, что это для нас ясно. Если же мы поставим этот последний вопрос, то тут мы столкнемся еще с одной интуицией, которая, если ее взять саму по себе, опять–таки не есть что–нибудь специфическое для континуума, но это такая интуиция, без которой нечего и думать овладеть континуумом как логической идеей. Это интуиция алогического становления. В предыдущем (п. 7а — d) она была изображена достаточно, но мы лак же, как и в проблеме трансфинитной сплошности, укажем сейчас самый основной корень ее, как он необходим для континуума.

b) Корень этот заключается в утверждении слепой мощи созидания, наличной в бытии с той же необходимостью, что и координированно–раздельный эйдос. Только этим становление и отличается от эйдоса, будучи во всех прочих отношениях прямым его повторением. В эйдосе каждый момент отличен один от другого, и в становлении— го же самое (ибо иначе оно и не становилось бы); в эйдосе каждый момент тождествен с другим, и в становлении— то же (ибо иначе оно не было бы сплошностью); в эйдосе каждый момент переходит в другой и останавливается в нем, и в становлении — то же (ибо иначе оно не развертывалось бы последовательно); наконец, эйдос полагает сам себя целиком и ни от чего другого не зависит, и становление — то же (ибо иначе в нем выделялись бы отдельные более активные пункты и оно не было бы безразлично–самостоятельным бытием). Но все эти моменты, повторяющие эйдос, отмечены в становлении одним неизгладимым свойством: оно есть слепая мощь созидания всех этих моментов. Поэтому и самотождественное различие, и подвижной покой, и определенное бытие эйдоса даны здесь как слепые сдвиги, как неопределенная длительность без начала, без конца, да и без середины. Каждый отдельный момент становления никогда не есть он сам, но он сплывает[90] в самый [момент] своего полагания, превращаясь в скользящую тьму неизвестно чего.

И если бы мы захотели двигаться вообще по ровному полю становления, то мы должны были бы заметить, что каждый такой сдвиг, получившийся в результате полагания точки, тотчас же воплощается в новом сдвиге, подобно тому как сам он только что появился из одной идеальной точки, этот сдвиг — еще в новый и т. д. В результате же получается, что в становлении каждая точка не покоится, но тяготеет к другой точке, и притом ко всякой другой точке. Она — центр притяжения всех прочих точек, сколько бы их ни было, а сама она в числе прочих тоже тяготеет ко всем прочим. Таким только образом и можно схватить сущность становления.

с) Если мы овладели этими двумя интуициями — неразложимостью бесконечного и слепым самосозиданием становления, то это будет и овладением идеей самого континуума. Ведь мы же исходим как раз из того, что континуум есть алогическое становление, данное как актуальная бесконечность. Следовательно, чтобы осуществить вышеизложенные интуитивные принципы, 1) надо взять ω, но 2) в этом ω считать не 1, 2, 3… (что было бы только идеально–числовым различением, а не вне–числовым созиданием и воплощением), но считать так, чтобы вместо каждой единицы была упомянутая выше неопределенная длительность, 3) а вместо последовательного прибавления по единице — последовательное воплощение одной длительности в другую. Так как мы уже доказали (п. 8b), что первой «точкой», или первым воплощением, трансфинитного эйдоса является ω^ω, то ясно, почему исчерпание [м ] всех бесконечных последовательных возведений ω^ω в соответствующие степени мы и получаем настоящий континуум.

Надо каждый момент ω понять как алогически становящийся, или, что то же, каждый момент алогического становления понять как трансфинитный, ибо эта взаимо–пронизанность алогического становления и трансфинитного и есть, как сказано, алогическое становление как идеальный предмет.

При этом выясняется и роль последовательных возведений [в] степень. Ведь континуум должен обеспечить нам некоторый трансфинитный рост без разрыва всех моментов роста. Это делается так, что мы имеем сначала один алогический сдвиг, знаменующий первое воплощение трансфинитного, потом воплощение не просто прежнего трансфинитного числа, но воплощение происшедшего сдвига, затем опять не воплощение старого трансфинитного числа, но воплощение этого второго сдвига и т. д. и т. д. При таком росте трансфинитности мы, переходя ко всякому дальнейшему воплощению, имеем в виду все воплощения, бывшие до сих пор, вместе с этим новым, не различая уже нового сдвига от старого. Таким образом, мы все время плывем вперед и вперед, повторяя эти воплощения в каждый момент своего плытия, но самих этих моментов как раздельных не замечаем. Эта же раздельность, которая тут необходимо предполагается, относится не к нашему плытию, но к тому трансфинитному числу ω, которое является единственным основным субъектом всех этих воплощений, а по методу происхождения которого из бесконечности (т. е. путем предельного прыжка) мы и судим здесь о получающемся континууме.

d) Таким образом, континуум есть бесконечное число раз повторенное или, лучше сказать, бесконечно напряженное становление. И это так и должно быть, если мы вспомним, как вообще одна диалектическая категория происходит из другой. В этом сочинении мы не раз пользуемся примером движения и покоя. Эти категории суть взаимное отрицание. Но если мы представим себе, что движение происходит с бесконечной скоростью, то оно сразу, в одно мгновение охватит все точки бесконечности, какие только имеются; и раз ему поэтому некуда будет больше двигаться, оно превратится в абсолютный всеобщий покой. Точно то же самое происходит и с алогическим становлением. Покамест оно взято как такое, в чистом виде, оно есть отрицание эйдоса, смысла, едино–раздельности. Но возьмем его в максимальном напряжении, с бесконечной, так сказать, скоростью распространения. В таком случае оно охватит все точки бесконечности, т. е. всю бесконечность, в одно мгновение. Каждое мгновение бесконечности оказывается алогическим становлением, так как оно отныне решительно всюду как таковое, во всякой точке бесконечности со своим неизменным и абсолютным алогизмом. По этому самому оно не имеет и никакого начала и конца: всякое начало и конец алогично становится, и потому, строго говоря, континиум не имеет ни первого, ни последнего элемента. Однако раз охвачена вся бесконечность, а это ω мы получили раньше как нечто устойчивое и неделимое, то и наше становление переходит тут в свое отрицание; оно здесь как бы останавливается и превращается в расчленяемую, едино–раздельную идею. Это как раз и есть континуум. Мы его можем дробить как угодно и создавать из него какую угодно едино–раздельность, но мы прекрасно чувствуем, что это вовсе не та едино–раздельность, которая есть в конечном, да и не то единство, которое есть в трансфинитном. Хватая отдельные точки этой «едино–раздельности», т. е. фиксируя их на манер конечных элементов, мы сразу видим, как они выскальзывают из наших пальцев и ползут во все стороны. Это и значит, что континуум есть бесконечно напряженное становление и нельзя в нем отмечать никакие конечные моменты, — подобно тому как и смысл, идея есть бесконечно напряженные инобытие и факт. Инобытие есть бесконечно размытое становление эйдоса, а эйдос есть бесконечно сомкнутое восстановление инобытия. Не иначе и в том случае, когда эйдос есть трансфинитное число, а инобытие есть чистое алогическое становление.

е) Только теперь, когда понятие континуума окончательно раскрыло нам свою философско–магематическую тайну, мы можем поставить континуум в тот контекст вне–числовых определений, который мы прервали выше, при переходе к п. 6. Что континуум есть вне–числовое определение, это ясно из того же, из чего ясна и вне–числовая определенность конечных и бесконечных чисел. Ведь чтобы число было конечным или бесконечным, надо, чтобы уже ранее существовало само число, как синие и красные карандаши уже предполагают, что есть карандаш вообще. И как синева и краснота, большие и малые размеры, хорошее и худое качество и пр. суть вне–карандашные определения карандаша, так и конечность, бесконечность, трансфинитность и континуальность тела суть его вне–числовые определения.

