I

Потребность в широкообъемлющем многогранном мировоззрении, подобно взрывной волне, распространяется в обществе; это не потребность только рассудка, это — глубокая жажда. Вот как изображает ее Роденбах[101]: «Часто говорят о притяжении пропасти. Существует также пропасть высоты… Борлют (герой одного романа Роденбаха) все еще подымался; ему хотелось бы все подыматься, думая с грустью о том, что, разумеется, лестница кончится и что, в конце, он будет испытывать страстное желание продолжать свой путь, еще выше»[102]. Да, лестницы — наши духовные и физические силы–имеют свой предел. Мы не можем охватить и синтезировать все, все стороны деятельности. На высоте страшно. Кружится голова от пьяняще–чистого разреженного воздуха, ноги подкашиваются, и «жажда слышания слов Господних» жжет[103]и не утоляется.

Не сбываются ли пророчества: «И обращу праздники ваши в сетование и все песни ваши в плач, и возложу на все чресла вретище и плешь на всякую главу, и произведу в стране плач, как о единственном сыне, и конец ее будет, как горький день. Вот наступают дни, говорит Господь Бог, когда Я пошлю на землю голод, — не голод хлеба, не жажду воды, но жажду слышания слов Господних. И будут ходить от моря до моря и скитаться от севера к востоку, ища слова Господня, и не найдут его» (Книга пророка Амоса, VIII, 10–12). Эта невозможность слышать «слова Господни» вовсе не есть невозможность по существу, — нечто, лежащее в природе человека. Мы только изнемогаем от необозримости накопившихся в науке фактов, от стремительного темпа жизни, от трудности ориентироваться, от невозможности усмотреть рисунок в пестрых пятнах современности. Главное же, мы впитали в себя отраву тенденциозной мысли, но к одному вопросу не можем подойти прямо, рассмотреть его по существу. Гипотезы у нас превращаются в догматы, догматы мертвеют, и дух замыкается в окаменевшую оболочку чужих мнений; критицизм испаряется, наука теряет свою сущность… Не пробьешься на свежий воздух через толстую броню мнимых аксиом!

Из каких только гипотез не делалось у нас догматов, из каких мнимо–очевидных положений не создавала себе тенденциозная мысль религии! На этой‑то почве и возникла мнимая «антиномия» между областью созерцания (научно–философского мышления) и областью мистических переживаний (религией). Обе эти области равно необходимы человеку, равно ценны и святы, и отсутствие антиномий между ними, по крайней мере, вера в возможность устранить эту антиномию, — необходимый постулат всякой деятельности, направленной к реализации добра. Не может, не должна одна святость противоречить другой, одна истина абсолютно исключать другую! И в основе всякой деятельности лежит убежденность, хотя бы бессознательная, что диссонансы нашего понимания мира не лежат в сущности вещей, что настойчивое искание уничтожит двойственность в миропонимании.[104]Но, чтобы действительно устранить антиномию, о которой мы говорим, необходимо подвергнуть исследованию самые основные понятия, с которыми оперирует человеческая мысль; в неясности их и лежит главная причина недоразумений.

II

«Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва ли в целом мире столько рогатого скота осталось. Словом, в новейшие времена науки столько возросли, что не токмо за тысячу, но и за сто лет жившие едва могли того надеяться». Так писал еще в 1746 г. Михайло Ломоносов[105]. А что же делать теперь, через полтораста лет после него? В борьбе с узостью взглядов, со специализацией, приходится волей–неволей быть поверхностным. Человеческая мысль не может не окидывать взглядом всего своего достояния в целом, хотя и сознает, что острота ее индивидуального зрения недостаточна, что многое ускользнет от нее, и что не мало значительного и важного, благодаря перспективе, предстанет в неверном, искаженном виде.

Сделаем же попытку фиксировать неопределенное и колеблющееся представление об общем в умственных настроениях XIX века, постараемся найти одну отличительную черту духовных движений этой эпохи, указать характернейший признак мировоззрения XIX столетия. Если это необходимо, то нельзя, думается мне, сделать это удачнее, как сказав одно только слово — «непрерывность» или повторяя слова одной масонской рукописи Румянцевского музея, озаглавленной «Золотая Цепь Гомера»[106]: поп transiri posse ab uno extreme ad alterum exlrcmum sine medio.[107]Этот лаконический ответ можно, конечно, развивать в длинные предложения, растягивать на многотомные сочинения, но основная мысль есть и останется тою же, что и в одном слове; идея непрерывности есть характернейшая черта мировоззрения XIX века. (Я преднамеренно говорю идея, а не понятие.) Проводя идею непрерывности более или менее сознательно, с большею или меньшею отчетливостью, более или менее полно по всем отраслям знания, XIX столетие создало общую конвенцию, если угодно систему, которая, несмотря на пестроту во многом другом, удивительно однообразно окрашена в этот общий цвет. Каждое столетие пользовалось многовидными материалами своих предшественников; не избежало, конечно, этой участи и ХІХ–ое, но если пестрота мировоззрения одного столетия существенно не разнилась от пестроты мировоззрений другого, то этого решительно нельзя сказать о XIX в. Тут эта цементирующая идея непрерывности соединила все материалы в один исполинский монолит.

