Но Нафанаил сказал ему: из Назарета может ли быть что доброе? Филипп говорит ему: пойди и посмотри. Иисус, увидев идущего к Нему Нафанаила, говорит о нем: вот подлинно Израильтянин, в котором нет лукавства (Ин 1, 46—47)[135]

I

Бесконечный, бесконечныйприходится слышать очень часто в обыкновенном разговоре; но стоит только попросить объяснения этих слов, чтобы встретить недоумевающий взгляд. Однако если в широкой публике только непонимание, то среди людей, занимающихся умственной работой, на этот счет часто бывает извращенность в понимании и даже полная путаница. Очень сильные и тонкие умы часто не бывали свободны от неясностей и недоговорок в вопросе о понятиибесконечности. Недостаток места не позволяет, к сожалению, привести ряд поучительных примеров, но читатель из дальнейшего изложения и сам сообразит, на кого тут можно было бы сослаться.

Впрочем, затруднения лишь отчасти и даже в очень незначительной части зависят от отвлеченности вопроса; главная причина тут–в тенденциозности мышления, в нежелании или неумении смотреть на объект исследования прямо. Приступается к изучаемому с уверенностью, что уже известно; «но знание надмевает, а любовь назидает»[136], и мнимое знание — horror infiniti[137], царящий, по словам Кантора, в обществе, дает себя знать.

Главные ошибки, которые делаются сплошь и рядом в рассуждениях о бесконечном, появляются вследствие пренебрежения основной и совершенно элементарной дистинкциейактуальнойипотенциальной бесконечности. Поэтому мне придется подробнее, чем хотелось бы, остановиться на этом подразделении. Пока, впрочем, будет дано предварительное определение бесконечности; на нем мы основываться не станем, так как оно не упирается на достаточно простые понятия, хотя само по себе и верно.

Всякий quantum[138], по самому своему определению, может быть двояким. Он может быть данным и неизменно и твердо установленным, вполне определенным и тогда представит из себя то, что носит названиепостоянногоиликонстанты. Он может также не быть определенным, может меняться, становясь больше или меньше. В этом последнем случае quantum носит названиепеременного. Так вот, актуальная бесконечность есть частный случай постоянного, а потенциальная — переменного quantum’a, и в этом их глубочайшее принципиальное различие, если угодно, их существенная противоположность. Разъясним это ближе.

Пусть у нас есть переменное, и пусть оно меняется не каким‑нибудь, а определенным способом, так именно, чтобы оно становилось больше всякого постоянного quantum’a (конечного) того же рода, или меньше. В каждом состоянии это переменное конечно; но в нашем понимании совокупность этих состояний отличается от совокупности каких‑либо произвольно подобранных состояний. В этом смысле мы говорим, что наш quantum естьпотенциальная бесконечность, потенциальная — ввиду того что он может стать более всякого другого quantum’a. Таким образом, потенциальная бесконечность не обозначает какого‑либо quantum’a, в себе взятого, а только особый способ рассмотрения quantum’a именно, в связи с характером его специального изменения. Потенциальная бесконечность, по словам Кантора,не есть идея, а только вспомогательное понятие;? оно —ens rationis[139], по счастливому выражению Stoсkl'я[140]. Одним словом, потенциальная бесконечность есть то самое, что древние называли аяссроі[141]схоластики —syncategorematice infinitum[142]илиindefinitum[143], новые философы —дурной бесконечностью. Типичным образцом ее представляется, конечно, время, вечно текущее, все собою затопляющее; а лучшие образы–муки Тантала, бочка Данаид ипрэты —адские существа у буддистов[144]. Это — «вечно голодные чудовища, с толстою головою, свирепым взглядом и огромным желудком, который никогда не наполняется, с сухими, как у скелета, членами — нагие, обросшие волосами, с усами и ртом — тонким, как игольное ушко. Они вечно голодны и вечно жаждут. Едва один раз в сто тысяч лет они слышат слово «вода» и, когда находят ее, то она обращается перед ними в нечистоту. Некоторые из них пожирают искры огня, другие — трупы, или собственное тело, но не могут насытиться вследствие узкого устройства своего рта. Кажется, в лице этих жалких существ фантазия буддистов хотела воплотить понятие о той жажде бытия, которая ведет к страсти и служит причиною и самых перерождений, — этого зла жизни. Вечная жажда бытия никогда не удовлетворяется»[145].

Итак, это никогда не заканчиваемое потенциальное бесконечное естьпереме/тое конечноеколичество, quantum, возростающий над всеми границами, или, наоборот, падающий ниже всякой конечной границы. Таковы, например, дифференциалы, охарактеризованные уже Лейбницем именно за это свойство, какчистые фикции.Ввиду этого ясно, что говорить о законченной потенциальной бесконечности, что, по словам Кантора, делал Fontenelle[146], есть contradictio in terminis[147].

К несчастию, бесчисленное множество, — легион, — авторитетов всех специальностей усвоило себе эту простую истину чересчур крепко и, забыв о словепотенциальная,начало разными голосами заявлять, что «законченная бесконечность» есть нечто нелепое. Отсюда вытекает старинный афоризм «numcrus infinitus rcpugnat»[148], отсюда же утверждение Tongiorgi[149]«multitudo actu infinita repugnat»[150]и другие подобные. Этот вполне невинный, по–видимому, пропуск породил не одну грубую ошибку, и на ней, между прочим, держатся и первые «антиномии чистого разума» у Канта.[151]На этом же пропуске, как увидим, основаны так называемые аргументы против законченной бесконечности и многие соображения позитивизма.

Потенциальная бесконечность делается более понятной, если всмотреться в генезис ея. Как это ни странно, но понятие о потенциальной бесконечности возникло на чисто конкретной почве, на почве вопроса о границах вселенной. Именно, толчок для возникновения его дал Анаксимандр своею системою, по которой неистощимая, неисчерпаемая потенция бытия —неопределенное, саге сроі, — наполняет пространство и из недр своих производит все. Но словоапейронне обозначает, как доказывает Таннери[152], вопреки мнению Аристотеля и многих исследователей, бесконечности этой перво–материи, ее экстенсивной безграничности, а означает только слиянность и смешанность потенций, возможность для нее рожать существа еще и еще. Пространство же, по всем вероятиям, в представлении Анаксимандра есть сфераконечныхразмеров, — вместилище этогоапейрона.

В существенно–новую фазу вопрос о потенциальной бесконечности вступает у Пифагора, когда было большее внимание обращено на пространство, хотя и не абсолютное. Словоапейропполучает в применении к пространству новое содержание, так как указывает на возможность безостановочного деления[153], из чего впоследствии выросло понятие о бесконечно–малом, кроме того, появляется сознание, что пространство беспредельно, безгранично вне космоса. «Нет сомнения, — говорит Таннери, — что логическая, «субъективная» необходимость понимать пространство, как бесконечное, поскольку такая необходимость понимать поддерживается геометрическими усмотрениями, стала очевидной уже с этого времени. Но оставалось узнать, имеет ли эта необходимость объективную значимость, приложима ли она к физическому пространству, понимавшемуся тогда, как место материи… Я особенно настаиваю на том, что вопрос возник прежде всего из потребности представить себе вселенную, и только Аристотель перенес его на почву логики»[154].

Рассмотрим теперь другой род бесконечности —бесконечность актуальную.С этой целью мы возвращаемся к нашему исходному пункту, к понятию quantum’a именно, quantum’aпостоянного,и содержание этого понятияконстантыобогатим новым признаком. Некоторая константа может быть такова, что она стоит в ряду других констант того же рода, т. е. больше одних конечных констант и меньше других. Тогда она и сама будет конечной. Но может случиться, что онанестоит в ряду других постоянных, потому что она большевсякойконечной константы, как бы великой мы ее ни взяли. Тогда мы скажем, что наш quantum есть актуальная бесконечность, бесконечность in actu, actualiter[155], а не только in potentia[156].

Так, например, в диалоге «Bruno»[157][158]Шеллинг блестяще вскрывает, что каждое понятие есть бесконечность, потому что оно объединяет собою множество представлений,неявляющееся конечным; но так как объем понятия, по существу дела, вполне определен и дан, то эта бесконечность не может быть ничем иным, кроме актуальной бесконечности. Всякое суждение, всякая теорема[159][160]носят в себе актуальную бесконечность, и в этом — вся сила логического мышления, как указывал еще Сократ.

Возьмем примеры более конкретные. Например, обращаясь к пространству, мы можем утверждать, что все точки внутри некоторой замкнутой поверхности образуют множество актуально–бесконечное. В самом деле, каждая из них вполне определена, значит, и все тоже вполне определены; но, однако, число их превосходит всякое из чисел ряда 1, 2, 3… п… и больше каждого из этих чисел. В этом же смысле мы можем сказать, что могущество Божие актуально–бесконечно, потому что оно, будучи определенным (в Боге нет изменения), в то же время больше всякого конечного могущества.

Очень ярко выражает мысль об актуальной бесконечности автор книги: «О небесной иерархии», книги, приписываемой Дионисию Ареопагиту.[161]«И то, по моему мнению, — говорит он, — достойно тщательного размышления, что говорит писание об Ангелах, то есть, что их тысячи тысяч и тьмы тем, умножая на самих себя числа, у нас самые высшие. Через сие оно ясно показывает, что типы небесных существдля нас неисчислимы;потому что бесчисленно блаженное воинство пре- мирных умов. Онопревосходит малыйинедостаточный счет употребляемых нами чисели точно определяется одним лремирным их разумением»[162].

В здесь рассмотренном понятии актуальной бесконечности не трудно узнать то, что у древних было известно под именемαφωρισμένον[163]схоластиков — под именем categorcmatice infinitum[164]‚ у новых философов —положительной, собственнойбесконечности. Как выражается Гӧте[165][166], «это —замкнутая бесконечность,более соответствующая человеку, чем звездное небо», причем последнее, конечно, разумеется именно как некоторая возможность устремляться все далее и далее, никогда не будучи в состоянии произвести синтез и успокоиться на целом.

Тут мы сталкиваемся с новым соображением. Чтобы была возможна потенциальная бесконечность, должно быть возможно беспредельное изменение. Но ведь для последнего необходима область изменения, которая сама уже не может меняться, т. к. в противном случае пришлось бы потребовать область изменения для области и т. д. Она однако не является конечной, и, следовательно, она сама уже является актуально–бесконечной. Следовательно,всякая потенциальная бесконечность уже предполагает существование актуальной бесконечности‚ как своего сверх–конечного предела[167]‚всякий бесконечный прогресс уже предполагает существование бесконечной цели прогресса, всякое совершенствование бесконечное требует признания бесконечного совершенства. Отрицающий актуально–бесконечное в каком бы то ни было отношении тем самым отрицает и потенциальную бесконечность в том же отношении, и позитивизм несет в себе элементы собственного разложения, так сказать, с позитивизмом происходит самоотравление продуктами его же деятельности. «Allerdings, — говорит Гутберлэ[168], — liegt darin eine grosse Inkonsequenz, dass man in neuerer Zeit alle naturwissen- schaftlichen auch offenbar veralteten Anschaungen des hi. Thomas von Aquino mit reinlicher Sorgfalt zur Geltung zu bringen sucht, dagegen an einer so eminent speculativen Frage wie die Ewigkeit der Welt ihn im Stiche lasst (потому что, отрицая актуальную бесконечность, нелепо признавать вечность или бесконечность мира). Und auch darin liegt eine Inkonsequenz, dass man in der Erkentnis Gottes eine actual unendliche Menge m5glicher Dinge zugiebt, deren Moglichkeit selbst aber bestreitet. Man hilft sich da und sagt, man diirfe die Art der Gottlichen Erkenntnis nicht auf die menschliche Ubertragen; — gariz recht, aber darum handelt es sich nicht: Wenn eine actual unendliche Mengein sichwidersprechend ist, dann kann sie auch in Gottes Geiste nichts anderes Sein, als ein Absurdum, wic ctwa cin vicrcckigcr Кгсіѕ»[169][170]. Впрочем, я коснусь впоследствии этого вопроса ввиду его важности подробнее.

II

Все сказанное до сих пор может показаться известным; оно, действительно, и не является характерным для Г. Кантора, смысл работ которого я хочу изложить, — не является характерным, так как это знали и до него. Однако я считал необходимым резко подчеркнуть основную разность актуальной и потенциальной бесконечностей, потому что весьма часто ее теряют из виду, а работы Кантора посвящены только первому роду бесконечности,собственной бесконечности‚ и, не заметив этого обстоятельства, мы были бы обречены на полное непонимание его идей.