Но какое же это вне–числовое определение? Чтобы построить континуум, мы исходим из понятия трансфинитного эйдоса, но мы вовлекли этот последний в стихию чистого становления. Как алогическое становление в виде инфинитезимального бесконечного разыгрывалось у нас на путях от конечного к трансфинитному, составляя в некотором роде внутреннее содержание трансфинитного, так теперь это алогическое становление расстилается вне трансфинитного, увлекая его в свою бездну и по–своему его перестраивая. То, что сначала было внутри, теперь стало трансфинитно, в обоих случаях являясь методом его смыслового конструирования. При таком положении дела континуум явно оказывается чисто выразительной формой, как это видно уже на основании наших принципиальных установок (§ [ ]).

Итак, если конечное, инфинитезимальное и трансфинитное суть вне–числовые определенности, данные — соответственно— как эйдетическое (едино–раздельное), алогически становящееся и наличное бытие (§ [9.44]), то континуум есть, очевидно, вне–числовая определенность числа, данная как выразительная форма.

На этом мы кончаем наш анализ диалектического строения континуума.

10. Два вопроса или, вернее, один вопрос в двух аспектах остается нерешенным. Во–первых, почему выразительная форма должна быть чем–то сплошным и нерас–члененным и не есть ли это только один вид выразительности, в то время как второй вид требовал бы полной расчлененности и оформления? И, во–вторых, почему нельзя идти еще дальше за пределы Ω, совершая над ним те же действия, что и над ω, и какие от этого могли бы получиться результаты?

а) Разумеется, выразительная форма, вообще говоря, есть расчлененная форма (как это вытекает из характеристики выражения в § [69]). Этой расчлененности вполне соответствует и сам континуум, но сейчас мы увидим, что она не единственная. Что такое расчлененность континуума, который сами же мы все время характеризуем как нечто нерасчлененное и сплошное? Для ответа на этот вопрос необходимо опять–таки учитывать своеобразие сферы чистого становления. Ведь мы уже прекрасно знаем и много раз убеждались на конкретном анализе, что становление только тогда и возможно, когда есть чему становиться, т. е. когда есть нечто нестановящееся. В этом смысле становление обязательно предполагает едино–раздельную расчлененность. Последняя, как мы это хорошо видели на предыдущем анализе, присутствует в континууме как бы сзади, за этой сплошной завесой становления, но это присутствие совершенно необходимо, так как реально становление совершается только в отношении этого идеального расчленения. Мы так и говорили (§ [ ]), что нас интересует не самое ω, но все его воплощения в инобытии, которые к тому же всякий раз берутся как нечто совпадающее, как нечто целое. Следовательно, актов воплощения этого ω неисчислимая бездна или, точнее, актов этих Ω, но наблюдаемый результат этих актов — абсолютная сплошность, где эти акты незримо присутствуют в виде каких–то следов или теней основного субъекта воплощений.

Можно поэтому считать континуум некоторого рода интеллигибельной материей, материей — потому что он есть воплощение эйдоса, а интеллигибельной — потому, что все эти воплощения рассматриваются как идеальный предмет, т. е. потому, что они предполагают сферу чистого смысла и сами оказываются стихией чистого смысла, хотя и своеобразной. В стихии смысла материя и эйдос есть ведь одно и то же; материя тут есть только принцип инаковости, различенности эйдетического, в то время как за пределами чистого смысла материя есть принцип фактической реальности, т. е. не просто различения, а силового воплощения, т. е. вещественного притягивания и отталкивания. Пользоваться материей или полагать реальность в сфере чистого смысла — это значит только различать, сохраняя все целое, внутри которого установлены различия; что различно, то для мысли и существует. Пользоваться же материей за пределами чистого смысла — это значит полагать соответствующую реальность как некий факт [по отношению ко ] всем другим фактам и целому, и притом противополагая их вещественно, т. е. в силовом отрыве от этих последних. Так как континуум мы трактовали в виде проблемы чистого смысла, то ясно, что наше Ω есть не только сплошность[91], но и вся расчлененность, которая содержится в последовательных возведениях исходного в степень. Тут материя и эйдос есть одно и то же, а поэтому континуум есть так же все те расчлененные числа и операции, которые были затрачены на его конструирование. В этом отношении континуум уже есть очень определенная смысловая расчлененность; и, если угодно, в этом смысле он состоит из Ω точек (что, конечно, не должно нарушать его сплошности[92] как и составленность ω из бесконечного числа точек нисколько не мешает абсолютной его неделимости). Можно сказать, что континуум тоже есть счетное множество, но—такое счетное, в котором счет производится при помощи чисел II класса.

b) Второй вопрос, поставленный выше, также не терпит отлагательства, если мы стремимся к диалектической системе. В самом деле, что могло бы быть больше самого континуума? Пусть мы имеем какой–нибудь отрезок прямой. Как бы мал или велик он ни был, мощность всех действительных точек на ней совершенно одна и та же. Это мощность континуума. Кантор доказал даже гораздо больше[93]. Именно, оказывается, что мощность континуума двух измерений — такая же, как и мощность континуума одного измерения. И то же самое, оказывается, имеет место и относительно континуумов любого числа измерений, так что континуум бесконечного (или счетного) числа измерений по мощности своей равен континууму одномерному[94]. Действительных точек на данном отрезке не увеличивается и не уменьшается не только от увеличения или уменьшения его длины; но их количество — одно и то же и в пределах любой плоской фигуры, любого трехмерного тела и любого тела любого числа измерений. Это поразительное открытие способно озадачить любую философскую голову. Но мы не очень этому удивимся, так как уже привыкли от бесконечности ожидать самых невероятных вещей. Если понятно, что бесконечность ω вообще не увеличивается и не уменьшается, то в конце концов понятно и учение Кантора о равномощности с одномерным континуумом как угодно многомерного континуума.

Если все это так, то мы оказываемся как будто бы в трагическом положении: никакими действиями нельзя в дальнейшем выйти за пределы континуальной мощности. Фактически, однако, дело обстоит иначе. Ведь и ω, говорили мы, недоступна никакому ни увеличению, ни уменьшению, и все же мы получили в результате увеличения ω целый ряд разных порядков шив конце концов Ω, то, что уже имеет совсем другую природу, чем ω и чем любые ее порядки. В чем тут дело? Дело в том, что для бесконечности совсем не совпадают между собою мощность и тип множества, вполне фактически совпадающие для конечных множеств. Мощность каждого числа второго класса (между ω и Ω)—совершенно одна и та же — счетная мощность. Типы же чисел второго класса везде разные, т. е. везде разная упорядоченность. Также и после континуума мы находим мощности, которые все подряд являются континуальными. Но, применивши сюда идею порядка, мы сразу видим, что у нас получаются континуумы η вполне различных порядков, т. е. различного числа измерений.

Вот эта идея и является здесь решающей. Подобно тому, как малейший сдвиг точки со своего места уже порождает отрезок, на котором мощность всех действительных чисел равна континууму (одномерному), так малейший сдвиг самого отрезка уже порождает некоторую плоскость, на которой мощность всех действительных точек равна тоже континууму, но—двухмерному. Тут же мы проделываем все те операции, что и для перехода от ω к Ω, и получаем Ωχ. От Ω_χ мы таким же путем доходим до Ω₂, от Ω₂ до Ω₃ и т. д. и т. д., получая континуумы все большего и большего числа измерений. Наконец, мы получаем и бесконечно–мерный континуум Ω^, а дальше затем и такой континуум, у которого множество измерений само имеет мощность континуума, или континуально–мерный континуум <Ω_ω>.