Конечно, идея непрерывности вовсе не составляет приобретения или какой‑либо собственности XIX в., это — одна из древнейших идей философии. Однако только новое время сделало философский термин «непрерывность, непрерывный» банальным словом, известным всем и каждому, только в новое время забил ключ, из которого эта идея перелилась постепенно в умы целых поколений. Таким первоисточником было открытие анализа бесконечных. Лейбниц, как математик и философ, первый пробил скалу в том месте, откуда нам брызнули эти давно скопившиеся воды. Можно сказать, что вся система Лейбница — только философский коррелят его работ по анализу, гениальная транспортировка самим изобретателем математических данных на философский язык[108]. Наибольшее влияние и впечатление произвели в свои дни чисто практические последствия открытых Лейбницем методов. Дифференцирование применимо только к непрерывным функциям, интегрирование, по тогдашним воззрениям, до обобщения понятия интеграла Риманном, тоже. И вот люди мысли, увлекаемые плодотворными методами Лейбница и Ньютона, незаметно для себя стали устраняться от задач, не подлежащих решению при помощи именно этих, хотя и довольно общих, но все‑таки ограниченных методов. Математика стала сама выбирать себе только такие задачи, где действительно имеет место непрерывность, постепенно привыкая к мысли, что только такие задачи и существуют. Конечно, не замечать проблем, где имеется очевидная прерывность, было нельзя, но их игнорировали, рассматривая прерывность в таких случаях как курьез, иногда, впрочем, весьма досадный и служащий помехою для решения.

От чистого анализа привычка к непрерывности, привычка все рассматривать в таком направлении, разлилась широко, хотя часто весьма мелко, и притом по двум различным руслам. Первым из них была группа наук физико–математических, куда идея непрерывности главнейшим образом попала через геометрию. Вторым руслом послужили науки биологические, куда идея непрерывности была занесена впервые, кажется, Бюффоном,[109]который кроме зоологии занимался и математикой. «Идея о непрерывной связи между живыми существами, — говорит Э. Перье, — из которой следует изменяемость видов, эта идея больше всякой другой соответствовала общей философии Бюффона. Во всей природе он видит непрерывность; он не признает даже пограничной черты между животными и растениями…»[110]«Мы сказали, — говорит сам Бюффон, — что развитие природы совершается путем переходов, постепенных и часто незаметных; так же незаметно переходит она от животного к растению, но от растения к минералу переход резок…»[111]Опираясь на этот факт, Бюффон делает заключение, что окажется посредник между «миром организованных существ и миром минералов». Другими словами, фактически данная прерывность заставляет Бюффона постулировать пополнение этого разрыва, до такой степени он глубоко верит во всеобщность legis continuitatis[112]; так было живо сознание непрерывности у переводчика Ньютоновской «теории флюксий»![113]После этого та же математическая идея быстро пустила корни в биологии и других областях естествознания и, претерпевая видоизменения, дала пышные цветы в виде учений Ляйелля[114]и Дарвина, через которые проникла с другой стороны в сознание общества и быстро вульгаризировалась до такой степени, что некоторые лица из широкой публики, видя между двумя формами третью промежуточную, не могли понять логического и принципиального различия этих форм и готовы серьезно, вроде того, как это в шутку делается на карикатурах, все производить от всего. В то же время идеи геологии и биологии, развиваясь в таком направлении, произвели воздействие на историю, психологию и социологию и т. д. В конце концов идея непрерывности овладела всеми дисциплинами от богословия до механики, и в наши дни многим кажется, что протестовать против нее — значит впасть в ересь.

Вполне естественно было ждать, что сама виновница такого соблазна, — математика, — с течением времени захочет исправить ту односторонность миросозерцания, которую она, хотя и непреднамеренно, вызвала в умах целых поколений. Если математика подчеркнула идею непрерывности и конкретизация этой идеи вызвала однобокость миросозерцания, а вместе с тем ряд мучительных диссонансов и даже глубоко фальшивых нот, то можно было ждать, что критика такой идеи уничтожит односторонность, если она незаконна, и санкционирует ее, если она необходима.