По раскрытому выше определению актуальной бесконечности можно заключить, что такая бесконечность может быть мыслима в двух модификациях. Во–первых, будучи более всякого конечного quantum'a, она сама может оказаться не имеющей другого quantum'a, тоже бесконечного, который был бы больше ее; другими словами, тут она оказываетсянеспособнойбытьменьшечего‑либо другого. Это — актуальная бесконечность, неспособная к увеличению,абсолютный максимум;как вообще, так и у Кантора, он называется Absolutum[171]. Во–вторых, — и это не замечали говорившие о бесконечности, — из определения актуальной бесконечности вытекает возможность второго ее видоизменения. Актуальная бесконечность, именно, может тут иметьнадсобою другие quanta, большие ее самой; тогда она будет способна к увеличению, будетувеличиваемоюактуальною бесконечностью. Чтобы избегнуть раз навсегда путаницы слов и длиннот, Кантор дает ей названиесверхконечности‚ Ucbcrendlichkcit.

От этих формальных соображений перейдем к реальным. С актуальной бесконечностью мы сталкиваемся или, по крайней мере, можем надеяться на столкновение втрехразличных областях.Во–первых‚ поскольку это актуально–бесконечное реализовано в высшем совершенстве, во вполне независимом, вне–мировом бытии, одним словом — in Deo ѕіѵе natura naturans[172], причем последнее выражение Кантор понимает не в смысле пантеизма, а в том первоначальном смысле, который придали ему Фома Аквинский и другие богословы[173]. Здесь бесконечное является абсолютным максимумом и есть то самое, что ранее было названо Absolutum или абсолютной бесконечностью.Во–вторых‚ актуально–бесконечное может быть предположено in concrcto[174]‚ в зависимом мире, в твари, in natura naturata.[175]Тут Кантор называет ее Transfinitum. Наконец,в–третьих‚ актуально- бесконечное может быть in abstracto[176]‚ в духе, поскольку он имеет возможность познавать Transfinitum в природе и, до известной степени, Absolutum в Боге. В этом последнем случае бесконечность получает названиесимволов бесконечного. В частности, если дело идет именно о познании Transfinitum, эти символы получают названиетрансфинитных чиселитрансфинитных типов. Два последних вида бесконечности являются бесконечностями увеличиваемыми.

Читателю может показаться, что тут сделано не одно догматическое утверждение, как‑то: «в природе существует актуально–бесконечное» и т. д. Но это не так. Приведенная схема мыслимых случаев актуальной бесконечности есть только наиболее общая логическая схема, так как она перечисляет все те объекты, в которых мы можем заподозривать бесконечность. Отсюда еще не следует, что она имеется в каждом из перечисленных объектов; актуальная бесконечность в каждом из этих трех направлений (Бог, мир, дух) может быть утверждаема или отрицаема впредь до дальнейшего исследования. Разные комбинировки утверждений и отрицаний дадут, согласно известной теореме комбинаторики,восемь(23= 8) различных мыслимых точек зрения, которые все встречаются в философии. Такое распределение систем по их отношению к бесконечному, в двух строках и трех столбцах, именно так:

Богмирдухданет

кажется, до Кантора не было никем произведено и часто оказывается весьма полезным. Что же касается до самого Кантора, то он первый становится на безусловно утвердительную точку зрения, признающую существование всех трех видов актуально–бесконечного, т. е. он ут- верадает, что актуальная бесконечность имеется іп Deo[177]‚ in concrcto, in abstraclo[178].[179]

Оправдание такого взгляда на дело для незнающего субъекта может быть начато только с оправдания актуальной бесконечности in abstracto. Отрицание же ее в этой области ведет и к отрицанию ее в мире и в Боге, а это, в свою очередь, опутывает отрицающего неразрешимыми противоречиями.

Так до известной степени, смотрел на дело еще Ориген.[180]Заняв решительную позицию против актуальной бесконечности, «…он, — по словам Кантора, — идет так далеко, что, по–видимому, желал бы знать, что про бесконечность Бога ничего не утверждается* если бы только он мог» это делать, потому что он говорит: «…не должно было бы таким ложным эвфемизмом отрицать ограничения божественной силы».[181]Причина этого понятна; ведь понятиеактуальной бесконечностибыло ясно в умах весьма немногих, каковым был, например, Августин.[182]А у всех остальных имелась в виду только бесконечность потенциальная; между тем с такою бесконечностью, с απαρόν,по большей части, если не всегда, связывалось понятие неопределенного, несовершенного. Точно так же в латинском языке infinitum, infinitus употреблялось в смысленеопределенного(in- finitior distributio partium — логическая ошибка в речи; infinitas quacstioncs — неточно определенные вопросы); равным образом finis[183]часто употребляется как πέρα[184]‚ причем то и другое в смыслесовершенства(dc finibus bonorum, finis acquis juris).[185]

Ориген дал два аргумента против актуальной бесконечности. Первый — тот, что в тварях нельзя мыслить бесконечного, так как они имеют предел, fincm; если бы предела не было, то не было бы мыслимо и какое- либо постижение их и, следовательно, Божество не могло бы постигать их. Второй аргумент в том же духе, но говорит определеннее, что бесконечного множества существовать не может, так как если бы таковое было, то оно бы постигалось, как и всякое множество, числом, а числа бесконечного не существует. «Omnis multitudo, — говорил он еще, — in rcrum natura cxistcns, est crcata; ct omnc crcatum sub aliqua ccrta intcntione crcantis comprchcnditur, non cnim in vanum agcns aliquod opcratur. Undc ncccssc est quod sub ccrto nu- mcro omnia crcata comprchcnditur. Impossibiic est ergo esse multitudincm infinitam in actu, ctiam per accidcns»[186].

«Я вижу, — говорит Кантор, — в этом глубокомысленном соображении Оригена начало для самых значительных и содержательных аргументов, которые приводились против Transfinitum». Все аргументы другого характера, приводимые против Transfinitum, страдают прямыми ошибками, несут в себе pctitio ргіпсіріі[187], и их не трудно уничтожить чистоотрицательным образом‚ не входя в существо дела и только вскрывая промахи; но «оба эти соображения Оригена обоснованы очень хорошо, и их можно разрешить и уничтожить толькоположительно‚ показав и доказав, что трансфинитные числа и типы порядка существуют»; когда Кантор доказал это, то стало ясным, что трансфинитные числа «так же готовы к услугам для намерений Творца и Его абсолютно- неизмеримой мощи воли, как конечные числа».[188]

Но однако, несмотря на все отрицательные аргументы, «актуальная бесконечность in natura creata[189]‚ по словам Кантора, во все времена имела своих сторонников в христианской спекуляции»[190]. В виде примеров Кантор ссылается нафранцисканцев(характерно!) Emanuel Maignan'a из Тулузы, жившего в XVIII в., на его ученика, тоже францисканца, Іоһ. Saguens'a, затем на некоторых номиналистов, некоторых скотистов. Не стану приводить списка имен называемых им мыслителей, число которых превосходил десяток.

III

Многие века аргумент Оригена являлся камнем преткновения, и притом совершенно основательным. Символов для ухватывания актуальной бесконечности не было, и попытки создать их (Fontencllc)[191]оказывались неудачны, пока упорный труд, неукротимая сила мышления и пламенная вера в успех не привели, наконец, Кантора к желаемой цели. Он показал, что такие символыможносоздать, что не только абсолютный дух, но и мы можем иметь идею о бесконечном множестве. Однако, прежде чем излагать мысли Кантора об этом, я дам два–три замечания, которые делают его соображения более убедительными. Дело в том, что канторовские символы оказываются не только логически–необходимыми, но они и исторически необходимы и в высокой степени своевременны. Все развитие общих понятий о множестве состояло в постепенном расширении числового ряда, в распространении его, и поэтому естественно было ждать, что, закончив развитие ряда конечных чисел, наука перейдет к сверх–конечным. Рассмотрим же в беглых чертах процесс этого расширения.

Когда слитно–смешанный, хаотический туман ощущений, — этих токов, пробегающих между индивидами, — впервые восприял организующее действие, тогда он начал улаживаться божественным Ладом и устраиваться Строем, дифференцируясь, расчленяясь, переходя из неопределенного и волнующегосяапейрон‚ смеси потенций, в иерархически–упорядоченный и членоразделенный мир представлений[192]. Разумеется, что — не сразу, не одним усилием достигнута победа хаоса, подчинение множеству, безвидного и неоформленного. И сейчас она еще не закончена: сколько‑нибудь внимательный взгляд замечает плохо прикрытые ямы, откуда готова ежеминутно вырваться темным фонтаном первоосновная влага. Но если бы этого и не было, если бытакаяпобеда была закончена, то ее одной еще недостаточно. Мы создали множество, создали представления, но мы все‑таки еще связаны. Мы связаны апперцепируемым представлением, оно овладевает взглядом; все существо поглощено одним чем‑нибудь. Нет универсальности. Воспринимается одно, а все остальное дает только общий фон, оставляет впечатление неопределенного множества, смутного. Это — pctitcs perceptions[193], то ощущение, когда мы сразу входим в комнату, где много людей. Их «много», или «очень много», но сколько именно, мы ничего не можем сказать, даже приблизительно.

Всякий помнит, вероятно, хозяйственный разговор Манилова с приказчиком; он так хорошо иллюстрирует сказанное, что я приведу его. — Начинает Павел Иванович. — «Как давно вы изволили подавать ревизскую сказку?» — «Да, уждавно;а лучше сказать–не припомню». — «Как с того времени много у вас умерло крестьян?» — «А не могу знать: об этом, я полагаю, нужно спросить приказчика. Эй, человек! позови приказчика; он должен быть сегодня здесь». Приказчик явился… «Послушай, любезный! сколько у нас умерло крестьян с тех пор, как подавали ревизию?» — «Да как — сколько?многиеумирали с тех пор», — сказал приказчик, и при этом икнул, заслонив рот слегка рукою, наподобие щитка. — «Да, признаюсь, я сам так думал, — подхватил Манилов, — именноочень многиеумирали!» Тут он оборотился к Чичикову и прибавил еще: «Точно, очень многие». — «А как, например, числом?» — спросил Чичиков. — «Да, сколько числом?» — подхватил Манилов. — «Да как сказать — числом? Ведь неизвестно, сколько умирало, их никто не считал». — «Да, именно, — сказал Манилов, обращаясь к Чичикову, — я тоже предполагал,большаясмертность; совсем неизвестно, сколько умерло…»[194]

Так выделяется единица из неопределенного множества. В этом состоит простейшая система счисления (Бо- бынин).[195]

Недостаток места не позволяет рассмотреть, как возникали дальнейшие системы счисления, в которых к понятию «один» прибавлялись понятия «два», «три» и т. д., тогда как всякое множество,последующееза тем, которое счисляемо крайним из полученных числовых символов, является множеством«бесчисленным» у «неопределенным»услед чего и по сей день в нашем языке, когда мы говорим о «бесчисленном множестве», о том, что «день тянулсябесконечнодолго» и т. п. Понятия вроде «куча», «толпа» и другие им подобные, совершенно справедливо подвергавшиеся разъедающей критике софистов, носят на себе несомненный характер той эпохи, когда не было закончено построение натурального ряда чисел. Единственное и множественное число в строе языка, это–формы, приспособленные к первоначальному мышлению, когда созидание ряда только началось. Появление двойственного числа указывает на большую развитость этого ряда. Что процесс появления новых грамматических форм («тройственное число» и т. д.) остановился, это вполне понятно, т. к. было бы крайне не экономично для каждого из чисел создавать особую грамматическую форму.[196]Но логически «три» нисколько не сложнее и не менее первично, чем «один», так как никаких преимуществ перед «один» не имеет. Было бы правильно или вовсенеразличать чисел, не делая никогда согласования в числе, или длякаждогочисла придумать особую грамматическую форму, что невозможно, так как чисел бесконечное множество. Но волей–неволей мы должны укладывать мысль в устаревшие формы речи.

Двойственное число во многих языках (египетском, арабском, еврейском, санскритском, греческом, готском и древнеславянском), счетпарамиу некоторых диких народов (маркизцы), да и у нас часто тоже, «неопределенная двоица» у пифагорейцев и платоников — все это указывает на период, когда группа в «два» предмета имела для сознания некоторое принципиальное отличие от всякой другой с большим числом предметов.Двабыло символом для наибольшей из групп, которую еще можно сосчитать. Всякая же группа с большим числом объектов будет в этой стадии мышлениябесчисленныммножеством, — множеством, которое нельзя счесть, «как звезды небесныя, как песок морской»[197].