Отсюда выясняется вся принципиальная важность трансфинитных чисел классов, начиная с третьего. Уже Ω есть переход от одномерного континуума к двухмерному, следовательно, третий с Ω класс чисел дает двухмерный континуум, четвертый (начиная с Ω₃) дает трехмерный континуум и т. д. С момента Ω_ω начинается континуальная сплошность бесконечного числа измерений континуума. И, соответственно, Ω_Ωι, Ω_Ωζ, Ω_Ωι и т. д.

Мы, однако, не станем анализировать все эти числовые бездны, чтобы не впасть в потенциальную бесконечность и тем самым не нарушить принципа транс–финитности. Для нас достаточно выставить просто множество всех чисел, куда войдут и все континуальные, как и неконтинуальные порядки; множество всех чисел есть вполне упорядоченное множество, обладающее целым рядом совершенно определенных свойств. Но мы [не] станем здесь строить теорию этого замечательного множества, а только закрепим его терминологически как тотальность, понимая под этим все, что вообще больше континуума, — по преимуществу же счетно–мер–пый континуум.

Если уже просто континуум, как указано выше, есть вне–числовая выразительная форма числа, то сфера тотальности, которая есть раскрытие общеконтинуального принципа, оказывается наивысшей развитой выразительной формой вне–числового осмысления числа вообще. Этим, надо думать, исчерпывается вся сфера чисел вообще.

11. а) Остается еще одна область вопросов, которую нам необходимо выставить тоже на первый план, оставаясь, конечно, на позиции чисто принципиального исследования. Это, вообще говоря, вопрос о взаимопред–полагаемости и в то же время взаимонесводимости всех рассмотренных выше диалектических ступеней вне–числового осмысления. Математики здесь блещут точностью и общеобязательностью своих заключений. Для характеристики этого разброда Η. Н. Лузин[95] воспользовался «демоном» Максвелла, который владеет каждым математиком и внушает ему одни вкусы, исключая другие.

«1. «Демон» Брауэра. Его область есть область целого конечного, и притом ограниченного путем указания верхнего конечного предела. За этой областью все лежит «вне математики».

2. «Демон» Бэра. Его область есть просто область целого конечного без указания верхней конечной границы. Бесконечное — это лишь fagon de parler[96] и находится «вне математики».

3. «Демон» Бореля. Его область есть область счетной бесконечности. Всякое несчетное множество — «вне математики».

4. «Демон» Лебега. Его область есть область мощности континуума. Всякая операция, требующая континуум простых шагов, доступна этому «демону»; поэтому определение верхней меры еще лежит в области математики. Но мощность 2^е, мощность совокупности всех функций, уже отрицается Лебегом и не по силам его «демону».

5. «Демон» Цермело. Его поле операций — всякие мощности, в частности, всякое множество «демон» Цермело может «сделать» вполне упорядоченным».

Что может сказать философ по этому поводу? Можно только улыбнуться наивности этих философских рассуждений и похвалить за откровенное признание математиками субъективизма своей философии. Сказать, что существует только конечное и нет ничего бесконечного, или сказать, что существует только бесконечное и нет никаких подразделений в сфере бесконечного, — это значит слишком откровенно раскрывать свои ни на чем не основанные, но весьма интимные потребности и симпатии.

Приходится и здесь покинуть эту зыбкую и наивную почву кустарных домыслов и обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики. Но суд диалектики беспощаден.

b) Для диалектики совершенно нет никаких оснований предпочитать одну категорию другой. Если га или иная категория как–нибудь образовалась, т.е. имеет тот или иной смысл, то этого уже достаточно для того, чтобы ее нельзя было уничтожить никакими силами. Если конечное, бесконечное и разные виды бесконечного являются хоть какими–нибудь логическими категориями (пусть не столь богатыми, как можно было бы предполагать), то этим уже все решено: никакую категорию нельзя просто уничтожить, ее можно только подчинить другой или, наоборот, другую категорию подчинить ей, можно, наконец, при желании, и совсем о ней не размышлять, но если она хоть что–нибудь значит, то мыслить ее можно только как необходимую. Следовательно, поскольку в предыдущем мы именно установили смысл выразительно–числовых категорий, постольку все они для пас обязательны, и мы не можем пожертвовать ни бесконечным в пользу конечного, ни конечным в пользу бесконечного. Речь может идти только о диалектической системе этих категорий, т.е. о том, в каком смысле одна из них предполагает другую и как они объединяются в одно целое.

c) Чтобы укрепиться в той позиции, что рассмотренные нами выразительные формы есть именно категории, обратим внимание на то, что им вовсе не свойственны чисто количественные различия. Профан обычно думает, что конечное — это что–то обязательно очень маленькое, а вот бесконечное — это что–то ужасно огромное, что получается в результате постепенного увеличения малых размеров конечной величины. Эта точка зрения должна быть уничтожена до последнего основания. Никаким увеличением нельзя конечное превратить в бесконечное и бесконечное в континуум. Тут разница не по количеству, а по качеству или, точнее говоря, по категории. Никогда одна категория не расплывается и не воссоединяется так, чтобы из этого получилась другая категория. Эту другую категорию никаким способом нельзя получить откуда–нибудь, если она еще не существует сама по себе. Всякое получение одной категории из другой в диалектике вполне равносильно и их полной взаимной независимости и самостоятельности.

В частности, нужно сказать, что данный отрезок прямой вовсе не должен быть увеличиваем до бесконечности, чтобы мы имели эту бесконечность реально. Каждый конечный отрезок, как бы мал он ни был, уже есть бесконечность точек и интервалов и даже континуум, и даже в известном смысле тотальность. Бесконечность отличается от конечного вовсе не тем, что она больше его. Один и тот же отрезок, например — в один сантиметр, может считаться и конечным, и бесконечным, и континуальным, и тотальным, смотря по точке зрения, т. е. смотря по той категории, которую мы употребим для оценки данного отрезка.

Вот почему нелепы рассуждения тех математиков, которые допускают в своей науке только конечные величины, но пугаются счетных множеств или допускают счетные множества, но пугаются еще высших мощностей. Уже допустивши отрезок [0; 1 ], математик допустил решительно все — и конечную, и счетную, и континуальную, и тотальную мощность. И даже если бы он допустил отрезок, в любое количество раз меньший, чем [0; 1 ], он все равно уже фактически, но скрыто для себя, допустил все указанные основные выразительные формы числа.

Итак, в отношении выразительно–числовых форм мы должны выставить следующие положения.

1. Существует четыре основных выразительно–числовых формы: а) конечная, b) инфинитезимальная, с) трансфинитная и d) континуально–тотальная.

2. Если число дано на стадии выразительной формы, то оно сразу содержит в себе все эти четыре формы. Если оно характеризуется хотя бы одной из этих форм, то остальные также присутствуют тут целиком.

3. Это, однако, не значит, что всеми ими нужно пользоваться сразу. Обычно выбирается и фиксируется какая–нибудь одна из них, смотря по той категории, которую желательно иметь в виду. Конечная выразительная форма основана на категории едино–раздельности (или бытия определенного), инфинитезимальная — на категории становления, трансфинитная — на категории ставшего и континуально–тотальная — на категории энергийно–эманативного бытия.