III

Действительно, критика эта не заставила себя долго ждать и была гуюизведена в 80–х годах XIX века — Георгом Кантором[115]. Этот математик–философ возвел идею непрерывности, вернее, то неопределенное представление о непрерывности, которое казалось какой‑то «непосредственной очевидностью», на степень точного понятия. Он дал определение непрерывности в своих ныне знаменитых словах, что «continuum есть связная и совершенная группа точек»[116]. Правда, в этом определении что ни слово, то — термин, на изъяснение которого надо потратить немало времени. Однако иного нельзя было и ждать, так как понятие непрерывного вовсе не есть что‑нибудь первоначальное и простое; оно по существу своему сложно. Во всяком случае, определение Кантора дало возможность критически отнестись к мировоззрению XIX века, а не догматически принимать его или отвергать, что волейневолей приходилось делать до появления его работ.

Если continuum, столь таинственный и неуловимый до тех пор, подводится под общее понятие группы (объединенного множества), которая только при весьма специальных определениях будет непрерывной, вообще же говоря, лишена этого свойства, — то, строя общее мировоззрение, мы не имеем никаких оснований останавливаться на «непрерывности» как на основном признаке бытия и всюду предвзято предполагать пресловутый Ісх continuitatis[117]. Наоборот, мы должны считать бытие, равно как и функциональные соотношения явлений, прерывными, пока не будет произведен пересмотр эмпирического материала, опытных данных, которые бы склонили нас к признанию того или другого специального вида прерывности, так как непрерывность только όλη а из бесчисленного множества модификаций прерывности. У нас нет никаких оснований ожидать, чтобы все явления оказались непрерывными; мало того, этокрайне невероятно, и, наоборот, есть чисто фактические данные, помимо ряда отвлеченных соображений доказывающие существование прерывности во многих сторонах действительности.

Помимо изучения групп, изучение ф у н к ц и й, т. е. связей между группами, тоже показало, что и здесь (это, впрочем, и быть не могло иначе) господствует прерывность и только при соединении очень хитрых и искусственных требований, налагающих множество условий на функцию, она окажется непрерывной. Теория групп — «молекулярная теория математических законов», по счастливому выражению Шйнфлиса[118], — достаточно уяснила внутреннюю структуру функций, и, будем ли мы говорить о том, что теория прерывных функций есть патология функций, а непрерывных — физиология, или наоборот, — мы не можем упускать из виду, что мощность[119]группы непрерывных функций, по известной теореме Бореля[120], есть С (где С — мощность continuum’a), тогда как мощность всех функций -Сс; причем С > С, потому что Шенфлис доказал, что вообще для трансфинитных мощностей (А) имеет место первенство: А > А. Итак, если кому угодно видеть в непрерывных функциях какое‑то «совершенство» и т. п., то это — его дело, хотя нельзя не заметить, что все совершенство непрерывных функций в большей изученности и большей легкости рассмотрения, подобно тому, как окружность изучать легче, чем эллипс, потому что на нее наложено более стеснения. Но считаться с фактическим преобладанием мощности прерывных функций и прерывных групп приходится всякому, даже если признать их за патологические явления.

IV

Здесь уместно указать еще на факты первой из реальных наук, — на факты геометрии. Многочисленные исследования пространства с этой стороны вполне выяснили, что даже в последней крепости непрерывного, даже в непрерывном по преимуществу, — пространстве, — на почве которого и была создана Зеноном и Парменидом идея непрерывного, — даже в геометрических образованиях находит себе место прерывность. Пространственные образы, вообще говоря, прерывны, и только весьма специальные условия привносят в них тот комплекс признаков, за которые мы имеем право называть эти образы непрерывными. Чем больше измерений у рассматриваемого вместилища геометрических образов, — чем свободнее раскидываются лепестки многообразий, тем неожиданней и ярче выступают внезапные скачки в разных свойствах этих образований. Однако даже на плоскости у кривых линий мы встречаем такое богатство оттенков в прерывности, что изучение их потребовало специальных работ. Уже теперь эти работы имеются в достаточном количестве, так что оказывается возможным дать связную картину; оказывается возможным проследить, как закрадывается в непрерывный дотоле образ прерывность одного из свойств, будет ли то число касательных, радиус кривизны или что другое, как затем число таких «особенных» точек кривой возрастает, как они образуют точку накопления, как группа особенностей повышает свой вид, как она становится, по терминологии Г. Кантора, группою 2–го рода и как, наконец, кривая распадается, разлезается по всей плоскости в виде «плоского лоскутка[121]». Одним словом, можно уже в настоящее время рассмотреть дезинтеграцию кривой, разрушение полной ее непрерывности и тем сделать прерывность более удобно воспринимаемой, более убедительной психологически. «Психологически» потому, что логически требуется начинать с прерывности и потом подойти к непрерывности, как к частному случаю. Так и делается в сочинениях, где желают доказывать, а не убеждать.