Так проходили века и прибавлялись новые числовые символы. Тут важно отметить одно обстоятельство. В. В. Бобынин выяснил, что пальцевой счет предшествовал словесному[198]; поэтому естественно было бы ждать запаздывания этого последнего сравнительно с пальцевым. Это, действительно, подтверждается фактами. Поэтому часто словесный счет лучше хранит следы первоначальных эпох, чем пальцевой. Всякий из нас про два совершенно различных множества, оба бесконечных, скажет, что они бесчисленны, хотя будет чувствоваться, что они чем‑то разнятся.

Вот несколько цитат, подтверждающих сказанное[199][200]. «Словесный счет весьма хорошо сохранил во многих из низших племен настоящего времени некоторые из ступеней, пройденных пальцевым счетом при его развитии. Мы находим в наше время племена, которые имеют название только для 1 и 2 и всякое высшее число означают словоммного. D'Orbigny[201]говорит: «Lcs Chiquitos nc ѕа- vent compter que jusqu'a un (tama), n'ayant plus cn- suitc que des tcrmes dc comparison».[202]

Свидетельство д'Орбиньи о Чикитосах подтверждается и новейшими исследованиями, приводящими к следующим заключениям. Выражения чисел «один» и неопределенных «мало», «много» и «все» совсем отсутствуют в языке. Спрошенные о числах, больших единицы, например, о двух, трех, четырех и т. д., Чикитосы отбирают соответствующее число пальцев… Ботокуды, по свидетельству Спикса и Марциуса[203]‚ называют 1 mokcnam, 2 uruhit и всякое высшее число «много»… По свидетельству Лихтенштейна[204]племя Саабе в Африке имеет название только для 1 — t'koay и 2 — t'kuh. Если Ботокуды и Саабе являются таким образом живыми свидетелями того отдаленного времени, когда система счисления не шла выше 2, то другое бразильское племя Пури оказывается уже принадлежащим к следующей высшей ступени развития, так как имеет название числительных до 3 включительно… и всякое высшее число называет «много» и т. д. За множеством фактического материала в том же духе могу направить читателя к указанным сочинениям Бобынина, Тэйлора[205]и др.

Не все числа натурального ряда получаются одинаково легко, не все стоят одинаковых усилий. Когда, например, ряд доведен до 5 и все пять пальцев исчерпаны, человечество остановилось в недоумении, что делать далее. И если бы тогда сознательная жизнь была достаточно развита, то, наверно, явились бы лица, которые стали бы доказывать невозможность всякого числа, большего, чем пять.

Это можно было бы делать, например, так: все числа, сказали бы они, таковы, что если отнять от них какое угодно число, то получится остаток, меньший пяти. Допустим от противного, что существует число «шесть», большее пяти. Отнимая от него единицу, мы, согласно определению «шести», получим число «пять», которое не меньше пяти. Следовательно, наше предположение абсурдно, и число «шесть» существовать не может, quod crat demonstrandum[206]. Как ни призрачно такое доказательство, а большая часть доказательств против бесконечных чисел в более приличном на вид изложении говорит нечто в этом же духе: таковы, например, доказательства Фенелона, Муаньо, Гердиля и др.[207]

Нужен был гений, который бы сообразил, что вовсе не является сказанное свойство чисел давать остаток менее пяти существенным и что для отсчитывания единиц чисел более пяти можно перейти к пальцам другой руки. То же относится и к числам 11, 16 21 и т. д. Камчадалы, по словам Крашенинникова[208]‚ еще не додумались отсчитывать двадцать первую единицу на пальцах другого человека; они при счете пересчитывают все свои пальцы на руках и потом на ногах, дойдя таким образом до 20–ти, а затем спрашивают с недоумением: «Что же нам делать теперь?» «Мысль воспользоваться для отсчитывания двадцать первого предмета, — говорит Бобынин, — пальцем руки другого человека избавила человечество от рассматриваемого затруднения и вместе с тем дала ему возможность беспрепятственно развивать счисление далее…»[209]Но прежде чем додуматься до выражений вроде «две руки и палец ноги» для 11; «у третьего человека на первой ноге три» для 53, нужна была огромная духовная работа, и, когда мелькнет мысль, скольким мы обязаны этим изобретателям, тогда с особою силою вспыхивает сознание близости умершего, реальной никогда не прекращающейся связи, и идея Церкви получает особую, своеобразную живость.

Особенно наглядно показывает эти эпохи история русской математики. Являясь как бы микрокосмом, где все события идут в малом размере и ускоренным темпом, она в истории математики, по справедливости, сравнивалась с системою Юпитера в астрономии. На глазах у нас, так сказать, проходят периоды развития математической науки от древне–египетского до почти современного. Искомую, нужную нам эпоху мы застаем в XVII ст. Вот что говорит о ней историк русской математики[210]: «Словесное счисление наших математических рукописей замечательно по выработанности и своеобразию систем названий, употребляемых им для обозначения единиц различных разрядов. Таких систем было две. Первая из них, называемая иногдамалым числом‚ по–видимому, не шла далее тысяч миллионов. Единицы разрядов обозначались в ней следующим образом. Меньшие десяти тысяч — обыкновенными названиями единица, десяток, сотня, тысяча. Для больших десяти тысяч существовали названия;тмаилитьмадля обозначения десяти тысяч,легиондля обозначения ста тысяч, или, что то же самое, десяти тем, илеодрдля обозначения миллиона или десяти легионов. Далее следовали десятки, сотни и тысячи леодров. Вторая система, употребляемая «коли прилучалсявеликий счет и перечень», называлась обыкновенновеликим числом; иногда такжечислом великим словенским. Она шла до единиц 48–го и даже иногда 49 го разряда, т. е. до словесного выражения числа, состоящего из 48 или 49 знаков. «И более сего, — обыкновенно говорится в рукописях, — несть человеческому уму разумевати…» Основные названия, употребляемые во второй системе, были те же, что и в первой, но с другим значением для высших между ними, начиная с тьмы.Тьмав великом счете обозначала тысячу тысяч или миллион,легион —тьму тем или миллион миллионов, т. е. биллион, наконец,леодр —легион миллионов или биллионов. В некоторых рукописях мы встречаем также неупотребительное в малом счете названиеворондля обозначения леодра леодров… Названия единиц все 48 и 49 разрядов вместе с письменными выражениями как их самих, так и их различных чисел посредством цифр индейских и славянских сгруппировывались иногда в таблицу, которая называлась обыкновенно «написанной великим числом границей». […] С помощью этой таблицы, говорится в одной рукописи, «которое число в которой поставке (строке) будет и ты можешь его по той границе именовати и числом явственно нарещи…». Единица 49–го разряда, или ворон, однако же не всегда составляла крайний предел употребляемого нашими предками счисления. Иногда, как показывают некоторые рукописи нематематического содержания — (XVII в.) шли дальше, доходя до единицы 50 го разряда, т. е. до десяти воронов. Как и относительно предыдущей, об этой новой единице говорили, что«сего числа несть больши»и называли ее особенным именемколода…»

До сих пор мы имели дело с такими системами счисления, которые, доходя до единицы того или другого порядка, высшего символа, останавливались и ставили точку: «сего числа несть больши». Однако мало–помалу это сознание ограниченности натурального ряда уничтожается и вытесняется представлением обратным. Числовой ряд может быть продолжаем как угодно, в нем нет наибольшего числа и после каждого можно указать еще и еще числа. В неясных обликах эта идея о беспредельности ряда чисел возникла у индусов, и мысль, только что сделавшая это открытие, тешилась опытной «проверкой». Числовые спекуляции с громадными числами в законах Ману[211], все космогонические идеи, легенда о Будде, побивающем в счете мудрецов, и другие факты в том же духе напитаны идеей о потенциальной бесконечности, хотя, конечно, последняя не очерчена достаточно отчетливо. Этой идеей дурной бесконечности, которая, несомненно, скрывается за большими числами, нас как будто хотят раздавить. Хочется сказать, что идея потенциальной бесконечности есть национальная идея арийцев, по преимуществу индусов, как актуальной — семитов, главным образом евреев.[212]

Вот пример индусского мышления: «Соединение тысячи миров желания с тысячью миров переходных от первых, — образует у буддистов так называемый малый хи- лиокозм, или малое тысячное счисление миров. Третья ступень мира форм обнимает собою тысячу миров второй ступени и тысячу малых хилиокозмов, следовательно, — миллион земель, солнцев, словом — миллион миров желания с миллионом миров переходных. Четвертая ступень обнимает тысячу миров, каждый с тысячью миллионов миров первой ступени и миллионом второй. Это- великий хилиокозм. За этими мирами следует еще высший, небесный «мир бесформенности», со своими четырьмя небесами, т. е. мир, в котором нет и формы бытия, никакого признака существования. Но и этим не ограничиваются буддисты в своем стремлении увеличить число миров. Великий хилиокозм, состоящий из тысячи миллионов миров, в свою очередь дробится на множество таких же хилиокозмов. Тысяча таких великих хилиокозмов, по воззрению буддистов, составляют только ту систему мира, на которую простирается влияние Будды и где слышится его слово. Все это не больше, как точка в безграничной вселенной^ капля в море… Для обозначения числа миров пишется линия цифр в 44 тысячи футов длины, состоящая из 4 456 448 нулей[213].

Эти довольно смутные идеи были резко и окончательно сформированы Архимедом, в его знаменитом«Ψαμμίτιης»,письме к царю Гелону[214]. Тут Архимед показывает, что возвышениями в степень можно получить число, считающеевсякоеконечное множество, как бы велико оно ни было, и что, следовательно, ряд чисел можно продолжать как угодно далеко. Ту же идею, но в менее строгой форме, высказывали каббалисты: десять чисел, «десять сфиро» могут породить собою все остальные числа, ряд которых бесконечен. «Для десяти сфиро не существует предела ни в прошедшем, ни в будущем»[215]. Тут, конечно, я берутолькоформально- арифметический смысл этих утверждений и опускаю мистико–метафизический; мне сейчас нет до последнего никакого дела.

Мы добрались до признания бесконечной продолжаемости ряда. Остается еще один шаг, последний. Продолжая числовой ряд, как угодно далеко, мы всегда будем получать числа конечные, мы никогда последовательным прибавлением единицы не пробьемся через границу конечного, как то строго доказано Кантором. Дальнейший прогресс потому состоит в том, чтобы дать процесс, создающий новые, совершенно своеобразные символы, которые бы подчиняли себе ибесконечныемножества; мы хотим охватить и расчленить серую и однообразную массу бесконечности так, чтобы в ней появилась индивидуализация. У нас не хватает, так сказать, пальцев, по которым можно было бы отсчитывать бесконечные множества. Надо их придумать[216]. Позитивизм говорит: «И боле сего, — т. е. более конечного, — несть человеческому уму разумевати»[217]. Георг Кантор показал, что желание позитивизма ограничить — тщетно, и мы постараемся дать самый коротенький очерк некоторых его идей.

IV

Группа[218]. — Канторовское учение об актуальной бесконечности и о символах ее все выросло на почве молодой, но уже теперь достаточно обширной науки, почти целиком им же созданной, — науке о группах (Mengenlehre, Mannigfaltigkeitslehre)[219]. Если говорить попросту, то оно есть частный отдел такой науки. Необходимо, значит, указать, что это за наука и каковы ее основоположения[220][221].

Из самого названия науки явствует, что основною идеею в ней является идеягруппы(Menge, Mannigfal- tigkeit, ensemble)[222]. Но идея эта так обща и в то же время является таким необходимым условиемвсякогопознания, чтоопределятьее, согласно известному совету Паскаля[223], не представляется нужным, да и едва ли это возможно. Тому, кто уже не имел бы идеи группы, определение ничего не уяснило бы, а тому, кто ее имеет, оно излишне, так как эта идея всегда отчетлива и ясна. Но, однако, я говорю слово«группа»и большинству этоттерминмало–понятен; необходимо пояснить, какую именно идею мы разумеем под таким словом. Для разъяснения можно сказать так: всякий результат синтеза некоторой множественности. в единство актом духа есть группа, есть некоторая простая вещь для себя. Следовательно, наука о группах есть наука о множестве и единстве в их взаимоотношениях. Тут, по правде сказать, я применяюсь к обычному словоупотреблению и объясню через единство и множество то, что на самом деле первее их, если не логически, то гносеологически:множествоявляется в духе как результат отвлечения единства от группы. Мы не можем иметь идеи о множестве, не связанном никаким единством, так как оно делается единством хотя бы потому, что мыслится единым субъектом. Наоборот, единство не может быть пустым единством, единством ничего, никакого множества: такое единство ничем не отличалось бы от своего отрицания, т. е. было бы само ничем. Единство и множество, в виду этого, не самостоятельные идеи, а только соотносительные признаки идеи — идеи группы.