4. Никакая из этих категорий не сводима одна на другую, но никакая зато и не может существовать без других. Все они — нечто, и все они — разное.

d) Такая установка поможет нам и при детальном рассмотрении указанных форм, которого, впрочем, мы делать не будем, но которому зададим только определенное направление.

I. Как возможно конечное?

a) Пусть существует конечная выразительная форма, которая в то же время не есть инфинитезимальная. Это значит, что в пределах этой формы невозможен ни малейший сдвиг, т.е. что от начального элемента конечного никуда сдвинуться нельзя, и, значит, тем более нельзя дойти до последнего элемента, т.е. конечное перестало быть конечным, обозримым.

b) Допустим, что есть конечная выразительность без трансфинитной. Поскольку трансфинитное число есть предел конечной операции, постольку исключение транс–финитности есть исключение предела, т. е. самой возможности достигнуть конца. Значит, в конечном при таких условиях мы не смогли бы достигнуть последнего элемента, даже если сдвинулись бы с первого элемента, т.е. конечное перестало бы быть конечным, обозримым.

c) Но пусть исключается континуум. Это значит, что внутри конечного образованы такие пропасти и разрывы, которые нельзя ничем преодолеть, так что если бы мы даже и обладали первым и последним элементом конечного множества, то мы не знали бы, что находится «посредине», т. е. не знали [бы ], что наши элементы есть именно первый и последний.

Конечно то, что имеет начало, середину и конец. И вот оказывается: если конечное не есть в то же время стихия бесконечно–малого, то оно не имеет начала. Если оно не есть в то же самое время и трансфинитное, оно не может иметь конца. А если оно не есть континуум, то оно не имеет и середины. Скажут: а если сама едино–раздельность не обеспечивает нам начало, середину и конец? Да, это есть действительно категория определенного бытия, но мы не можем воспользоваться ни началом, ни серединой, ни концом для конструирования числа и множества, если нет налицо указанных условий. Начало есть, но мы не можем с него сдвинуться; середина есть, но мы не можем через нее пройти; конец есть, но мы его не достигаем. Являются ли в таком случае эти отвлеченные категории реальной характеристикой числа и множества?

Итак, если нет бесконечного, то нет ничего и конечного. Условием возможности конечного является бесконечное.

II. Как возможно бесконечно–малое и бесконечно–большое?

a) Если существует бесконечно–малое, которое в то же время [не] является конечным, это значит, что оно есть чистое становление, в котором нет никакой едино–раздельности, г. е. которое вообще даже не есть нечто. Но тогда получается такое становление, в котором неизвестно, что именно становится. Но это есть только словесная нелепость, потому что для dx должно существовать само х. Бесконечно–малое существует лишь как известное приращение конечного. Бесконечно–малое и бесконечно–большое и есть не что иное, как становящееся конечное. Отбросивши здесь конечное, мы отбрасываем определенность самого понятия, т. е. делаем абсолютно алогичным и, значит, необсуждаем [ым ] само бесконечно–малое.

b) Но, может быть, существует инфинитезимальное бесконечное без всякой трансфинитности! Этого очень многим математикам хотелось бы… Но, к сожалению, это не так. Если в инфинитезимальном нет трансфинитного, то с точки зрения чистой логики это означает только, что становление здесь не имеет никакого направления, не имеет никакой цели, т.е. не содержит в себе предела. Однако момент предела входит в самое понятие бесконечно–малого и бесконечно–большого. Не нужно думать, что актуальная бесконечность существует только для бесконечно–большого. Веронезе показал, что существует также актуальное бесконечно–малое. Раз есть предел, то в условиях алогического становления уже с необходимостью существует и трансфинитное (хотя оно тут не используется), ибо последнее и есть определенный синтез становления с пределом.

с) Точно так же немыслимо бесконечно–малое и тогда, когда оно не есть континуум. Если он не есть континуум, это значит, что в нем отсутствует само становление, процесс и уже тем более, значит, отсутствует непрерывность. А это значит, что бесконечно–малое есть постоянная величина, что противоречит самому его понятию.

Итак: если бесконечно–малое не есть в то же время конечное, оно есть становление неизвестно чего; если оно не есть еще и трансфинитное, оно есть становление неизвестно какое[97]; если, наконец, оно не есть континуум, оно вообще не есть становление, или процесс, оно вообще не есть переменная величина.

III. Как возможен континуум?

a) Допустим, что континуум не содержит в себе ровно ничего, что указывало бы на конечность. Это значит, что континуум лишен категории едино–раздельности. Но если нет едино–раздельности, то нет и сплошности, ибо последняя есть не что иное, как заполненная едино–раздельность. Однако, что получится, если мы выделим из континуума все, что создает в нем сплошность, и постараемся получить едино–раздельность? Это значит, что мы получим континуум, в котором не будет никакого счетного скелета, т. е. окажется неизвестным, сплошностью чего именно является континуум. Мы получим множество всех действительных чисел, в котором, однако, нельзя будет указать ни одного рационального числа (ибо множество всех рациональных чисел—счетное), что невозможно. Это, конечно, не значит, что континуум состоит из этих едино–раздельных элементов; но это значит, что для сплошности необходим едино–раздельный скелет, который после своего заполнения и превращается в неразличимую сплошность.

b) Континуум немыслим и без инфинитезимального момента. Это значило бы, что он мыслим вне процесса становления, а тут мы пришли бы к его распадению на дискретное множество. Каждая «точка» континуума, по вышеизложенному ([п. 9]), есть именно становящаяся точка, так что лучше уже говорить не о точках, а прямо об отрезках.

c) Наконец, континуум, лишенный признаков транс–финитности, есть континуум, в котором ни одна точка не есть предельная. А это исключается самим определением континуума как совершенного множества.

Итак: континуум вне категории конечного есть сплошность неизвестно чего; он же, лишенный категории трансфинитного; есть сплошность неизвестно какая, а лишенный категории бесконечно–малого, он вообще не есть сплошность.

е) Самое же главное (оно же предпосылка, оно же резюмирующий вывод) во всем этом исследовании заключается в отрицании грубоколичественного подхода не только к категориям континуума, трансфинитных чисел и бесконечно–малых величин, но даже и к самим конечным числам и величинам. Даже и конечность числа не есть количественная характеристика числа, ибо по голому количеству еще нельзя судить, конечное оно или бесконечное. Если я сказал «пять», то только обыденная традиция человеческого сознания заставляет признать, что это есть именно нечто конечное. Сама же отвлеченно взятая пятерка — и бесконечность, и континуум, и ни то ни другое, смотря по точке зрения. В связи с этим шестерка больше, чем пятерка, но бесконечность ничуть не больше пятерки; и если математики так выражаются, то они сами же себя секут, когда начинают оперировать с бесконечными величинами. Оказывается, хотя последние только и «больше» конечных, но на самом деле они по самому существу своему совсем другие, так что неприменимо даже самое это понятие «больше» или, вернее, оно имеет тут везде разный диалектический смысл.

Одна структура — это арифметическая едино–раздель–ность; тут свое понимание[98] «большего», «меньшего» и «равного», а именно, эти понятия даны едино–раздельно, стабильно. Совсем другая структура—инфинитези–мальное становление; другое здесь и понимание «больше», «меньше» и «равняется», а именно, тут самые эти понятия даны в становлении, в текучести, поэтому и самые операции в анализе бесконечно–малых совсем другие. Как ясно из предыдущего исследования понятия трансфинитного числа и континуума, также и здесь свое собственное понимание этих >, < и =. Поэтому нельзя говорить, что бесконечное больше конечного, если само «больше» в бесконечном и конечном разное.