«Если вообще, — говорит Dedekind[122], — пространство имеет реальное бытие, то ему нет надобности быть непрерывным. Бесчисленные его свойства оставались бы теми же, если бы оно было разрывным»[123]. Утверждение, что пространство непрерывно, — есть простое предположение. Реальное пространство мы считаем непрерывным по причине того, что в нем возможны непрерывные формы, например, непрерывные линии; а главным основанием обыкновенно представляется возможность в пространстве непрерывных движений точки, т. е. таких, что траектория точки является непрерывной кривой. Но существует одна замечательная, — «удивительная», по выражению Kerry,[124]— теорема Кантора, показывающая, что непрерывность пространства не является вовсе необходимым следствием непрерывности некоторых образований в нем. Теорема заключается в следующем: пусть имеется некоторый η–размерный continuumGnи счетовая группа М, пантахическая[125]на всем протяженииGn[126].Тогда, отнимая отGnгруппу М, мы получаем некоторый scmi‑continuum, полунепрерывную группу А, имеющую на всем своем протяжении пантахическую группу изъянов, перерывов. Однако А обладает тем свойством, что если η > 2, то любые точки N и Ν' группы А могут всегда быть соединены непрерывной и даже аналитической кривой, и притом бесчисленным множеством способов. На этой кривой лежат только те точки, которые н е принадлежат к М, так что наша кривая обойдет (минует) все изъяны группы А. Кроме того, можно дать теоремы, аналогичные канторовской, но более широкие. Например, можно доказать, что если в η–размерном continuum’cGnвыделить счетовую всюду–плотную группу к–размерных континуумовGk,где о < к <п — 2, то в оставшемся полу–континууме возможны непрерывные линии и непрерывные движения, и т. п. др.

«Гипотеза непрерывности пространства, — говорит Кантор, — есть, следовательно, не более, как предположение, само по себе произвольное, о полном однозначном и взаимном соответствии между чисто арифметическим континуумом трех измерений (х, у,г)и пространством, которое служит основанием мира явлений. Мы легко можем сделать мыслью абстракцию от изолированных точек в пространстве, даже когда они густы в каждом протяжении, и примкнуть к понятию прерывного пространства А трех измерений при условиях, описанных выше (в теореме). Что же касается до представляющегося тогда вопроса, именно решить, можно ли также вообразить непрерывное движение в так прерывных пространствах, то нужно, по предыдущему, ответить на него утвердительным и абсолютным образом… Итак, мы приходим к замечательному выводу, что никак нельзя заключать непосредственно из одного факта непрерывного движения к общей непрерывности пространства трех измерений (или двух), к такой непрерывности, какой мы ее представляем себе, чтобы объяснить явления движения»[127].

V

Все это приводит нас к необходимости перебрать тот архив, где записаны наши наблюдения над фактами, и посмотреть, не попало ли туда фальшивых документов и не сделались ли другие негодными за давностью. Ведь на данных этого архива построено все «современное» миросозерцание нашей европейской цивилизации! Напомним здесь, что вся деятельность ныне уже покойного Н. В. Бугаева[128]была призывом к такому пересмотру. На своих лекциях и в своих статьях этот профессор упорно указывал нам на значение прерывности как элемента мировоззрения. До последнего времени на идеи Бугаева не обращали внимания, но смерть прервала его работу как раз в то время, когда сходные, аналогичные с его идеи стали пробиваться из‑под камней в разных закоулках жизни. Пока эти идеи еще бледны и не развернулись, так что можно при желании не замечать, игнорировать их. Но стоит только вспомнить «теорию мутаций» Фриза[129], «гетерогенезис» Коржинского[130]факты их подтверждающие в биологии, работы Таманна[131]по термодинамике и молекулярной физике, быстро накопляющийся материал по психофизике, изучение психологией сублиминального[132]сознания и творчества (Дюпрель, Майерс, де Роша, Барадюк)[133]и т. д. и т. д., чтобы понять, что новое со всех сторон врывается в науку.

Мы, видевшие зарю «нового искусства», стоим на пороге и «новой науки». И только, когда она будет создана, мы сможем достаточно оценить деятельность провидцев — Георга Кантора и Николая Бугаева.