Заметив это, поясним далее термин группы. «Под «группою» мы разумеем, — говорит Кантор, — каждое объединение духом в целое Μ определенных, различных между собою объектов m нашего воззрения или нашего мышления (которые называются «элементы» М)» — «Unter einer «Menge» verstehen wir jede Zusammenfassung Μ von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten in unse- rer Anschauung oder unseres Denkens (welche die «Elemente» von Μ genannt werden) zu einem Ganzen»[224][225].

В знаках это выражается так:

Μ — {m}.

Объединение многих групп, временно рассматриваемых, как элементы, в группу высшего порядка, если эти группы не имеют общих элементов, обозначается знаком (Μ, N, Р…), так что элементы полученной в результате группы суть совместно взятые элементы групп М, N, Р…[226]

«Частью» или «частной группой» (Thcilmcngc) группы Μ Кантор называет каждую другую группу Μι такую, что элементы ее в то же время суть элементы М. Ясно из этого определения, что если Мг есть часть Мі, a Μι — часть М, то и Мг — часть М.

Чтобы окончательно выяснить смысл основного терминагруппа,я приведу несколько синонимов его. Таковы, например, выражения «совокупность», «объем» (в логическом смысле» Inbegriff)[227]«коллекция», «ансамбль» и т. д. Примерами групп могут служить, хотя бы, совокупность точек, лежащих на некоторой окружности, совокупность всех целых чисел, совокупность книг данного автора, людей определенных убеждений и т. д.; таковы же будут собрания, совокупности известного рода чувствований, частей данного определенного количества, состояний какого‑нибудь процесса и т. п.

Если определять общий термин «группа» представляется излишним, то совсем не так обстоит дело с вопросом,когдарассматриваемая группа Μ являетсяопределеннойи когда нет. Пока это не выяснено, мы не имеем права оперировать над предлагаемой нам группой, потому что это бы значило, что мы оперируем сами не знаем с чем, с чем‑то, что, может быть, и не окажется определенным и в себе законченным. Ясно, что если группа конечна, т. е. состоит из конечного множества элементов (пока это только предварительное пользование термином «конечный», так какпослеего мы должныопределить), то дать группу — это значит, например, дать один за другим все ея элементы, произвести cnu- merationcm simplicem[228]. Но необходимо ли это? Конечно нет, да иногда и не возможно, когда, например, элементов десять миллионов. Тогда группа дается тем, что по признакам всякого элемента мы можем решить, подходит ли он под данное единящее начало группы, или нет, принадлежит ли ко взятой группе, или нет и не тождествен ли с каким‑нибудь из уже взятых элементов группы. Ясное дело, что принимаемые во внимание признаки должны быть таковы, чтобы своею совокупностьюрешаливопрос, принадлежит ли элемент к данной группе, или нет, так как не всякие признаки позволят сделать это. Если, например, мы возьмем группу точек на окружности и некоторую точку плоскости захотим дать таким признаком, что она не лежит вне окружности, то этот признак еще ничего не позволит решить, принадлежит ли данная точка к рассматриваемой группе, или нет; в самом деле, она может быть на окружности и тогда будет принадлежать к группе, и может быть внутри окружности, и тогда к группе принадлежать не будет.

Общее определение Кантор дает в таком виде: «Я говорю, что группа элементов, принадлежащих какой- нибудь абстрактной области (ѕрһӧге abstraite),вполне определена(Ъіеп d6fini), когда вследствие логического принципа исключенного третьего можно рассматривать, что она охарактеризована (ӓӗіегшіпб) следующим образом: 1) если выбран какой‑нибудь объект, принадлежащий этой абстрактной области, то можно считать, что определено по существу (intrinsfcquement), принадлежит ли он к системе, о которой идет речь, или нет, и 2) когда даны два объекта, принадлежащие группе, то можно считать по существу определенным (внутренне определенном), равны ли они или нет, несмотря на различия, могущие представиться в способе, которым они (эти элементы) даны»[229][230]. Определение это необходимо несколько разъяснить, так как даже Борель[231]говорит[232], что «се passage… il nous a paru trfcs intdressant, mais en шёше assez difficile ӑ comprendre…»[233].

Кантор ведет речь обабстрактнойобласти, потому что только в такой области может быть группа, как объект научного исследования. Тогда и только тогда представления или какие другие объекты могут сделаться элементами группы, когда мы усмотрим в них некоторую общность; но чтобы эта общность могла быть подвергнута логическому анализу, необходимо получить ее актом отвлечения, и, следовательно, мы тем самым перейдем в область абстрактного.

Определенность по существуозначает τό, что хотя мы,методами и средствами‚ которыми располагаем, не можем решить очень часто, принадлежит ли элемент к данной группе, или нет, но зато мы можем быть уверены, что в сущности элементаужепредопределено, что он либо подойдет под определение группы, либо нет, но сомнений на этот счет или неопределенности оставить не может. А то ведь можно было бы сказать так: возьмем группу алгебраических чисел и некоторое произвольное трансцендентное уравнение. Принадлежит ли корень его к группе, или нет? Тут по существу еще вовсенеопределено это, так как нужно указать, о каком именно уравнении идет речь. В одном случае ответ может получиться утвердительный, в другом — отрицательный. Но может быть и обратно. Данный элемент, например, число π, может по существу быть определенным в своем отношении к группе, например к группе чисел, хотя весьма затруднительно решить, принадлежит ли он сюда, или нет, а иногда и невозможно практически. Одним словом, Кантор говорит о логической определенности, а не о практической определимости.

Устроенность[234]. — Пусть нам дана группа Μ = {m}. Элементы ее охарактеризованы совокупностью признаков, общей для всех их; но возможно, что эти признаки, или по крайней мере некоторые из них таковы, что, сравнивая два произвольные элемента и т" по одному из признаков (а), мы усматриваем, что они допускаюттолькотроякое отношение: или элементы и т" являются тождественными с точки зрения взятого признака, или если не тождественными, то стоят друг к другу в одном из двух необратимых отношений, что обозначается в знаках так:

m' = m", m' >-m", m' m" (по признаку а).

Под необратимым отношением элементов разумеется такое, что если m' не равно m", то m' и m" относятся друг к другу не равноправно и не переместительно, входят в отношение не симметрично, но затовсеэлементы (т), не тождественные по данному признаку а с распределяются на две части, из которых одна состоит из элементов, находящихся с m' в таком же отношении, что и m", а другая — из элементов, относящихся иначе к m", именно, как само m' относится к m". Если каждая пара элементов ш по данному признаку а имеет непременно одно из этих трех отношений между собою и, притом, только одно, то их отношение Кантор называетотношением по рангу‚ ранговым отношением, πρότεροι›зеасύστερονәеата тчхҪсі[235]. Соответственно с этим можно говорить, что m' или равно m" по рангу, или больше его, или меньше. В этом случае группа называется устроенной (geordnel)[236]по данному признаку а. Ранговые отношения ближе характеризуются в каждом частном случае отдельно. Это может быть порядок логической данности, порядок во времени, порядок пространственного расположения и т. п. Чаще всего это бывает «отношением величин», Grossenbcziehung — больше, равно, меньше, и тогда знаки >,=, — < принимают специальный вид знаков равенства и неравенства ›, = ‚‹.

Чтобы не уклоняться далеко в сторону, буду давать самые беглые замечания. Если группа устроена покаждомуиз признаков, всецело ее определяющих, то она носит названиевообще устроенной группы[237]. Число признаков, определяющих такую группу и носящих названиенаправленийданной группы, называетсякратностью устроениягруппы, так что если признаков таких 4, то группа будет четырекраты–устроенная. Вообще говоря мы, ради простоты, станем рассматривать только одиножды–устроенные группы, в которых все элементы характеризуются в своем отношении к группе толькооднимпризнаком; но сначала поясним на двух–трех примерах, что такое устроенная группа.

Точки плоскости образуют группу двукраты- устроенную, потому что двух признаков, — двух координат, — достаточно, чтобы определить элемент. Она устроенная, потому что по каждому из признаков, например, по величине абсциссы и ординаты точек, они имеют ранговое отношение. Каждая точка может на данной линии либо совпадать с другой точкой, либо быть вправо от нея, либо влево. Музыкальное произведение — симфония, например, есть группа четырекраты- устроенная. Элементами ее служат тоны; каждый из тонов всецело определяется следующими четырьмя независимо друг от друга изменяющимися признаками: высотою, интенсивностью, длительностью и тембром. В качестве третьего примера можно дать всякую картину. Она тоже представляет собою четырекраты–у строенную группу, потому что элементы ее — точки определяются такими четырьмя независимыми друг от друга признаками: цветностью точки, насыщенностью ее цвета и положением этой точки по отношению к бортам картины, для чего нужно дать две координаты точки.[238]

Соответствие. — Пусть нам даны две группы Μ и N. Выделим в Μ некоторые части, из которых одна пусть будет Мі, и в N — части, среди которых некоторая ποлучит обозначение Νι. Свяжем эти части между собою так, чтобы произвольно выбрав Мі, мы вынуждены были остановить внимание именно на Νι, а не какой‑нибудь иной подгруппе из N, и наоборот, выбрав некоторую N2, должны были остановиться на некоторой М2. Тогда мы скажем, что между группамиустановлено соответствие. «Как известно, — говорит Ж. Таннери[239]— словосоответствиепостоянно употребляется в математике: оно означает единовременную мысль о двух объектах; когда я думаю об одном из этих объектов, то думаю о другом»[240].

Такими объектами, вообще говоря, служат части групп Μ и N, но практически нужны бывают главным образом соответствия такого рода, что каждому элементу в Μ соответствует один элемент в N и обратно, каждому элементу в N соответствует один элемент в М. Если при этом, взяв некоторый элемент ш, мы получим ему соответственный элемент п, а взяв тот же элемент η получим первоначальный элемент ш, то соответствие будетвзаимнымиоднозначным. Такие только соответствия нам будут нужны в настоящем абрисе исследований Кантора. Чем реализуется связь между элементами, чем, так сказать, фиксируется она — этонамсовершенно безразлично, так как мы рассматриваем вопрос только формально, и важным является тольконаличностьсоответствия. Эта связь может быть реализована словесной формулой (если дан элемент, то по таким‑то и таким‑то признакам нужно отыскать соответствующий ему п), может — формулой аналитической; можно, наконец, установить соответствие какими‑нибудь конкретными операциями (геометрическое построение, например), или даже ассоциациями, если только мы можем гарантировать неизменность их на все время исследования.

Простейшим примером соответствия и притом однозначно–взаимного, является всякаянумерация; каталог музея, библиотеки есть то, что устанавливает соответствие между выставленными предметами или книгами и их названиями. Точно так же личные интересы устанавливают соответствие между театральными билетами и лицами, которым они принадлежат; нумера, написанные на местах, и нумера на билетах устанавливают соответствие между местами и билетами, следовательно, между местами и лицами, имеющими право на места, и т. д. Но эти примеры даны только для пояснения, и понятно, что в математике таким соответствиям нет места.

Взаимность и однозначность соответствия не определяет еще соответствия вполне; поэтому мы можем предъявить к нему дополнительные требования, наложить еще некоторые условия, и в некоторых случаях они будут выполнимы. Тогда соответствие получает специальный характер и обозначается соответственными знаками.

Так, например, если имеется между группами Μ и N просто взаимное и однозначное соответствие, которое ради краткости мы станем обозначать словом «соответствие», то в знаках это обозначается так: Μ со Ν, причем группы Μ и Ν, способные быть приведенными в соответствие, получают название группэквивалентных. Можно, кроме того, потребовать, чтобы в эквивалентных группах было при установлении соответствия сохранено их устройство, так чтобы, если Μ и N группы п–краты устроенные, то любым элементам га' и т" из М, имеющим, по к–му направлению определенное ранговое отношение, соответствовали в группе N элементы п' и п" с таким же ранговым отношением, и наоборот: если, например, m' > m", то должно быть п' ›- п" и т. д. Если группы можно привести в соответствие, удовлетворяющее этим заданиям, то Μ и N получают названиеподобныхиликонформныхгрупп, а в знаках конформность их обозначается так[241]: Μ ^ N. Мы не станем разбирать других, более или менее специальных соответствий, так как это чрезмерно увеличило бы размер статьи. Но для пояснения сказанного привести несколько примеров все‑таки нужно, тем более, что они сразу знакомят с некоторыми замечательными свойствами трансфинитных групп[242]. Как видно из изложения, до сих пор мы не должны были упоминать ни одним словом о том, конечна ли группа или бесконечна. Указанные методы одинаково пригодны для исследования того и другого и, по правде сказать, пока еще мы не знаем разницы конечной и бесконечной группы, не имеем признаков, по которым могли бы различить их. Они появляются в канторском исследовании сравнительно поздно и тут‑то открывается пропасть, разделяющая конечное от бесконечного.