Можно сказать еще и так. Конечное и многочисленные виды бесконечного не есть различие предметное, бытийственное, но — чисто смысловое, а именно, вырази–тельно–смысловое. С точки зрения онтологической предметности о бытии с одинаковым правом можно сказать и что оно конечное, и что оно бесконечное, и что оно континуальное, сплошное. Можно сказать, что существует только конечное, а бесконечность и континуум есть его виды (хотя тут надо было бы проанализировать, что значит «вид»[99] Можно сказать, что существует только бесконечное, а конечное и континуум есть его виды. Можно сказать, что существует только континуум, а конечное и бесконечное есть его виды. Везде тут по–разному придется понимать термин «вид», но, не вникая в подробности, можно с некоторым грубоватым, но вполне реалистическим добродушием сказать, что одно тут «подчинено» другому и что каждая из этих категорий вполне «выводима» из другой. В одном случае «выведение» есть заполнение фона, в другом оно есть выделение и вырезывание на некоем фоне. Но зато уже ни при каком реализме недопустим ни мещанский субъективизм Брауэра и Бэра, ни рационалистическая импотенция Бореля и Лебега. Только «демон» Цермело немного высовывает свою голову из этого мещанского болота мелкого субъективизма, да и тут способен только беспомощно выставить правильный тезис, будучи не в силах претворить его в живую действительность.

§ 73. Аксиома выражения в теории вероятностей.

Наконец, необходимо дать не подробную, но все же принципиально определенную установку для дедукции выразительной сферы и в области теории вероятностей. Ограничимся самым необходимым.

1. а) Выражение есть внешность, по которой узнается внутреннее. До сих пор (§ 49, 53, 57, 61.4, 62.5, 63.7) мы находили в теории вероятностей только такие категории, о которых нельзя было сказать, внутренние они или внешние. Самое это различие впервые зарождается там, где полагается различие факта и смысла, т. е. на ступени наличного бытия. Дальнейшее уже будет смыслом факта, т. е. чем–то внешним, поскольку и факт есть внешнее в сравнении с тем внутренним, которым теперь оказывается чистый, т. е. до–фактный, смысл. Раньше мы находили в теории вероятностей отдельные операции над вероятностями (§ 62.5) и закон больших чисел (§ 63.7). Необходимо, следовательно, подчинить эти операции и это применение закона больших чисел таким новым преобразованиям, которые бы превратили их в то, что, будучи по существу внутренним, теперь сорганизовалось заново и потому стало внешним.

b) Наиболее яркую форму этого теоретико–вероятностного выражения надо находить в учении о законе нормального распределения вероятностей и вообще в теории построения нормальных и уклоняющихся от нормы кривых распределения. Здесь, во–первых, сначала имеются в виду вообще теоретико–вероятностные операции, так как тут наличен целый ряд вероятностей, так или иначе получаемых из опыта или теории, и также — закон больших чисел, потому что здесь ставится вопрос, какою функцией является вероятность, когда по мере возрастания количества событий сглаживаются случайные уклонения отдельных событий от их математических ожиданий. Однако это еще не все. Именно, во–вторых, здесь разыскивается закон распределения вероятностей, т.е. здесь самое исчисление вероятностей является чем–то отвлеченным, внутренним, получающим внешнюю конкретность от нового оформления. Следовательно, и здесь аксиому выражения необходимо формулировать как утверждение тождества внутренно–внешних направлений становления для исчисления вероятностей.

Мы не будем анализировать ни предельных теорем Лапласа, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова, ни закона (Гаусса) нормального распределения вероятностей, ограничиваясь только их общей диалектической установкой. Но ясно, что тут мы находимся в сфере теоретико–вероятностного выражения[100] ^— уже по одному тому, что оперируем с кривыми, которые всегда есть выражение в отношении аналитических данных. Но тут, кроме того, исследуется становление вероятностей, определенным образом сконструированное, а именно путем выключения всяких случайных уклонений, т. е. путем выявления чисто смысловой стороны становления. А сконструированное таким смысловым образом становление всегда есть выразительная форма.

2. Но в предыдущих параграфах мы констатировали разные диалектические типы выразительной измеримости. Арифметика дала нам разные типы преобразований, которые в геометрии соответствуют разным типам пространства. Если даже и не входить в подробности, то нельзя ли дать хотя бы общую установку для такого понимания вероятности, которое можно было бы назвать неэвклидовским? Да, такая методологическая позиция уже давно намечена в науке, и в настоящее время она обросла солидным математическим аппаратом. Я имею в виду основные факты т. н. волновой механики.

В чем тут дело? Придется на минуту отклониться в сторону, чтобы наше утверждение о «неэвклидовости» вероятности стало более или менее понятным[101].

a) В истории учения о свете известны две большие теории, связанные с именами Ньютона и Гюйгенса. Ньютона считают создателем корпускулярной теории света, по которой светящееся тело испускает из себя частицы, движущиеся в пустом пространстве наподобие самых обыкновенных материальных частиц, т. е. прямолинейно и равномерно, если отсутствует влияние всякой посторонней силы. Эта теория довольно удачно объясняла явления отражения и преломления, но она оказалась совершенно непригодной для объяснения интерференции и дифракции. Волновая теория, основателем которой считают Гюйгенса, рассматривала скорость света как волновую скорость. Работы Физо и Френеля, казалось, окончательно утвердили господство волновой теории. Знаменитая электромагнитная теория света у Максвелла вполне стояла на точке зрения светового эфира Пойгенса, механические колебания которого и понимались как свет.

b) Однако эта теория наткнулась на большое препятствие, создавшееся благодаря формулированному в 1905 г. «принципу относительности». Если кратко сказать, то этот знаменитый принцип основывается на такой последовательности идей. 1) Исходный пункт: отрицается абсолютность, т. е. повсеместная однородность и неподвижность пространства. 2) Отсюда вытекает невозможность ориентировать абсолютное движение относительно пространства, т. е. невозможность вообще определить абсолютное движение. Получается, что можно говорить только об относительном движении. 3) Но это значит, что невозможно судить и о тех абсолютных изменениях скорости света, которые она претерпевает в связи с прохождением света через те или иные подвижные системы. Скорость света признается всегда постоянной, так что есть как бы некая математическая бесконечность, которая не увеличивается и не уменьшается от прибавления или отнимания никаких конечных количеств. Это подтвердилось и экспериментально (опыты Майкельсона, Морли и др.). 4) Постоянство скорости света вместе с ориентацией на нее всех реальных скоростей приводит к учению о сокращении тел в направлении движения с точки зрения неподвижной системы, причем это сокращение выражается простейшим образом с помощью т. н. Лоренцовых преобразований. 5) Геометрическое толкование этих процессов приводит к выводу за пределы Эвклидового пространства, так как вытекающая отсюда кривизна пространства уже не может равняться нулю. 6) Получающееся пространство по этому самому уже не вмещается в обычные три измерения, и обычные трехмерные векторные величины становятся четырехмерными векторами, причем четвертое измерение может быть рассматриваемо как результат движения, т. е. времени.

Вот эта–то релятивистская теория света и оказалась несовместимой с ньютоновским механическим атомизмом (хотя старые уравнения электромагнитной теории вполне совместимы с постоянством скорости света).

с) Но корпускулярная теория Ньютона в эти же самые годы получила неожиданное подкрепление, которое, впрочем, фактически еще дальше уводило от Ньютона к сближению с волновой теорией, но уже в новом понимании. Это подкрепление было создано квантовой теорией. Незадолго до работы Эйнштейна 1905 г. Планк, желая объяснить распределение интенсивности в спектре теплового излучения, предположил, что атом и испускает, и поглощает лучистую энергию скачкообразно, т. е. отдельными порциями, или квантами, энергии. При этом оказалось, что квант энергии связан с частотой колебания излучения, и связан очень определенным образом, а именно

e = h • ν,

где ν—частота колебания, a h — 6,55 · 10~²⁷ эрг. сек., величина постоянная.

Хотя сам Планк мыслил это свое открытие вполне в рамках старой электромагнитной волновой теории, Эйнштейн пошел гораздо дальше. В самом деле, если испускание световых квантов (их потом стали называть фотонами) совершается одинаково в любой координатной системе, то скорость их всегда равна скорости света, с = 3 10¹⁰ см/сек., а если эта скорость уменьшается, то они должны просто уничтожаться. Это и случается, когда фотон поглощается материальным атомом. Он не присоединяется механически к атому, как это мыслил Ньютон, а как бы размывает его и размывается сам. И кванты, по этому воззрению, не распространяются сферическими волнами, а двигаются с собственной энергией и количеством движения (в виде пространственно–временной проекции четырехмерного вектора того и другого) как некоторые математические точки, сообщая атому в случае своего поглощения последним и свою энергию, и количество движения. В дальнейшем такие факты, как фотоэлектрический эффект или эффект Комп–тона, дали замечательное подтверждение идеям Эйнштейна. И в результате получилась необходимость признать сразу и волновую, и корпускулярную точки зрения на свет, который в одних случаях проявляется как монохроматические волны с определенной частотой колебания, а в других — как однородное корпускулярное излучение с энергией кванта ε = Αν (где h — планковская постоянная). Фотон имеет определенное направление движения, но это направление совпадает с направлением световых волн.

К этому можно присоединить и чисто количественное взаимоотношение результатов корпускулярного и волнового аспекта. С корпускулярной точки зрения интенсивность света есть количество частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к направлению световых лучей. В волновом же отношении она есть квадрат амплитуды колебаний в данной точке

N = ¥

С первой точки зрения число частиц, пересекающих в единицу времени единицу площади, равно произведению N на скорость света с, которое есть плотность тока частиц, характеризуемое как трехмерный или (с присоединением четвертой проекции времени) четырехмерный вектор и (после перемножения слагающих четырехмерных векторов, т. е. с получением 16 величин) четырехмерный тензор. Но мы можем перемножать слагаемые электрического и магнитного поля и тоже получим 16 величин, образующих свой тензор энергии. Последний будет вполне аналогичен тензору корпускулярной теории.

d) Таким образом, мы приходим к теории, которая сразу является и корпускулярной, и волновой, — другими словами, теорией сразу и прерывности, и непрерывности. В 1924 г. французский физик Луи де Бройль применил эту двойную точку зрения к самой материи (т. е. к электронам и протонам), которая с тех пор тоже рассматривается теперь как корпускулярно–волновая структура. Эта структура не сразу была формулирована как вполне оригинальная. Еще де Бройль думал свести «частицы» к «волнам» в том смысле, что каждая отдельная частица трактовалась как резкий[102] максимум амплитуды той или иной волновой системы. Однако оказалось, что эти «волновые пакеты» (как их назвал Шредингер) совершенно не объясняют индивидуальных[103] электронов в явлениях дифракции и интерференции, хотя скорость частиц и совпадает с групповой скоростью и со скоростью волновых пакетов. Как раньше ньютоновская корпускулярная теория не смогла объяснить[104] явлений дифракции и интерференции, так и теперь пришлось отказаться от прямолинейного движения частиц по природе и признать, что движение это зависит от системы волн, сопровождающих эти частицы. Значит, необходимым оказывается и существование «волн», и существование «частиц», одно никак несводимо на другое. Но тогда как можно было бы приблизиться к пониманию и к охвату этого параллелизма или дуализма?

Тут–то мы и встречаемся с новым пониманием вероятности.

3. В самые последние годы господствует такая схема в волновой механике. Интенсивность света определяется числом частиц. Чем более интенсивны волны, тем оказывается большее количество частиц, и, чем они слабее, тем частиц меньше. Пусть мы имеем отдельный электрон. Ясно, что, чем интенсивнее волна, тем более вероятность появления электрона в данном месте. Вероятность эта, очевидно, пропорциональна интенсивности волны в данной точке. Имея упомянутую выше непрерывную волновую функцию \|/², нетрудно определить среднее, или вероятное, число частиц в данном объеме, — стоит только взять произведение этой функции на объем, ψο Δυ. Это произведение есть не что иное, как мера вероятности нахождения одной из частиц в элементе объема Δυ, а ψ о есть мера плотности вероятности для нахождения частицы в данной точке пространства. Это толкование взаимоотношения волн и частиц как соотношения вероятности было введено Борном. И такое представление вполне удовлетворительно связывает волновую и корпускулярную точки зрения, остающиеся при всяком ином подходе очень трудно соединимыми.

Здесь удобнее всего видеть все различие новой волновой механики от старой классической. Когда требовалось определить положение частицы в старой механике, брали некое начальное положение частицы и ее скорость в этот момент, а затем интегрировали ньютоновские уравнения движения и получали нужные координаты положения (как функции времени). В новой же волновой механике мы находим не точное положение частицы, а только вероятность того, что она будет иметь это положение в данный момент времени. А так как вероятность эта измеряется квадратом амплитуды волн, связанных с частицей, то мы тут находим, в сущности, только закон распространения этих волн, или волновую функцию ψ, в зависимости от трех пространственных координат и еще от времени.

Такое положение дела еще более заостряется, если мы примем во внимание т. н. соотношение неопределенности, формулированное Гейзенбергом. Пусть мы точно определили скорость частицы. Если так, то ведь сделать это могли только при помощи установления системы плоских гармонических волн с одной и той же амплитудой во всем пространстве. Но это значит только то, что положение нашей частицы оказалось совершенно неопределенным. Пусть мы точно зафиксировали положение частицы. Это можно сделать только путем сведения протяжения волнового пакета к нулю. А это значит, что скорость нашей частицы оказалась совершенно неопределенной, так как при этом условии одинаково вероятны все значения и направления скорости. Чем точнее определяется скорость, тем расплывчатее оказывается положение; и, чем точнее положение частицы, тем неопределеннее оказывается ее скорость.

Это соотношение нельзя толковать как печальную необходимость наблюдателя ограничиваться слишком несовершенными способами при измерении столь малых расстояний. Тут нет ни малейшего субъективизма. Тут — объективная картина той неопределенности, которая царит на изучаемом участке реального бытия. И это, собственно говоря, есть не столько неопределенность, сколько отсутствие детерминизма и механи[ци]зма. Ньютоновская механика предполагает механистический детерминизм бытия. Здесь абсолютно точно вычисляется наперед и положение частицы в зависимости от скорости и пройденного пути, и скорость в зависимости от достигнутого положения. Волновая механика в этом смысле индетерминистична: она оставляет «свободу» самоопределения частицам, откуда и вытекает столь большое значение идеи вероятности, связующей частицы и волны в одну цельную картину. Раньше думали, что электрон — это определенный индивидуальный электрический заряд, т. е. прерывистый заряд, связанный с той или иной орбитой. Теперь же оказалось, что электроны представляют собою непрерывное распределение заряда с плотностью, пропорциональной интенсивности волн (вышеуказанной величине \|/²). Атом как бы размазан, расплывается по «пространству», причем само это «пространство», по–видимому, надо считать впервые только еще образующимся, а не существующим заранее наподобие абсолютной однородности эвклидовского пространства. В сложных атомах эти волны образуют многомерное пространство. Но это последнее тут вовсе не фикция, раз оно определенным образом характеризует процессы трехмерного пространства.