Итак, возьмем несколько примеров на соответствие групп. Сначала берем группы эквивалентные.

1. Группа цветов радуги (красный, оранжевый, желтый и т. д.) и группа скалы тонов (С, D, Е, Ғ…) эквивалентны между собою. Поступая для наглядности грубо, можно хотя бы выкрасить клавиши, дающие сказанные 7 тонов в соответственные 7 цветов, и тем соответствие установится[243].

2. Группа пальцев рук и группа точек арифметического треугольника[244]. V. эквивалентны.

3. Трансфинитная группа всех целых положительных чисел

1, 2, 3, 4, 5… ѵ…

и группа всех четных положительных чисел 2, 4, 6, 8, 10… 2v…

тоже эквивалентны. По–видимому, это — нелепость. «Ведь целых чиселбольше‚ чем четных, раз среди целых находятся четные, да еще кроме того нечетные», — скажет, вероятно, кто‑нибудь. И однако в известном отношении первыхстолько же› скольковторых. В самом деле, мы можем доказать эквивалентность этих групп, de facto[245]установивши их соответствие. Именно, соответственными мы будем считать числа вида ν из первой группы и числа вида2ѵиз второй, гдеνпринимает всевозможные целые значения. Следовательно, каждому числу ν из первой группы найдется соответственное четное число2ѵиз второй, и наоборот, всякому числу2ѵиз второй найдется соответственное из первой. Если символически мы станем обозначать соответственность элементов, соединяя их черточками, то нам придется соединять числа, подписанные одно под другим, и мы увидим, что всякое число нижней строчки будет связано с каким‑нибудь одним из верхней, и наоборот. Строчки, так сказать, можно наложить друг на друга соответственными элементами.

4. Группа всех рациональных чисел (дробей) эквивалентна группе целых чисел. Этот факт является особенно поразительным не только потому, что среди группы рациональных чисел имеются уже и целые, но и вследствие особого свойства рациональных чисел образовывать группу,«всюду плотную». Дело в том, что между каждыми двумя рациональными числами заключено сколько угодно еще других рациональных чисел и, взяв какое‑нибудь из этих чисел, мы не в состоянии указать ближайшее по величине после взятого; ближайшего числа к взятомуне существует‚ потому что, какое бы близко лежащее мы ни взяли, всегда найдется другое, лежащее еще ближе. Поэтому, если бы, желая установить соответствие, мы расположили рациональные дроби в их натуральном порядке, по величине, то невозможно было бы указать числа соответствующего данному целому числу, если предыдущее (по величине ближайшее меньшее) целое число уже имеет свое соответственное. В самом деле, какое бы число рациональное мы ни выбрали в качестве соответственного взятому целому, мы непременно трансфинитное множество других рациональных дробей опустим, и в соответствие они не попадут. Казалось бы, что рассматриваемые группы не эквивалентны. Однако Кантор показал весьма простым способом, что это не так, и что соответствие можно установить, но для этого нужно только рациональные числа перетасовать и разместить в новом порядке. Тогда каждому из них окажется возможно приписать свой номер, чем соответствие установится. Располагаем наши дроби именно втакомпорядке, в виде таблички:

1/1, 1/2, 1/3, 1/4… и т. д.

2/1, 2/3, 2/5, 2/7… «

3/1, 3/2, 3/4, 3/5… «

4/1, 4/3, 4/5, 4/7… «

Сделав это, не трудно выписать теперь дроби в сказанном расположении и подписать под каждой соответственный ей номер, для чего будем последовательно идти по диагоналям составленной таблицы. Получаем строчкувсехдробей:

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/3, 3/1,

1/4, 2/5, 3/2, 4/1… и т. д.

и строчку соответствующих им номеров:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… и т. д.

Вследствие такого свойства рассматриваемая группа рациональных чисел, равно как группа четных чисел и многие еще другие, может быть, так сказать,отсчитываемарядом натуральных чисел. Ввиду этого эти группы, как и все, с ними эквивалентные, носят название группсчетовых(аЬгӓһЉаг).[246]

Но не следует думать, чтовсякаягруппа может быть приведена в соответствие с натуральным рядом, т. е. что всякая группа будет счетовой. Ближайшим примером несчетовой группы может служить совокупность всех точек какого‑нибудь прямолинейного отрезка, или еще совокупность всех иррациональных чисел. На первый взгляд это кажется странным, так как, например, совокупность всех иррациональных чисел «по виду» ничем не отличается от совокупности всех рациональных чисел: и та и другая группа «всюду плотна», и та и другая имеет «пробелы», т. е. существуют среди всех чисел такие, которые не попадают в группу рациональных, равно как существуют не попадающие в группу иррациональных. Но строгое доказательство, впервые данное Кантором, бесспорно убеждает в их не–эквивалентности.

Чтобы несколько ближе выяснить смыслподобиягрупп, возьмем для примера группу целых положительных чисел и группу четных положительных чисел. Мы видели, что они эквивалентны; но из самого способа установки соответствия явствует, что порядок элементов в соответствии не нарушен, потому что большему элементу в первой группе соответствует и больший во второй, а элементы обеих групп расположены по величине. Следовательно, группы конформны. Хорошим примером конформных групп может служить совокупность окрашенных точек картины и совокупность окрашенных точек ее копии: по каждому из четырех направлений, указанных выше, ранговый порядок точек копии совпадает с ранговым порядком точек картины. Не останавливаясь на дальнейших подробностях, переходим к самой сути.

V

Всякая группа Μ есть некотороецелое›в которое элементы входят, как его составные части; мы предполагаем, что все эти элементы вполне различаемы друг от друга мысленно, но нам совершенно безразлично, будут ли они неоднородны или однородны, сложны или просты. Сейчас нам важно лишь то, что ониразличныи что ониобъединеныв целое.

До сих пор мы рассматривали группу в связи со всеми особенностями ее элементов. Но мы можем сделать акт отвлечения от природы элементов. Тогда каждый элемент даст от себя изображение в духе–схему неразличимого единства,единицу; группа же, как целое, дастсвойидеальный оттиск, интеллектуальный образ- схему множества, устроенного единством, или, иначе говоря, схему единства, но не пустого, а объединяющего собою множество. Получится форма различия, но различия устроенного и объединенного. Это будет некоторое общее понятие (в широком смысле), Allgcmein- begriff, universale, т. е. unum versus alia в значении unum aptum inesse multis[247](M. Liberatore)[248]. Ясно, что так как мы отвлеклись только от природы элементов, то под это общее понятие подойдут все те группы, которые разнятся от данной только природою элементов, но не порядком их, например, т. е. группы подобные данной. Ведь между ними и группою Μ можно установить соответствие, так что каждому элементу Μ будет соответствовать элемент одной из таких групп, и порядки их по каждому направлению будут одинаковы.

Это общее понятие Г. Кантор называеттипом порядкагруппы М, Ordnungstypus, символически обозначает акт абстракции над группою через черточку, поставленную сверху обозначения группы; полученный значок обозначает результат акта–тип порядка, который обозначается у Кантора также греческою буквою. Например, тип порядка группы Μ будет Й = а. Таким образом, «если мы отвлечемся у п–краты устроенной группы Μ от природы элементов, при удержании их рангового порядка по различным π направлениям, то в нас будет возбужден интеллектуальный образ, общее понятие (universale) ‚ которое я называю η–кратным типом порядка‚ присущим группе М, или такжеидеальным числом(а ptfl/‹ӧѕ νοητός), соответствующим группе М, и обозначаю через М"»[249][250].

Понятно, что тогда и только тогда Я — Ν, т. е. группы Μ и N имеют одинаковый тип порядка, когда Μ ε? Ν, и наоборот, если Μ ™ Ν, то Й = Таким образом выясняются условия «равенства» идеальных чисел.

Особенно важное место имеет тот случай, когда группа Μ единожды или просто, einfach, устроена. Этот случай мы рассмотрим далее, а пока обратимся к другому не менее важному понятию, понятиюмощности.

Пусть мы опять имеем группу М. Акт двоякого отвлечения, как от природы и свойств элементов, так и от всех их отношений, а стало быть и от устройства, от порядка группы, дает некоторое общее понятие, universale, под которое подходит сказанная группа, как все ей эквивалентные. Это понятно, потому что показывая эквивалентность групп, мы обращаем внимание на данность элемента, а не на его природу или его отношение к другим элементам. Полученное общее понятие Кантор называетмощностью(Machtigkeit, puissance) группы Μ, или присущим ей количественным числом (Cardinalzahl)[251]. «Мощностью» или «количественным числом», говорит Кантор, мы называем общее понятие, которое проистекает из группы Μ с помощью нашей способности активно мыслить (activen Dcnkvermogens) через то, что делается отвлечение от природы разных ее элементов и от порядка их данности[252][253]. Результат этого двоякого акта отвлечения обозначается через знак группы, но с двумя черточками сверху, или же готи- ческой_буквой, так что, например, мощность группы Μ будет Μ = «♦

Само собою ясно, что если мы возьмем тип устройства α для группы М, то, делая над α акт отвлечения от порядка составляющих его единиц, мы получим мощность группы Μ и вместе с тем мощность типа а, которою он несомненно обладает, так как сам он есть устроенная группа единиц. Итак,

(M) = М = а = N.

Отсюда, между прочим, следует, что Μ ∞ Μ ∞ М, точно так же, как конформность Μ и Μ: Μ ∞ М.

Рассмотрим еще некоторые свойства мощности. По определению мощности, можно сказать, что тогда и только тогда

Μ = Ν, когда Μ ∞ Ν,

и наоборот, если

Μ ∞ Ν, то Μ = N.

Другими словами, эквивалентные группы имеют одинаковые мощности, и наоборот, одинаковые мощности принадлежат только эквивалентным группам. — Точно так же ясно само собою, что если Μ со М' ‚ N со Ν' и т. д. QcoQ', то и группы сложения будут эквивалентны, т. е. будут

(Μ, N, Р… Q) со (М'‚ N', Р', и Q'). —

Вот те символы, до построения которых мы добирались. Эти мощности и типы порядка, носящие у Кантора общее названиетрансфинитных чисел,служат могучим средством для оформления хаотического, когда оно сказывается в бесконечном. И в то же время они являются символами для познания Бесконечного, но написанного не с «б», а через «Б». В этом последнем смысле они только приближают нас к постижению Его, только намекают «как зеркалом в гадании», но намекают лучше, яснее и выразительнее, чем многое другое. Причина этого в том, что они относятся непосредственно к Трансфиниту, стоящему как бы на середине между абсолютною полнотою и конечным, и по некоторым свойствам напоминают Бесконечное. Но прежде чем указать на кое- что из этой области, должно тщательно рассмотреть одно обстоятельство.

VI

Мы подошли к тому критическому пункту, который до Кантора приводил всех исследователей в замешательство и постоянно препятствовал развитию учения о Трансфи- ните.

Для равенства количественных чисел достаточно эквивалентности соответствующих им групп. Но мы уже видели, что часть группы может быть эквивалентна целой группе; так, например, можно установить соответствие между группою всех целых чисел и частью этой группы — числами четными. Точно так же группа точек, заключенных в отрезке, равном длиною двум единицам, эквивалентна группе точек в отрезке равном одной единице. Подобным же образом Кантор доказал, что последняя группа эквивалентна совокупности всех точек внутри некоторого квадрата, например, со стороною в одну единицу длины. Последнее кажется чрезвычайно странным, так как внутри такого квадрата помещается сколько угодно — трансфинитная группа — таких прямолинейных отрезков, и на каждом из них расположено по трансфинитной же группе точек, эквивалентной первой. Выходит, что, так сказать, часть бесконечно малая в отношении к целому равна ему. Такие примеры или им подобные, способны заставить усу мниться в законности актуальной бесконечности. «Ведь четные числа суть только часть всех чисел целых; точки на прямой будут частью всех точек пространства. Как же часть может равняться целому? Не доказывает ли это внутренней противоречивости наших понятий о количественных числах, когда мы относим их к трансфинитным группам?

Если от бесконечной прямой отрезать конечный кусок, то длина ее не изменится. Неужели это не нелепость?» — вот что говорили и говорят против трансфинитных групп и чисел, их счисляющих. Я бы устал, перечисляя имена авторитетов, как в области богословия и философий, так и в области математики, указывавших на разные лады и в разных, часто весьма хитрых, перефразированиях, на такое обстоятельство. Кто только не делал из него мишени для своего диалектического остроумия, для испытания своей правоверности, для моментального уничтожения идеи Бесконечного. Кардиналы и малоизвестные монахи, сильные и свободные мыслители и лица, пресмыкающиеся в сознательной тенденции, авторитеты и неавторитеты, имя которым легион ‚ разные головы всячески упирали на этот факт, одни — из чистого стремления к истине, другие — из желания во что бы то ни стало настоять на своем; одни думали уничтожить этим пантеизм, другие надеялись раздавить теизм. И, удивительное дело, противоположная тенденция соединила врагов к общей бесполезной трате сил. Мало того, каждый, копая яму другому, не замечал, что тем самым подводит мину под себя самого. Один противник говорит, что актуальная бесконечность немыслима и что мир, поэтому, не будучи бесконечным, не может быть самосущим. Другой заявляет: «Да, я согласен, что актуальная бесконечность немыслима, внутренне противоречива: вы правы, утверждая, что это — contradictio in adjecto[254]. Но раз так, то… и Абсолютное, как бесконечность, есть contradiclio in adjccto. Извольте, я согласен признать Бога, но не сущего, атолькостановящегося. В каждый момент Он — конечен, и беспрестанноприходяв бытие, он по справедливости может быть, назван бесконечностью, но… только потенциальной».

Чтобы разъяснить эту трудность, вернемся к первоначальным определениям. Пусть Μ есть некоторая устроенная группа. Тип порядка ее не меняется, если мы произведем на ней попарные перестановки элементов, так называемые транспозиции. Можно было бы подумать, что вообще, как ни расставляй элементы, все будет получаться один и тот же тип порядка. Но, оказывается, что это так только тогда, когда группа конечна; всякую данную нам перегруппировку конечного числа членов мы можем привести ко всякой другой последовательными транспозициями и, следовательно, всякая конечная группа, пока в ней остаются прежние элементы, имеет один и тот же тип, который здесь носит название «число». Это есть то, что мы называем числом в обыденной речи, в арифметике и т. д. Таким образом, для конечной группы, — и в этом ее определение и характеристика, — тип порядка,число‚ не зависит от порядка элементов, а только от данности самих элементов. Значит, если только конечные группы эквивалентны, то они и подобны, имеют одинаковые типы (тут речь идет о группах просто устроенных). А раз так, то для конечных групп тип порядка и мощность делаются неразличимы; все равно, о чем говорить, о типе ли, или о мощности, и это‑то обстоятельство вводило всех в заблуждение. Это специальное свойство конечных групп хотели во что бы то ни стало натянуть и на группы трансфинитные и, когда это не удавалось, то объявляли последние невозможными. Во множестве существующих доказательств против возможности актуальной бесконечности имеется приблизительно одно и то же pctitio ргіпсіріі[255].

Предполагают от противного возможность актуальной бесконечности, затем говорят, что она должна иметь свое отражение в духе — «бесконечное число»; после этогоподсовываютболее или менее ловко в определение такого числа свойства или одно из свойствконечныхчисел и, наконец, торжественно заключают о внутренней противоречивости «бесконечного числа», а следовательно, и актуальной бесконечности. Вся процедура эта однако очень невинна, потому что на самом деле доказывает путем длинных и изворотливых соображений, что числа бесконечные или, что то же, числа /^-конечные не могут быть конечными. Но нужно было более 30–ти лет работы, чтобы в корне уничтожить все такие попытки^ которыми хочет баррикадироваться horror infiniti[256]‚ скрывающийся за ними.

Относительно конечных групп Кантор доказывает далее[257][258], что у них часть группы никогда не эквивалентна целой группе; но однако, если мынепредположим конечности группы, то «это предложение перестает быть справедливым, и тут, — говорит Кантор, — лежит глубочайшее основание существенного различия между конечными и актуально–бесконечными числами и группами, различие, которое так велико, что мы в нем имеем оправдание называть бесконечные числа вполне новым родом чисел. Математики и философы издревле не могли справиться с этим камнем преткновения, и большинством было постановлено считать непоколебимо и упорно, что его нужно противопоставить всем попыткам сделать дальнейший шаг в учении о бесконечных; поразительна живучесть этого древнего и, несмотря на свою ложность, укоренившегося принципа, именно, «что является противоречием, если бесконечной группе Μ будет приурочено то же число и ее части М»[259][260].

Пусть М=(М', М"), так что М' — часть М. Что, собственно, мы говорим, когда утверждаем, что в некоторых случаях может быть М' = М? только то, что группы М' и Μ находятся под одним и тем же общим понятием, которое получено через отвлечение от природы и порядка элементов в одной из этих групп; в других терминах это скажется так: группы М' и Μ эквивалентны, они имеют одно и то же число. «Но с какого времени, — спрашивает Кантор, — стало противоречием видеть, что составная часть целого в каком‑нибудь отношении стоит под одним и тем же «universale» как целое? Может быть на это можно возразить, что, конечно, вообщебывает›что целое и его составная часть могут стоять под одним и тем же «universale», но только здесь дело идет об особом виде общих понятий, о числах, и для чисел это не имеет места. Тогда, — продолжает Кантор, — с моей стороны можно было бы потребовать, чтобы было приведено доказательство последнего утверждения, по которому у чисел в сказанном направлении имеет случай исключительности. Быть может, правда, этого доказательства будут искать здесь и там; но удается оно тогда только, если молчаливо привносится предположение, что дело идет о конечных группах, а это предположение — именно то самое, которое здесь нужно устранить. Но чтобы предотвратить, насколько я в силах,бесполезныехлопоты, я хочу осветить дело еще яснее и замечу следующее: утверждать, что группе Μ приурочено то же самое количественное число, как и ее составной части М', вовсе не равнозначаще с высказыванием, чтоконкретным группамΜиМ'присуща одна и та же реальность‚ так как, если даже выполнено условие равенства у принадлежащих им общих понятий Μ и М', то этим не опровергается предположенный факт, что группа Μ охватывает реальность М', как и реальность М". Развегруппаи ей принадлежащее количественноечислоне вполне различные вещи?

Разве не противостоит нам первая, как объект, тогда как последнее есть абстрактный его образв нашем духе? На древнее, так часто повторяемое положение: «totum est majus sua parte»[261]можно без доказательства соглашаться только в отношении сущностей (ЕпШӓІеп), лежащих в основе у целого и части; тогда итолько тогдаоно есть непосредственное следствие из понятий «totum» и «рагѕ»[262]. К несчастью, однако, эта «аксиома» применяется бесчисленно — часто без всякого основания и под опущением необходимого различения между «реальностью» и «величиною» или, соответственно «числом» группы; она употребляется именно в том значении, в каком онавообще ложна,раз только дело идет об актуально–бесконечных группах, и в каковом значении для конечных групп она вернатолькона том основании, что здесь мы не в состоянии доказать ее правильность»[263]. Рассмотренный выше пример ряда целых чисел, который несомненно богаче элементами, чем группа четных чисел, и однако имеет с последнею одинаковое количественное число, ясно показывает, в чем тут дело и окончательно разъясняет слова Кантора.

Характеристика и определение трансфинитных групп заключается именно в том, что группы эти суть, так сказать, общие группы; они равномощны с некоторыми из своих частей, и всегда можно найти часть, имеющую такое же количественное число, как и целая группа. «В непризнании этого обстоятельства, — говорит Кантор[264][265], — я вижу главное препятствие, которое с древнейших времен было противопоставлено введению бесконечных чисел». Но нужно помнить, что этим именно обстоятельством характеризуется, можно сказать, группа вообще, и только в виде исключительно–специального случая может оказаться, что среди всех групп, составленных из элементов данной, только одна — она сама же эквивалентна себе. Тогда этот специальный случай получает название«группы конечной».

Итак, группа конечная есть один из возможных случаев группы вообще; она определяется вполне строго, какгруппа нетрансфинитная,и мы можем изучать ее удобнее всего, исходя из общей идеи о группе. Сколько‑нибудь внимательный взгляд открывает каждую минуту трансфинит в себе, в окружающем. Идея бесконечного пронизывает остальные, их связывает в единый образ, и, в свою очередь, предполагая Бесконечное, дает символическое познание Абсолюта.

VII

Чтобы показать, как именно строит Кантор свою иерархию символов для познания актуально–бесконечного, необходимо в нескольких словах разъяснитьалгебрутрансфинитных чисел, определить, что такое значит производить те или другиедействиянад этими символами. Вообще говоря, произвести действие над символом, каков бы он ни был, это значит совершить мысленный переход от одного символа, с которым мы оперируем, к некоторому другому, так, что результат перехода зависит: I) от оперируемого символа, 2) от природы (genus proximum)[266]данной операции и 3) от специального определения данной операции, в отличие от всякой другой, стоящей под тем же genus; эта спецификация делается тоже при помощи некоторого символа, однородного с оперируемым. Для краткости мы, согласно Schubert'y[267], станем называть оперируемый символ — символомпассивным‚ а символ, определяющий действие —активным. Так, например, если мы прикладываем к 3 число 2, то 3 есть пассивное число, а 2 — активное.

Укажем это, сделав это замечание, на определение действий над группами, мощностями и типами порядка.

Если имеем две группы Μ и Nбезобщего элемента, тосоединениеих (Vereinigungsmcnge)[268]мы, как сказано, обозначаем знаком (Μ, N). Пусть Μ = и, N = b. Тогда знаком,картиной‚ и+b, согласно Кантору, обозначается мощность группы (Μ, Ν), так что

и + b = Μ + Ν = (Μ,Ν) (1)

Разумеется, «складывать» или «прикладывать» понятия, идеальные схемы, каковыми являются мощности, нельзя; под суммою мощностей совершенноусловномы разумеем некотороетретьепонятие, прежние в себе ни в каком смысле не содержащее, а только связанное с ними нашим условием и некоторыми своими признаками. Необходимо, однако, показать законность нашего определения (1), т. е. показать, что символ (и+b)всегдаимеет смысл и что он есть нечто определенное. Но это ясно, так как (Μ, Ν)естьгруппа, если только Μ и N — группы; раз так, то всегда можно отвлечься от порядка, взаимоотношений и природы элементов ее и получить ее мощность, которая обозначена через ц+b. Кроме того ц+bзависиттолькоот ц и b; в самом деле, и иbодинаковы для всех групп, равномощных с Μ и N. Поэтому, если в (Μ, Ν) мы заменим Μ и N через M'wM,‚Ν'соΝ, то получим (Μ, Ν)<(Μ\ Ν') и, следовательно, и+b не изменится. Из определения (1) ясно, что

и +b = b+и (2),

потому что b+и получится, как (N, М), но так как отпорядкаэлементов для образования мощности мы отвлекаемся, то ясно, что (Μ, N) = (N, М). Но, кроме переместительности, сложение мощности еще и сочетательно, так что (это легко доказать)

и+ (b+ с) = (и + b) + с (3)

Если мы имеем трансфинитную группу с мощностью и и присоединим к ней группу с конечной мощностью, которую обозначим через ν {ν — не сама конечная группа, а ее тип), то получим группу равномощную с М. Следовательно, на основании сказанного, получаем такие равенства, на первый взгляд парадоксальные:

и+1 = 1 + и = и↘

(4)

и+ѵ = ѵ + и = и ↗

Далее Кантор дает определениенеравенствамощностей и устанавливает, когда их считать больше некоторой другой, когда — меньше[269][270]. Отсюда вытекает, чтонаименьшейиз всех трансфинитных мощностей является мощность счетовых групп. В трансфинитной алгебре она играет основную роль и обозначается еврейской буквой алеф со значком нуль[271], Ν0. Это число удовлетворяет, например, таким равенствам:

Νо+1 = N + ν = N

νо+ Νо= Νо(5)

Νо+ Νо Νо+ Νо= Νо

Переходим теперь к перемножению мощностей. — Подгруппойсвязи (Μ. N) (Vcrbindungmcngc)[272]Кантор разумеет ту группу, которая получится, есликаждыйэлемент ш группы Μ мы связываем с каждым элементом π группы N и, принимая за элемент эту связь какой- нибудь пары элементов (ш, п), образуем из них группу. Итак,

{Μ.Ν} = {(m n)}; (6)

мощность полученной группы Кантор называетпроизведениеммощностей и иb,так что

u*b = M. N={M. N}; (7)

на основании этого определения доказывается переместительность умножения, его сочетательность и распределительность относительно сложения, так что иЉ = Ъ. и (8)

и.(b. с) = (ц. b). с (9)

u.(b + c) = u. b+u. c (Ю) Подобным же образом доказывается, что и. V = Ѵ. И = 11 (11) и т. п.