4. Разумеется, набросанные только что мысли о «не–эвклидовской» вероятности нисколько не могут претендовать на обстоятельность и полную ясность, так как это относится к специальной науке, теоретической физике, которая как раз теперь переживает небывалый кризис, требующий разъяснения самых первичных основ знания[105]. Но вышенабросанные мысли претендуют на то, чтобы дать аксиоматическую установку на определенный участок математической мысли; и такая необычная вещь, как соединение идеи вероятности с разнородным пространством, осталась бы слишком отвлеченной, если бы мы не указали соответственного физического аналога. С этой точки зрения уже имела бы значение простая ссылка на волновую механику, а не только попытка кратко формулировать относящийся сюда феномен.

Сообщение идеи вероятности с разными типами пространства имеет для нас исключительно важное значение еще и потому, что вероятность, относясь к бытию модальному, есть бытие максимально конкретное. Его мы выше (§ 9) характеризовали как бытие историческое, ибо в нем учитывается его самопроизвольность, которой совершенно нет в других типах числового бытия. Но с другой стороны, если брать геометрию, то ни топология, ни проективная геометрия, ни аффинная не есть полнота определений пространства. Только метрическое пространство дает наглядную физиономию пространственной фигуры; но метрика эта бывает разная, и эвклидовская метрика — наиболее бедная и бессодержательная. Вот почему идея вероятности в соединении с неэвклидовскими математическими точками зрения есть максимально конкретная позиция в математике вообще; и открывающееся здесь выразительное бытие числа обладает и наивысшей свободой самоопределения, и самыми богатыми физиономическими возможностями.

Тут—естественный конец аксиоматики.

f) ОБЩЕЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ § 74. Итог аксиоматики.

1. Мы проделали большую работу. Обозреть всю диалектическую судьбу числа как суждения—это значит построить огромную диалектическую систему; и кому хоть что–нибудь неясно в этой системе, тот должен затратить всякие усилия для достижения ясности, ибо, кто не обладает последней ясностью в диалектике аксиом, тот не сумеет разобраться ни в чем последующем. Правда, ясность мысли и ясность слова — совершенно разные вещи, и они часто не совпадают. Автор настоящего исследования имеет такие диалектические мысли, которые кажутся ему предельно ясными, но он не может этого сказать решительно о всяком своем слове, так как воплощение сложных диалектических построений в словах всегда означает напряженнейшую борьбу с человеческим языком, который упорно и даже отчаянно сопротивляется, когда его заставляют выражать что–нибудь отвлеченное. Поэтому надо еще раз обозреть всю нашу диалектическую аксиоматику, минуя детали, но лишь соблюдая единство картины, чтобы добиться и в словах той абсолютной ясности, которая присуща прочно продуманной мысли.

2. Аксиоматика (и вообще всякая диалектика) основана на последовательном созревании категорий. Если уловлена эта последовательность, значит, уловлено все. Но всякая последовательность содержит в себе какое–то начало, какой–то закон развития и какой–то конец. Уловивши эти моменты, мы улавливаем и всю последовательность.

Итак, аксиоматика предполагает какое–то начало. Что это за начало? Начало должно быть максимально просто, максимально несложно. Дойдя до последней простоты, мы доходим до подлинного перво–принципа. Что же это за нерво–принцип в математическом суждении? Что такое то, проще чего не может быть [ничего] ни в каком математическом суждении? Если мы возьмем арифметику, то таким абсолютно простым началом всякого суждения будет, очевидно, единица. Нет ничего проще единицы. В геометрии таковым перво–принципом является точка, ибо в пространстве нет ничего проще точки. В теории множеств таковым перво–принципом необходимо считать элемент, который от единицы отличается идеей порядка, а от точки — идеей чисто количественной осмысленности. Наконец, теоретико–вероятностным перво–принципом является модальное отношение, или событие, рассмотренное в свете модального отношения; это и есть вероятность.

Таково начало аксиом в различных математических науках. Едва ли можно спорить об этом; во всяком случае о единице и точке не может быть никаких сомнений. Перво–принцип вообще есть абсолютно простейшее во всякой данной области. Число, взятое в своей последней простоте и свободе от всего иного, есть перво–принцип всей математики, подобно тому, как чистое полагание есть перво–принцип самого числа. Но вот мы переходим к первым определениям числа, т. е. рассматриваем число как суждение, раскрывающее существенные свойства тела и тем его определяющее; другими словами, вот мы переходим к отдельным математическим наукам. И наш общий перво–принцип, число, превращается в целый ряд конкретных, специфических перво–принципов.

Это и есть единица, точка, элемент и ее бытие (модальное отношение).

3. а) Итак, мы знаем начало нашей аксиоматики. Теперь посмотрим, где же ее конец. Если начало — максимально просто, то конец, как последняя зрелость, максимально сложен. Какая только может быть сложность наших перво–принципов, она тут должна быть, если мы охватим всю их судьбу целиком. Но нельзя ли более точно описать этот максимально зрелый конец аксиоматического перво–принципа? Ведь «максимальная сложность» характеризует этот предмет слишком формально, т. е. слишком пусто. Диалектик ясно ощущает границу и предел этой зрелости и сложности. А именно, он наблюдает развитие своего предмета до той степени сложности, пока последний остается самим собою. Если наступает усложнение предмета, переходящее в его распадение, — тут предел интересующей нас сложности. Но когда вещь распадается? Она распадается тогда, когда отдельные ее части становятся абсолютно чуждыми одна другой, когда они абсолютно иные одна другой, и иные не по смыслу просто (в таком виде они еще входили в цельную вещь и нисколько не разрушали ее цельности), но иные по своей субстанции. [Это] значит, что распадение есть вмещение в себя своего субстанциального инобытия. Итак, признаком последней допустимой сложности предмета является вмещение им в себя своего смыслового (а не просто субстанциального) инобытия. Вмещение дальнейшего инобытия будет уже разрушением и переходом в иную предметность.

b) Возьмем арифметический перво–принцип, единицу. Поскольку она есть максимальная простота, мы можем добиться здесь максимальной сложности только путем того или иного комбинирования единиц. Это комбинирование может быть каким угодно, лишь бы только сохранялось выставленное только что условие, т. е. лишь бы только получаемый отсюда результат сохранял в себе непосредственное значение всех вошедших в него единиц, с ясным обнаружением самого закона комбинирования. Покамест соблюдается это условие, мы никогда не разрушим и не отбросим ни одной единицы, с которой происходит та или иная операция. Мы можем взять систему единиц: получится самое обыкновенное арифметическое число, не нарушаемое никакими инобытийно-субстанциальными привхождениями, ни как целое, ни как составленное из отдельных единиц. Мы можем взять систему систем единиц: получатся те или иные ряды чисел с теми или иными законами структуры этих рядов, но все входящие сюда единицы будут как на ладони, будут в своем непосредственно–очевидном бытии, и никакая внешняя сила не раздробит получающегося здесь сложного единства. Мы можем взять систему этой системы систем, потом систему полученной таким образом сложной системы, и т. д. и т. д., и — мы нигде не найдем уничтожения, отпадения тех или иных единиц, нигде наши единицы не перейдут в нечто такое, что уже потеряло смысл непосредственной очевидности и стало инородным телом в полученной совокупности.