В частности,

N0. p — β Ν0' Ν0·Ν0= Ν0

Ν0.Ν0.Ν0…Ν0=Ν0<

Последнее действие, которое надо еще установить, есть действие возвышения в степень, потенцирования. — Возьмем группы Μ и N. Каждому элементу π группы N мы можем сделать соответственным какой‑либо из элементов группы М, причем один и тот же элемент ш может быть взят сколько угодно раз. Таким образом, получается некоторый закон подчинения илиприложение(Belegung) группы N к группе М. Если хотя бы один из элементов N получит другой, соответственный ему, элемент т, то мы имеемдругоеприложение N с М. Совокупность всех таких приложений, объединенная в целое, носит у Кантора, названиегруппы приложения(Belegungsmenge)[273]N с Μ и обозначается знаком (Ν|Μ). Ее‑то мощность и есть то, что играет роль степени в излагаемой теории, так что

RSi4N]M> (13)

Как и в случае умножения, это определение оправдывается тем, что пьзависит только от и и b. Из формулы (13) вытекают свойства этого действия:

(14)

и\b = (иЉУ (иьу = и"

Можно доказать, что какая угодно мощностыц, возвышенная в степень самое себя, дает результат непременно больший, чем она сама:

mw› hi

Отсюда уже ясно, что построение все больших И больших мощностей никогда не может остановиться и все глубже и глубже заходит в область трансфинитного, устремляясь к абсолютному максимуму по лестнице

W ш1Ш ttl III

III, lit, III, llt;и т. Д.

Но Кантор дает еще другой способ построения скалы бесконечных чисел. Чтобы раскрыть его, нам придется сказать несколько слов о трансфинитных типах, именно о типах просто–устроенных групп.

Подпросто–устроенной(einfachgeordnct)[274]группой Кантор, как сказано, разумеет группу такую, что, руководствуясь одним каким‑нибудь признаком, всегда можно решить, который из двух элементов т' и т" предшествует другому. Отвлечением от природы элементов мы получаем схему устройства этой группы, закон ее расположения. Но так как в эту схему, в этот «тип порядка»[275]свойства и особенности элементов не войдут, то ясно, что некоторые перестановки элементов не изменят его, а другие, наоборот, изменят. Первые, так сказать, обменивают местами элементы равноправные, вторые же затрагивают структуру ряда. Это станет яснее, если мы возьмем в виде примера ряд натуральных чисел, тип которого обозначается через ω. Доказывается, хотя это почти что ясно само собою, что ряд

1, 2, 3, 4, 5…Ѵ,

не имеет последнего члена. Положим, что мы переставили элементы его, так что ряд получил вид:

Тогда тип порядка его, структура его не изменилась. Но если мы переставим элементы каким‑нибудь таким образом:…7, 6, 5, 4, 3, 2, 1; или 1, 3, 5, 7, 9…2, 4, 6, 8, 10… или 1, 3, 5, 7…8, 6, 4, 2, то тогда схема изменяется.

Пользуясь сказанным определением типов порядка и еще другими, Кантор расширяет на эти типы действия алгебры; оказывается при этом, что, впрочем, не трудно было предвидеть, что умножение и сложение, оставаясь распределительными, перестают быть перемести- тельны, так что [вообще говоря]

α +β φ β+ αα.β*β.(χ[276]

Например,

2,ω = ω, но ω.2 = ω + ω, почему…2.ω * ω.2.

Среди типов порядка играют роль особенно важную, так называемые,«числа порядка»(Ordnungszahlen)[277], это — типы некоторых специальных групп, именно, групп«благоустроенных»(wohlgeordnet)[278]. Последние группы таковы, что сами они, как и каждая их частная группа, имеютпервыйэлемент. Путем очень тонких соображений Кантор показывает, что числа порядка обладают характером величин, т. е. каждая пара таких чисел либо равна, либо одно из них больше другого. Вследствие этого оказывается возможным расположить все такие числа по одной скале и, пользуясь «производящими принципами», указанными Кантором и позволяющими продолжать ее как угодно далеко, охватить всякое множество. Ввиду того, что наименьшее из чисел порядка есть число ω, является интересным строить эту скӑлу, исходя из ω, и это нужно сделать хотя бы так:

1, 2, 3… і›…

ω, ω + 1, ω+ 2, ω + 3… ω +

ω.2, ω.2 + 1, ω.2+ 2, ω.2 + 3… ω.2 + ρ…

ω.//, ω.μ + 1,ω.μ+ 2… ω.μ +

ω[279], ω2+1… ω2+ ω.μ + ν… ω3… и т. д.

Картиною для обозначения этих символов, охватывающих какое угодно многообразие, может служить такая, по выражению Керри (Kerry), «вавилонская башня»:

ωω ωω.

Дав эти отрывочные замечания, мы возвращаемся к нашим мощностям и покажем теперь, как строится их скала. — Каждый тип имеет свою мощность, равную мощности и группы, из которой мог бы быть получен тип. Но данному количественному числу, данной мощности, соответствует тип не один, а трансфинитное множество. Последнее обозначается знаком [и] и носит названиекласса типов. Группа [п] имеет, как и всякая группа, свое количественное число и', причем и' больше и. Число это а называется числом,определенным через класс типов[и]. Возьмем же наименьшую из мощностей Nq. Совокупность· всех типов, т. е. типов счетовых групп, имеющих мощностями N0,самауже, как доказывается Кантором, не есть группа счетовая; этот класс типов [N0] имеет мощности {NJ, ближайшую, после N0и потому группа [N0] не может быть «сосчитана» числом N0. Подобным же образом мы получим последовательно все большие количественные числа Ν2, N…Ny…, причем каждое из них способно охватить сооою, «счесть» совокупность всех типов, имеющих мощность, равную предыдущему числу этой скалы. Скала эта восходит все выше и выше беспредельно. Но из того, что мы можем забираться все далее и далее, не следует, что мы можем дойти и куда угодно. И в самом деле, если бы мы могли индексами при этих N ставить только натуральные числа, — конечные «числа порядка», — то построенная скӓла не охватывала бы собою всякой мощности. Последнее достигается введением чисел порядка уже не конечных, а трансфинитных в качестве указателей, и тогда получается, наконец, лестница все возрастающих и сверх всякого, в том числе и какого‑нибудь трансфинитного, предела поднимающихся чисел:

Nq, N^ N2,…‚ Νω, Νω1,…Νω2» Νω,2+ι,…Νω2,…Νω…

ω ω ω

VIII

Тут изложены, по возможности кратко, те из канто- ровскиҳ идей, которые ближе примыкают к вопросам философии религии. Другие его идеи имеют более математический и обще–философский интерес, и среди них нельзя не отметить одного из перлов -учения о непрерывном, которое, по словам Таннери[280]‚ является первой работой за более чем 2000–летний промежуток после исследования Зенона Элейского[281].

Но не является ли важным затронуть еще один вопрос, это именно вопрос о творчестве Г. Кантора и о скрытых двигателях его деятельности? Мне кажется, да, и я, вероятно, не ошибусь, если захочу охарактеризовать Г. Кантора, как типичнейшего еврея, «израильтянина, в котором нет лукавства»[282]‚ а насквозь своеобразный дух его работы, — как дух лучших представителей нации. Пожалуй, даже, более того, Г. Кантор является завершителем еврейства, он, так сказать, ставит точку над і, как бы подводя итоги, формулируя и точно определяя в логических терминах многовековые идеи своей нации…

Постараюсь показать это, хотя сознаю, как трудна такая задача, и предвижу возможную неудачу: биографические данные о Канторе нигде не опубликованы и поэтому фактический материал чрезвычайно скуден. Приходится интерполировать чутьем, но, создавсебепредставление о его личности, чрезвычайно затруднительно доказать правомерность своего взгляда.

Плотно скованы цепляющиеся друг за друга колечки стальной кольчуги, которой защищает себя Кантор от ядовитых, но для него игрушечных стрел современного мировоззрения. Он неуязвим за своею тесно–сплетенною сетью теорем. Стройно вытекают друг из друга теоремы. Каждое слово отчеканено и так пригнано на свое место, что в компактном изложении Кантора нельзя выбросить ни одной буквы, чтобы не нарушить целостности всего. — Но когда мысль так отделана, когда изложение приведено в классическую форму, напоминает античное, тогда трудно разглядеть за этой твердой оболочкой, что, собственно, создало ее и с какою целью. Только иногда прорываются изнутри неукротимые пламена; огненные языки проносятся над стальной сетью, и только обожженный ими догадываешься, какой огонь был импульсом творчества. Но как выделить эти неразрывно соединенные с целым пламена? Они меркнут и гаснут, оставляя только чувство теплоты, если мы оторвем от их рдеющего источника. Демонстрировать их возможно только для поэзии, но не для моего реферата. Лучше и не пытаться уловить неуловимое. Лучше прямо сказать: вот, что я видел и, надеюсь, каждый, из пожелавших ознакомиться с работами Кантора, может увидеть…

По своему рождению Г. Кантор был еврей. Семья португальских евреев, от которой впоследствии произошел он, разделилась на две ветви; одна из них эмигрировала в Данию и произвела известного историка математики М. Кантора, другая выселилась в Россию и здесь, в 1845 г. в Петербурге родился Георг–Фердинанд–Людовик–Филипп Кантор. Одиннадцати лет (в 1856 г.) он выехал в Германию; там он получил воспитание, образование и, наконец, профессуру. Он до сих пор профессорствует в Halle. Я намеренно подчеркиваю эти данные формулярного списка, потому что еврейское происхождение Кантора дает ключ к пониманию его творчества.

Прежде всего это сказывается в удивительной выносливости, в напряженности работы и в умении ждать и терпеть. Десять лет Кантор таит в себе идеи, не давая знать о них в печати. Конечно, если бы это было в XVI столетии, то тут не было бы ничего особенного. Но кто знаком с современной литературой и знает, как дрожат многие за приоритет в каких‑нибудь пустяках, как иногда мысль совсем непродуманная, недоразвитая, необработанная попадает в журнал, тот не может не удивляться выдержке Кантора. Он отказывался от известности и славы, на которую, несомненно, имел полные основания рассчитывать, пренебрегал суетным желанием написать нечто вроде того, чем создаются репутации, и шел мимо модных вопросов (мнимое переменное и т. д.).

Одинокий и непонимаемый, сидит он в своем Halle и обдумывает, упорно обдумывает, нет ли в его идеях ошибок и невязок, не ведет ли его учение к пантеизму, который, очевидно претит его еврейской душе. Мысль приводит к необходимости признать Трансфинит, а с другой стороны его религиозному сознанию нужно законченности, формы, личности; колеблющийся и неопределенный призрак Бога монистов, безликого и бесформенного, недопустим для него. Нет литутпротиворечия с признанием Трансфинита? Но вот мучительный вопрос разрешен отрицательно. Нет, Трансфинит не только не противоречит теизму, но даже требуется им. «Традиция, всегда высоко–почитаемая»[283](его слова) Кантором, оказывается сохраненной и подкрепленной; но это достигнуто не тенденциозными попытками извратить истину, логически данную, не путем явных или скрытых подтасовок, а ценою упорного размышления и неуклонного движения вперед. Позитивизм есть мутный слой, через который надопройти;отступление и бегство не помогут, и болотный огонь пойдет за убегающим.Постулатсовпадения результатов религиозного опыта и научных данных получил лишнее подтверждение. Противоречия оказались мнимыми. Мало того; оказалось, что идея трансфинита предполагает уже идею Абсолюта и, признав первую, мы не имеем права отвергать второй.

Тогда Кантор обнародывает свои первые работы, как из рога изобилия быстро посыпавшиеся одна за другой в целом ряду журналов. Плотина прорвана напором внутренней силы, внутренняя полнота хлынула мощным потоком. Кантор, буквально, изливается. Его статьи имеют поразительный характерпелитературпости.Он забывает о том, что он пишет, он на бумаге творит, потому что не может не творить, но это–не для публики.

Его, конечно, публика не понимает. Чего нужно ему? Для философов он «философствующий» математик, для математиков — метафизик, для индифферентных — он подозрительно религиозен, — как бы тут не было подвохов; для теологов он будто бы опасен: «не ведут ли эти умствования к пантеизму?» — вот задняя мысль теологов. Даже поклонникам Кантора «трудно предсказать будущее такого нового (recente) труда, который, впрочем, представляет более интереса с точки зрения философской, чем будущей пользы развития математики». Это говорит Таннери[284], один из первых нарушивший bоп ton[285]и заговоривший в благовоспитанном обществе, которое было шокировано такими чересчур оригинальными новшествами, о работах Кантора. «Попытка столь смелая, — говорит Таннери далее, — что трудно следовать за нею, может привести к неожиданным результатам. Интересно знать, к какой философской школе принадлежит [такой] мыслитель, как Г. Кантор…» Во всей этой цитате характерен тон нерешительности и смущения; видимо, что человек несколько растерялся и не может выяснить своего отношения. И это говорит математик, воспитавшийся на истории математики, человек, который мог бы видеть историческую необходимость появления новых идей!