с) То же самое мы можем сказать о точках в геометрии, об элементах в теории множеств и модальном отношении в теории вероятностей. Везде тут перед нами одна и та же максимально допустимая сложность— это система систем преобразований первоначального элемента. Если мы говорим о системе, значит, дается некоторый закономерный переход от первоначального элемента ко всякому другому. И если мы говорим о системе систем, то, значит, дается закономерное строение всего результата, полученного из единицы, точки, элемента и вероятности, и притом независимо от количества и последовательности видов систематизирования. При сохранении этих условий мы получаем допустимую максимальную сложность, до которой может доходить аксиоматика. Единица, точка и пр. — непосредственно данная и очевидная простота. Такая же непосредственно данная и очевидная простота должна сохраняться и в любом комбинировании этих единиц и точек. Пусть мы, напр., имеем то, что называется в теории чисел модулем или в высшей арифметике и алгебре числовым кольцом или полем. Какую бы структуру это кольцо, или поле, ни имело, мы, хотя, быть может, по ограниченности памяти и внимания и не сумели обозреть его целиком, все же принципиально можем увидеть и ощупать любой элемент, входящий сюда. Поэтому кольцо, или поле, какая бы сложность здесь ни была, принципиально сохраняет в себе непосредственную простоту и очевидность, которую легко реализовать в любом пункте системы. Это и значит, что здесь у нас допустимая степень усложнения первоначального элемента.

Итак: аксиоматика движется от той абсолютной простоты, которая есть в простом акте полагания (единица, точка, элемент и событие), до системы систем этих полаганий. Можно применить сюда термин, много раз употреблявшийся у нас в предыдущем, беря его в расширенном значении, а именно, понимая его исключительно в смысле нашей выразительной формы. Это понятие метризации. Пусть у нас будет метризованная система единиц (чисел), — напр., метризованное поле; пусть будет метризованное пространство, метризованное множество, метризованная вероятность. Это предел, дальше которого мы уже покидаем самое учение о единицах, точках и т. д. и переходим к тому, что хотя его и предполагает, но является уже совсем иным.

d) В этом рассуждении мы не воспользовались диалектическими схемами. И многие думают, что так оно и проще, и яснее. Однако философу ясно совсем не то, что ясно обыденному сознанию. Указанное только что начало и конец аксиоматики необходимо зафиксировать диалектически. Этого делать здесь не следует после стольких разъяснений в предыдущем изложении. Но в виде кратчайшего резюме можно сказать, что начало этого пути — акт полагания, внутри не дифференцированный, т. е. чистое полагание без категории различия внутри себя, а значит, и без всяких других категорий, конец же этого пути — акт полагания, внутри расчлененный и вовне явившийся как таковой. Сначала это просто акт полагания, в котором не положена еще пока ни одна логическая категория, а все категории, необходимые для его мыслимости, находятся вне его, мыслимы кем–то другим. В конце же это такой акт полагания, в котором положены и все категории, необходимые для его мыслимости, так что он предстал здесь вместо изначального безразличия, как определенная внутренне–внешняя структура.

Таковы эти начало и конец пути. И других начал и концов невозможно и мыслить. Везде мы находимся здесь между абсолютной простотой и ясно созревшей структурой; при этом простота — там, где нет различий, а структура — там, где эти различия есть и где, кроме того, есть, хотя бы принципиально, различие этих различий, т. е. качественное разнообразие их закономерности. Это так везде, так и в аксиоматике.

4. а) Чем же теперь заполнен этот аксиоматический путь? Его тоже можно было бы сначала описать чисто фактически, не вникая во всю сложность диалектических связей. Однако господствующие здесь предрассудки так велики, что никакое простое описание без всего потребного здесь логического аппарата никем не примется здесь на веру. Можно было бы, напр., исходить из чисто геометрической аналогии. Всякому ясно, что если вместо одной точки мы возьмем две различных точки, то тем самым мы получим какую–то линию, и прежде всего прямую, и даже определенный ее отрезок. Всякому ясно, что если вместо двух точек взять три различные точки не на одной прямой, то мы получим плоскость. Далее мы также получим тело (в связи с тремя измерениями) и разные структуры телесности (в связи с большим числом измерений). Однако не всякому ясно, что перейти от точки к прямой — это значит затратить[106] категорию самотождественного различия, и если невозможно отрицать, что для прямой необходимы по крайней мере две различных точки, то большинство, конечно, не поймет, как это они должны отождествляться, хотя и абсолютно очевидно[107], что между концами отрезка нет ровно никакого перерыва.

Следовательно, даже аналогия с геометрией ничего не скажет тому, кто глух к диалектике. А между тем логическое назревание категорий происходит как раз в том смысле, в каком назревает геометрическая фигура по мере перехода точки к образованиям с тем или иным числом измерений. В диалектике мы проходим ровно такие же этапы логического развития, как и в эволюции геометрической фигуры от точки до многомерного образования. Здесь действуют те же самые основные категории, создающие возможность мыслить ту или иную структуру. Ясно, что можно всячески подходить к этим вехам диалектического развития, но от этого подхода они нисколько не меняются. Мы можем, напр., описать этот путь при помощи диалектических триад, тетрад, пентад и пр.; можем сделать это даже при помощи диад, — напр., просто противопоставляя одну категорию другой, как прямая противополагается точке, плоскость — прямой и т. д. Можно и совсем отбросить всякую диалектическую манеру выражаться; и от этого сама диалектика, залегающая в основе математического бытия, конечно, нисколько не пострадает. Но мы изберем наиболее педантический, но зато наиболее простой и очевидный путь. Это путь триад.

b) Очень ясно этот путь аксиоматики от начала к концу рисуется при помощи триад так. Что такое система первоначальных элементов, пояснения не требует. Будем считать такую систему за исходный пункт аксиоматической диалектики. Тогда ее отрицанием, или инобытием, окажется ее переход в новую форму при помощи тех или иных преобразований. Этим инобытием и будут самые преобразования. Но полученный после этих преобразований результат есть тоже некоторая система. Этим самым мы отрицаем наше отрицание и возвращаемся к тезису, т. е. совершаем обычный диалектический переход. Получается система систем—диалектический синтез. В арифметике системой актов полагания будет само число, но — уже готовое и сформированное, цельное арифметическое число. В геометрии это есть фигура, в теории множеств — тип и в теории вероятностей — исчисленная вероятность. Этот общий аксиоматический тезис можно также назвать и совокупностью. В антитезисе мы получим разного рода преобразования, и прежде всего то, что называется действиями, или операциями. И в синтезе — метризованную систему, или совокупность, или же систему систем, дающую, смотря по характеру математической области, ту или иную метрическую систему чисел, пространства, множества и вероятностей.

c) В каждой из этих трех областей диалектической аксиоматики можно проводить дальнейшие триады, как это видно из прилагаемой общей таблицы. Но надо не терять из виду общую структуру основных суждений о математическом предмете, именуемых аксиомами, а эта структура создается неизменно через самоироти–вополагание первоначальных элементов и их самоотождествление, путем перехода от простейшего к сложнейшему.

Так из единого перво–принципного корня вырастает все диалектическое дерево математической аксиоматики.