Очень медленно эти новые идеи получают признание. Математики с опаскою пользуются трансфинитными числами, философы пробуют применить их для своих целей (Вундт[286]) ‚ хотя при этом дело не обходится без непонимания и путаницы. Теологи, которые ранее заявляли: «то, что Г. Кантор назвал Transfinitum in na- tura naturata[287]‚ не может быть защищаемо в известном смысле», которого, однако, по их же признанию, Г. Кантор «по–видимому не дал», такое понимание(не данное Кантором)будет содержать заблуждение пантеизма, теперь эти теологи, после множества разъяснений и толкований со стороны Кантора, делаются мягче и соглашаются, наконец, «что в так понимаемом, как я вижу до сих пор, — пишет Кантору один богослов, — вашем понятии трансфинита не лежитникакойопасности для религиозных истин»[288].

Затем Кантор из «М. G. Cantor» превращается в «Eminent savant de Halle»[289], его идеи делаются темами для диссертаций, и развитие их создает целую литературу.

По–видимому, можно было бы на этом успокоиться; однако этот мыслитель не из легко успокаивающихся. Более двадцати лет еще бьется он, тратит массу труда и сил, чтобы дать изложение более тщательное, взглянуть на дело с новой точки зрения. Щепетильность у него необычная и, чтобы подправить какие‑нибудь, на взгляд читателя, почти неуловимые промахи, он заново переделывает еще и еще свои мемуары, дополняет, разъясняет. В то же время он изучает затрагиваемые им вопросы исторически, перебирая старых писателей, и можно только дивиться, откуда брались у него силы на чтение огромной литературы всех веков. Он тщательно изучает математиков, богословов и философов, особенно древних, так как сам он считает себя непосредственным продолжателем Платона и Аристотеля. Мистические и схоластические сочинения привлекают особое его внимание, и он изучает авторов, даже имена которых никому, кроме ученых специалистов, неизвестны.

Но эта напряженная работа не проходит даром, и внутренний огонь сжигает его. Тяжелая психическая болезнь периодически прерывает его деятельность. Кантор сходит с ума, потом поправляется, чтобы выпустить мемуар, посвященный все тем же дорогим для него вопросам, или закончить начатый до болезни, потом снова заболевает, может быть, от сделанного чрезмерного напряжения мысли, и так повторяется несколько раз. Но действие и сейчас еще не закончилось, пьеса не сыграна, и мы ничего не знаем о развязке; только можно догадываться о печальном конце, самом печальном для такого ясного ума, как Г. Кантор…

Когда читаешь его в первый раз, то можно думать, что все эти кристально–прозрачные мысли в их ясном и детски–бесхитростном изложении, в высокой степени напоминающем музыку Моцарта, что это полное отсутствие внешнего эффекта и показной учености свидетельствуют о легкости самой работы; так стройно следует из теоремы теорема, так изумительно кратки доказательства, так естественно идет весь ход мысли, что невольно обманешься и хочется воскликнуть: «Да ведь это так все очевидно и ясно, что не стоило говорить!» И в порыве все охватывающей радости начинаешь думать, что все это было уже известно ранее, так быстро срод- няешься с канторовскими идеями. Но, если вчитаться в его письма, пораздумать, сколько времени и невероятного напряжения нужно было Кантору, чтобы дойти до окончательной формулировки, и принять во внимание, какие грубые ошибки делали тончайшие мыслители, рассуждая о тех же вопросах, тогда видишь, что вовсе это не просто и, наоборот, нужно было чисто–еврейское упорство, чтобы преодолеть все трудности и продумать до конца. В доказательство, могу сослаться на то, что Paul Du‑Bois Rcymond[290]‚ всеми принимаемый за тонкого мыслителя, тоже занимался этими вопросами почти одновременно с Кантором и хотя, насколько мне известно, имел возможность ознакомиться с результатами Кантора (по его первым мемуарам), однако более запутал дело, чем создал что‑нибудь положительное, а он, повторяю, весьма тонок. Но он не горел и не был моноидеистом, а просто занимался исследованием, тогда как Кантор шел напролом к определенной цели, — верил. При этом интересно заметить, как при всех исследованиях у Кантора основной идеей является идея актуальной бесконечности, а у дю–Буа Реймона потенциальной; можно подумать, что и тут сказываются расовые особенности обоих ученых.

Всякий помнит, конечно, чеканную характеристику еврейского народа, сделанную Вл. Соловьевым в ряде сочинений[291]. Я не смею тут прибавлять что‑нибудь от себя или изменять, не могу даже портить ее изложением. Просто напоминаю. Если вспомнить ее, то даже беглого просмотра сочинений Кантора достаточно, чтобы увидать, как ярко он выразил в себе лучшие черты еврейства, все «теократические добродетели» своего народа. Тут прежде всего бросаются в глаза две основные и характернейшие черты. Это, во–первых, крайнее развитие самочувствия, самосознания и самодеятельности, внутренняя мощь, так сказать,устойчивость личности. Пусть другие кругом Кантора увлекаются всевозможными модными течениями, насущными потребностями науки, «текущими делами». Он прекрасно понимает, что творится кругом него, но сам ни на волос не отклонится отсвоегопути, отимвыбранной цели. Эта цель однако не есть каприз, любопытство или собственное желание, и в том — вторая характерная черта. Это — повеление свыше, а Кантор, как еврей имеет религиозность до самопожертвования. Если Соловьев говорит о Моисее: «Несмотря на все соблазны египетской теософии и теургии, «верою Моисей велик быв, отвержеся нарицатися сын дщери Фараоновы и верою остави Египет, не убоявся ярости царевы»[292]‚ то то же mutatis mutandis[293]хочется сказать о Канторе, только роль магии в этом случае будут играть все условности науки его времени, соблазны почти без труда, магически, делать исследования из готового.

«Покинь скорей родимые пределы,

И весь твой род, и дом отцов твоих,

И, как стрелку его покорны стрелы —

Покорен будь глаголам уст Моих.

Иди вперед, о прежнем не тоскуя,

Иди вперед, все прошлое забыв,

И все иди, — доколь не укажу я,

Куда ведет любви Моей призыв».

Он с ложа встал и в трепетном смущеньи

Не мог решить, то истина, иль сон…

Вдруг над главой промчалось дуновенье

Нездешнее — и снова слышит он:

«От роднҕіх многоводных халдейских равнин,

От нагорных лугов Арамейской земли,

От Харрана, где дожил до поздних седин,

И от Ура, где юные годы текли, —

Не на год лишь один, Не на много годин,

А на вечные веки уйди».

(Вл. Соловьев. «В землю обетованную»)[294]

И он покидает дом отцов своих, — современную науку, современное миросозерцание. Он идет более 30–ти лет, и это не есть просто научная работа, просто терпеливое исследование. Прежде всего это подвиг великой веры, веры в возможность создать для бесконечного символы.

«Чистым сердцем и крепкой душой

Будь Мне верен в ненастье и в ясные дни;

Ты ходи предо Мной

И назад не гляди,

А что ждать впереди —

То откроется верой одной».[295]

Если мы ничто перед Абсолютным, то все же мы — нравственно однородны с Ним, мы можем постигать Его, но не прямо, а в символах; мы носим в себе трансфинитное, сверх–конечное, мы, — космос, — не являемся чем- то конечным, прямо противоположным Божеству мы — трансфинитны, «середина между всем и ничем»[296]. Но тогда надо показать, как это возможно. И вот 30 лет работы идут на оправдание этой веры. Канторне знает‚к чему поведет работа; все говорит против возможности такого оправдания, все с усмешкою качают головой, но Кантор не творит себе кумиров. Он покидает свою работу — почву взрастившей его традиции и науки, и мимо всех соблазнов устремляется в неизвестность, в пустыню чистой мысли? К чему же он стремится? К тому, чтобы создать «храм», создать символы для Бесконечного. Он хочет видеть реализацию Божественных сил, хочет убедиться, что она возможна, и ему нужно это скорее. Ему нужно показать, что идея Трансфинита не противоречива внутренне, что она законна и необходима. Иначе нет нравственной однородности космоса и Божества, нет и не может быть «договора», мы не можем самоопределяться и действовать от себя, не делаясь пустыми автоматами, которых дергают за нитки.

Тут сказывается в сильнейшей степени «религиозный материализм» Кантора. Призрачность мира кажется ему такой же выдуманной, как и мир мертвого механизма. Новейший идеализм, современный позитивизм кажутся ему чудовищно–дикими, не по отвлеченности своей, а потому, что они уничтожают реальное, конкретное и личность, живую личность. Он горячо сражается с номинализмом и академическим скепсисом, потому что ему нужно осязать реальное и живое; материализм претит Кантору не менее.

«Чем отдаленнее цель, тем более нужно сил и мужества, чтобы в нее верить и идти к ней. Если даже теперь, после основания и видимого распространения христианства, так трудно человеку подвигаться к бого- человеческой дели, то во сколько труднее было служить христианству за две тысячи лет до Христа? Вот в чем недосягаемое величие этих полудиких кочевников, которые у гор и высоких дубов ханаанских клали первые камни будущего вселенского храма! Перед ними не было ничего ясного и определенного, все их упования были в тумане далекого будущего, а в настоящем они должны были только слушаться, только верить»[297]…. Эта черта преданности высшей Воле, всегда сохранявшаяся в духе нации, сказалась в сильнейшей степени и в данном случае; думается, что канторовские работы правильно будут рассматривать, как новые камни, положенные на стены храма той же нацией.

Если Кантор, как личность, является живейшим образцом еврея, то его мировоззрение носит характер того же едва ли не в еще большей степени. Идея законченной бесконечности, как у абсолютной личности — Бога, так и у человеческой, есть достояние еврейства, а эта идея есть, кажется, самое существенное основание у Кантора. В то время как другие, арийцы, признают только потенциальную бесконечность, «дурную», неопределенное и неограниченное, его душе мысль о невозможности актуальной бесконечности кажется чудовищной. Он не может помириться с нею и ищет средств оправдать свою веру. Даже самая потенциальная бесконечность для него важна лишь под условием не неопределенного возрастания, не беспредельности в буквальном смысле, а под условием стремления к пределу, к актуальной бесконечности, как своей идеальной цели. Обычно смотрят на потенциальную бесконечность, на прогрессирование sub ѕрссіс finiti[298]глазами мира сего. Кантор же смотрит на нее с другой стороны, с точки зрения ее цели, видит sub specie infinitatis[299]. Он видит, как «проходит образ мира сего».[300]

И в такой противоположности воззрений ясно выступают еще раз те основные настроения, которые создают идею человеко–божества, конечного, всегда остающегося конечным и качественно себе подобным, но желающего становиться все выше и выше, Богочеловечества, «становящегося Абсолютного». Это — та же противоположность, что и в словах змея–искусителя:«будете, какбоги» и словами Писания: «вы — боги, и сыны Всевышнего — все вы…»[301]

Вероятно, все знают «пасхальную песнь» евреев. Вы помните, конечно, решительную настойчивость, грубо говоря, почти назойливость в мольбах к Богу. Эта неотступность в просьбе, это богоборство, «не отпущу, доколе не благословишь», в высшей мере характерно для творчества Георга Кантора, и я думаю не смогу лучше окончательно разъяснить смысл его деятельности, как приводя текст этой песни[302]. Вон он:

«Боже Всемогущий, ныне близко и скоро храм Твой создай, скоро, в наши дни, как можно ближе, ныне создай, ныне создай, ныне создай, ныне близко храм Твой создай! Милосердный Боже, Великий Боже, кроткий Боже, всевышний Боже, благий Боже, сладчайший Боже, безмерный Боже, Боже израилев, в близкое время храм Твой создай, скоро, скоро в дни наши, ныне создай, ныне создай, ныне создай, ныне создай, ныне скоро храм Твой создай! Могущественный Боже, живый Боже, крепкий Боже, славный Боже, милостивый Боже, царствующий Боже, богатый Боже, великолепный Боже, верный Боже, ныне не медля храм Твой восставь, скоро, скоро, в дни наши, не медля, скоро, ныне создай, ныне создай, ныне создай, ныне создай, ныне скоро храм Твой создай!»